第六讲 微分方程模型
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
第6讲 微分方程模型之战争模型
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
x cxy
y
bx
cy 2 2bx n n cy02 2bx0
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
g bx, b rx px
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x&(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y&(t)
g(x,
y)
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型
y(t)
n 0,乙方胜
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y0 x0
2rx px sx ry sry x0
n 0,平局 n 0,甲方胜
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
微分方程的经典模型
模型分析
问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重 （记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数， 我们就能找到一个含有的
dW 微分方程。 dt
模型假设
W0 ； 1.W ( t ) 表示 t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 2. W ( t ) 关于 t 连续而且充分光滑；
模型建立
游击作战模型的形式：
，
(t) f (x, y) x (t) g(x, y) y x(0) x , y(0) y 0 0
, 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x ,y ) c x y
g (x ,y )dxy
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K K0 ，则乙的兵力减少到
甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， K0
K0 胜。而当
a
时
时，甲方获
时，双方战平。
2 2 bx ay 0 甲方获胜的充要条件为 0 0
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
2 2 r p x r p y x x 0 y y 0
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x ( t) f( x ,y ) x u ( t) y ( t) g ( x ,y ) y v ( t) x ( 0 )x , y ( 0 )y 0 0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
得：
其解为：
i(t) i0e
k0t
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律 无限增加，显然与实际不符
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
微分方程模型
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
数学建模-微分方程模型.pptx
数学建模－ 微分方程模型
xx 同济大学数学科学学院
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1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
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2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
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51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
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t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
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29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
微分方程模型(全)
例5 作战模型
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
例4 黄灯时间
对于这个刹车距离问题，显然与“速度” 有关，速度要从 v0 变到 0，从而用到导数.
涉及的量为： “距离”（米），“时间”（秒）， “速度”， “加速度”，摩擦力等；
有（待定）函数关系的两个量定为： 距离 x， 时间 t；
涉及的原则或物理定律： 力学定律 F=ma.
例4 黄灯时间
设汽车重量为 W，摩擦系数为 f. 根据定义， 对汽车的制动力为 fW，其方向与汽车行进方 向相反（见图4-2）.
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 4
200(个细菌).
#
例3 溶液浓度
例3 溶液浓度
所以确定浓度的“变化率”与“酸性浓度”， “清水的量”的关系是解决问题的关键。
涉及的量为： “清水的总量”，“酸性浓度”（用纯量单位 :1）. “酸性浓度变化率”，体积（常数），其中 都使用题目中的纯量单位; 有（待定）函数关系的两个量定为： 酸性浓度 S，清水的总量 x； 涉及的原则或物理定律： 导数＝变化率，溶液保持均匀，体积 V 不变.
《微分方程模型》课件
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微分方程模型.ppt
利用达伦贝尔动力平衡原理建模
• 请建立如图系统的微分方程模型
Example :mass-spring-damper
cy
k ky y M Mຫໍສະໝຸດ cyf(t)
f(t)
达伦贝尔力平衡原理
d y (t ) dy M c ky (t ) f (t ) 2 dt dt
2
古斯塔夫· 罗伯特· 基尔霍夫
y 0 y
y0
df dx
f ( x)
x0
We get Δ y=kΔ x Or y=kx
A
y kx
x
x0 x0 x
非线性系统的线性化
请列出系统的微分方程并线性化。
例 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg sin
Does not satisfy the superposition property
and
(3)
yx
2
When
x x0 x
y y0 y Equation (2) can be rewritten
as
y0 y kx0 kx b
We have
y kx
or
y kx
Linearization of Weak Nonlinear Characteristic
Linearization using Taylor series point( Equilibrium Position)
expansion about the operating
The output-input nonlinear characteristic of y=f(x) is illustrated in the following figure:
6 微分方程模型
y x2 + y 2
x
.
