数学建模,第三章 微分方程模型
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数学建模(补充)m
容易求得 T 物理学中常用半衰期 T 来描述放射性物质的衰减速度，
=
ln 2 。 λ
碳 14 年代测定（1949 年 W. Libby 发现） ：活体中的碳有一小部分是放射性同位 素 C 14 ，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列 交换过程进入活组织中， 直到在生物体中达到平衡浓度。 这意味着在活体中，C 14 的数量与稳定的 C 12 的数量成正比。生物体死亡后，交换过程停止了，放射性碳 便以每年八千分之一的速度减少。
dw ∆w 公斤/每天= 公斤/每天 ∆t → 0 ∆t dt
dw 1300 − 16w = dt 10000 dw 1 ⇒ = dt 1300 − 16 w 10000 1 t − ln |1300 − 16w |= +C 16 10000 ⇒
由 t = 0 时， w = w0
⇒C =−
1 ln |1300 − 16w0 | 16
e10 k − 1 5 ⇒ 10 k 10 k = ，设 u = e10 k e ( e − 1) 3
⇒
u −1 5 = u ( u − 1) 3
⇒ 3 ( u − 1) = 5u ( u − 1)
⇒ 5u 2 − 8u + 3 = 0 ⇒ ( u − 1)( 5u − 3) = 0
⇒ u = 1, u = 3 。 5
而 ds =
ds dt = v dt dt
B B ∴ dh = −( )vdt = −( ) 2 gh dt A A
A = π (10 ) ft 2
2 2
1
1 B = π ft 2 2
v = 2 gh = 2(32) h = 8h 2
1 −8 1 2 h 2 dh = 2 dt 10 1 −8 1 2 ∴ 2h 2 = 2 t + K 10
数学建模第三章解答
1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张.
2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
即友好邻国通过裁军可达到永久和平.(如:美,加)
模型的定性解释
模型
x(t) x ky g
y (t
)
• 提高阈值 1/ 降低 (=/)
SIR模型
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0
s0 i0 r0 1
群体免疫
模型4
预防传染病蔓延的手段
• 降低日接触率 • 提高日治愈率 • 提高移出比例r0
以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.
N[s(t t) s(t)] Ns(t)i(t)t
di dt ds dt
si si
i
i(0) i0 , s(0) s0
无法求出 i(t), s(t)
的解析解
用MATLAB 求数值解
模型4
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/
平衡点P0(x0,y0)
~
代数方程
的根
cx dy 0
记系数矩阵
A
a c
b
d
p (a d ) q det A
p>0且q>0 p<0或q<0
平衡点 P0稳定 平衡点 P0不稳定
军备竞赛
模型
x(t) x ky g
y (t )
lx
数学建模第三章微分方程模型
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（2）
精选ppt课件
51
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（3）
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52
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（4）
精选ppt课件
53
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（5）
精选ppt课件
54
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（6）
精选ppt课件
55
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（7）
精选ppt课件
39
3-6 疾病传播的机理分析模型（2）
精选ppt课件
40
3-6 疾病传播的机理分析模型（3）
精选ppt课件
41
3-6 疾病传播的机理分析模型（4）
精选ppt课件
42
3-6 疾病传播的机理分析模型（5）
精选ppt课件
43
3-6 疾病传播的机理分析模型（6）
精选ppt课件
44
3-6 疾病传播的机理分析模型（7）
精选ppt课件
45
3-6 疾病传播的机理分析模型（8）
精选ppt课件
46
3-6 疾病传播的机理分析模型（9）
精选ppt课件
47
3-6 疾病传播的机理分析模型（10）
精选ppt课件
48
3-6 疾病传播的机理分析模型（11）
精选ppt课件
49
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（1）
精选ppt课件
50
69
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（1）
精选ppt课件
70
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（2）
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71
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（3）
精选ppt课件
微分方程模型(数学建模)
利用模拟近似法建模
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
数学建模微分方程模型
忽略i0 s s0 i0 s ln 0 s0
1
ln s0 ln s s0 s
< >
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s 1 x 1 s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
<
>
§2 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
< >
模型1 假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
病人可以治愈！
< >
(日接触率) tm
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成
SIS 模型 为健康人，健康人可再次被感染
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
0
消去dt /
SIR模型
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1} 在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
D 0
<
1
s
>
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
i ( s ) ( s 0 i0 ) s 1
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和 铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力， 为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度 （匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹 及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太 阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。 ２、每颗行星运营过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过旳面积是常数。 ３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道 长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0
