微分方程模型——数学建模真题解析
数学建模第三章微分方程模型
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（2）
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51
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（3）
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52
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（4）
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53
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（5）
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54
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（6）
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55
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（7）
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39
3-6 疾病传播的机理分析模型（2）
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40
3-6 疾病传播的机理分析模型（3）
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41
3-6 疾病传播的机理分析模型（4）
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42
3-6 疾病传播的机理分析模型（5）
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43
3-6 疾病传播的机理分析模型（6）
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44
3-6 疾病传播的机理分析模型（7）
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45
3-6 疾病传播的机理分析模型（8）
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46
3-6 疾病传播的机理分析模型（9）
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47
3-6 疾病传播的机理分析模型（10）
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48
3-6 疾病传播的机理分析模型（11）
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49
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（1）
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50
69
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（1）
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70
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（2）
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71
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（3）
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微分方程模型(数学建模)
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
数学建模-微分方程模型-饮酒驾车问题
和 x0 ，将体重 70kg 的某人在快速喝下 2 瓶啤酒之后一段时间内他血液中酒精含量的
测量值进行处理后，得到附录 1 所示的 y0 0 时的一组数据，并采用非线性最小二乘法 拟合算法对系数进行求解，得出参数如下。 x0 5193
=2.00796
=0.1855
同时可以看到，每瓶啤酒含酒精量为 2596.5mg。 所以，得出的血液中酒精含量关于时间的函数如下。
0.1855 t e 2.00756t ) 2860.78604(e y (t ) 0.1855( t 6) 2860.8028e 2.00756(t 6) 3800.7595e
0t 6 6 t 12
利用 matlab 对以上模型进行求解。 图 3 大李血液中酒精含量随时间变化图像
y (t ) ( y0 +5721.57208)e 0.1855t 5721.57208e 2.00796t
拟合效果如图。 图 1 函数的拟合效果
图 2 残差分析图
残差分析图
600 500 400 300 200 100 0 10 11 12 13 14 15 0.5 1.5 2.5 3.5 0.25 ‐100 ‐200 ‐300 ‐400 残差 0.75 4.5 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时刻为 t 时胃肠道中的酒精含量。
y (t ) 时刻为 t 时血液中的酒精含量。
胃肠道中的酒精进入血液的转移率与胃肠道中酒精量的比值。 血液中的酒精的排除率与血液中酒精量的比值。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 根据题目叙述，大李的实际情况符合快速饮酒的模型。为了确定函数中的系数 ，
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
06第6章 微分方程建模习题解答
（6.3）
x t 0 0 ，
dx v0 ， dt t 0
（6.4）
于是，刹车距离就是直到速度 v 0 时汽车驶过的距离。 首先，求解二阶微分方程（6.3） ，对（6.3）式从 0 到 t 积分，再利用初始条件 （6.4） ，得到
dx gt v0 ， dt dx 在 v0 的条件下对（6.5）式从 0 到 t 积分，得 dt t 0 1 x gt 2 v0t . 2 dx 在式（6.5）式中令 0 ，得到刹车所用的时间 dt v t0 0 ， g
Q q(l , t )dt ， T l1 / u .
0
T
（6.7）
下面分 4 步计算 Q 。 i）求 t 0 瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过 x 处的数量 q( x,0) 。由假设 4 中关于 v u 的假定，可以认为香烟点燃处 x 0 静止不动。 为简单起见， 记 q( x,0) q( x) ， 考察 （ x, x x ） 一段香烟， 毒物通过 x 和 x x 处的流量分别是 q( x) 和 q( x x) ，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未 点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设 2、4 有
w( x, t t ) w( x, t ) b
令 t 0 并将（6.11） ， （6.12）式代入得
b ( x ut ) w abu w(ut , t )e v , v t w( x,0) w . 0
q( x, t ) t ， v
（6.14）
2 2
dx dx dy 由于 1 5v0 ，即 0 ，所以 dt dt dx
dt 1 dy 1 ， dx 5v0 dx
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
经典：微分方程模型——数学建模真题解析
h h
ds
16
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
1
2
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
3
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
吸收
中心室
19
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
数学建模例题解析
1.贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。
目前，银行的利率是0.6%/月。
他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。
(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。
但条件是：(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
解答：(1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。
利用式子(元)，即每个月还款1574.70元，共还款(元)，共计付利息177928.00元。
(2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为，利用公式：，所以，(元)(3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元)(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。
帮忙提前三年还清需要资金数：。
