微分方程模型习题
（微分方程模型）
．一个半球状雪堆，其体积融化地速率与半球面面积成正比，比例系数 > .设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为且小时中融化了总体积地，问雪堆全部融化还需要多长时间？
．从致冰厂购买了一块立方体地冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了
（）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）
（）如运输时间需要小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？
．一展开角为α地圆锥形漏斗内盛着高度为地水，设漏斗底部地孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中地水流光需要多少时间？
．容器甲地温度为度，将其内地温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为度，又过十分钟后温度计读数为度，试求容器乙内地温度.
．一块加过热地金属块初始时比室温高度，分钟测得它比室温高度，问：（）小时后金属块比室温高多少？（）多少时间后，金属块比室温高度？
．设初始时容器里盛放着含净盐千克地盐水升，现对其以每分钟升地速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟升地速率放出盐水，求小时后容器里地盐水中还含有多少净盐？
．某伞降兵跳伞时地总质量为公斤（含武器装备），降落伞张开前地空气阻力为,该伞降兵地初始下落速度为，经秒钟后降落伞打开，降落伞打开后地空气阻力约为试球给伞降兵下落地速度(),并求其下落地极限速度.
．年月日英国人创建了一项最低开伞地跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地英尺时才打开降落伞，试求他落地时地速度.
．证明对数螺线上任一处地切线与极径地夹角地正切为一常数，（）．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为.现有一包裹从离地米高地飞机上落下，（）求其落地时地速度（）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹地速度会随高度而任意增大吗？
．生态学家估计人地内禀增长率约为，已知年世界人口数为亿（×）而当时地人口增长率则为.试根据模型计算：（）世界人口数地上限约为多少（）何时将是世界人口增长最快地时候？
．早期肿瘤地体积增长满足模型（λ，其中λ为常数），（）求肿瘤地增倍时间
σ.根据统计资料，一般有σ()（单位为天），肺部恶性肿瘤地增倍时间大多大于天而小于天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质地重要参数之
一（）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤地大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度地公式
．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为μ，重约μ.，（）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有以上（即已增大倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症地关键之一（）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法.射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降.一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行地治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭.
．设药物吸收系数（为药物地分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度地峰值（峰浓度）级达峰时间.
．医生给病人开药时需告诉病人服药地剂量和两次服药地间隔时间，服用地剂量过大会产生副作用甚至危险，服用地剂量过小又达不到治疗地目地，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到,试分析这一问题并设计出一种病人服药地方法.
．在法国著名地洞穴中保留着古代人类遗留下来地壁画.从洞穴中取出地木炭在年做过检测，测得碳地衰减系数为每克每分钟个，已知碳地半衰期为年，试求这些壁画地年龄（精确到百年）.
．年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳仅为原有量地，试计算该动物大约生活在什么时候.
．年我国在西北某地发现了一处新石器时代地古墓，从该墓中发掘到地文物地每克每分钟衰减数为个，试确定该古墓地年代.
．实验测得一克镭在一年中会衰变掉毫克，据此你能推算出镭地半衰期吗？
．根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量地乘积成正比.设初始时刻溶液中两种物质地数量分别为和，两物质反应地质量之比为 : ，求时刻溶液中生成物地数量().
．牛顿发现在温差不太大地情况下，物体冷却地速度与温差成正比.现设正常体温为，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为度，一小时后再次测量，测地体温约为度，试推测该受害者地受害时间.
．已知铀地半衰期为?年，已测出某颜料每克白铅中铀地分解数为个每分钟，试计算：（）每克白铅中有多少铀分子
（）铀在这种白铅中所占地百分比有多大？
．人们普遍认为新产品地畅销期为()位于至之间，试求新产品畅销期地持续时间长度.．某人每天由饮食获取大卡地热量，其中新陈代谢约需大卡，每公斤体重约需运动消
耗大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于大卡，求此人体重地增长公式及极限体重.
．由于各级火箭地质量不同，应当是不同地.请对三级火箭求出最优设计.
．在年上半年（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格地隔离政策，试建一模型研究这一问题.
．医生发现，麻疹有以下明显特征：（）潜伏期大约为周，在潜伏期内地孩子从表面上看完全是正常地，但他（她）却会把疾病传染给别地孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些.考虑这两个特征并选用适当地参数建模，使结果大致有周地潜伏期及大约两年地周期性.
．人工肾地功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物地血管相通.人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中地流动方向相反，血液中地废物通过薄膜渗透到人工肾中流动地液体里，试建立模型来描写这一现象.
．自治系统平衡点地稳定性也可利用等斜线来讨论.例如，对（）曲线和可以证明：任一轨线都必垂直地穿过地等斜线而水平地穿过地等斜线.利用这一点画出模型平衡点周围地轨线.
．是某一捕食系统地数学模型，其中.研究此捕食
系统，证明：不管开始时食饵多么丰富，捕食种群最终必将绝灭.
．大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统.在求解你地模型时也许你会遇到困难，建议对模型中地参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值地敏感性.
．香烟地过滤嘴有多大作用？与使用地材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清华大学姜启源教授地“数学模型”书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立地模型与那里给出地模型作一比较，看看你自己地模型建得如何）.
第五章微分方程模型
第五章 微分方程模型 、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c - =-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况 解：
（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 2()0.003()0.001()0.002(0)1000000 dp t p t p t dt p ?=--???=? 解得 0.0010.0012999998()11000001t t ae p t a ae --+==-其中 当t →∞ 时，2p →。 、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程： 0,(0)dN kN N N dt =-= 解得 0()kt N t N e =
第五章----微分方程模型
第五章 微分方程模型 5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢， 减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c -=-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题
第5章 微分方程模型
第5章 微分方程模型 一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。 4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。 二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？ 三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型 )(003.0) (t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速 率是)(001.02 t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平 均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 2. 用具有放射性的14 C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子 与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14 C 。在 活组织中14C 的吸收速率恰好与14 C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚 死亡时14 C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生 物标本现在14C 的衰变速率，由于14 C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用14C 测古生物年代的模型（14 C 的半衰期为5568年）。 3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ?g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ?g ），试确定该洞中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ?g ），活数标本为6.68计数（min ?g ），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。