《微分方程模型》PPT课件
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
因污染源被截断，故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
： 它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一
数学建模---微分方程模型简介
N rN x 0 x* £ µ Í É » à ¬ ´ ³ Ï ² À Í hm ¬ ¤ º ªà Ø é ï Õ ð ò ¾ ª 2 4 E 当 x ＝x* N 时， E E * r x 0 N (1 ) 0 2 2 r r 结论：当捕捞强度控制在 E * 时, 鱼量保持在最大 2 鱼量 N 的一半, 可获得最大持续产量, i.e.,
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
11
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Logistic阻滞增长模型
hR £ ¹
r c E R (1 ) 2 pN
N c xR 2 2p
比较：
è ò ¾ £ Ì ªÎ ¬ Ø ¬ï ¬ï §æ à î Á ¬ Ò ² À Ã Ï Ç ¼ £ Ó «Æ é ´ Ï Ñ µ Ó Ó Î £ ¶ Ë ¾ Ç ©Õ ð ò ¾ ñ Ï ñ î × ¬ ð æ ¡ ß ¾ æ È ª ² ¿ Æ ¶ » ³ Ï ² À ½ Ò Ê » È £ ¶ Ò ³ Ò À Ê ³ ½ c à ï Ò ð ï Ò ¬ «Î µ É ° ï £ µ Ó » ¶ Ó » £ ñ ¹ É » Æ ¾ ¡
x
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§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË Ã Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
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Logistic阻滞增长模型
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比较：
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x
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§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË Ã Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
[理学]数学建模竞赛课件---微分方程模型
![[理学]数学建模竞赛课件---微分方程模型](https://img.taocdn.com/s3/m/6c1f33cc80eb6294dd886c29.png)
这说明：如果劳动力增加，产量增加；劳动力减少， 产量只能在有限的时间内保持增加
b) 经济增长的条件
每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt>0
f 0 Ly K Z (t ) f0 y f0 ( ) L L
dZ 1 dy f 0y dt dt dZ dy (1 ) t 0 0 1 e 0 ( B) /K dt dt K 0 0
6、模型应用
利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对 类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为 模型应用。
关于微分方程模型的一些例子模型
• 参数常定模型
静态 模型
•指决定系统特性的因素不随着时间的推 移而变化的系统模型，静态模型的假定 本身是对系统的一种简化，是相对比较 简单的
2、研究资金与劳动力的最佳分配，投资效益最大 3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（生长率） 增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t) 资金 K(t)
劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
静态模型
Q(K , L) f 0 F (K , L)
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
x(2000 ) 274.5
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
b) 经济增长的条件
每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt>0
f 0 Ly K Z (t ) f0 y f0 ( ) L L
dZ 1 dy f 0y dt dt dZ dy (1 ) t 0 0 1 e 0 ( B) /K dt dt K 0 0
6、模型应用
利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对 类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为 模型应用。
关于微分方程模型的一些例子模型
• 参数常定模型
静态 模型
•指决定系统特性的因素不随着时间的推 移而变化的系统模型，静态模型的假定 本身是对系统的一种简化，是相对比较 简单的
2、研究资金与劳动力的最佳分配，投资效益最大 3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（生长率） 增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t) 资金 K(t)
劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
静态模型
Q(K , L) f 0 F (K , L)
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
x(2000 ) 274.5
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
数学建模竞赛课件---微分方程模型
人的 比例分别为 i(t),s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
为, 且使接触的健康人致病
接触率
N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
s(t)i(t)1
di dt
i (1 i )
三、经济增长模型
问题
四、传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设
建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
i ( 0 )
i 0
模型2
di
i (1 i )
dt
Logistic 模型
i 1
i ( 0 )
i 0
1
i(t)
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
t m
1
ln
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
为, 且使接触的健康人致病
接触率
N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
s(t)i(t)1
di dt
i (1 i )
三、经济增长模型
问题
四、传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设
建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
i ( 0 )
i 0
模型2
di
i (1 i )
dt
Logistic 模型
i 1
i ( 0 )
i 0
1
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1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
t m
1
ln
数学建模课件03-2第三章 第9节 微分方程模型.
硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军 的重要空军基地，美军在1945年2月19日开始进攻， 激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日军守 军21500人全部阵亡或被浮，美军投入兵力73000人， 伤亡20265人，战斗进行到28天时美军宣布占领该岛， 实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统 计的战斗减员和增援情况，日军没有后援。根据实 际战地记录，由正规战争模型得到的美军伤亡的理 论曲线与实际伤亡曲线相当吻合。
所以正规战争模型为
dx dt
ay
dy
dt
bx
(10 1)
其中a 0,b 0 均为常数，
a(或b)越大，表示乙军（或甲军）战斗力越强。 记E＝ b 称为甲军与乙军的交换比，
a 联立方程(10-1)求解得
dy bx E x dx ay y
(10 2)
分离变量并积分得
2
y2 E x2 C 2 22
§9 作战模型
问题：两军对阵，现甲军有 x0个士兵，乙军有 y0
个士兵，试讨论战斗过程中双方的伤亡情况以及最 后的结局。
一、正规战争模型
令x (t )表示t时刻甲军人数， y(t) 表示t时刻乙军人数。 在以上假设下，显然甲军人数越多，乙军伤
亡越大，反之亦然，所以有 甲军人数的减员率与乙军人数成正比； 乙军人数的减员率与甲军人数成正比。 1
如果交换比E＝ 1
C
4 30002
1
60002
0
所以当乙军被消4 灭,即y＝0时，x＝0，即双
方“同归于尽”。1
如果交换比E＝ 5 得
C 30002 1 60002 180000 0 乙军胜
当x＝0时，
5
y C 1800000 1340
数学建模之微分方程模型
看，在种群的发展初期种群数的变化是和指 数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N(t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
人口模型
人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可 微性。但由于短时间内改变的是少数个体， 与整体数量相比，这种变化是很微小的。 基于此原因，为了成功应用数学工具，我 们通常假定大规模种群的个体数量是时间 的连续可微函数。此假设条件在非自然科 学的问题中常常用到。
指数增长模型（Malthus 人口模型）
（程2可）以注看意到到，NddN(tt
0 ，并且从最终的人口方
)
N m，以及
lim
t
N
(t)
N m，
（这人3说口）dd明 的2tN2人增口 长r(随速1着 度2N时 最/间 快Nm的 ，) 增 从0加 而表递 可明增以当地得N趋到 于人N2mN口时m。
曲线上的一个拐点。
（4） 模型中所涉及到的两个参数 r, Nm 的估
模型假设：
（1）人口的增长率r 是当前人口数的减函 数 r r(N) r(N)' 0 。
（2） r(N) r sN ，其中r 是人口的固有增长
率，而s 决定了所能容纳的最大人口量 Nm 。
当 N Nm 时，人口的增长速度将降为0，从而 可以得到 s r / N。m 这样可以得到
r(N) r(1 N / Nm ) 。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N(t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
人口模型
人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可 微性。但由于短时间内改变的是少数个体， 与整体数量相比，这种变化是很微小的。 基于此原因，为了成功应用数学工具，我 们通常假定大规模种群的个体数量是时间 的连续可微函数。此假设条件在非自然科 学的问题中常常用到。
指数增长模型（Malthus 人口模型）
（程2可）以注看意到到，NddN(tt
0 ，并且从最终的人口方
)
N m，以及
lim
t
N
(t)
N m，
（这人3说口）dd明 的2tN2人增口 长r(随速1着 度2N时 最/间 快Nm的 ，) 增 从0加 而表递 可明增以当地得N趋到 于人N2mN口时m。
曲线上的一个拐点。
（4） 模型中所涉及到的两个参数 r, Nm 的估
模型假设：
（1）人口的增长率r 是当前人口数的减函 数 r r(N) r(N)' 0 。
（2） r(N) r sN ，其中r 是人口的固有增长
率，而s 决定了所能容纳的最大人口量 Nm 。
当 N Nm 时，人口的增长速度将降为0，从而 可以得到 s r / N。m 这样可以得到
r(N) r(1 N / Nm ) 。
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在dt 时间内,CO2的增量为 agdt-aydt=a(g-y)dt
为一阶变量可分离 方程，初始条件为 v(y+dy)-vy=vdy y∣t=0=y0
在dt 时间内,CO2的增量为
dy a dt yg v
代入数据得a=1500(m3/min),即每分钟应通入1500m3的新鲜 空气，就能在10min后使车间内的CO2含量不超过0.06%.