对于条件(ii)佣金数：分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。
所以建议请这家借贷公司帮助还款。
2.冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。
用此定律建立相应的微分方程模型。
建模数学试题及答案
建模数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是线性方程的标准形式？A. \( ax + by = c \)B. \( ax^2 + by^2 = c \)C. \( ax^3 + by^3 = c \)D. \( ax + by + cz = d \)答案：A2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的导数是什么？A. \( 2x \)B. \( x^2 \)C. \( x \)D. \( 1 \)答案：A3. 以下哪个是二阶微分方程？A. \( y' = 2x \)B. \( y'' = 2x \)C. \( y = 2x \)D. \( y' + y = 2x \)答案：B4. 积分 \( \int x^2 dx \) 的结果是？A. \( \frac{x^3}{3} + C \)B. \( x^3 + C \)C. \( 2x^2 + C \)D. \( 3x^2 + C \)答案：A5. 以下哪个是矩阵？A. \( [a] \)B. \( (a, b) \)C. \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)D. \( \{a, b\} \)答案：C6. 以下哪个是概率论中的随机变量？A. 一个固定的数字B. 一个确定的函数C. 一个可能取不同值的变量D. 一个常数答案：C7. 以下哪个是线性代数中的基本概念？A. 函数B. 微分C. 向量空间D. 积分答案：C8. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的不定积分是什么？A. \( -\cos(x) + C \)B. \( \cos(x) + C \)C. \( \sin(x) + C \)D. \( \tan(x) + C \)答案：B9. 以下哪个是微分方程？A. \( y = 2x \)B. \( y' = 2x \)C. \( y'' = 2x \)D. \( y''' = 2x \)答案：B10. 以下哪个是统计学中的基本概念？A. 函数B. 微分C. 样本D. 积分答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 线性方程 \( ax + by = c \) 的斜率是 _______。
第四篇微分方程建模习题答案
第十四章习题1．(1) 设t 时刻氨氮的浓度为()N t ，日降解系数为k ，则氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程如下：0(0)dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，其中0N 表示0时刻的氨氮浓度。
(2) 研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律：(0)0.41,(9.6451)0.06dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪==⎩ 解得0ln ln N N k t -=-，带入边界条件(0)0.41,(9.6451)0.06N N ==得1993.0=k 。
从而该河段氨氮浓度随时间的变化规律为0.1993dNN dt=- 注：由于平均水流速度s m /6.0，每天水流路程m 518402436006.0=⨯⨯，流经km 500需耗时9.6451天。
(3)如果氨氮降解系数的自然值是0.3，则你计算的降解系数值是高了还是低了？这说明了什么问题？从(2)中计算出的降解系数可以看出，其值0.1993比自然值0.3低了，说明在该河段(从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂)还有其它的排污点，这就为进一步的治理提供了理论上的依据。
2．设t 时刻该湖泊含染物A 为()W t ，则在时间间隔[,]t t dt +内，有：进污染物A 量： 001326m m V dt dt V ⨯⨯⨯= 出污染物A 量： ()()33W t V W t dt dt V ⨯⨯= 得含污染物A 量的微元为：0()()63m W t dW t dt dt =- 即 0()()36m dW t W t dt =-+ 外加初始条件0(0)5W m = 解该一阶线性初始问题得：10039()22t m m W t e -=+ 要使得该湖泊含污染物A 的量不超过0m ，则需10030922t m m e m -+≤解得，6ln3 6.5916t ≥≈(年)。
3．若每分钟通入3V m 的新鲜空气且排出的量相同，设t 时刻化工车间2CO 的含量为()%C t 则在时间间隔[,]t t dt +内进2CO 的量： 0.040.04V dt Vdt ⨯⨯= 出2CO 的量： ()()V C t dt VC t dt ⨯⨯= 得2CO 含量的方程为()0.04()1080010800(0)0.12dC t V V C t dtC ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩ 解该一阶线性初值问题得10800()0.040.08V tC t e-=+使得在10分钟之后使车间内2CO 的含量不超过0.06%，即10800.060.040.08V e-≥+从而，得2160ln21497.2V ≥≈(3m ) 即：每分钟应通入1497.23m 新鲜空气。
微分方程模型-常微分方程
（4） 从实际的人口检验情况看， 指数增长模型对于时间间隔比较 短，并且背景情况改变不大的情 况适用。对于长时间的人口数模 型不合适。
微分方程的定义：含有未知函数的导 数（或微分）的等式称为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程为常 微分方程，未知函数是多元函数的微 分方程为偏微分方程。
减肥的数学模型
净吸收量。 输出：就是进行工作、生活以及
体育锻炼的总耗量。
输入
输出
食物
人
a
新陈 代谢
b
工作 生活
运动
于是 每天净吸收量 a b
42000
每天净输出量
42000
由此得体重变t
42000
(0) 0
解出
ab
a b ( )0
dN rN , r 0 dt N (t0 ) N0
可以解得此方程的解为
N (t)
N er(tt0 ) 0
模型分析和应用：
（1）当r > 0 时，人口将随着时间 的增加无限的增长，这是一个不合 理的模型。
（2）对于其中常数增长率r 的估计 可以使用拟合或者参数估计的方法 得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散 的近似表达式 N (t) N 0 (1 r)t 作 为人口的预测表达式。
dy 3x dx y |x1 3
引例2 (人口问题)：两百多年前英国
人口学家（Malthus，1766-1834）
调查了英国人口统计资料，得出了
人口增长率 r 不变的假设，记时刻t
的人口为
N
(t
)，则人口增长速度
dN dt
与人口总量 N (t)成正比，
从而建立了Maltthus人口模型
)0，即净吸收等 0，则体重不变。
微分方程模型_数学建模真题解析95页文档
微分方程模型_数学建模真题解析
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，审容膝之易安。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
第九章微分程模型有解答
嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱。
让我们都能幸福着，在各自的路程快乐第五章 微分方程模型建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。
一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。
§5.1 根据规律建模在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。
我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。
下面以目标跟踪问题为例介绍。
设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线。
又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V 。
由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由xyt V y --=10'得 y y x t V +-='0)1(，又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即t V dx y x002'51=+⎰所以 dx y y y x x ⎰+=+-02''151)1(， 整理得 2'''151)1(y y x +=+， 并有y(0)=0,0)0('=y ，解得245)1(125)1(855654+-+--=x x y当x=1时，254=y 即当乙舰行到⎪⎭⎫⎝⎛254,1处被击中，00245V V y t ==。
§5.2 微元法建模微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。
与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。
以容器漏水问题为例。
数学建模微分方程模型
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1% 的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO2的百分比降低到多少?
