2015届高三数学知识点汇总 专题 向量
高三数学向量的知识点
高三数学向量的知识点向量是数学中一个非常重要的概念，它在高三数学中起着至关重要的作用。
本文将会介绍高三数学中的向量的一些基本概念、性质和应用。
一、向量的定义和表示方法向量是带有方向和大小的量，它可以用有序数对表示。
设点A 的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB可以表示为向量→AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
在平面直角坐标系中，向量通常以加粗的小写字母表示，如→a。
向量的起点和终点分别为原点和表示向量的有向线段，例如↑AB表示向上的向量AB。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足几何法则，即将两个向量的起点连接起来，然后以连接线段的终点为新向量的终点。
设有向量→a = (a₁, a₂)和向量→b = (b₁, b₂)，则→a + →b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
2. 向量的数乘向量的数乘即将一个向量的大小进行缩放。
设有向量→a = (a₁, a₂)，实数k，则k→a = (ka₁, ka₂)，当k>0时，数乘会改变向量的方向，当k<0时，数乘同时改变向量的方向和大小。
3. 向量的数量积向量的数量积（内积）是两个向量的乘积结果。
设有向量→a = (a₁, a₂)和向量→b = (b₁, b₂)，则→a·→b = a₁b₁ + a₂b₂。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角的余弦值。
三、向量的性质和定理1. 平行向量的性质若两个向量→a和→b平行，则存在实数k，使得→a = k→b。
平行向量的方向相同或相反，大小可以不同。
2. 共线向量的性质若三个向量→a，→b和→c共线，则存在不全为零的常数k₁和k₂，使得→a = k₁→b + k₂→c。
共线向量可以表示为其他向量的线性组合。
3. 向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，记作|→a|，计算公式为|→a| =√(a₁² + a₂²)。
关于高三数学向量的知识点
关于高三数学向量的知识点一、向量的概念及表示法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
向量通常用字母加上一个箭头来表示，如→AB表示从点A指向点B的向量。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：向量加法满足平行四边形法则，即从向量的起点开始，将两个向量的有向线段首尾相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
2. 向量的减法：向量减法可以转化为向量加法，即A - B = A + (-B)，其中-A表示与向量A大小相等、方向相反的向量。
三、向量的数量积（点积）与向量积（叉积）1. 数量积：设向量A和向量B的夹角为θ，数量积的定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和向量B的模长。
数量积具有交换律和分配律。
2. 向量积：两个非零向量A和B的向量积定义为向量C，其方向垂直于向量A和向量B所构成的平面，大小等于以向量A和向量B构成的平行四边形的面积。
四、向量的共线与平行1. 共线：如果两个向量的方向相同或相反，则它们共线，即存在一个非零实数k，使得A = kB。
2. 平行：如果两个向量的方向相同或相反，它们是平行的。
向量A与向量B平行记作A ∥ B。
五、向量的线性运算1. 数乘：将向量A的大小乘以常数k，得到新向量kA，其方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
2. 线性组合：设k1, k2, ..., kn为常数，向量A1, A2, ..., An为向量，将每个向量与对应的系数相乘并相加得到新向量C，即C = k1A1 + k2A2 + ... + knAn。
六、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，向量可以用有序实数对(x, y)表示，即向量A = (x, y)。
其中x称为向量A在x轴上的分量，y称为向量A在y轴上的分量。
七、向量的模长及单位向量1. 模长：向量A的模长定义为|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为A的坐标表示。
数学高三向量公式知识点
数学高三向量公式知识点一、向量概念及基本运算向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个带箭头的线段表示。
向量用大写字母表示，比如A、B等。
向量的大小通常用模表示，记作|A|。
向量的加法、减法运算和数乘运算满足一定的法则。
二、向量的数量积向量的数量积是两个向量相乘得到一个标量的运算，记作A·B。
数量积的结果可以用几何方法和代数方法求解。
几何方法中，数量积等于向量A在向量B上的投影乘以B的模长。
而代数方法中，数量积等于A的各个分量与B的对应分量相乘后再相加。
三、向量的向量积向量的向量积是两个向量相乘得到一个向量的运算，记作A×B。
向量积的结果垂直于原来的两个向量，并符合右手定则。
向量积的模等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值。
四、向量的混合积向量的混合积是三个向量相乘得到一个标量的运算，记作[A,B,C]。
混合积具有代数性质并满足柯西-施瓦兹不等式。
混合积可以用几何方法求解，其结果等于由原来的三个向量构成的平行六面体的体积。
五、向量的共线和垂直如果两个向量的数量积为0，则称这两个向量垂直或正交。
如果两个向量的向量积为0，则称这两个向量共线或平行。
六、高中向量公式总结1. 向量模的运算|A + B| ≤ |A| + |B| （三角不等式）|A - B| ≥ ||A| - |B|| （反三角不等式）|λA| = |λ||A| （数乘运算）|AB| ≤ |A||B| （数量积运算）|A × B| = |A||B|sinθ （向量积运算）[A, B, C] = |A × B||C|cosθ （混合积运算）2. 向量共线和垂直的判断A·B = 0 两向量垂直A×B = 0 两向量共线3. 向量分解和投影向量A可以分解为与另一个向量B垂直的分量A1和与B共线的分量A2，即A = A1 + A2。
A在B上的投影记作A_B，满足A_B = |A|cosθ。
4. 三角形的面积公式ΔABC = 0.5|AB × AC|5. 平面向量表示直线和曲线一般式方程：Ax + By + C = 0点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)参数方程：x = x0 + mt，y = y0 + nt七、总结以上是数学高三向量公式的知识点总结。
高考向量必考知识点
