微分方程模型

则有如下模型
dp rp ( N p) r1 ( N p), r , r1 0 dt p(0) 0
解得
Nr1 (e ( r1＋rN )t 1) p(t ) rN r1e ( r1＋rN )t
哈罗德-多马经济增长模型 计Y，C，I，A分别为总收入，总消费， 引致投资和自发支出（自发消费与自发投 资之和），则由总供给等于总需求，得
dN / dt r r sN , s N Nm
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t )为 t 时刻采用该技术的企业数。并 设 p(t ) 连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。 假设t 0 时，有一项新技术被引进到共 有 N 个企业的行业中，其中有一个企业采用 该技术。用 p(t t ) p(t )表示 t 到 t t 时间内 采用该技术的企业数的增加量，假设该增 加量与已采用该技术的企业数 p(t ) 成正比， 与还未采用该技术的企业数 N p(t )成正比，
dN （2） 注意到 dt 0 ，并且从最终的人口方 N (t ) N m，以及 lim N (t ) N m， 程可以看到，
N 这说明人口随着时间的增加递增地趋于 。 m 2 d N Nm （3）dt 2 r (1 2 N / N m ) 0 表明当 N 2 时 人口的增长速度最快，从而可以得到人口 曲线上的一个拐点。
t
（4） 模型中所涉及到的两个参数 r , N m 的估 计可以通过
进行线性拟合。其中 dN / dt N / t 。而 模型的检验也可以通过这两个参数的估计 量与一个实际的人口数量之间进行比较加 以检验。 （5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经 济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
解 首先建立坐标系，兔子 y 在O处，狼在A处。由于狼 要盯着兔子追，所以狼行走 的是一条曲线，且在同一时 刻，曲线上狼的位置与兔子 的位置的连线为曲线上该点 h 处的切线。设狼的行走轨迹 是y=f(x)，则有
B -60 y=f(x)
C(x,y) x O A(100,0)
y x100 0
y x100 0
这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的 行走轨迹
1 200 f ( x) x 10 x 30 3
200 f (0) 60 因 ，所以狼追不上兔子。 3
3 2 1 2
某些类型的导弹对目标追击的数学模型与 此数学模型相识。
传染病模型
尽管现在卫生设施在不断改善，医疗水 平也在不断提高，但在世界的某些地区， 仍时有传染病流行的情况发生。长期以来， 建立传染病的数学模型来描述传染病的传 播过程，分析得病人数的变化规律等，一 直是人们重视的问题。用数学方法研究传 染病，不是从医学的角度具体分析每种传 染病的传播，而只是按照一般的传播机制 来建立模型。
模型建立：设 N (t )为 t 时刻的人口述，考察 时间区间 t t 上的人口变动。
N (t t ) N (t ) rN (t )t
令 t 0 可以得到微分方程模型
dN rN , r 0 dt N (t 0 ) N 0
可以解得此方程的解为
则有
p(t t ) p(t ) rp(t )(N p(t ))t
令t 0 ，得 于是得模型
dp rp ( N p ) dt
dp rp ( N p ) dt p ( 0) 1
பைடு நூலகம்
解得
p(t )
N 1 ( N 1)e rNt
dN N r (1 )N, dt Nm N (t 0 ) N 0
利用变量分离的方法得到该方程的解为
N (t )
Nm Nm r ( t t 0 ) 1 ( 1) e N0
模型分析和讨论： （1） 在微分方程表达式中， rN 体现人口自身 的增长趋势，因子 (1 N / N m ) 反映自然环境尚 能容纳的比例，人口的变化是这两个因素共同 作用的结果。可以发现 N 越大，两个因素的作 用是相反的，并且当N 越大，自然环境和资源 的阻滞作用越大。
（2） r ( N ) r sN ，其中 r 是人口的固有增长 率，而s 决定了所能容纳的最大人口量 N m 。 当 N N m 时，人口的增长速度将降为0，从而 可以得到 s r / N 。 m 这样可以得到 r ( N ) r (1 N / N m ) 。
模型建立： 相同的微元法研究可以得到下面的微分方 程
N (t ) N 0 e
r ( t t0 )
模型分析和应用： （1）当r > 0 时，人口将随着时间的增加无 限的增长，这是一个不合理的模型，因为一 个环境的资源不可能容纳无限增长的人口， 从生态环境的角度分析也可以看出其中的不 合理性。一般说来，就一个种群的发展规律 看，在种群的发展初期种群数的变化是和指 数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年
由方程可得
dx 1 1 dy y
y x( y) x0 y0 y ln y0
从而有
其中
0
此模型没有考虑到防疫，治疗，免疫 等机制，所以有很大的局限性，也为此模 型的进一步完善留有广阔的空间。 药物在体内的分布与排除
差分方程模型
差分方程
Leslie 模型
又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间 内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在 某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处， 则有
h y f ( x ) 0 x 100 2 2h 1 f ( x)dx x
整理得到下述模型
2 2 xf ( x) 1 f ( x) f (100) 0, f (100) 0
由此可见： A Y (1) 当 r 时，若 Y (t ) 有常数增 ( r ) ，则 长率 ; (2) Y (t ) 第一项是与 A 对应的与其有同样增 长率项； (3)当 r ， t 时， Y (t ) 。即自发支 出增长过快，挤掉了生产性投资，使总产 量锐减。所以自发支出不宜增长过快。
0 0
( 4) 当 r 时，
Y (t ) A0