理学院
问题分析与符号说明
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间 人体体温受大脑神经中 在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否 枢调节。人死亡后体温调节 的功能消失，尸体的温度受 则不能将张某排除。
外界环境温度的影响。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上 8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。 假设受害者死亡时体温是正常的，即 T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求 T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑 犯。
理学院
T (t ) 21.1 ae
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
T(0)=21.1+a=32.6 T(1)=21.1+ae-k=31.4 k=0.11
a=11.5 e-k＝115/103
T(t)=21.1+11.5e-0.11t
当T=37℃时，有t=-2.95 小时＝-2小时57分
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
3.3 水池中含盐量模型
盐的速率为： V2(t)=2×(y/100+t)=2y/100+t (g/min)
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
从而池内盐的变化率为：
dy 2y V1 V2 6 t t dt 100 t
即
g/min
dy 2 y6 dt 100 t 类似可以得到湖
y
例2 小鸭吃鱼问题
数 学 建 模
顺 水 方 向
v a
b P(x, y)
O
A（h,o） x
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
首先建立如图所示的坐标系，设鸭子游动的轨迹为 y(t)且时刻t时鸭子所在的位置为P(x,y)。由于鸭子 在任意时刻游动的的实际方向是曲线的切线方向， dy 而切线的斜率为 dx ，因此应建立一个微分方程。由 ax ay v {v x , v y } { ,b } 2 2 2 2 x y x y 可得 dy y b x 2 y 2
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律， 即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。 即 dT k (T 21.1) k是常数
dt
分离变量 两边同时积分
dT kdt T 21.1
dT T 21.1 kdt
kt
解：（1）建立数学模型
设工人累计织布匹数为x，则工人的学习曲线为：
cx k y k cA
x A x A
理学院
y 25 c 25 k 16 黑 龙 y 64 c 64 k 10 江
代入数据：
25 8 64 5
1 2
k
科 得 c 10 64 80 技 学 将c=80，k=1/2,代入学习曲线得A=100，所以学习曲线为： 1 院 数 学 (2)达到熟练程度所需的时间为 建 100 80 模 T= dx = 160
理学院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数学建模
（Mathematical Modeling)
黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
第三章 微分方程模型
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
第三章 微分方程模型
加热与冷却模型、目标跟踪模型
水池中含盐量模型、学习模型 人口模型、战争模型 微分方程数值解 建模举例 重点:各种简单的微分方程模型 难点:微分方程建立数学模型的思想方法
h y 1 200 c(x,y) 20 x h f x x 10x 30 2h 100 1 3f '2 x dx x O A(100,0) 因f(0)=200/3>60，所以狼追不上兔子。 3 f 2 ' x ， O的正对岸点为A，河 江 宽OA＝h，鸭子从A出发游向点O，设鸭子在静水 科 中的速度为 a，水流速度为b（a>b），且鸭子游 技 学 动方向始终朝着点O。 求鸭子游过的轨迹方程。 院
数 学 建 模
B
60
2xf' x 1 f'2 x ' y' x 0 , y x100 0 100 解得狼的行走轨迹为： 0, f f' 100 0 100 假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有：
y=f(x)
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设
• 按照内在规律或用类比法建立微分方程
理学院
3.1 加热与冷却模型
黑 例1 物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比， 龙 如果物体在20min内由100℃ 冷却到60℃，那么经过多长时 江 间此物体的温度将达到30℃？ 科 牛顿冷却定律：将温度为T的 技 物体放入处于常温T0的介质中时， 学 T的变化速率正比于T与周围介质 院 解：由题意知： 的温度差。 数 学 建 模
水污染模型。 y t 0 50 且有初始条件为 解一阶线性微分方程得到特解为：
当t=30时，池内含盐量为
1500000 y 2 100 t 2 100 t
1500000 y t 3 0 260 171(g) 2 130
理学院
黑 龙 例2 设有一个30m×30m×12m的车间，其中空气中含有 江 解决这个问题根据下列两个物质平衡式： 科 0.12%的CO2,如需要在10min后,CO2的含量不超过0.06%（设新 技 鲜空气中CO2的含量为0.04%），问每分钟应通入多少立方米 增量=加入量-排出量 学 的新鲜空气？ 流进（或排出）量=流进（或排出）速度×浓度×时间 院 数 学 建 模 解：设y为时间t时，CO2的浓度； a为通入的空气量(m3/min); v为车间的体积(m3); y0为CO2的初浓度；
dx x y (h) 0 ax
b b
这是一个齐次方程，解得
h x 1 a x 1 a y [( ) ( ) ] 2 h h
某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。
理学院