高考向量必考知识点在高考数学考试中，向量是一个必考的重要知识点。
掌握好向量的相关概念和运算规则，对于解题和提高数学成绩都有极大的帮助。
下面将介绍高考中向量的必考知识点，帮助考生全面复习和准备考试。
1. 向量的定义和表示方法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
向量通常用大写字母加箭头表示，如→AB，表示从A点指向B点的向量。
在二维平面上，向量可以用坐标表示，如→AB = (x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算规则(1) 向量的加法：向量的加法满足共线三角形法则，即将两个向量首尾相连，所得的结果向量的起点和终点与原向量的起点和终点重合。
向量的加法可以通过坐标运算和三角函数运算进行。
(2) 向量的数乘：向量的数乘指的是将向量的长度乘以一个实数。
若向量→AB的长度为a，那么实数k与向量的数乘结果为k→AB，其长度为ka。
(3) 向量的减法：向量的减法可以通过向量加法和数乘的运算规则来表示，即a - b = a + (-1) × b。
其中，-1表示方向相反的单位向量。
3. 向量的性质和运算规律(1) 零向量的性质：零向量是长度为0的向量，用0表示。
对于任意向量a，有a + 0 = 0 + a = a。
(2) 向量相等的条件：两个向量相等的充分必要条件是它们的长度相等且方向相同。
(3) 三角不等式：对于任意两个向量a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
即两个向量的和的长度小于等于它们的长度之和。
4. 向量的数量积和向量积(1) 数量积：数量积也称为点积或内积，是两个向量相乘得到一个实数的运算。
向量a与向量b的数量积用a·b表示，其结果为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
(2) 向量积：向量积也称为叉积或外积，是两个向量相乘得到一个向量的运算。
向量a与向量b的向量积用a×b表示，其结果为一个新的向量c，满足c的长度等于|a| |b| sinθ，c的方向垂直于a和b所确定的平面，遵循右手法则。
高中向量部分知识点总结
高中向量部分知识点总结一、向量的概念和表示1. 向量的概念向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
物理上，速度、力、位移等都可以用向量表示。
在几何学中，位移、速度、加速度等物理量都是向量。
2. 向量的表示方法向量可以用多种表示方法，包括：方向向量、定点向量、线段的中点向量、终点向量等。
其中，最常用的表示方法是平行四边形法则和三角法则。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量的和等于以这两个向量为两边的三角形的对角线。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是向量的加法，即将减去的向量取反后与被减的向量相加。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为内积，是向量的数量乘积加和。
设向量 a=(x1, y1)，向量 b=(x2, y2)，则 a·b=x1x2+y1y2。
4. 向量的夹角两个向量的夹角可以由向量的数量积求得，夹角的余弦等于两个向量的数量积与向量的模的乘积。
5. 向量的外积向量的外积，也称为叉积，是两个向量对应分量的乘积减去对应分量的乘积。
设向量a=(x1, y1)，向量 b=(x2, y2)，则 a×b=x1y2-y1x2。
三、向量的应用1. 物理中的向量在物理学中，很多物理量都是向量，如力、速度、加速度、位移等。
利用向量的概念和运算律，可以很好地描述和分析物理现象。
2. 几何中的向量在几何学中，向量经常用来描述线段、向量和点的位置关系，从而解决多种几何问题。
同时，向量还被应用到三角函数的相关计算中。
四、平面向量及坐标表示1. 平面向量的概念平面上的向量是指具有大小和方向的量。
平面上的每一个向量都可以利用坐标表示。
在平面直角坐标系中，平面向量可以用两个有序实数对表示。
2. 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指用有序实数对表示向量的坐标。
在平面直角坐标系中，向量a=(x1, y1)，向量 b=(x2, y2)，则可以表示为 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)。
高中数学向量知识点数学向量知识点总结
高中数学向量知识点数学向量知识点总结由于篇幅限制，我将提供一个详细的大纲和部分内容，以帮助您构建一篇完整的高中数学向量知识点总结文档。
高中数学向量知识点总结引言向量是数学中描述空间有向线段的基本概念，它在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。
高中数学中对向量的学习是理解现代科学技术的基础。
第一部分：向量的概念与表示1.1 向量的定义向量作为有序数对的定义几何向量与代量的区别1.2 向量的表示向量的几何表示：箭头表示法向量的代数表示：坐标表示法第二部分：向量的几何运算2.1 向量的加法向量加法的几何意义向量加法的代数法则2.2 向量的减法向量减法的几何意义向量减法的代数法则2.3 数量积（点积）数量积的定义和性质数量积的坐标运算2.4 向量积（叉积）向量积的定义和几何意义向量积的坐标运算第三部分：向量的坐标运算3.1 直角坐标系中的向量运算直角坐标系中向量的加减法直角坐标系中向量的数量积和向量积3.2 平面极坐标系中的向量运算极坐标系中向量的定义极坐标系中向量的运算法则第四部分：向量在几何中的应用4.1 向量在三角形解法中的应用利用向量求解三角形问题三角形的重心、垂心和外心的向量表示4.2 向量在圆解法中的应用圆的切线向量圆的方程的向量形式第五部分：向量与解析几何5.1 直线的向量方程直线的向量形式点斜式和斜截式5.2 圆的向量方程圆的向量形式圆心和半径的向量表示第六部分：向量与空间几何6.1 空间向量的基本运算空间直角坐标系中的向量运算空间向量的数量积和向量积6.2 空间几何体的向量描述棱柱、棱锥的向量表示球的向量表示第七部分：向量的应用问题7.1 力的合成与分解力的向量表示力的合成与分解的向量法则7.2 速度与加速度速度向量和加速度向量的物理意义速度和加速度的向量计算第八部分：向量的进阶知识8.1 矩阵与向量矩阵与向量的关系矩阵乘法在向量运算中的应用8.2 向量空间向量空间的定义向量空间的基和维度结语向量不仅是高中数学的重要知识点，也是现代科学技术不可或缺的工具。
数学高考向量知识点总结
数学高考向量知识点总结一、向量的概念与表示1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的物理量，是指在空间中的矢量。
2. 向量的表示：向量通常用加粗的小写字母（例如a）或者以字母上方加→（例如→a）表示。
二、向量的运算1. 向量的加法：如果a和b是两个向量，那么它们的和记作a+b，它的几何意义是以a和b的起点为端点的对角线的方向和长度。
