第十讲 微分方程模型
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程模型
1 ( dy dx 2 (1 x ) )
2
(1 x )
d y dx
2
2
d为：
1 (
代入得：
d y dx
2
2
另有初始条件：y (0) 0， y '(0) 0
模型求解
求解过程见“鱼雷追击”文件； 其中%表示运用上次记算的结果，此处表 示求得的y=y[x]鱼雷运动轨迹方程； /.{x→1}表示用1代替/.前边式子中的x； 求解结果表明，敌舰在行驶2/3mile后被击 中，即一分钟后被击中；
dt i (0 ) i 0
模型求解
1 i0 i (t ) 1 t i0 ( )t e
1 1
定义变量：
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 从而使病人比例减小;
研发特效药是有效提高日治愈率μ;使使σ 减小,从而使病人比例减小;
SIS模型函数关系
s (t ) i (t ) 1 每天新增病人数为： N i (t ) s (t ) 每天被治愈的病人数为： N i ( t ) 病人变化量为： d i
N dt
N i (t ) s (t ) N i (t )
所以有：d i i ( t )[1 i ( t )] i ( t )
Mathematica求极限
Limit[f[x],x－>x0,Direction－>±1] 功能：求函数f[x]在x0处的左,右极限.
例求
微分方程模型的建立
微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。
它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。
建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。
在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。
通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。
比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。
我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。
假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。
根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。
加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。
所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。
根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。
假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。
将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。
通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。
这可以帮助我们预测和理解质点的运动。
除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。
比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。
这些问题可以通过微分方程模型来描述。
考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。
我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。
根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。
通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。
微分方程模型(全)
例5 作战模型
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
例4 黄灯时间
对于这个刹车距离问题，显然与“速度” 有关，速度要从 v0 变到 0，从而用到导数.
涉及的量为： “距离”（米），“时间”（秒）， “速度”， “加速度”，摩擦力等；
有（待定）函数关系的两个量定为： 距离 x， 时间 t；
涉及的原则或物理定律： 力学定律 F=ma.
例4 黄灯时间
设汽车重量为 W，摩擦系数为 f. 根据定义， 对汽车的制动力为 fW，其方向与汽车行进方 向相反（见图4-2）.
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 4
200(个细菌).
#
例3 溶液浓度
例3 溶液浓度
所以确定浓度的“变化率”与“酸性浓度”， “清水的量”的关系是解决问题的关键。
涉及的量为： “清水的总量”，“酸性浓度”（用纯量单位 :1）. “酸性浓度变化率”，体积（常数），其中 都使用题目中的纯量单位; 有（待定）函数关系的两个量定为： 酸性浓度 S，清水的总量 x； 涉及的原则或物理定律： 导数＝变化率，溶液保持均匀，体积 V 不变.
《微分方程模型》课件
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
微分方程模型
微分方程模型一、 一阶常微分方程模型在很多实际问题的研究中，经常要涉及各变量的变化率问题。
这些问题的解决通常要建立相应的微分方程模型。
微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理，力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学，人口预测等社会科学方面的应用则是在类比，假设等措施下建立起来。
（一）人口模型人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可微性。
但由于短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。
基于此原因，为了成功应用数学工具，我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。
此假设条件在非自然科学的问题中常常用到。
1、指数增长模型（Malthus 人口模型）美国人口学家Malthus(1766-1834)于1798年根据百余年人口统计资料提出了著名的人口指数增长模型。
模型假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成比。
模型建立：设)(t N 为t 时刻的人口述，考察时间区间t t ∆+上的人口变动。
t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(令0→∆t 可以得到微分方程模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)(0,N r N r rN dt dN 可以解得此方程的解为)(00)(t t r e N t N -=模型分析和应用：(1)当0>r 时，人口将随着时间的增加无限的增长，这是一个不合理的模型，因为一个环境的资源不可能容纳无限增长的人口，从生态环境的角度分析也可以看出其中的不合理性。
一般说来，就一个种群的发展规律看，在种群的发展初期种群数的变化是和指数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。
再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。
(2)对于其中常数增长率r 的估计可以使用拟合或者参数估计的方法得到。
(3)在实际情况下，可以使用离散的近似表达式t r N t N )1()(0+=作为人口的预测表达式。
微分方程模型
图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。
在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：
其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
2gy
（2）弧微分公式： ds 1 (y/ )2 dx
（3）下降的时间： dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型：
2、追线问题
我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt
p(0) 1
解
p(t)
N
为
1 (N 1)erNt
当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？ 还有当？时变化率最大？
如果考虑广告的效应呢？
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量 时应把示范效应和广告效应一起考虑。而 广告只对没采用该技术的企业起作用。假 设其引起的增量与（N-p）成正比
