微分方程模型习题
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型
6.1 微分方程模型的建模步骤 6.2 作战模型
6.3 传染病模型 习题
6.1 微分方程模型的建模步骤
例1 某人的食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本的新
陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他每天大约每千克
体重消耗69焦的热量。 假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1千克脂肪含 热量41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律。
模型分析
甲乙两支部队互相交战，在整个战争期间，双方的兵力 在不断发生变化，而影响兵力变化的诸多因素转化为数量非 常困难。为此，我们作如下假定把问题简化。
模型假设
1. x(t) , y(t) 表示甲乙双方在时刻 t 的人数， x(0)=x0 ,y(0)=y0 表示甲乙双方开战时的人数，x0 > 0, y0 >0； 2.设x(t) , y(t)是连续变化的，并且充分光滑； 3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y) ,
投入多大的初始兵力。不妨设 100 x0
S 活动区域 x 0.1
p， 0.1 rx， x
ry 2
， 平
平方千米，乙方射击的有效面积 1 sy
y0 2 0.1 0.1 106 100 x 2 1 100 0
2
方米，则可得乙方获胜的条件为：
a
时甲方兵力
降为“零”，从而乙方获胜。同理可知，K 0
甲方获胜。而当 K 0 时，双方战平。 2 2 甲方获胜的充要条件为 bx0 ay0 0
时，
代入a 、b 的值，有甲方获胜的充要条件为
2 2 rx p x x 0 r y p y y 0
故可找到一个用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数：
若干微分方程模型求解
(1)轨道方程为
p r 1 e cos
其中
b2 p a
(5 1)
2
b a (1 e )
2 2
a、b为椭圆的长、短半轴， e为离心率。 (2)单位时间内向径 r 扫过的面积是常数，即 1 2 r A (5 2) 2 (3)行星运行周期T满足 T 2 a 3 (5 3) 其中λ是绝对常数，与哪一颗行星无关。 (4)行星运动时受的作用力等于行星加速度 r 和质量m的景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太 阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上。 ２、每颗行星运行过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过的面积是常数。
３、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道 长半轴的3次方成正比。
模型假设
开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力 定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假 设条件。
于是我们得到
C1 v0 , C2 0
F y(t 0 ) t 0 sin gt 0 m 由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度
F F 2 v x(t 0 ) y(t 0 ) ( t 0 cos v0 ) ( t 0 sin gt 0 ) 2 m m
(1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其 中b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、 生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体 育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。 (2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有 效，而1千克脂肪含热量是42000焦耳。
(3)设体重W是时间t的连续可微函数，即W＝W(t)。 数学建模： 每天：体重的变化＝输入－输出 输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
logistic模型微分方程例题
logistic模型微分方程例题一、Logistic模型简介Logistic模型是一种广泛应用于生态学、生物学、经济学等领域的数学模型。
它描述了一种生物种群数量随时间变化的规律。
Logistic方程是一个一阶非线性微分方程，其形式为：dx/dt = rx * (1 - x)其中，x表示种群数量，t表示时间，r表示增长率，且0 < r < 1。
二、Logistic微分方程的解法1.平衡点分析首先求解方程的平衡点，即令dx/dt = 0，得到：x = 0 或x = 1这两个平衡点分别表示种群数量为0或1。
2.稳定性分析当r > 1/2时，平衡点x = 0是稳定的；当0 < r < 1/2时，平衡点x = 1是稳定的。
3.数值解法对于实际问题中r的具体取值，可以使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微分方程。
三、例题解析例题1：某岛屿上有一种鸟类，初始时种群数量为100。
假设种群的增长率为1%，求：1.当年底鸟类的种群数量是多少？2.三年后鸟类的种群数量是多少？解：设定t = 1年和t = 3年，分别代入Logistic方程，得到：x1 = 100 * (1.01)^1 = 101.1x3 = 100 * (1.01)^3 ≈ 103.14答案：1.当年底鸟类的种群数量约为101.1。
2.三年后鸟类的种群数量约为103.14。
四、结论与启示Logistic模型是一种重要的数学模型，在生物学、生态学等领域具有广泛的应用。
通过分析Logistic微分方程的平衡点和稳定性，可以对实际问题中的种群数量变化进行预测。
在解决实际问题时，可以根据具体情况选择合适的数值方法求解微分方程。
微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
微分方程模型题目及答案