(t

A0
Y0 )e t
当 t 时，Y (t ) ，造成生产萎缩。
高阶常微分方程和方程组模型
饿狼追兔问题 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正 西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并 一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑， 而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且 狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否 安全回到巢穴？
现将人分为两类，一是传染病患者， y(t ) 分别为 t 时 一是传染病易感者，设 x(t ) ， 刻传染病人数和易感者人数。假设易感者 因与传染者接触而得病，且传染病人数因 病死而减少。进一步假设单位时间传染病 人数的增量为xy ，减少人数为x ，则有如 下模型
dx , 0 dy xy x, dy xy dx y (0) y 0 x(0) x0 ,
（4） 从实际的人口检验情况看，指数增长 模型对于时间间隔比较短，并且背景情况 改变不大的情况适用。对于长时间的人口 数模型不合适。
阻滞增长模型（ Logistic 模型） 和指数增长模型相比较，阻滞增长模型 考虑到自然资源和环境条件等其他因素对人 口的增长的阻滞作用，而且随着人口的增加， 这种阻滞作用将越来越大。 模型假设： （1）人口的增长率r 是当前人口数的减函 ' 数 r r(N ) r( N ) 0 。
微分方程模型
一阶常微分方程模型 高阶常微分方程和方程组模型 差分方程模型 偏微分方程模型
一阶常微分方程模型
在很多实际问题的研究中，经常要涉 及各变量的变化率问题。这些问题的解决 通常要建立相应的微分方程模型。微分方 程模型在自然科学中的应用主要以物理， 力学等客观规律为基础建立起来，而在经 济学，人口预测等社会科学方面的应用则 是在类比，假设等措施下建立起来。
s
(1)
其中 ， s 1 c 0 当 A 为常数时，其解为
A A t Y (t ) (Y0 )e s s (2)
上式由两项组成，其第一项 是经济 学中乘数效应的结果（即边际消费 c 的作 用），而第二项是加速效应与c的共同作 A Y 与 c 的共同作用导致一个 用，当 s 时， 常数增长率出现。次现象在经济学上称为 加速发展原理，是增长经济学的重要内容， 但由于此时
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。 （2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。 （3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t ) N 0 (1 r ) t 作为人口的预测表 达式。
人口模型
人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可 微性。但由于短时间内改变的是少数个体， 与整体数量相比，这种变化是很微小的。 基于此原因，为了成功应用数学工具，我 们通常假定大规模种群的个体数量是时间 的连续可微函数。此假设条件在非自然科 学的问题中常常用到。
指数增长模型（Malthus 人口模型） 美国人口学家Malthus(1766-1834)于 1798年根据百余年人口统计资料提出了著 名的人口指数增长模型。 模型假设：在人口的自然增长过程中，单 位时间内人口增量与人口总数成正比。