黑 龙 例1 设有一水池，，内盛盐水100L，现在以浓度为2g/L 江 科 的盐水流入池中，其流速为3L/min，假设流入池内的新盐水 技 和原有盐水因搅拌而能在顷刻间成为均匀的溶液，此溶液又 学 以2L/min的流速流出，求30min是池内所存盐水的含盐量。 院 解：设在t秒时池内的存盐量为y=y(t)g,因为每分钟流入3L溶 数 液，且每升溶液含盐2g,在任一时刻流入盐的速率为: 学 V1(t)=3×2=6 (g/min) 建 同时，又以2L/min的速率流出溶液，故t min后溶液总量为 模 :[100+(3-2)t] L,每升溶液的含盐量为(y/100+t) g,因此排除
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大， 为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引 起的误差将是十分微小的。
dT k t 20， dt
微分方程的解为：
T 0 100,
1 T 60 3
T Cekt 20
得T=80(1/2)3t+20,即经过1h温度可降到30 ℃。
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黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
例2 尸体冷却问题
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上 8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃； 一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温 度 为 31.4℃ ， 室 温 在 几 个 小 时 内 始 终 保 持 21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无 罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室 上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。 从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟， 现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否 被采信，使他排除在嫌疑犯之外。
学习曲线 数 解：设x为新工人累计完成的生产量，y表示他生产第x个单位 学 产品时所需要的劳动时间，根据统计分析，y 一般可表示为 建 如下形式： cx k x A 模 c 0,A 0, 1 k 0 y k cA x A
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为一阶变量可分离 方程，初始条件为 v(y+dy)-vy=vdy y∣t=0=y0
在dt 时间内,CO2的增量为
dy a dt yg v
代入数据得a=1500(m3/min),即每分钟应通入1500m3的新鲜 空气，就能在10min后使车间内的CO2含量不超过0.06%.
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问题分析与符号说明
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间 人体体温受大脑神经中 在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否 枢调节。人死亡后体温调节 的功能消失，尸体的温度受 则不能将张某排除。
外界环境温度的影响。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上 8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。 假设受害者死亡时体温是正常的，即 T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求 T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑 犯。
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T (t ) 21.1 ae
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T(0)=21.1+a=32.6 T(1)=21.1+ae-k=31.4 k=0.11
a=11.5 e-k＝115/103
T(t)=21.1+11.5e-0.11t
当T=37℃时，有t=-2.95 小时＝-2小时57分
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
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3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
3.3 水池中含盐量模型
盐的速率为： V2(t)=2×(y/100+t)=2y/100+t (g/min)
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从而池内盐的变化率为：
dy 2y V1 V2 6 t t dt 100 t
即
g/min
dy 2 y6 dt 100 t 类似可以得到湖
y
例2 小鸭吃鱼问题
数 学 建 模
顺 水 方 向
v a
b P(x, y)
O
A（h,o） x
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
首先建立如图所示的坐标系，设鸭子游动的轨迹为 y(t)且时刻t时鸭子所在的位置为P(x,y)。由于鸭子 在任意时刻游动的的实际方向是曲线的切线方向， dy 而切线的斜率为 dx ，因此应建立一个微分方程。由 ax ay v {v x , v y } { ,b } 2 2 2 2 x y x y 可得 dy y b x 2 y 2
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律， 即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。 即 dT k (T 21.1) k是常数
dt
分离变量 两边同时积分
dT kdt T 21.1
dT T 21.1 kdt
kt
解：（1）建立数学模型