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。
微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。
1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。
它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。
2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。
初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。
这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。
3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。
这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。
这些关系可以通过微分方程进行描述。
4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。
这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。
这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。
微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。
例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。
微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。
解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。
近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。
总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。
它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
微分方程模型详解
范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保 持常数，它应当与人口数量有关。
阻滞增长（Logistic）模型
人口净增长率应与人口数量有关，即反应 了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)
从而有：
其中，
故
注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K 看成常数），N表示当前的种群数量，K-N为环境还能 供养的种群数量，则(K-N )/K为还能供养比例。
做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口
总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常
数，
, 为出生率， 为死亡率。
设时刻 的人口总数为 人口增长量为：
，时间从 到
马尔萨斯（Malthus）模型
等式两边同时除以 t ，有
再运用极限的思想，令
有
由初始条件ห้องสมุดไป่ตู้
，即为初始
时刻的人口数，故解方程得
马尔萨斯（Malthus）模型
典型微分方程 • Malthus人口方程： • 虎克定律
典型微分方程 • 牛顿万有引力方程
• 波动方程
• 热传导方程
典型微分方程
• 势方程或 Laplace 方程
人口增长模型
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。
微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。
本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。
2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。
初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。
3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。
对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。
4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。
对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。
微分方程模型的应用广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。
电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。
例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。
3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。
例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。
4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。
5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。
微分方程模型
微分方程模型
微分方程是数学里最为重要的概念之一，这一概念在现代时代中发挥了越来越
重要的作用。
它用来描述以微小变化为基础的变化，模拟出自然界各种现象。
在互联网领域，微分方程可用来模拟用户在网络上的流量消费，解决用户多终端同时连接问题，还可以预测网络使用情况，帮助网络运营商决策有关网络投资的事宜。
微分方程首先要确定一个模型，因此，基础的微积分学知识对构建微分方程模
型是必不可少的。
要实现精确的模型，有必要首先考察网络中各种变量，比如稳定性、带宽、负载、容量等，并使用微积分方式，可以推导出一定的微分方程。
在根据这些方程完成模型分析后，可以因果分析得出不同的变量之间的联系。
构建出的微分方程模型，更进一步可以用来数值模拟，利用方程组信息和网络
设置，模拟并计算出网络中某种信息的变化和分布情况，从而及早识别出性能问题，调整网络性能设置。
此外，由于微分方程在处理数据时保持原有数据平稳性，并能够有效减少错误发生率，因此在工业界和学术界得到了广泛的应用。
综上所述，微分方程模型在互联网应用领域正在发挥越来越重要的作用。
它的
建模性质和精确性，不仅能够为企业提供有效的决策参考，而且还可以帮助把握未来网络使用状况，提升大量用户的网络使用体验。
第十讲 微分方程模型
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3
6/19/2014
dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
1, 2
p p 2 4q 2
唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。 方程组（2）解的一般形式为
6/19/2014
方程组（2）解的一般形式为
1t 2t x ( t ) c11e c12 e y(t ) c e1t c e2t 21 22
p 2 4q p 2 4q
不稳定结点区 鞍点区
稳定结点区
p 2 4q
p
q0
奇点 (0,0) 的性态与 p , q 的关系
6/19/2014
简单非线性微分方程的奇点
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
(1)
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) X ( x, y) g ( x, y) g ( x0 , y0 ) g x ( x0 , y0 )(x x0 ) g y ( x0 , y0 )( y y0 ) Y ( x, y)
dx r1 f 1 ( x) g1 ( y ) xdt dy r2 f 2 ( x) g 2 ( y ) ydt
第十章 微分方程模型
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第十章 微分方程建模
4．利用微元法建立微分方程模型。 一般的，如果某一实际问题中所求 的变量 p 符合下列条件：p 是与一个变量 t 的变化区间[a, b]有关的量； p 对于区间[a, b]具有可加性；部分量 p i 的近似值可表示为 f ( i )t i 。 那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，
x0 e 3k 56 2k e 56 k 0.17 5 k 40 x e 40 0
将 k 0.17 代入得
x0 e 30.17 56 x0 56 e30.17 93.25>80
故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.