微分方程练习题及答案1、已知微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--05303y x dtdy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件1|,2|11====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。
（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,3]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。
2、已知微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++03023y x dtdy y x dt dx （1）利用matlab 软件求此方程组在初始条件2|,1|00====t t y x 下的特 解，并画出解函数()y f x =的图形。
（2）利用matlab 软件分别用 ode23、ode45 求微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈，并作图来比较两种求解器之间的差异。
1、参考答案：（1）程序代码：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx-x-3*y=0','Dy-3*x+5*y=0','x(1)=2','y(1)=1','t') ezplot(x,y,[0,3]);（2）程序代码：M函数文件verderpol.m:function xprime=verderpol(t,x)xprime=[x(1)+3*x(2); 3*x(1)-5*x(2)];在程序中调用此函数：clear;y0=[2;1];[t,x]=ode45('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold onclear;y0=[2;1];[t,x]=ode23('verderpol',[0,3],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');2、参考答案：（1）程序代码：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+3*x+2*y=0','Dy+x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=2','t') ezplot(x,y,[0,2]);（2）程序代码：M函数文件verderpol.m:function xprime=verderpol(t,x)xprime=[-3*x(1)-2*x(2); 3*x(2)-x(1)];在程序中调用此函数：clear;y0=[1;2];[t,x]=ode45('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'r-'); hold onclear;y0=[1;2];[t,x]=ode23('verderpol',[0,2],y0); plot(x(:,1),x(:,2),'b-');。
微分方程模型
二 变量说明
• W(t) 第t年伐木厂将砍伐的树木（单位： 百万方）
• Q 森林的木材储量（单位：百万方）
•X
可供砍伐的年数
三 模型的建立
• 对于第一问： • 因为砍伐树木的速度为砍伐树木的数量关
于时间的变化率，即
dW (t ) R (t ) 2 e 0.2t dt
利用微元法，有
W (5) 5 2 e 0.2 t dt 0
• 对于第二问： • 当森林的木材储量为Q百万方时，设第x年
砍伐完，则有
Q x2e0.2tdt 0
四 模型求解
• 对于问题一 • >>syms x • >>int(2*exp(-0.2*t),t,0,5) • ans=-10*exp(-1)+10 • >> -10*exp(-1)+10 • ans=6.3212
一 模型的假设
• 1.假设今后10年学校的在校生人数均按 280e0.2x 的速度递增，不能出现其他变故 2假设宿舍10年后还能正常使用
二 变量说明
• P(t) 从2005年起的第t年新欣学校的在校人 数
三 模型的建立
由题意知 P'(x) dP 280e0.2x
dx
• 利用微元法，在区间[x,x+dx]上，可将学校 在校人数的增长率视为常数，增加的人数 为
四 模型求解
• 解法一 • 1.求通解 • x(t)=De^-kt • 药物的浓度为 • C(t)=x(t)/V=De^-kt/V • 2.求特解 • 将初始条件x(0)=43.2代入通解，得D=43.2.又因
为V=35000，所以满足该条件的特解为
微分方程模型习题
（微分方程模型）1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。
设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。
5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。
8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。
9．证明对数螺线r=A上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。
现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。
数学建模微分方程模型练习题
微分方程模型练习题
1.速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与,
,v s ρ的关系
2.根据经验当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量()s t 成正比。
广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费()a t 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。
建立一个销量()s t 的模型。
若广告宣传只进行有限时间τ，且广告费为常数a ，问()s t 如何变化？
3.如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，试建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。
4.某种群最高年龄为30岁，按间隔10岁将此种群分为三组并
以10年为一时段。
若020b b ==，13b =，016p =，112p =，
0(1000,1000,1000)T N =
求：（1）10年、20年、30年后该种群按年龄分布的种群量；
（2）此种群的固有增长率1λ及相应的稳定年龄分布；
