第五章微分方程模型

例3：放射性废物的处理问题 美国原子能委员会（现为核管理委员会）
处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能 很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里. 他们这种做法安全吗？ 联想：安全 、危险 分析：可从各个角度去分析造成危险的因素， 这里仅考虑圆桶泄露的可能.
问题的关键
* 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒)
第五章 微分方程模型
5.1 微分方程建模概述 5.2 简单微分方程模型案例 5.3 综合性微分方程模型
传染病模型 古尸断代
正规战与游击战
5.1 微分方程建模概述
动态 模型
? 描述对象特征随时间 (空间)的演变过程 ? 分析对象特征的变化规律 ? 预报对象特征的未来性态 ? 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
这里T0是当t=0时尸体的温度 ,也就是所求的死亡时 间时尸体的温度。
模型建立与求解
T ? Tout ? (T0 ? Tout )e ?? t
将题目提供的参数代入，得
? 21 ? (37 ? 21)e??t ? 29
? ?21
?
(37 ?
21)e ?? (t?1)
?
27
T0=37oC； Tout=21oC； T(t)=29oC；
分析：考虑圆桶的极限速度
limv(t) ? W ? B ? 527.436? 470.327
t? ?
C
0.08
≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）
实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！
解决思路：避开求t0的难点
令 v(t)=v(y(t)), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度
将
dv
?
dv dy .
F阻=0.02m
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铁链下滑示意图
t= 0
t时刻
x(t)
L/5
2x+L/5
x(t)
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例2：刑事侦察中死亡时间的鉴定
问题描述
在凌晨 1时警察发现一具尸体 ,测得尸体温度是 29?C,当时环境温度是 21?C。一小时后尸体温度下 降到 27?C,若人的正常体温是 37?C,估计死者的死 亡时间。
其中
m
d2y dt2
?
W
?
B
?
D
(1)
m ? W , D ? Cv , dy ? v
g
dt
或
?? dv ? cg v ? g (W ? B), ? dt W W
(2)
??V(0) ? 0.
方程的解为
v(t)
?
W
?
B
(1 ?
? Cg t
e W ),
t? 0
C
计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0
? 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 ? 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ? 按照内在规律或用类比法建立微分方程
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变 化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分 方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
算出 y= 238.4 (英尺)＜300（英尺）
问题的实际解答：美国原子能委员会处理 放射性废物的做法是极其危险的，必须改变。
例4：崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
* 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末 速度.（原问题是什么?） 可利用的数据条件：
圆桶的总重量 W=527.327（磅） 圆桶受到的浮力 B=470.327（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移 满足的微分方程：
代入（1）得
dt dy dt
m dv . dy ? W ? B ? Cv , dy dt
或
?
? ?
W
?
v B ? Cv
dv dy
?
g W
,
?? v ( 0 ) ? 0 , y ( 0 ) ? 0 .
两边积分得函数方程：
?
v C
?
W?B C2
ln
W
?B W?
? Cv B
?
gy W
,
若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度
方法原理
牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速 度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛 顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定。
模型建立与求解
设尸体的温度为 T(t)(t从谋杀后计 )，运用牛顿
冷却定律得
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速度
dT dt
??
(Tout
? T)
得到它的通解为
T ? Tout ? (T0 ? Tout )e ?? t
例1：铁链下滑问题
问题： 一条长为 L米质量为 M的链条悬挂在一个钉子 上，初始时，一边长 3/5L，另一边长 2/5L，由静止 启动。分别根据以下情况求出链条下滑的时间： 1、不计摩擦力和空气阻力； 2、阻力为 1/10L的链条重； 3、阻力与速度 v成正比; 4、摩擦力与对钉子的压力成正比，在 v=1时。
求解微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
5.2 一些简单的微分方程案例
T(t+1)=27oC
解得:
e??t
?
8 16
和
e ?? (t ?1)
?
6 16
则
e?
?
4 3
求得:
? ? 0.2877, t ? ? Ln(21 ) ? 2.409(h) ?
模型建立与求解
求得:
?
?
0.2877, t
?
?
Ln(21 )
?
?
2.409(h)
这时求得的t是死者从死亡起到尸体被发现所 经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时 间大约是前一天的夜晚10:35。
v(300).(试一试)
* 用数值方法求出v(300)的近似值为
v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）
* 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增
大,y 也增大,可求出函数y=y(v)
y?
?W g
(W C
?
W ? B W ? B ? Cv C 2 ln W ? B ),
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），