2. 向量的数乘：数k与向量a相乘的结果是一个新向量，记为ka。
当k>0时，ka的方向与a的方向相同；当k<0时，ka的方向与a的方向相反。
3. 向量的线性组合：设k1，k2，…，kn是任意n个数，a1，a2，…，an是任意n个向量，那么向量C=k1a1+k2a2+…+knan称为向量a1，a2，…，an的线性组合。
三、向量的数量积1. 向量的数量积定义：设a和b是两个向量，那么它们的数量积记作a·b，它的数值等于|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b之间的夹角。
2. 向量的数量积性质：（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数乘结合：(ka)·b=k(a·b)（4）模长的平方：|a|^2=a·a（5）向量夹角余弦的大小：a·b=|a||b|cosθ3. 向量的正交性：如果a·b=0，则称向量a和b正交，也就是说，两个向量的夹角为90°。
四、向量的叉乘1. 向量的叉乘定义：设a和b是两个向量，那么它们的叉乘记作a×b，它的结果是一个新的向量，其模长等于|a||b|sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并满足右手定则。
2. 向量的叉乘性质：（1）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（2）数乘结合：(ka)×b=k(a×b)（3）零向量叉乘：a×0=0×a=0（4）相等向量叉乘：a×a=0（5）模长的平方：|a×b|^2=|a|^2|b|^2-(a·b)^2（6）向量的三角函数关系：a×b=|a||b|sinθn五、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：设A(x1,y1,z1)是平面上的一点，n=[A,B,C]是平面的法向量，那么平面的向量方程可以表示为r·n=d，其中r=[x,y,z]是平面上任意一点的位置向量。
高三向量知识点总结
高三向量知识点总结向量是高中数学中的重要概念之一，它有着广泛的应用和重要的理论意义。
在高三阶段，学生需要系统地学习和掌握向量的相关知识，以便能够灵活地运用于解题和理解更复杂的数学概念。
本文将对高三向量知识点进行总结，并提供相关例题进行讲解。
一、向量的定义和表示1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，可以表示位移、力、速度等物理量。
2. 向量的表示：向量通常用字母加上一个箭头来表示，比如AB→表示从点A指向点B的向量。
向量还可以用坐标表示，如(a，b)或ai+bj。
3. 零向量：大小为0，方向任意的向量。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量相加具有可交换性和可结合性。
即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法：向量相减等价于向量相加取反。
即A - B = A + (-B)。
3. 数乘：向量与一个实数相乘，只改变向量的大小，不改变其方向。
即kA。
4. 内积：内积也叫点积，结果是一个实数。
内积有几何表示和坐标表示两种形式。
几何表示为|A||B|cosθ，坐标表示为A·B =a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
5. 外积：外积也叫叉积，结果是一个向量。
外积的结果是垂直于参与计算的两个向量的向量。
三、向量的性质和定理1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量。
2. 共线向量：在同一直线上的向量。
3. 模长公式：|A| = sqrt(A·A)。
4. 长度公式：AB→ = |B - A|。
5. 向量的投影：向量A在向量B上的投影为|(A·B)|/|B|。
四、向量的应用1. 直线方程：通过两个已知点A、B可以得到直线的方程为r =A + t(B - A)，其中r表示直线上的任意点，t为参数。
2. 平面方程：通过已知点A以及与平面垂直的向量n可以得到平面的方程为n·(r - A) = 0，其中r表示平面上的任意点。
高三知识点向量
高三知识点向量高三知识点：向量向量是高中数学中非常重要的概念之一。
它在几何和代数中都有广泛的应用，特别是在解决各种几何问题和物理问题时。
本文将介绍向量的定义、性质以及常见的计算方法和应用。
一、向量的定义和表示方法在平面几何和空间几何中，向量可以用有序的数对或有序的三元组表示。
设P和Q是平面上或空间中的两点，向量PQ表示从点P到点Q的位移。
记作→PQ，或者简记为→a。
二、向量的性质1. 向量的相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点相同。
2. 零向量：长度为零的向量称为零向量，记作→0。
零向量的方向可以是任意方向。
3. 负向量：设→a是一个非零向量，则称与→a有相同大小，方向相反的向量为→a的负向量，记作-→a。
4. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量。
5. 向量的数量积：设→a和→b是两个向量，它们的数量积记作→a·→b，定义为|→a|·|→b|·cosθ，其中θ是→a与→b的夹角。
三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即把两个向量的起点放在一起，然后用一条新的向量连接它们的终点。
2. 向量的数乘：向量的数乘是将向量的长度进行伸缩的运算。
当数为正数时，向量的方向不变；当数为负数时，向量的方向相反。
3. 向量的减法：向量的减法可以通过使用向量的负向量和加法来表示，即→a-→b=→a+(-→b)。
4. 向量的数量积：向量的数量积满足交换律和分配律，可以用于计算向量的夹角、判断向量的正交性等问题。
5. 向量的叉乘（仅适用于三维向量）：向量的叉乘满足反交换律和结合律，可以用于计算两个向量所在平面的法向量。
四、向量的应用1. 几何应用：向量常用于解决几何问题，如线段相交、判断点是否在三角形内部、判断线段的相对位置等。
2. 物理应用：力、速度、加速度等物理量都可以通过向量表示，并利用向量的加法和数量积进行计算。
3. 数据分析：向量也常用于数据分析中，如表达多维数据、计算特征向量和特征值等。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结1. 向量的定义和表示向量是有大小和方向的量，可以用箭头表达，记作⃗a。
向量通常用坐标表示，在二维平面上，一个向量可以表示为⃗a = (a1, a2)，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
在三维空间中，向量通常表示为⃗a = (a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影。
2. 向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a，(⃗a + ⃗b) + ⃗c = ⃗a + (⃗b + ⃗c)。