（3）指出该种群的发展趋势。
logistic模型微分方程例题
logistic模型微分方程例题摘要：一、引言- logistic 模型的背景和意义- 微分方程在logistic 模型中的应用二、logistic 模型的基本概念- logistic 模型的定义- logistic 函数的性质- logistic 模型与其他数学模型的联系三、logistic 模型的微分方程- logistic 模型的微分方程定义- 微分方程的推导过程- 微分方程的解析解四、logistic 模型的应用例题- 例题一：logistic 模型的应用背景- 例题二：logistic 模型的应用背景- 例题三：logistic 模型的应用背景五、结论- logistic 模型微分方程的总结- logistic 模型在实际应用中的意义正文：一、引言Logistic 模型是一种描述生物种群数量随时间变化的数学模型，它以美国数学家Logistic 的名字命名。
在生态学、经济学、社会学等多个领域中有着广泛的应用。
微分方程作为数学的一个重要分支，在logistic 模型的研究中起到了关键作用。
本文将通过对logistic 模型的微分方程的介绍，探讨其在实际问题中的应用。
二、logistic 模型的基本概念1.logistic 模型的定义Logistic 模型是一种关于生物种群数量随时间变化的动力学模型，它的基本方程为：dN/dt = rN(1 - N/K)，其中N表示种群数量，t表示时间，r表示种群的增长速率，K表示环境的承载能力。
2.logistic 函数的性质Logistic 函数具有以下性质：单调性、有界性、奇函数、周期函数等。
这些性质为logistic 模型提供了理论基础。
3.logistic 模型与其他数学模型的联系Logistic 模型与其他数学模型如指数模型、阻尼振动模型等有一定的联系，这些联系有助于我们更深入地理解logistic 模型的本质。
三、logistic 模型的微分方程1.logistic 模型的微分方程定义Logistic 模型的微分方程为：dN/dt = rN(1 - N/K)。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
logistic模型微分方程例题
logistic模型微分方程例题 在数学中，微分方程是研究变量之间变化率的关系的方程。
logistic模型是一种常见的微分方程模型，用于描述种群增长或衰减的过程。
本文将通过一个例题来详细讲解logistic模型的微分方程的推导和解法。
假设有一个物种的种群在自然环境中繁殖。
初始时刻，种群数量为N0，种群增长速率与种群数量成正比，但是当种群数量达到一定阈值K时，增长速率会减小，并且趋于稳定状态。
我们需要推导并解决这一问题。
步骤一：建立微分方程 首先，我们需要根据问题描述建立微分方程。
令N(t)表示种群数量关于时间t的函数，则种群增长速率与种群数量成正比，可以表示为dN/dt。
根据问题描述，增长速率随着种群数量的增加而减小，我们可以引入一个衰减因子r(N)。
将上述条件综合起来，我们可以得到微分方程：dN/dt = r(N)N步骤二：确定衰减因子 接下来，我们需要确定衰减因子r(N)的具体形式。
根据logistic 模型的特点，我们可以假设衰减因子与种群数量之间存在一定的关系。
通常，我们可以将衰减因子表示为r(N) = k(N/K)，其中k表示常数。
将该关系带入微分方程中，我们可以得到：dN/dt = k(N/K)N步骤三：求解微分方程 现在，我们需要求解上述微分方程，得到种群数量关于时间的函数N(t)。
将微分方程重新整理一下：dN/N = k(N/K)dt将等式两边同时积分，得到：∫dN/N = ∫k(N/K)dt 对左边积分得到ln|N| + C1，对右边进行换元积分得到ln|N/K| + C2。
将这两个积分结果代入原方程，我们可以得到：ln|N| + C1 = ln|N/K| + C2步骤四：确定常数 为了确定常数C1和C2的值，我们需要利用题目给出的初始条件。
根据题目描述，初始时刻种群数量为N0，代入上述方程计算得：ln|N0| + C1 = ln|N0/K| + C2C1 = C2 - ln|N0/K|步骤五：得出最终结果将上述结果代入上一步得到的方程中，我们可以得到：ln|N/N0| = ln|(N0/K)e^kt|现在，我们可以利用指数函数的性质进行进一步化简：N/N0 = (N0/K)e^kt这就是logistic模型的微分方程的最终结果。
大学数学微分方程练习题及答案
大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。
掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。
以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。
题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
求解该微分方程。
解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。
首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。
将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。
题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。
求解该微分方程。
解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。
首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。
对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。
经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。
题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。
logistic模型微分方程例题
logistic模型微分方程例题在应用数学中，logistic模型是用来描述一种种群增长的模型。
其微分方程可以写为：\[\frac{{dP}}{{dt}} = r \cdot P \cdot \left(1 - \frac{{P}}{{K}}\right)\]其中，\(P\)代表种群数量，\(t\)代表时间，\(r\)代表种群的增长率，\(K\)代表种群的最大容量。
这个模型是基于以下假设：种群的增长率与种群数量成正比，但是随着种群数量接近最大容量，增长率会逐渐减小。
下面我们将通过一个具体的例题来解释和应用logistic模型微分方程。