设工人累计织布匹数为x，则工人的学习曲线为：
cx k y k cA
x A x A
理学院
y 25 c 25 k 16 黑 龙 y 64 c 64 k 10 江
代入数据：
25 8 64 5
1 2
k
科 得 c 10 64 80 技 学 将c=80，k=1/2,代入学习曲线得A=100，所以学习曲线为： 1 院 数 学 (2)达到熟练程度所需的时间为 建 100 80 模 T= dx = 160
理学院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数学建模
（Mathematical Modeling)
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第三章 微分方程模型
理学院
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第三章 微分方程模型
加热与冷却模型、目标跟踪模型
水池中含盐量模型、学习模型 人口模型、战争模型 微分方程数值解 建模举例 重点:各种简单的微分方程模型 难点:微分方程建立数学模型的思想方法
h y 1 200 c(x,y) 20 x h f x x 10x 30 2h 100 1 3f '2 x dx x O A(100,0) 因f(0)=200/3>60，所以狼追不上兔子。 3 f 2 ' x ， O的正对岸点为A，河 江 宽OA＝h，鸭子从A出发游向点O，设鸭子在静水 科 中的速度为 a，水流速度为b（a>b），且鸭子游 技 学 动方向始终朝着点O。 求鸭子游过的轨迹方程。 院
数 学 建 模
B
60
2xf' x 1 f'2 x ' y' x 0 , y x100 0 100 解得狼的行走轨迹为： 0, f f' 100 0 100 假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有：
y=f(x)
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设
• 按照内在规律或用类比法建立微分方程
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3.1 加热与冷却模型
黑 例1 物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比， 龙 如果物体在20min内由100℃ 冷却到60℃，那么经过多长时 江 间此物体的温度将达到30℃？ 科 牛顿冷却定律：将温度为T的 技 物体放入处于常温T0的介质中时， 学 T的变化速率正比于T与周围介质 院 解：由题意知： 的温度差。 数 学 建 模
水污染模型。 y t 0 50 且有初始条件为 解一阶线性微分方程得到特解为：
当t=30时，池内含盐量为
1500000 y 2 100 t 2 100 t
1500000 y t 3 0 260 171(g) 2 130
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黑 龙 例2 设有一个30m×30m×12m的车间，其中空气中含有 江 解决这个问题根据下列两个物质平衡式： 科 0.12%的CO2,如需要在10min后,CO2的含量不超过0.06%（设新 技 鲜空气中CO2的含量为0.04%），问每分钟应通入多少立方米 增量=加入量-排出量 学 的新鲜空气？ 流进（或排出）量=流进（或排出）速度×浓度×时间 院 数 学 建 模 解：设y为时间t时，CO2的浓度； a为通入的空气量(m3/min); v为车间的体积(m3); y0为CO2的初浓度；
dx x y (h) 0 ax
b b
这是一个齐次方程，解得
h x 1 a x 1 a y [( ) ( ) ] 2 h h
某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。
理学院
黑 龙 例1 设有一水池，，内盛盐水100L，现在以浓度为2g/L 江 科 的盐水流入池中，其流速为3L/min，假设流入池内的新盐水 技 和原有盐水因搅拌而能在顷刻间成为均匀的溶液，此溶液又 学 以2L/min的流速流出，求30min是池内所存盐水的含盐量。 院 解：设在t秒时池内的存盐量为y=y(t)g,因为每分钟流入3L溶 数 液，且每升溶液含盐2g,在任一时刻流入盐的速率为: 学 V1(t)=3×2=6 (g/min) 建 同时，又以2L/min的速率流出溶液，故t min后溶液总量为 模 :[100+(3-2)t] L,每升溶液的含盐量为(y/100+t) g,因此排除
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大， 为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引 起的误差将是十分微小的。
dT k t 20， dt
微分方程的解为：
T 0 100,
1 T 60 3
T Cekt 20
得T=80(1/2)3t+20,即经过1h温度可降到30 ℃。
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例2 尸体冷却问题
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上 8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃； 一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温 度 为 31.4℃ ， 室 温 在 几 个 小 时 内 始 终 保 持 21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无 罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室 上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。 从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟， 现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否 被采信，使他排除在嫌疑犯之外。
学习曲线 数 解：设x为新工人累计完成的生产量，y表示他生产第x个单位 学 产品时所需要的劳动时间，根据统计分析，y 一般可表示为 建 如下形式： cx k x A 模 c 0,A 0, 1 k 0 y k cA x A
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