向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
例如，在二维平面上，⃗a = (a1, a2)，⃗b = (b1, b2)，则⃗a + ⃗b = (a1 + b1, a2 + b2)。
2.2 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以一个标量。
例如，对于向量⃗a = (a1,a2)，标量k，k⃗a = (k a1, k a2)。
数乘可以改变向量的大小和方向。
当k>0时，k⃗a与⃗a的方向相同；当k<0时，k⃗a与⃗a的方向相反。
2.3 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
⃗a - ⃗b = ⃗a + (-1)⃗b。
3. 向量的性质3.1 零向量零向量记作⃗0，所有分量都为0。
零向量与任何向量的加法结果为原向量。
3.2 单位向量单位向量的模长为1，表示方向的单位向量通常用符号⃗u表示。
3.3 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向量的模长可以不同。
3.4 相等向量如果两个向量的模长和方向都相同，则它们是相等向量。
3.5 余弦定理对于任意三角形ABC，三边长度分别为a，b，c，夹角分别为A，B，C。
设⃗a = ⃗AB，⃗b = ⃗BC，⃗c = ⃗CA，则余弦定理表示为：c² = a² + b² - 2ab * cosC。
高中高考数学向量专题总结复习
高考?向量?专题复习1.向量的有关概念：（1〕向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2〕零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 .（3〕单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与AB 共线的单位向量是AB. AB〔 4〕相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
〔 5〕平行向量又叫共线向量，记作： a ∥ b.①向量 a (a 0) 与 b 共线，那么有且仅有唯一一个实数②规定：零向量和任何向量平行；，使b a ；③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；④平行向量无传递性！〔因为有 0 )；⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；〔 6〕向量的加法和减法满足平行四边形法那么或三角形法那么；2.平面向量的坐标表示及其运算：〔 1〕设a( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，那么 ab(x1x2 , y1y2 ) ；〔 2〕设a( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，那么 ab(x1x2 , y1y2 ) ；〔 3〕设、两点的坐标分别为x1, y1， x2 , y2，那么 AB = ( x2 x1 ,y2y1) ；〔 4〕设a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，向量平行 a// b x1 y2x2 y1；〔 5〕设两个非零向量a(x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，那么a b x1x2 y1 y2，所以 a b a b0x1 x2y1 y20 ；〔 6〕假设a (x, y) ，那么a x 2y 2；〔 7〕定比分点：设点P是直线p1, p2上异于p1, p2的任意一点，假设存在一个实数，使P1 P PP2，那么叫做点 P 分有向线段 P1 P2所成的比， P 点叫做有向线段P1P2的以定比为的定比分点；当P 分有向线段P1 P2所成的比为，那么点P分有向线段11 2所成的比为.P Pxx1x2注意：①设 P1( x1 , y1 ) 、P2 ( x2 , y2 )，P(x, y) 分有向线段 P1 P2所成的比为1，那么，y1y y21在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ( x, y) ，( x1, y1)、(x2, y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
数学向量知识点总结高考
数学向量知识点总结高考一、向量的概念1.1 向量的概念向量是具有方向和大小的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1.2 向量的表示向量通常用有序数对表示，如(a,b)，表示向量的水平分量和垂直分量。
1.3 向量的相等两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相等。
1.4 向量的零向量零向量是大小为0的向量，记作0。
1.5 向量的平行若两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
1.6 向量的合成两个向量的合成，是以这两个向量为两条邻边的平行四边形的对角线。
1.7 向量的夹角两个向量之间的夹角，是指由这两个向量夹出的锐角或钝角。
1.8 向量的数量积向量的数量积，也叫点积，是两个向量的数量乘积再乘以它们的夹角的余弦值，通常用a·b表示。
1.9 向量的叉积向量的叉积，也叫向量积，是两个向量的数量乘积再乘以它们之间的夹角的正弦值，它的结果是另一个向量。
1.10 向量的投影向量a在向量b上的投影，是向量a在向量b的方向上的投影向量。
1.11 向量的分解一个向量可以分解为两个不平行的向量的和，这个过程叫做向量的分解。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法，是指两个向量相加的过程，即把两个向量的对应分量相加。
2.2 向量的减法向量的减法，是指两个向量相减的过程，即把两个向量的对应分量相减。
2.3 向量的数量乘法向量的数量乘法，是指一个向量乘以一个标量的过程，即把向量的每个分量都乘以这个标量。
2.4 向量的数量除法向量的数量除法，是指一个向量除以一个标量的过程，即把向量的每个分量都除以这个标量。
2.5 向量的线性运算向量的线性运算，是指加法和数量乘法的组合，满足交换律、结合律和分配律。
2.6 向量的模一个向量的模，是指它的大小，通常用|a|表示。
2.7 向量的方向角一个向量的方向角，是指它与坐标轴的夹角，通常用θ表示。
2.8 向量的单位向量一个向量的单位向量，是指方向与原始向量相同、大小等于1的向量。
高中向量几何知识点总结