假设某地的野生兔子数量满足logistic模型。
已知种群增长率为0.5，最大容量为1000只。
现在需要通过微分方程来预测未来某个时间点的兔子数量。
解：首先，我们将已知的参数代入logistic模型微分方程中：\[\frac{{dP}}{{dt}} = 0.5 \cdot P \cdot \left(1 -\frac{{P}}{{1000}}\right)\]接下来，我们可以通过分离变量的方法将微分方程重新进行整理：\[\frac{{dP}}{{P(1 - \frac{{P}}{{1000}})}} = 0.5 dt\]然后，对方程两边同时进行积分：\[\int\frac{{dP}}{{P(1 - \frac{{P}}{{1000}})}} = \int0.5 dt\]对左边的积分进行部分分式分解，得到：\[\int\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1000 - P}\right)dP = 0.5t + C_1\]进一步进行计算和整理，得到：\[\ln\left|\frac{P}{1000 - P}\right| = 0.5t + C_2\]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是积分常数。
继续进行计算，得到：\[\frac{P}{1000 - P} = Ke^{0.5t}\]其中，\(K = e^{C_2}\)。
logistic模型微分方程例题
logistic模型微分方程例题Logistic模型是描述生物种群增长的经典模型之一，它可以用微分方程来描述。
假设种群的增长受到两个因素的影响：种群内部的增长趋势和环境的承载能力。
Logistic模型的微分方程可以写成以下形式：dN/dt = rN(1 N/K)。
其中，N表示种群数量，t表示时间，r表示种群的固有增长率，K表示环境的承载能力。
这个微分方程可以被解释为种群增长的速率与种群数量N成正比，但同时受到环境承载能力K的限制。
当N接近K时，种群增长速率接近零，达到了环境的极限。
现在让我们来看一个具体的例题：假设一种动物的种群在适宜环境下的固有增长率r为0.1，环境的承载能力K为1000。
如果初始种群数量为100，求在此环境下种群数量随时间的变化规律。
我们可以通过求解Logistic模型的微分方程来解决这个问题。
首先，微分方程dN/dt = 0.1N(1 N/1000)，初始条件N(0) = 100。
要解决这个微分方程，我们可以使用分离变量的方法，或者使用数值方法进行近似求解。
无论哪种方法，最终我们会得到种群数量N随时间的变化规律。
另外，我们还可以讨论在不同的固有增长率r和环境承载能力K下，种群数量的变化规律会有何不同。
比如，当固有增长率增加时，种群数量的增长速度会如何变化？当环境承载能力减小时，种群数量的稳定状态会受到怎样的影响？总之，Logistic模型的微分方程可以帮助我们理解种群增长的规律，以及环境对种群增长的调节作用。
通过研究这些问题，我们可以更好地制定保护野生动物和植物种群的策略，以及合理利用资源，保护生态平衡。
经典：微分方程模型——数学建模真题解析
h h
ds
16
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
1
2
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
3
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
吸收
中心室
19
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)解析
c 2
1 1 r
x c
1r
r
1 ，1
c r1
x
cr r2 1
dy
1
x
r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
当 x 0 时， y 缉私艇不可能追赶上走私船。
3)
r 1 ，
y
1 2
x2 c2 2c
c ln
x c
当 x 0 时， y ， 缉私艇不可能追赶上走私船。
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
六. 实验任务
1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地 方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全 速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计 算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 (4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于
t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2); jstxb=[jstxb,jstx]; jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2); jstyb=[jstyb,jsty]; zscy=a*t; zscyb=[zscyb,zscy]; end zscxb=zeros(length(zscyb)); plot(jstxb,jstyb,zscxb,zscyb,'*')
5.3.2 缉私艇追击走私船问题
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（微分方程模型）
．一个半球状雪堆，其体积融化地速率与半球面面积成正比，比例系数 > .设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为且小时中融化了总体积地，问雪堆全部融化还需要多长时间？
．从致冰厂购买了一块立方体地冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了
（）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）
（）如运输时间需要小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？
．一展开角为α地圆锥形漏斗内盛着高度为地水，设漏斗底部地孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中地水流光需要多少时间？
．容器甲地温度为度，将其内地温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为度，又过十分钟后温度计读数为度，试求容器乙内地温度.
