2_2不定期和无期确定性过程

(2.2.11)
0, k 1 f 0 (k ) , k 2,3,...,n.
(2.2.12)
答案：fn(k),i=1,2,…,n.
例2.2.4
应用式(2.2.11)，(2.2.12)计算图14的网络。
2
2
1 5 3 4 6
3 4 1
解：
图14
f 0 (1) 0, f 0 (2) , f 0 (3) , f 0 (4) ; f1 (1) min[0 0, , , ] 0, f1 (2) min[0 2, 4, ] 2, f1 (3) min[0 5, 6, 6, f1 (4) min[0 , 3, 1] , p1 (1) 1; p1 (2) 1; p1 (3) 1; p1 (4) 1,2, 或3;
迭代1：结点3的临时标值最小，其标值变为永久的。
(1) 0, (3) 1; (2) : min[ (2), (3) d (4) : min[ (4), (3) d (5) : min[ (5), (3) d (6) : min[ (6), (3) d
路)i个距结点1最近的结点组成的集合，其中N1(1)={1}(如果有几个
结点到结点1距离相同而使这个集合定义不明确，则Ni(1)是这样i个 结点的集合，它使得不在Ni(1)中的结点不能比Ni(1)中的某个结点更
接近于结点1)。定义最优值函数
f i ( j ) =在结点j前面的全部结点Ni(1)的线路中，从结点1到结点j
点)i则可以在点集内变化。 如果始点i和终点j都是变动的，令f(i,j)表示从始点i采用最优策
略到达终点j时相应的指标之值，则可以得函数方程：
f (i, j ) min{ f (i, s) f ( s, j )}. (2.2.7)
1 j n
已知一个从1到n已任意编号的n个结点的网络，问题是求从结点1到 结点n的最短线路。当然，利用动态规划方法实际求出的是从结点1到 所有其他结点的最短线路。
定义最优值函数 fi(k)=必须用i条或更少的弧时从结点1到结点k的最短线路长度。 i=1,2,..,n. DP公式： 递推关系
f i (k ) min[ f j 1 ( j ) d jk ] i 1,2,..., n.
j k
(2.2.10)
k 1,2,..., n.
除k=1外，j=k包含在右边的极小化中。 边界条件：
第二章
不定期和无期确定性过程
在不定期多阶段决策过程中，阶段数是不定的，但是 是有限的，无期过程的阶段数则是无限的。 本章主要内容：
无回路网络的最短线路 指定的一对结点间的最短线路 任意一对结点间的最短线路 流动售货员问题 无期确定性问题
§1 无回路网络的最短线路
设一个网络有n个结点（从1到n任意编号）和A条弧段，(i,j)表
u0 ( x0 ),u1 ( x1 ),...,un1 ( xn1 ) 的函数 uk ( xk ) ，确定第i阶段
的决策对状态的依赖关系，对于不同的阶段在相同的状态变量的值
uk ( x) ui ( x) ， 时，所取得的决策变量的值一可以不同，即 i j 时，
给出初始状态，必须给出序列 u0 ( x0 ),u1 ( x1 ),...,un1 ( xn1 ) ，过程由x0到xn 的演变才完全确定。 当策略函数 u ( x)确定时，对于给定的初态，由初态到结点n的线 路就完全确定。所以本节的问题归结为求最优策略 u ( x) 的问题。
kl
] 进到第1步。
为了确定形成最短线的弧段，可以构造一个表，在其中给出每一个永
例2.2.3
对图12中的网络应用迪克斯特拉方法计算从结点1到结点6的
5 1 2 4 3 7 2 图12 6 1 4 3 5 2
最短线路。
1
8
6
解：初始条件：
(1), (2) 5, (3) 1, (4) (5) (6) ,
式解出。下面介绍两种办法：
法一： 在无回路的网络中，可以找出使 (i, j ) A ,则i<j的结点编号法。
2
4 2 3 6 7 5 2
15316345
图 9
图9就是按上述原则编号的。 设有一个网络已按上述原则编了号，采用顺序解法求从结点1到结 点n的最短线路，实际上是解一个求从结点1到所有其它结点的最短线 路问题，定义最优值函数：
2
70 40
14
50
80
1
5
3
25
20
8
10
10
60
80 10
7
80
50
20
12
65
20
13
4
11
图10 例2.2.2 1。作一个交通网表如表1，最上一行及最左一列填入各结点的号码，
再在相应弧的始点及终点号码交叉处填上1。
2。作分段表2：将交通网络表中的每一行中1相加填入分段表中A列。
表1
终 起 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5
因此，给定出发点，采用某一策略u(x)，则由结点i到结点n的线
路完全确定，与此线路相应的指标值V也就确定，即V为i和u(x)的函数 V[i,u(x)],最优线路问题归结为求最优策略u#(x),使
V [i, u # ( x)] minV [i, u ( x)].
