第三章微分方程模型.

合集下载

微分方程模型方法

物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人口数量随时间变化的规律，预测未来人口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势，为政策制定者提供依据，以制定合理的计划生育政策。例如，Logistic模型是一种常用的人口动态模型，通过建立微分方程来描述人口数量的增长规律。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数学基础，如线性代数、微积分、常微分方程等。

微分方程模型的建立与求解

微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。

本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。

一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。

以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。

2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。

常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。

3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。

利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。

三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。

通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。

结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。

在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。

以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。

数学建模第三章解答

1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张.
2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
即友好邻国通过裁军可达到永久和平.(如:美,加)
模型的定性解释
模型
x(t) x ky g

y (t
)
• 提高阈值 1/ 降低 (=/)
SIR模型
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0
s0 i0 r0 1
群体免疫
模型4
预防传染病蔓延的手段
• 降低日接触率 • 提高日治愈率 • 提高移出比例r0
以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.
N[s(t t) s(t)] Ns(t)i(t)t

di dt ds dt

si si
i
i(0) i0 , s(0) s0
无法求出 i(t), s(t)
的解析解
用MATLAB 求数值解
模型4
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/
平衡点P0(x0,y0)
~
代数方程
的根
cx dy 0
记系数矩阵
A

a c
b
d

p (a d ) q det A
p>0且q>0 p<0或q<0
平衡点 P0稳定平衡点 P0不稳定
军备竞赛
模型
x(t) x ky g

y (t )

lx

第3章微分方程模型

第三章微分方程建模在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。

例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。

本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。

这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。

提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。

最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。

因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。

事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。

§3.1 几个简单实例例3.1 （理想单摆运动的周期）本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。

（图3-1）从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 sin mg ，根据牛顿第二定律可得：θθsin mg ml -= 从而得出两阶微分方程：sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ⎧+=⎪⎨⎪==⎩ （3.1）这就是理想单摆运动满足的微分方程。

（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。

根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：⎪⎩⎪⎨⎧===+∙∙∙0)0(,0)0(0ϑϑϑϑϑl g （3.2）（3.2）的特征方程为02=+lg λ 对应的特征根为i lg =λ，（其中i 为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为： t c t c t ωωϑcos sin )(21+=，其中lg =ω 代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解θ(t )= θ0cos ωt注意到当4T t =时，θ(t ) = 0，即可得出 24πω==T l g t 故有 l g T π2=这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。

数学建模第三章微分方程模型

3-7 香烟过滤嘴的作用机理（2）
精选ppt课件
51
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（3）
精选ppt课件
52
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（4）
精选ppt课件
53
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（5）
精选ppt课件
54
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（6）
精选ppt课件
55
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（7）
精选ppt课件
39
3-6 疾病传播的机理分析模型（2）
精选ppt课件
40
3-6 疾病传播的机理分析模型（3）
精选ppt课件
41
3-6 疾病传播的机理分析模型（4）
精选ppt课件
42
3-6 疾病传播的机理分析模型（5）
精选ppt课件
43
3-6 疾病传播的机理分析模型（6）
精选ppt课件
44
3-6 疾病传播的机理分析模型（7）
精选ppt课件
45
3-6 疾病传播的机理分析模型（8）
精选ppt课件
46
3-6 疾病传播的机理分析模型（9）
精选ppt课件
47
3-6 疾病传播的机理分析模型（10）
精选ppt课件
48
3-6 疾病传播的机理分析模型（11）
精选ppt课件
49
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（1）
精选ppt课件
50
69
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（1）
精选ppt课件
70
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（2）
精选ppt课件
71
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（3）
精选ppt课件

微分方程模型介绍

微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程：一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

微分方程模型的建立

微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。

它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。

建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。

在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。

通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。

比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。

我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。

假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。

根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。

加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。

所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。

根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。

假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。

将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。

通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。

这可以帮助我们预测和理解质点的运动。

除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。

比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。

这些问题可以通过微分方程模型来描述。

考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。

我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。

根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。

通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。

微分-差分-模型

x(0) x(t)
x0 x(t)
将上式代入(1.5)，得
❖
t
T ln 2
ln
x(0) x(t)
(1.8)
这么由(1.8)可知，只要懂得生物体在死亡时体
内14C旳蜕变速度 x(0) 和目前时刻t旳蜕变速
度x(t) ,就能够求得生物体旳死亡时间了，在实
际计算上，都假定当代生物体中14C旳蜕变
速度与生物体死亡时代生物体中14C旳蜕变
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (3-6)
若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k 则称xn = x (n)是差分方程(3-6)旳解, 包括个任意常数旳解称为(3-6)旳通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为(3-6)旳初始条件,通解中旳任意常数都由初始条件拟定后旳解称为(3-6)旳特解. 若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 旳差分方程旳解能够在计算机上实现.
性差分方程旳通解为
xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根
时,二阶常系数线性差分方程旳通解为
xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程旳任一特征根 |i |＜1
时, 平衡点x*是稳定旳.
M
2
D
d
x
x
y
y

