第五章 微分方程模型

⎧ f 0λ K 0 − (1−α ) μ t ⎫ y (t ) = ⎨ [1 − (1 − μ )e ]⎬ & μ K ⎩ ⎭ 0
1 1−α
3) 经济增长的条件
产值Q(t)增长
dQ/dt > 0
Q = f 0 Lg ( y ) g ( y) = yα
dQ dy dL ′ = f0 Lg ( y) + f0 g ( y) dt dt dt
Q = f 0 L ( K / L )α
g ( y) = yα ,
0 <α <1
g(y)
Q ( K , L ) = f 0 K α L1−α Douglas生产函数
∂Q ∂Q , >0 ∂K ∂L
∂ 2Q ∂ 2Q , 2 < 0 含义？ 2 ∂K ∂L
0 y
1. Douglas生产函数 QK ~ 单位资金创造的产值
dK dy = L + μLy dt dt
dy α + μ y = f0λ y dt
Bernoulli方程
1 1−α
⎛ f 0λ f 0 λ − ( 1−α ) μ t ⎞ 1−α y (t ) = ⎜ ⎟ ⎜ μ + ( y 0 − μ )e ⎟ ⎝ ⎠ K0 1−α α 1−α & y0 = K 0 / L0 , Q0 = f 0 K 0 L0 , K 0 = λQ0 y0 = f 0λ &0 K
λ ↓, μ ↑
λ (日接触率)↓ ⇒ 卫生水平↑ μ(日治愈率)↑ ⇒ 医疗水平↑
• 降低 s0
s0 + i0 + r0 = 1
提高 r0
群体免疫
σ 的估计
1
s∞ =0 s 0 + i0 − s ∞ + ln σ s0
忽略 i0
ln s0 − ln s∞ σ= s0 − s∞
模型4
被传染人数的估计
= f 0 Ly 2α −1[ f 0αλ + μ (1 − α ) y1−α ]
⎛ μ dQ 1− >0⇔⎜ ⎜ & /K dt K 0 0 ⎝
⎞ − (1 − α ) μ t 1 ⎟ < ⎟e 1−α ⎠
( A)
μ > 0 ⇒ A成立
μ 1 μ < 0 ⇒ 当t < ln(1 − α )(1 − ), A成立 & /K (1 − α ) μ K 0 0
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
感染期内有效接触感染的 i0小 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
⇒ i(t )按S形曲线增长
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 2）病人的日接触率λ , 日治愈率μ, 接触数 σ = λ / μ
SIS 模型
μ ~日治愈率
建模 N [i (t + Δ t ) − i (t )] = λ Ns (t )i (t ) Δ t − μ Ni (t ) Δ t
⎧ di = λ i (1 − i ) − μ i ⎪ ⎨ dt ⎪ ⎩ i ( 0 ) = i0
λ ~ 日接触率
1/μ ~感染期
σ =λ/μ
记被传染人数比例 x = s0 − s∞ 1 x 1 s∞ x + ln(1 − ) ≅ 0 =0 s 0 + i0 − s ∞ + ln σ s0 σ s0 i0 ≅0, s0 ≅1
x<<s0
SIR模型
x − 2 )≅0 x (1 − s0σ 2 s0σ
1
i
K
P1 0 s ∞ 1/ σ
x ≈ 2 s 0σ ( s 0 −
⎧ di ⎪ dt = λ si − μ i ⎪ 无法求出 i ( t ), s ( t ) ⎪ ds = − λ si ⎨ 的解析解 ⎪ dt ⎪ i ( 0 ) = i0 , s ( 0 ) = s 0 在相平面 s ~ i 上 ⎪ ⎩ 研究解的性质 i0 + s0 ≈ 1 (通常r (0) = r0很小）
dK = λQ, λ > 0 dt
• 劳动力相对增长率为常数
Q = f 0 Lg ( y )
g( y) = y
α
dL = μ L L (t ) = L0 e μt dt dK α = λ f 0 Ly dt
K y = , K = Ly L
dK dy =L + μ Ly dt dt
dK = λf 0 Ly α dt
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） 资金来自贷款，利率 r 资金和劳动力创造的效益 劳动力付工资 w
S = Q − rK − wL
求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大
∂S ∂S = 0, =0 ∂K ∂L
KQK LQL = α, = 1−α Q Q
QK r = QL w
Q ( t ) = f 0 F ( K ( t ), L ( t ))
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
Q( K , L) = f 0 F ( K , L) 每个劳动 z = Q 每个劳动 y = K 力的产值 力的投资 L L
静态模型 模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
z = Q / L = f0 g ( y )
1 ⎛1 ⎞ − λt 1+ ⎜ ⎜ i − 1⎟ ⎟e ⎝ 0 ⎠
−1
t
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻
⎛1 ⎞ ⎟ − t m = λ ln ⎜ 1 ⎜i ⎟ ⎝ 0 ⎠
t → ∞ ⇒ i →1 ?