u ( x)
设u(x)为某一策略，它把状态i转移为状态j,即u(i)=j,则函数 V[i,u(x)]显然满足关系：
1 3 3 1 2 1 1 1 2 1 0
3
1 3 3 1 2 1 1 1 1 0
3
1 3 3 1 2 1 1 0 0
3
1 2 3 1 1 0 0
3
1 2 2 0 0
3
1 1 0
1
1 0
1
0
0
13
12
10 11
8 9
6 7
5
4
3
2
1
于是按分配好的阶段作成阶段网络图。如图11所示，这是一个10个阶
段网络，按第一章的解法，得： 最优线路：1－2－3－4－7－11－12－13－14－；
交通网表
6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 1 1 1 1 1
6
7 8 9 1
1
1 1 1 1
10
11 12 13 14
1
1 1 1 1
表2
A 2 B 2 C 2 D 2 E 2
分段表
F 2 G 2 H 2 I 2 J 1 K 0
3
1 3 3 1 2 1 2 1 2 1 1 0 14
3
V [i, u # ( x)] dij V [ j, u( x)].
于是，与定期过程的DP方程相类似地可以证明，u＃(x)是最优策略 的充分必要条件是它满足方程：
V [i, u # ( x)] min{dij V [ j , u # ( x)]}. (2.2.4)
1 j n
边界条件：Ni(1)={1},k1=1,f1(j)=d1j. 答案：fi(ki),i=1,2,…,n.
(2.2.9)
二、到少有一个 d ji 0 的情形
dij 代表费用而某些弧是盈利时就可能出现这种情形，因为如果 负回路( d ji 之和为负的回路)存在，最短线路问题就有一个无界解，下
当
面介绍一种逐步有效地解上述问题的方法。
迭代3：结点2的临时标值最小，其标值变为永久的。
(1) 0, (3) 1, (5) 3, (2) 4; (4) : 6, (6) : 11.
迭代4：结点4的临时标值最小，其标值变为永久的。
(1) 1, (3) 1, (5) 3, (2) 4, (4) 6 (6) : 8.
的最短线路长度。 于是可以写出DP公式：
(2.2.8)
在i阶段(i=2,3,…,n)确定一个结点ki,使 ki Ni 1 (1), 且
f i 1 ( ki ) min f i 1 ( j ),
iN i 1 (1)
令
递推关系
N i (1) N i -1 (1) {ki },
j N i (1) f i 1 ( j ) fi ( j) min{f i 1 ( j ), f i 1 (ki ) d kij j N i (1).
(k ) (k ) ，
且 N (1) : N (1) {k}. 第2步：如果N(1)={1,2,…,n}，则停止，否则进行到第3步。 第3步：对于使 l N (1) 的每一段弧(k是第1步中确定的结点)
(l ) : min[ (l ), (k ) d
久标值的结点。
迭代5：
(1) 0, (3) 1, (5) 3, (2) 4, (4) 6, (6) 8.
从结点1到结点i的最短线路的长度在图13中用结点旁边的方框标出，
最短线路用粗线标出。
4 5 0 1 1 6 6 7 2 1
2
4 3
4
3 5
2 8 6
1
图13
3
现在对迪克斯特拉方法给出相应的DP公式，令Ni(1)是(按最短线
32 34
] min[5,1 ] 5; ] min[,1 7] 8 ] min[,1 2] 3, ] min[,1 ] .
35 36
相似的有：
迭代2：结点5的临时标值最小，其标值变为永久的。
(1) 0, (3) 1, (5) 3; (2) : 4, (4) : 6, (6) : 11.