《微分方程模型》课件

f '(x) 2x,
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас

数学建模,第三章-微分方程模型

8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题黑龙现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假江科设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的技巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度学是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型：院解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑龙江科技学院数学建模
数学建模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑龙江科技学院数学建模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt

第三章微分方程方法

第三章微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。

针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。

一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题。

3.1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dtdx(3.1) 其中),(x t f 是t 和x 的已知函数，00)(x t x =为初始条件，又称定解条件。

一阶微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧====),2,1( )(),2,1( ),,,,()0(021n i x t x n i n x x t f dtdx i i i i（3.2）又称为一阶正规方程组。

如果引入向量T n x x x x ),,,(21 =，Tn x x x x ),,,()0()0(2)0(10 =，Tn f f f f ),,,(21 =，Tn dt dx dt dx dt dx dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,21 。

则方程组（3.2）可以写为简单的形式⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dtdx（3.3）即与方程（3.1）的形式相同，当1=n 时为方程（3.1）。

对于任一高阶的微分方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11,,,,n n n n dt x d dt dx x t f dt x d ，如果记),,2,1,0(n i y dtxd i i i ==，则方程为),,,;(1101--=n n y y y t f dt dy 即可化为一阶方程组的形式。

因此，下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论。

3.1.2微分方程解的存在惟一性正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理。

定理3.1（Cauchy-Peano ）如果函数),(x t f 在区域b x x a t t R ≤-≤-00;:上连续，则方程组（3.3）在h t t ≤-0上有解)(t x φ=满足初值条件)(00t x φ=，此处),(max ,,min ),(x t f M M b a h R x t ∈=⎪⎭⎫⎝⎛=。

第三章数学模型1-微分方程.

•
线性系统
拉氏变换傅氏变换
传递函数
微分方程
频率特性
•
建模方法
机理分析法
适用于比较简单的系统
实验辨识法
适用于复杂系统
数学模型的概括性
• 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。数学模型表达了这些系统的共性。
•
•
数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。
自动控制原理
第三章线性系统的数学模型
本章知识点：线性系统的输入－输出时间函数描述传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型框图及化简方法
引言
定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统
表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程（内部描述）复域：传递函数（外部描述）、动态结构图频域：频率特性
目的：从时间域角度，建立系统输入量
（给定值）和系统输出量（被控变量）之间的关系。
两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应
描述。
一．
线性系统的微分方程描述（机理建模法）
SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描述的标准形式
an1c(t ) anc(t )
1.
c( n) (t ) a1c( n1) (t ) a2c( n2) (t )
列写系统微分方程的步骤
① ② ③
划分不同环节，确定系统输入量和输出量；
写出各环节（元件）的运动方程；
消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程；化为标准形式。

微分方程模型的基本原理

微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。

微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。

1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。

它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。

2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。

初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。

这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。

3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。

这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。

这些关系可以通过微分方程进行描述。

4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。

这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。

这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。

微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。

例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。

微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。

数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。

解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。

近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。

总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。

它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。

微分方程模型的建立与求解

微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。

其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。

很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。

因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。

一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。

在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。

对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。

例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。

此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。

在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。

对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。

例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。

二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。

微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。

对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。

对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。

这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。

这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。

三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。

第三章微分方程及差分方程方法

依此法继续进行，接连积分 n 次，便得到原方程的含有 n 个任意常数的通解．
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ．此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )

x

C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得

微分方程模型的基本原理

微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。

微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。

本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。

微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。

2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。

初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。

3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。

对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。

4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。

对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。

微分方程模型的应用广泛。

以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。

例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。

电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。

2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。

例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。

3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。

例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。

4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。

5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。

03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力，为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度（匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景：开普勒三定律：１、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。２、每颗行星运营过程中单位时间内太阳—行星向径扫过旳面积是常数。３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0

第三章 微分方程模型.

微分方程模型方法

微分方程模型的建立与求解

数学建模第三章解答

第3章 微分方程模型

数学建模第三章微分方程模型

微分方程模型介绍

微分方程模型的建立

微分-差分-模型

《微分方程模型》课件

数学建模,第三章-微分方程模型

第三章 微分方程方法

第三章 数学模型1-微分方程.

微分方程模型的基本原理

微分方程模型的建立与求解

第三章 微分方程及差分方程方法

微分方程模型的基本原理

03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

第三章微分方程模型.

第3章微分方程模型

第三章微分方程方法

第三章数学模型1-微分方程.

第三章微分方程及差分方程方法