高中向量几何知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的概念和表示方法2. 向量的相等与平行3. 向量的加法和数量乘法4. 向量的数量积和向量积二、平面向量1. 平面向量的坐标表示2. 平面向量的定位和平移3. 平面向量的数量积4. 平面向量的向量积三、空间向量1. 空间向量的坐标表示2. 空间向量的定位和平移3. 空间向量的数量积4. 空间向量的向量积四、向量的运算1. 向量的加法和减法2. 向量的数量乘法3. 向量的夹角和方向余弦4. 向量的数量积和向量积的性质五、平面向量的应用1. 向量的线性运算2. 向量的共线和共面性质3. 向量的垂直和平行性质六、空间向量的应用1. 向量的混合积2. 向量的共面性质3. 向量的垂直和平行性质4. 向量的夹角和体积七、直线和平面1. 平面向量的表示2. 直线和平面的位置关系3. 直线的方向向量和法向量4. 平面的法向量和点法式方程八、空间中的几何关系1. 三角形的中线、角平分线和垂直平分线2. 四边形的对角线、中线和角平分线3. 三棱锥和四棱锥的体积和高4. 空间中的距离和角度九、空间向量的深入应用1. 向量的夹角和垂直性质2. 向量的数量积和向量积的应用3. 向量方程和参数方程4. 向量的坐标和向量的位置十、高中向量几何的综合应用1. 向量的运动学应用2. 向量的静力学应用3. 向量的动力学应用以上就是高中向量几何的知识点总结，通过学习这些知识，我们可以更好地理解和掌握数学中向量的概念、性质和应用，从而提高数学解题的能力。
希望同学们能够认真学习，勤于练习，掌握好这些知识，为今后的学习和发展打下坚实的数学基础。
高中数学：向量知识点总结
高中数学：向量知识点总结
高中数学：向量知识点总结
一、向量：
向量是既有大小又有方向的量，与数量只有大小没有方向的量不同。
一个有向线段有三个要素：起点、方向、长度。
零向量是长度为0的向量，单位向量是长度等于1个单位的向量。
平行向量（共线向量）是方向相同或相反的非零向量，零向量与任一向量平行。
相等向量是长度相等且方向相同的向量。
二、向量加法运算：
向量加法有三种运算方法：三角形法则、平行四边形法则和三角形不等式。
三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点。
三角形不等式是指对于任意两个向量，它们的和的长度不超过它们长度之和。
向量加法满足交换律、结合律和分配律。
三、向量坐标运算：
设向量的起点为原点，向量的终点为点P，则向量的坐标为OP的坐标。
向量的加减法可以通过坐标运算来实现。
设向量A和向量B的坐标分别为(x1.y1)和(x2.y2)，则它们的和的坐标为(x1+x2.y1+y2)，它们的差的坐标为(x1-x2.y1-y2)。
经过以上修改，文章更加清晰明了，没有明显的格式错误和问题段落。
高中数学向量知识点总结
向量的定义与表示向量是既有大小，又有方向的量。
通常用小写字母加上箭头表示，如a⃗。
向量可以用坐标表示，例如在二维空间中，向量a⃗可以表示为(a x,a y)。
向量的基本运算两个向量a⃗和b⃗⃗的和，表示为a⃗+b⃗⃗，其坐标表示为(a x+b x,a y+b y)。
向量a⃗减去向量b⃗⃗，表示为a⃗−b⃗⃗，其坐标表示为(a x−b x,a y−b y)。
向量a⃗乘以一个实数k，表示为ka⃗，其坐标表示为(ka x,ka y)。
点积（内积）两个向量a⃗和b⃗⃗的点积，表示为a⃗⋅b⃗⃗，其计算公式为a x b x+a y b y。
叉积（外积）两个向量a⃗和b⃗⃗的叉积，表示为a⃗×b⃗⃗，其计算公式为a x b y−a y b x。
模（长度）向量a⃗的模，表示为|a⃗|，其计算公式为√a x2+a y2。
单位向量向量a⃗的单位向量，表示为a⃗，其计算公式为a⃗⃗。
|a⃗⃗|向量的性质交换律向量的加法、数乘满足交换律，即a⃗+b⃗⃗=b⃗⃗+a⃗，ka⃗=a⃗k。
结合律向量的加法和数乘满足结合律，即(a⃗+b⃗⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗⃗+c⃗)，(ka⃗)+b⃗⃗=k(a⃗+b⃗⃗)。
分配律向量的数乘满足分配律，即k(a⃗+b⃗⃗)=ka⃗+kb⃗⃗。
平行向量两个向量a⃗和b⃗⃗平行，当且仅当a⃗可以表示为b⃗⃗的数乘，即存在一个实数k，使得a⃗=kb⃗⃗。
垂直向量两个向量a⃗和b⃗⃗垂直，当且仅当它们的点积为0，即a⃗⋅b⃗⃗=0。
向量的应用向量方程描述向量a⃗从点A(x1,y1)到点B(x2,y2)的方程为x−x1x2−x1=y−y1y2−y1。
向量场描述空间中每一点都有一个向量与之对应的图形，称为向量场。
向量场的强度和方向可以用箭头表示。
向量图形向量可以用来描述直线、平面、直线段、射线等图形。
例如，直线的方向向量可以表示为(1,0)或(0,1)，平面的法向量可以表示为(a,b,c)。
高考向量的知识点总结
高考向量的知识点总结高考数学中，向量是一个重要的知识点。
掌握好向量的相关概念和运算法则，对于解题和理解几何问题都有很大的帮助。
本文将从向量的基本概念、向量的运算以及向量的应用三个方面来总结高考向量的知识点。
一、向量的基本概念向量是指既有大小又有方向的量。
在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序实数组(a₁, a₂, ..., aₙ)，它有n个分量，分别表示在坐标系的各个轴上的长度。
向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在解题中，我们常常涉及到向量的模、方向角等概念。
向量的模表示向量的长度，记作|a|，它满足|a|≥0；向量的方向角表示向量与某个坐标轴的夹角，通常用θ表示，θ∈[0, 2π]。
二、向量的运算1. 向量的加法和减法向量的加法是向量之间的运算，表示将两个向量按照顺序首尾相接，构成一个新的向量。
记作a + b。
向量的减法是向量之间的运算，表示将两个向量首尾相接的角位置互换，并构成一个新的向量。
记作 a - b。
2. 向量的数量积和向量积向量的数量积又称为点积，它表示两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
记作a·b，计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。
向量的数量积具有交换律和分配律，可以利用数量积求向量夹角和向量的投影等问题。
向量的向量积又称为叉积，它表示两个向量的长度之积与它们夹角的正弦值的乘积。
记作a×b，计算公式为a×b = |a| |b| sinθ n，其中n为垂直于a、b所在平面的单位向量。
向量的向量积具有反交换律和分配律，可以用来求平行四边形的面积和判断向量的共线性等问题。
三、向量的应用向量在几何问题中有广泛的应用。
例如，我们可以利用向量来求解平面几何中的相交、垂直等性质，通过向量的数量积和向量积求解线段和角的性质。
此外，在物理学中，向量可以表示物体的位移、速度、加速度等量。
在力学中，力可以用向量来表示，可以通过向量的运算求解合力、分解力等问题。
向量知识点总结高三
向量知识点总结高三向量是高中数学中的一个重要概念，它在几何、代数和物理等领域都有着广泛的应用。
掌握向量的基本原理和相关运算方法，对于高三学生来说至关重要。
本文将对高三向量知识点进行总结，帮助学生们更好地理解和应用向量。