数学模型与数学建模方法
T Tout (T0 Tout ) e t , 这里 T0 是当 t 0 时尸体的温度 , 也就是所
求的死亡时间时尸体的温度 , 将题目提供的参数代入 :
21 (37 21)e t 29 ( t 1) 21 ( 37 21 ) e 27
设 x(t ) 为 时 刻 t 的 血 液 中 酒 精 的 浓 度 , 则 依 平 衡 原 理 时 间 间 隔
[t , t t ] 内, 酒精浓度的改变量 x x(t ) t , 即 x(t t ) x(t ) kx(t )t
其中 k >0 为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 两边 除以 t , 并令 t 0 , 则得到
第十章 微分方程建模
3．利用导数的定义建立微分方程模型。 导数是微积分中的一个重要概 念，其定义为
f ( x) lim
x 0
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x x) f ( x) y lim ， x x 0 x
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
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线性化，得
dx x ( a10 a11 x a12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
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3） 一般的种群模型
dN Nf ( N ) dt
4) 开发了的单种群模型
dN Nf ( N ) h dt dN Nf ( N ) h(t ) dt
具有常数收获率
具有时变收获率
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2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x(t ), y(t ) ，则
B
A
B
C
B
A
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下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两
种群间的影响都是线性的，建立其相互作用
的数学模型（Volterra模型） （1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互
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dx x ( a10 a11 x a12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
1) a10 (a20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
dN rN dt
N 表示 t 时刻的种群数量，r 称
为内禀增长率。
r (t t0 )
N (t ) N (t0 )e
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN N r (1 ) N K 表示该种群的最大容纳量。 dt K K N (t ) N ( t 0 ) r ( t t 0 ) 1 KN ( t0 ) e
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生物种群模型
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生物种群模型
简介 种群(Population)：是指在特定时间里占据
一定空间的同一物种的有机体集合。
种群生态学：
主要研究种群的时间动态及调节机理。
种群分为单种群和多种群。
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1 单种群的数学模型： 1)马尔萨斯(Malthus)模型
竞争。图示如下：
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C
dx1 （ A x ( a a x a x a x ) 1 10 11 1 12 2 13 3 dt dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 )
稳定性 稳定结点(node) stable 不稳定结点 unstable 鞍点(saddle) unstable 稳定退化结点 stable 不稳定退化结点 unstable 稳定焦点(focus) stable 不稳定焦点 unstable 中心(center) unstable
不稳定焦点区
q 稳定焦点区
B ）
aij 0, i, j 1,2,3
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（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1 dt x1 ( a10 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) （ B dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为：
相互竞争、相互依存、弱肉强食。
三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
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记三个种群分别为
1
2
3
并约定 2
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3
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dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
其中 a, b, c, d 是常数。
a 记系数矩阵 A c b d
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
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记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D( ) 2 p q 0 c d (3)
其中 p (a d ), q ad bc
a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为密度制约；
3) 4)
a12 0, a21 0 a12 0, a21 0
表示甲、乙种群相互竞争； 表示甲、乙种群相互依存；
5) a12 a21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
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3 三种群的一般模型
记为
P 0 ( x0 , y0 )
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例如
dx 2 2 x y dt dy 3 x 2 y dt
2 x y 2 0 3 x 2 y 0
8 4 平衡点 0,0 ，（ ， ） 9 3
稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 ( x(t ), y (t )) 从这个邻域内的某一初值 ( x(0), y(0))
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3
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dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
p 2 4q p 2 4q
不稳定结点区 鞍点区
稳定结点区
p 2 4q
p
q0
奇点 (0,0) 的性态与 p , q 的关系
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简单非线性微分方程的奇点
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
(1)
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) X ( x, y) g ( x, y) g ( x0 , y0 ) g x ( x0 , y0 )(x x0 ) g y ( x0 , y0 )( y y0 ) Y ( x, y)
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平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0
的点 ( x0 , y0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。
即 平衡点满足
f ( x0 , y 0 ) 0 g ( x0 , y 0 ) 0
A） B C
aij 0, i, j 1,2,3
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（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a32 x2 a33 x3 )
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1
2
2
5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。 C A C
A C ）
aij 0, i, j 1,2,3
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dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 )
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
l ( x(t ), y(t )) : x f ( x(t ), y(t )), y g ( x(t ), y(t )),t
假定组(1)的右端函数 f ( x, y), g ( x, y) 在平面区域G满足解 的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3
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dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 ( a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
1, 2
p p 2 4q 2
唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。 方程组（2）解的一般形式为