2020届 甘肃省第一次高考诊断考试 数学(理)试题(解析版)

2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学（理）试题一、单选题1．已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则A B =U （ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D【解析】分别解出集合,A B 、然后求并集.【详解】 解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5BC ．13D 【答案】C【解析】先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+，23z i =-222313z z ⋅=+=，故选：C【点睛】考查复数的运算，是基础题.3．已知平面向量a r ，b r 满足()1,2a =-r ，()3,b t =-r ，且()a a b ⊥+r r r ，则b =r （）A ．3BC ．D ．5【答案】B【解析】先求出a b +r r ，再利用()0a a b ⋅+=r rr 求出t ，再求b r .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+r r由()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r ()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-r ，10=r b 故选：B 【点睛】 考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 4．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．2C ．2D ．22- 【答案】A【解析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ()22222p =⨯，2p =，()1,0F ，22MF k =，故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.5．函数()2cos 2ln x f x x x=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】显然()2cos 2ln x f x x x =+是偶函数，排除B C ，()1cos20f =<即可判断. 【详解】解：()2cos 2ln x f x x x =+是偶函数，排除B C ， 又()1cos20f =<，排除D ，故选：A.【点睛】考查函数的基本性质，是基础题.6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A 5B 5C 2D ．2【答案】B【解析】求出圆心，代入渐近线方程，找到a b 、的关系，即可求解.【详解】解：()1,2E -，()2222:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线b y x a =- ()21b a=-⨯-，2a b = ()222222+b ,2,5c a c a a e ==+=故选：B【点睛】利用a b 、的关系求双曲线的离心率，是基础题.7．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为$$0.042y x a=+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C 【解析】根据图形，计算出,x y ，然后解不等式即可.【详解】 解：1(12345)35x =⨯++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++= 点()3,0.1在直线ˆˆ0.042yx a =+上 ˆ0.10.0423a=⨯+，ˆ0.026a =- ˆ0.0420.026yx =- 令ˆ0.0420.0260.5yx =-> 13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.8．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α，因为m α⊄，所以//m α，故②对③：//n β或n β⊂，故③错④：如图因为αβ⊥，l αβ=I ，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，则直线a β⊥，a l ⊥又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b又m l ⊥，所以b l ⊥因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂所以////b a m ，所以m β⊥，故④对.故选：C【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.9．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->- ()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >>故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.10．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解：()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.11．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ．56 【答案】A【解析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n = 88433188r r rr rr T C x x C x ---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C故选：A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.12．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】由()2x f x e mx =-是偶函数，则只需()2x f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然()2x f x e mx =-是偶函数所以只需()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可 令20x e mx -=，则2x e m x = 令()2x e g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥= ()0,x ∈+∞时，()22x xf e x e mx mx ==--有且只有2个零点，只需24e m > 故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.二、填空题13．实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________.【答案】10【解析】画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由2z x y =-得1122y x z =-，平移直线1122y x z =-， 当1122y x z =-经过点B 时，截距最小，z 最大 解得()6,2B -2z x y =-的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.【答案】1344【解析】分四种情况讨论即可【详解】解：数学排在第一节时有：141444384C A C ⨯⨯=数学排在第二节时有：141344288C A C ⨯⨯=数学排在第三节时有：141344288C A C ⨯⨯=数学排在第四节时有：141444384C A C ⨯⨯=所以共有1344种故答案为：1344【点睛】考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos 20B B -=；且1b =，则ABC V 周长的范围为__________.【答案】(]2,3【解析】先求B 角，再用余弦定理找到边a c 、的关系，再用基本不等式求a c +的范围即可.【详解】解：cos 3sin 20B B +-=2sin 2,sin 1,663B B B πππ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222cos 3=+-b a c ac π22212cos3a c ac π=+-()221332a c a c ac +⎛⎫+-=≤⋅ ⎪⎝⎭12a c <+≤所以三角形周长(2,3]a c b ++∈故答案为：(]2,3【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.三、双空题16．1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales ）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________cm （排球的直径约为21cm ）【答案】20 (2116+【解析】（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个（2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63cm 的正四面体，易求该四面体的高，然后加上21即可. 【详解】解：（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个（2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图：取34O O 的中点E ，234O O O V 的重心F ，连接1O F ,则1O F ⊥平面234O O O26332O E =，2633221323O F ==()22163213216O F =-=所以最上面球的球顶距离地面的高度约为)216+1cm .故答案为：20；)216+1【点睛】考查把实际问题转化为数学问题的能力、空间想象能力以及运算求解能力；较难题.四、解答题17．数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项.