一、向量的定义与表示向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示，常用字母加箭头表示，如→AB。
向量的大小称为模，用两点A和B之间的距离来表示。
向量的方向由有向线段的方向确定。
二、向量的相等与运算1. 向量的相等向量相等的条件是大小和方向都相同。
即两个向量的模相等，且方向相同。
2. 向量的加减法向量的加减法满足运算律和结合律。
对于向量→AB和→CD，定义加法运算：→AB + →CD = →AD；定义减法运算：→AB - →CD = →AB + (-→CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与实数的乘法。
对于向量→AB和实数k，定义数乘运算：k→AB = →kAB。
数乘实际上是改变向量的模，同时改变了向量的方向。
三、向量的数量积与夹角1. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，用·表示。
对于向量→AB和→CD，数量积的定义为：→AB · →CD = |→AB| |→CD| cosθ，其中|→AB|表示向量→AB的模，θ表示两个向量的夹角。
2. 向量的夹角向量→AB和→CD的夹角可以通过向量的数量积来求得：cosθ = (→AB · →CD) / (|→AB| |→CD|)。
夹角的范围在0到π之间。
四、向量的坐标表示与平行四边形法则1. 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，向量→AB可以用坐标表示：→AB = (x₂ - x₁)→i + (y₂ - y₁)→j。
其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别是向量起点A和终点B的坐标。
2. 平行四边形法则平行四边形法则是指两个向量和的起点相同，终点相连后形成一个平行四边形。
根据平行四边形法则，两条边的和等于对角线的向量。
高三向量知识点归纳总结
高三向量知识点归纳总结向量是高中数学中一个重要的概念，涉及到多个知识点和应用。
下面对高三向量的相关知识进行归纳总结，以便复习和巩固。
一、向量的定义和表示1. 向量的定义：向量是有大小有方向的量，可以用有向线段来表示。
2. 向量的表示：用字母加上一个箭头来表示向量，如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、向量的基本性质1. 相等向量：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等向量。
2. 零向量：大小为0的向量，记作0→，任何向量与零向量相加得到它本身。
3. 负向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量，记作-AB→。
4. 平行向量：线段AB和CD上的向量大小相等，方向相同或相反，则这两个向量是平行的。
5. 共线向量：两个或多个向量的方向相同或相反，则它们是共线的，可以表示同一条直线上。
三、向量的运算1. 加法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连，连接的延长线上的向量就是它们的和向量。
2. 减法：向量的减法可以通过将减去的向量取负后与被减向量相加得到。
3. 数乘：向量的数量乘法是指将向量的大小与一个实数相乘，同时改变向量的方向（如果实数为负）。
4. 数乘性质：数乘具有分配律、结合律、交换律等性质。
四、向量的模和单位向量1. 向量的模：向量的模是一个非负实数，表示向量的大小。
2. 模的计算：设向量AB→的坐标表示为(a, b)，则|AB→|=√(a^2+b^2)。
3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以其模得到。
4. 方向余弦：向量AB→在x轴、y轴和z轴上的投影与向量AB→的模的比值称为方向余弦。
五、向量的数量积（点乘）1. 定义：向量的数量积是将两个向量的模相乘，并乘以它们的夹角的余弦值。
2. 计算：设向量A→和B→的坐标分别为(a, b)和(c, d)，则A→·B→=ac+bd。
3. 性质：数量积具有交换律、分配律、结合律等性质。
4. 应用：数量积可以用于计算向量的夹角、判断向量的正交性、求解平行四边形的面积等。
向量知识点总结高中高三
向量知识点总结高中高三一、向量的概念和性质向量是指既有大小又有方向的量，通常用箭头表示。
记作→AB或AB。
向量的大小称为模，用|→AB|表示。
向量的方向可以用角度、方向角或单位向量表示。
二、向量的表示方法1. 自由向量表示：以起点为原点，终点为坐标，用坐标向量<AB>表示。
2. 定位向量表示：以某个点为原点，另一点为坐标，用坐标<AB>表示。
三、向量的基本运算1. 向量的加减法向量的加法满足交换律和结合律，即A＋B＝B＋A，(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)。
向量的减法可以转化为加法，即A－B = A + (-B)。
2. 数乘将一个向量与一个实数相乘，得到的新向量与原向量的方向一致（同方向或反方向），大小为原向量的模与实数的乘积。
3. 数量积（点积）定义：两个向量的数量积等于它们模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和分配律，即A·B=B·A，A·(B+C)=A·B+A·C。
定理：若A·B=0，则向量A与向量B垂直。
4. 向量积（叉积）定义：两个向量的向量积等于以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积。
性质：向量积满足反交换律和分配律，即A×B=-(B×A)，A×(B+C)=A×B+A×C。
定理：向量A与向量B的向量积等于向量A、B、O组成的三角形的有向面积的二倍。
四、向量的线性相关与线性无关若存在不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得k1A1+k2A2+…+knAn=0，那么向量组A1、A2、…、An线性相关；否则，它们线性无关。
五、向量的夹角和投影1. 夹角定义对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ满足0≤θ≤π。
夹角θ的余弦称为方向余弦。
2. 向量的投影若A和B是两个非零向量，A在B上的投影为|(A·B)/|B||∥B∥。
六、平面向量的应用1. 平面向量的平移平面上的向量可以进行平移操作，即将向量A的起点与向量B的终点重合，得到一个新向量C，记作C=A+B。
高中向量所有知识点
高中向量所有知识点向量是高中数学中的重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
下面我们来详细梳理一下高中向量的所有知识点。
一、向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
2、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作|a|。