病人可以治愈！
λ (日接触率)↓ → tm↑
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 3）病人每天治愈的比例为μ
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1
D = {( s , i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0 1
s
模型4
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
第五章
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.7
微分方程模型
传染病模型 经济增长模型 正规战与游击战 药物在体内的分布与排除 香烟过滤嘴的作用 烟雾的扩散与消失
5.6 人口预测和控制 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
σ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di = λ i (1 − i ) − μ i dt i
σ >1
i0
1-1/σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ μ σ dt
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ
1
i
i0
0
1 ⎧ , σ > 1 ⎪1 − i(∞ ) = ⎨ σ ⎪ σ ≤ 1 ⎩0,
QK L α = QL K 1 − α
K α w = L 1−α r
w ↑, r ↓, α ↑ ⇒ K/L ↑
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型) 要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件 模型 假设 • 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产)
模型4
⎧ di ⎪ dt = λsi − μi ⎪ ⎪ ds ⎨ = − λsi ⎪ dt ⎪i (0) = i0 , s (0) = s 0 ⎪ ⎩
SIR模型 消去dt σ =λ/μ
1 ⎧ di ⎪ ds = σ s − 1 ⎨ ⎪ i s= s = i0 ⎩
0
相轨线
相轨线 i ( s ) 的定义域 在D内作相轨线 i ( s ) 的图形，进行分析
μ < 0 ⇒ B成立 μ > 0 ⇒ 当 & < 1时 , B 成立 K0 / K0
劳动力增长率小于初始投资增长率
μ
5.3
正规战与游击战
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
Q(K , L) = f0 K L
α
1−α
KQ K = α, Q QL ~ 单位劳动力创造的产值
LQ L = 1−α Q
KQK + LQL = Q
α ~ 资金在产值中的份额
1-α ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
Q ( K , L) = f 0 K α Lβ , 0 < α , β < 1, f0 > 0
s0 - 1/σ = δ
1
σ
)
s0
s
δ 小, s0 σ ≅1
x ≅ 2δ
提高阈值1/→降低被 传染人数比例 x
5.2
经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 技术 f(t) = f0 F为待定函数 劳动力 L(t)
建模
s (t ) + i (t ) + r (t ) = 1
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N [i (t + Δt ) − i (t )] = λNs (t )i (t ) Δt − μ Ni (t ) Δ t
N [ s (t + Δt ) − s (t )] = − λNs (t )i (t ) Δt
s∞ =0 s ∞ 满足 s 0 + i0 − s ∞ + ln σ s0
0
s∞
S0
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1 / σ s0
1
s
P1: s0>1/ → i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ → i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/σ • 提高阈值 1/σ 降低 σ(=λ/μ)
di = λ si dt
s (t ) + i (t ) = 1
⎧ di = λ i (1 − i ) ⎪ ⎨ dt ⎪ ⎩ i ( 0 ) = i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
⎧ di = λ i (1 − i ) ⎪ ⎨ dt ⎪ ⎩ i ( 0 ) = i0 i (t ) =
Logistic 模型
3) 经济增长的条件 每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt>0
f 0 Ly α K α α Z (t ) = = f0 y = f0 ( ) L L
dZ α −1 dy = f 0α y dt dt
⎛ dZ dy μ ⎞ −(1−α ) μt ⎟ >0⇔ >0⇔⎜ 1− e > 0 ( B) ⎜ ⎟ & /K dt dt K 0 0 ⎠ ⎝
P4
⎧ di 1 ⎧ di ⎪ dt = λsi − μi = −1 ⎪ ⎪ σs ⎨ ds ⎪ ds ⎨ = − λsi ⎪ i s= s = i0 dt ⎩ ⎪ ⎪i (0) = i0 , s (0) = s 0 ⎪ ⎩
0
1
s(t)单调减→相轨线的方向
1
P2 im
P1∗ P3
s = 1 / σ , i = im t → ∞ , i → 0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为λ, 且使接触的健康人致病 SI 模型
λ~日
接触率
建模
N [i (t + Δt ) − i (t )] = [λs (t )]Ni (t ) Δt
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为λ
i (t + Δt ) − i (t ) = λi (t )Δt
di = λi dt i ( 0 ) = i0
i ( t ) = i0 e
λt
t →∞ ⇒i →∞ ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)