（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2n a n +的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，21n n a =-（2）1222n n S n +=+-【解析】（1）根据等差中项的定义得112n n a a +-=，然后构造新等比数列{}1n a +，写出{}1n a +的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列. 即有()111122n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-.（2）由（1）知，数列{}2n a n +的通项为：2221nn a n n +=+-，()()123222213521n n S n ∴=+++++++++-L L()2122122212n n n n +-=+=+--故1222n n S n +=+-.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.18．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点.（1）面出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）13. 【解析】（1）1A C 与平面1BDC 垂直，过点E 作与平面1BDC 平行的平面即可 （2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值 【详解】解：（1）截面如下图所示：其中F ，G ，H ，I ，J 分别为边11C D ，1DD ，AD ，AB ，1BB 的中点，则1A C 垂直于平面EFGHIJ .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()10,0,2D ，()1,0,0H ，()2,1,0I ，()0,0,1G ，所以()12,2,2BD =--u u u u r，()1,1,0HI =u u u r ，()1,0,1HG =-u u u r.设平面EFGHIJ 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则0x y x z +=⎧⎨-+=⎩.不妨取()1,1,1n =-r，则11cos ,3233BD n ==⨯u u u u r r ，所以1BD 与该平面所成角的正弦值为13. （若将1AC u u u r 作为该平面法向量，需证明1A C 与该平面垂直） 【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l 小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为14，16，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时. （1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望()E ξ；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额. 【答案】（1）见解析，40元（2）6000元【解析】（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可 （2）根据（1）结果求均值. 【详解】解：（1）由题设知ξ可能取值为0，20，40，60，80，则()11104624P ξ==⨯=；()121112043624P ξ==⨯+⨯=；()11121154046236412P ξ==⨯+⨯+⨯=；()111216026434P ξ==⨯+⨯=；()111804624P ξ==⨯=.故ξ的分布列为：所以数学期望()115110204060804024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） （2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：14030060002⨯⨯=（元）【点睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.20．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点)F，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值. 【答案】（1）22186x y +=（2）最大值【解析】（1）根据通径22b a=和c =（2）设直线MN 方程为2x my =+，联立椭圆，利用OAM OAN OMAN S S S =+V V 四边形，用含m 的式子表示出OAM OAN OMAN S S S =+V V 四边形，用t =换元，可得OMAN S t t==+四边形，最后用均值不等式求解.【详解】解：（1）依题意有c =a =b =，所以椭圆的方程为22186x y +=.（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立221862x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()223412120my my ++-=.所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+.所以12121122OAM OAN OMAN S S S y y =+=⨯+⨯=-V V 四边形===.令t =，则t ≥所以222OMAN S t t t==++四边形，因t ≥则2t t+≥所以OMAN S ≤四边形当且仅当t =，即0m =时取得等号，即四边形OMAN 面积的最大值【点睛】考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.21．已知函数()()()11ln 2f x ax a x a x=-+-+∈R . （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：()12xf x e x x<--. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）根据()f x 的导函数进行分类讨论()f x 单调性 （2）欲证()12xf x e x x<--，只需证ln 2x x e +<，构造函数()ln 2xg x x e =-+，证明()max 0g x <，这时需研究()g x 的单调性，求其最大值即可 【详解】解：（1）()()11ln 2f x ax a x x=-+-+的定义域为()0,∞+， ()()()()2222111111ax a x ax x a f x a x x x x-++--+'=-+==， ① 当0a ≤时，由()0f x '<得1x >，由()0f x '>，得1x <， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减； ②当01a <<时，由()0f x '<得11x a <<，由()0f x '>，得1x <，或1x a>， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； ③当1a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；④当1a >时，由()0f x '<，得11x a<<，由()0f x '>，得1x a <，或1x >，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞单调递增. （2）当2a =-时，欲证()12xf x e x x<--，只需证ln 2x x e +<， 令()ln 2x g x x e =-+，()0,x ∈+∞，则()1xg x e x'=-，因存在()00,1x ∈，使得001x e x =成立，即有00ln x x =-，使得()00g x '=成立. 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化如下：所以()()00000max 0011ln e 222xg x g x x x x x x ⎛⎫==-+=--+=-++ ⎪⎝⎭. 因为()00,1x ∈，所以0012xx +>，所以()max 220g x <-+=.即()()max ln 20xg x x e g x =-+≤<， 所以当2a =-时，()12xf x e x x<--成立. 【点睛】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin xy αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程. 【答案】（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +-=.（2）y =.【解析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C 的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】 解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ= 因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-= 得2C的直角坐标方程(222:3C x y +=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =. 【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.23．已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}x m x n <<. （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（1）1m =-，4n =.（2）见解析【解析】（1）分三种情况讨论即可（2）将m ，n 的值代入，然后利用均值定理即可. 【详解】解：（1）不等式()()15f x f x +-<可化为125x x -+-<.即有1325x x ≤⎧⎨-<⎩或12x <<或2235x x ≥⎧⎨-<⎩.解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<.所以不等式的解集为{}14x x -<<，故1m =-，4n =. （2）由（1）知，0nx y m ++=，即41x y +=， 由0x >，0y >得，()1111445549x yx y x y x y y x⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即16x =，13y =时等号成立.故119x y +≥，即9x y xy +≥. 【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.。