3、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 。
零向量的方向是任意的。
4、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
5、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定：零向量与任意向量平行。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
二、向量的运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量 a ， b ，在平面内任取一点 A ，作＝ a ，＝ b ，则向量叫做 a 与 b 的和，记作 a ＋ b ，即＝ a ＋ b 。
（2）平行四边形法则：已知两个不共线的非零向量 a ， b ，作＝a ，＝b ，以，为邻边作平行四边形 ABCD ，则对角线上的向量＝ a ＋ b 。
（3）向量加法的运算律：交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a ；结合律（ a ＋b ）＋c ＝ a ＋（ b ＋ c ）。
2、向量的减法（1）定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即 a b ＝ a ＋（ b ）。
（2）三角形法则：已知非零向量 a ， b ，在平面内任取一点 O ，作＝ a ，＝ b ，则向量叫做 a 与 b 的差，记作 a b ，即＝ a b 。
3、数乘向量（1）定义：实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：①｜λa| ＝｜λ|｜a| ；②当λ ＞ 0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当λ ＝ 0 时，λa ＝ 0 。
（2）运算律：设λ ，μ 是实数，则：① λ(μa) ＝（λμ)a ；②（λ ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ( a ＋ b ）＝λa ＋λb 。
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2015高三数学知识点汇总六、向量一、基本概念：（1）向量的定义： 叫做向量，可用字母表示，如： ；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如： ；（2）向量的两个要素： 、 ；其中向量的大小又称为 ；记为： ；（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。
向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。
（4）特殊形式的向量：①零向量： ；记为： ；方向为 ；规定：零向量与任一向量 ；②单位向量： ； ③自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本书研究的都是自由向量)．④平行向量： 叫做平行向量(也称为共线向量)；向量a 与向量b 平行，记作： ；⑤相等向量： 叫做相等向量；向量a 与向量b 相等，记作： ；注：①零向量与零向量相等；向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积 向量的数量积 定比分点公式 平 移物理学中的运用几何中的运用 两向量平行的充要条件 两向量垂直的充要条件②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。
③两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。
⑥相反向量： 叫做相反向量，向量a 与向量b 相反，记作： ； 二、向量的表示法（1）几何表示法：用有向线段表示，如：AB ； （2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：a ；注意：解题时，向量中的箭头不可省。
（3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取 的两个单位自量j i ,作基底，则对任一向量a 有且只有一对实数y x ,，使j y i x a +=，就把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标，记作 ；注意：①x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
②)0,1(=i ；)1,0(=j ；)0,0(0=；三、向量的运算： （1）向量的加法：①向量法：三角形法则，平行四边形法则②坐标法：若),(),,(2211y x b y x a ==，则),(2121y y x x b a ++=+； ③重要结论：Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为0；Ⅱ当两向量平行时，平行四边形法不适用，可用三角形法则。
（2）向量的减法①向量法：三角形法则、平行四边形法abb a +abb a +②坐标法：若),(),,(2211y x b y x a ==，则),(2121y y x x b a --=-； ③重要结论：a a =--)(；0)(=-+a a ；)(b a b a -+=-； ④从几何图形的角度理解：||||||||||||b a b a b a +≤+≤-||||||||||||b a b a b a +≤-≤-取左边不等号中等号的条件取右边不等号中等号的条件取左边不等号中小于号的条件取右边不等号中小于号的条件||||||||||||b a b a b a +≤+≤- 0≤ab 0≥ab 0>ab 0<ab ||||||||||||b a b a b a +≤-≤-0≥ab0≤ab0<ab0>ab||||||||||||b a b a b a +≤+≤-b a ,异向或其中至少有一个零向量 b a ,同向或其中至少有一个零向量b a ,不能异向b a ,不能同向||||||||||||b a b a b a +≤-≤-b a ,同向或其中至少有一个零向量 b a ,异向或其中至少有一个零向量b a ,不能同向b a ,不能异向注意：若将||||||||b a b a +≤-变为||||||b a b a +≤-要比较b a ,绝对值的大小，且0≠a ；若将||||||||b a b a +≤-变为||||||b a b a +≤-要比较b a ,的模的大小，且0≠a ；（3）实数与向量的积(数乘)①定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：Ⅰ、||||||a a λλ=Ⅱ、当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同，当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相abb a -abb a -反。