．一块加过热地金属块初始时比室温高度，分钟测得它比室温高度，问：（）小时后金属块比室温高多少？（）多少时间后，金属块比室温高度？
．设初始时容器里盛放着含净盐千克地盐水升，现对其以每分钟升地速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟升地速率放出盐水，求小时后容器里地盐水中还含有多少净盐？
．某伞降兵跳伞时地总质量为公斤（含武器装备），降落伞张开前地空气阻力为,该伞降兵地初始下落速度为，经秒钟后降落伞打开，降落伞打开后地空气阻力约为试球给伞降兵下落地速度(),并求其下落地极限速度.
．年月日英国人创建了一项最低开伞地跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地英尺时才打开降落伞，试求他落地时地速度.
．证明对数螺线上任一处地切线与极径地夹角地正切为一常数，（）．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为.现有一包裹从离地米高地飞机上落下，（）求其落地时地速度（）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹地速度会随高度而任意增大吗？
．生态学家估计人地内禀增长率约为，已知年世界人口数为亿（×）而当时地人口增长率则为.试根据模型计算：（）世界人口数地上限约为多少（）何时将是世界人口增长最快地时候？
．早期肿瘤地体积增长满足模型（λ，其中λ为常数），（）求肿瘤地增倍时间
σ.根据统计资料，一般有σ()（单位为天），肺部恶性肿瘤地增倍时间大多大于天而小于天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质地重要参数之
一（）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤地大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度地公式
．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为μ，重约μ.，（）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有以上（即已增大倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症地关键之一（）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法.射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降.一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行地治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭.
．设药物吸收系数（为药物地分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度地峰值（峰浓度）级达峰时间.
．医生给病人开药时需告诉病人服药地剂量和两次服药地间隔时间，服用地剂量过大会产生副作用甚至危险，服用地剂量过小又达不到治疗地目地，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到,试分析这一问题并设计出一种病人服药地方法.
．在法国著名地洞穴中保留着古代人类遗留下来地壁画.从洞穴中取出地木炭在年做过检测，测得碳地衰减系数为每克每分钟个，已知碳地半衰期为年，试求这些壁画地年龄（精确到百年）.
．年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳仅为原有量地，试计算该动物大约生活在什么时候.
．年我国在西北某地发现了一处新石器时代地古墓，从该墓中发掘到地文物地每克每分钟衰减数为个，试确定该古墓地年代.
．实验测得一克镭在一年中会衰变掉毫克，据此你能推算出镭地半衰期吗？
．根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量地乘积成正比.设初始时刻溶液中两种物质地数量分别为和，两物质反应地质量之比为 : ，求时刻溶液中生成物地数量().
．牛顿发现在温差不太大地情况下，物体冷却地速度与温差成正比.现设正常体温为，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为度，一小时后再次测量，测地体温约为度，试推测该受害者地受害时间.
．已知铀地半衰期为∙年，已测出某颜料每克白铅中铀地分解数为个每分钟，试计算：（）每克白铅中有多少铀分子
（）铀在这种白铅中所占地百分比有多大？
．人们普遍认为新产品地畅销期为()位于至之间，试求新产品畅销期地持续时间长度.．某人每天由饮食获取大卡地热量，其中新陈代谢约需大卡，每公斤体重约需运动消
耗大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于大卡，求此人体重地增长公式及极限体重.
．由于各级火箭地质量不同，应当是不同地.请对三级火箭求出最优设计.
．在年上半年（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格地隔离政策，试建一模型研究这一问题.
．医生发现，麻疹有以下明显特征：（）潜伏期大约为周，在潜伏期内地孩子从表面上看完全是正常地，但他（她）却会把疾病传染给别地孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些.考虑这两个特征并选用适当地参数建模，使结果大致有周地潜伏期及大约两年地周期性.
．人工肾地功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物地血管相通.人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中地流动方向相反，血液中地废物通过薄膜渗透到人工肾中流动地液体里，试建立模型来描写这一现象.
．自治系统平衡点地稳定性也可利用等斜线来讨论.例如，对（）曲线和可以证明：任一轨线都必垂直地穿过地等斜线而水平地穿过地等斜线.利用这一点画出模型平衡点周围地轨线.
．是某一捕食系统地数学模型，其中.研究此捕食
系统，证明：不管开始时食饵多么丰富，捕食种群最终必将绝灭.
．大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统.在求解你地模型时也许你会遇到困难，建议对模型中地参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值地敏感性.
．香烟地过滤嘴有多大作用？与使用地材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清华大学姜启源教授地“数学模型”书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立地模型与那里给出地模型作一比较，看看你自己地模型建得如何）.。