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
三. 微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在
一个很短时间内的变化情况.
例 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间. 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t). 2 ．整个放水过程无能 量损失。 2米
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动力学： 牛顿第二定律 能量守恒定律 欧拉-拉格朗日方程 空气和水的阻力
例1：求单摆的运动：摆长L，摆锤质量m的单摆 的运动方程
(1)利用Newton定律 f=ma 得到
ml
d 2
dt 2
mg sin
即
d 2
dt 2
g l
sin
(2)利用能量方程建模。设=0的点为零势点
则
mg(l l cos ) 1 m(l )2
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就 会发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
Q k T d
对于两个固定热源，距离d是常数，则
h h ds
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
根据能量转换关系，水失去的势能转化为动能，
即
mgh 1 mv2
2
或
v 2gh
综合得到
dh B 2gh dt A
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f (x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
x1
x2
f1
xn
Df D( f1, f2, Dx D(x1, x2 ,
, 人体重量随时间的变化w(t)。条件 给出的是 热量单位时间的变化
2500-1200-16w(t) 转换成体重为
(2500-1200-16w(t))/10000 因此得到变化关系
dw 2500120016w
dt
10000
常微分方程建模的物理方法
热传导： 牛顿冷却定律(加热定律)：
例：将一只读数为25度的温度计放在室外，10分 钟后度数为30度，又过了10分钟，读数变为33度， 问室外温度是多少？
问题1：给出定解条件。 问题2：求出桶里的水流光所需时间。
练习：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圆锥)或球形 的，计算水深的变化规律。
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2
等式两边求导数则得到第一个方程。
例2：一只装满水的圆柱形桶，底半径3m，高6m。 底部有一个直径0.02米的孔。 (1)水多长时间可以流光？ (2)如果孔在侧面，而桶放在距地面3m 的高度。求 水流喷出距离的变化规律。 解：直接利用Newton第二定律建模比较困难，我 们利用能量的转换。在流水的过程中，桶的顶部减 少的势能化为水的动能。(如图)
常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程， 需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定 解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条 件个数之和。 定解问题分为初值问题和边值问题。 初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的 定解条件在不同点上。
导数的意义：瞬时变化率 在实际上我们遇到的描述变化的词有
f2 x2
f2
xn
fn fn x1 x2
fn xn
的如平所果衡有存点特在。征某值个的特实征部值都的小实于部大0，于则0x，0是则稳x0是定不的稳平定衡的点，
稳定的平衡点的实际意义： 如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
微分方程解决的主要问题： (1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程 (2)分析对象特征的变化规律 (3)预报对象特征的未来性态 (4)研究控制对象特征的手段
微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。 由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分， 而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要 附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称 为定解条件。
微分方程模型
常微分方程 的基本方法
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
Q k1T
在我们的问题中，室外温度可以看做常数T0，大 于室内温度，而热量正比于温差，从而变化规律为
dT k(T T 0) dt
模型的解为 T T0 Cekt
这用里剩有下三的个两参个数条， 件其可中以T确0=定2。5。还剩两个参数，利
问题：现有4000毫升温度为10度的化学溶液，将 一个体积40毫升温度为90度的玻璃球放在溶液中。 求溶液温度的变化规律。(平均温度)
速率(物理) 增长率(经济，生物，人口等) 衰变(原子反应) 边际的(经济)
瞬时变化率的描述： 绝对增加率：单位时间增加的量。 相对增加率：单位时间增加的百分比。 变化率= 增加率-减少率
由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间 隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法)
微分方程的建模方法： (1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分
例：对Logistic方程，
dx rx(1 x )
dt
N
它有两个平衡点 x=0和x=N。其中x=0是不稳定的 平衡点，x=N是稳定的平衡点。
例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基 本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消 耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热 量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析 这个人体重的变化。