②坐标法：若),(y x a =，则),(y x a λλλ=； ③运算律：设μλ,为实数，b a ,为向量：结合律：a a )()(λμμλ=；第一分配律：a a a μλμλ+=+)(；第二分配律：b a b a λλλ+=+)(；（4）平面向量的数量积①数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量θcos ||||b a 叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作：b a ⋅；注意：Ⅰ、夹角的范围：oo1800≤≤θ；其中当o0=θ时||||b a b a =⋅；当o180=θ 时||||b a b a -=⋅；当o90=θ时0=⋅b a ； 当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0； 零向量与任何向量的数量积等于0。
Ⅱ、投影：θcos ||b 叫做向量b 在a 方向上的投影。
②坐标法运算：若),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y y x x b a +=⋅； ③运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅；结合律：)()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ；分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(； 注意：)()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅④重要性质：Ⅰ、设b a ,都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，),(),,(2211y x b y x a ==则：θcos ||a e a a e =⋅=⋅；Ⅱ、0=⋅⇔⊥b a b a ；Ⅲ、当a 与b 同向时，||||b a b a =⋅；当a 与b 反向时，||||b a b a -=⋅；特别是：2||a a a =⋅，或2121||y x a a a +=⋅=Ⅳ、向量的夹角公式：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +++=⋅=θ；Ⅴ、||||b a b a ≤⋅四、定理与公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量a ，只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=；我们把不共线的向量1e 和2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（2）两个向量平行的充要条件：设),(),,(2211y x b y x a ==，λ为实数①向量式：b a b b a λ=⇔≠)0(//；②坐标式：0)0(//1221=-⇔≠y x y x b b a ； （3）两个向量垂直的充要条件：设),(),,(2211y x b y x a ==①向量式：0=⋅⇔⊥b a b a ；②坐标式：02121=+⇔⊥y y x x b a ； （4）两点间距离公式：设),(),,(222111y x P y x P ==，则22122121)()(||y y x x P P -+-=；如：求函数84122+-++=x x x y 的最小值。
（5）线段的定比分点公式：设a OP =1，b OP =2，21PP P P λ=，),(),,(),,(222111y x P y x P y x P ==①向量式：λλ++=1ba OP ； 当1=λ时，中点对应向量公式2ba OP +=； ②坐标式：中点对应向量公式⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ；当1=λ时，中点坐标公式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ； xOP 1PP 2yab如：已知直线7:-=mx y l 及两点)4,1(),2,3(B A 当l 与线段AB 相交时求m 的取值范围。
（还可以从斜率的角度，通过数形结合解题） 注意：①要分清内分点和外分点当分点P 在线段21P P 上时，点P 叫21P P 的内分点，这时λ值为0>λ； 当分点P 在线段21P P 或12P P 的延长线时，点P 叫外分点，λ值为0<λ； 点P 在21P P 延长线上时，这时λ值为1-<λ； 点P 在12P P 延长线上时，这时λ值为01<<-λ； ②21PP P P λ=不能写成21PP P P =λ（没有定义两向量的除法），有时可写成21PP PP =λ； ③三角形重心公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x 其中),(11y x 、),(22y x 、),(33y x 为三角形三顶点的坐标。
（6）平移公式：平移：设F 是坐标平面上的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同长度，得到图形'F ，这个过程就是图形的平移。
平移公式：),(y x P 是图形F 的任意一点，按照),(k h a =平移后图形'F 上的对应点为)','('y x P ，则⎩⎨⎧+=+=k y y hx x ''；（注：a PP ='）注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步骤：①设平移后图形F 的任意一点)','('y x P ，②把平移公式变形为⎩⎨⎧-=-=k y y hx x ''，③代入原解析式中，得到了平移后的解析式。
（此法在函数平移变换和解几的求轨迹方程中得以充分的体现）五、运用向量证明平面几何问题：（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用两个基向量（不共向）来表示；这样在解题的一开始，设出两个不公线的向量，其他所有涉及的向量用这两个基向量来表示；（2）从要证明的结论出发，充分挖掘向量将的几何关系：①垂直关系；②平行关系（常隐含于条件中，如：有三个以上的点共线）；③角的关系：用向量夹角公式。
六、向量中常见问题的处理：（1）0=⋅⇒⊥b a b a ；090=⋅⇒=∠BC AB ABC o；（2）b a b a λ=⇒//；CD AB CD AB λ=⇒//； （3）P 在线段AB 上或P B A ,,三点共线PB AP λ=⇒； （4）222222||||b n b a mn a m b n a m b n a m +⋅+=+⇒+； （5）0)()(0||||2222=+⋅-⇒=-⇒=⇒=b a b a b a b a b ab a +⇒与b a -垂直；（思考：其几何含义） （6）022||||2222=⋅⇔+⋅-=+⋅+⇔-=+b a b b a a b b a a b a b a ；（思考：其几何含义）（7）理解00=⋅a ；00=⋅a ；00=⋅k ；。