所以有
dy dy = dx dt dx = v1 − v2 dt −v2 , x2 + y2
初值问题
dy v1 =− v2 dx y (h) = 0 x2 + y2 y + x x
二 建立微分方程模型的方法
（1）根据变化规律列方程 利用人们熟悉的力学、数学、物理、 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科 中的规律，如牛顿第二定律， 中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射 规律等。对某些实际问题直接列出微分方程． 规律等。对某些实际问题直接列出微分方程． （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式， 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式， 与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数 及其导数应用规律。 及其导数应用规律。
将t=1972，T=5730，x0=38.37，x(1972)=29.78代入 ， ， ， 代入 上式， 上式，得
5730 38.37 1972 − t0 = ln ≈ 2095 ln 2 29.78
⇒ t0 = 1972 − 2095 = −123 (年) 年
即马王堆墓入葬的年代大约在公元前123年左右 年左右 即马王堆墓入葬的年代大约在公元前 的西汉中期， 的西汉中期，这与马王堆出土文物的考证结果相 一致。 一致。
vx = −v2 cos θ v y = v1 − v2 sin θ dx dy = −v2 cos θ , = v1 − v2 sin θ . 即 dt dt O
v
v2
θ
h
v1
A v2
x
由图可知
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型及软件求解
04
微分方程求解的数值方 法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是微分方程求解中最简单的一种数值方法，其基本 思想是用离散的点上的函数值来近似代替连续的函数值。
详细描述
欧拉方法基于函数在离散点上的取值来近似表示函数在连续 区间上的变化。它通过设定初始条件和微分方程，逐步计算 出各个离散点上的函数值，从而得到整个区间上的近似解。
微分方程用于描述市场供需关系、经济增长和预测经 济趋势。
微分方程的数值解法
01
欧拉方法
一种简单的一阶数值方法，通过迭 代逼近微分方程的解。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程进行求 解。
03
02
龙格-库塔方法
一种高阶数值方法，适用于求解非 线性微分方程。
软件求解
使用数学软件如MATLAB、Python 等求解微分方程。
05
微分方程求解的软件应 用实例
MATLAB求解一阶微分方程
总结词
MATLAB是一款功能强大的数学计算软件， 可用于求解各种微分方程，包括一阶微分方 程。
详细描述
在MATLAB中，可以使用内置的`dsolve`函数 来求解一阶微分方程。例如，要解方程 `dy/dx = y`，可以使用以下代码
MATLAB求解一阶微分方程
= sin(π√x2+y2)
MATLAB求解偏微分方程
[px, py] = gradient(-f); % 计算函数f的梯 度
pdepe(px, py, x, y) % 解偏微分方程 Δy=0Δy=0Δy=0
MATLAB求解偏微分方程
```
这将得到偏微分方程的数值解。
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``` 这将得到方程的数值解。
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。
微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。
本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。
2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。
初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。
3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。
对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。
4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。
对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。
微分方程模型的应用广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。
电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。
例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。
3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。
例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。
4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。
5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。
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用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引 起误差的原因是10年增长率估计过高． 按照附录中第2列给出的实际人口可以算出，19世纪100年 和20世纪前80年的10年增长率分别为0.266和0.137，远小于 1790到1800年的增长率0.307．
这个事实对r是常数的基本假设提出了异议.
产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资 源、环境条件等因素对人口继续增加的抑制作用越来越显著， 如果人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常 数的话，那么当人口增加到一定数量后,增长率就会随着人口 的继续增加而逐渐减少.许多国家人口增长的实际情况完全证 实了这一点.我们不妨利用附录第2列给出的数据计算一下美 国人口每10年的增长率,可以知道大致是逐渐下降的.
2、Malthus模型和Logistic模型只考虑了人口总数 和总的增长率，不涉及年龄结构．事实上，在人口 预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不 同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别．两个 国家或地区目前人口总数一样，如果一个国家或地 区年轻人的比例高于另一国家或地区，那么二者人 口的发展状况将大不一样．因此考虑人口模型时， 除了时间变量外，年龄是另一个自变量，得到一个 偏微分方程．
§3.1 §3.2 §3.3 附：
小船行走路线问题 单种群模型与人口问题 交通管理中的黄灯问题 数学建模常用软件简介
§3.1
问 题
小船行走路线问题
一小船从河边某点驶向对岸码头,若考虑水的流速影响, 船行走的路线如何? y 如图3.1.1建立坐标系 (1)水流方向为y轴正向，速 度大小为a; (2)船在A处,轮船匀速行驶, 速度为b,为了到达码头,总 0 是朝向码头O前进； (3)船行走的路线为 y y ( x) (4)河宽为l米.
建模与求解
记
T1
T1－驾驶员反应时间
T3
T2
T2－汽车通过十字路口的时间 T3―停车距离的驾驶时间， 则T=T1+T2+T3为黄灯应亮的时间， 下面计算T2，T3 设法定行驶速度为v0 , 十字路口的长度为I，典型的车身长度 为L.
因为车的尾部必须通过路口，这样通过路口的实际长度就是 I+L，所以汽车通过十字路口的时间为：
格式：dsolve(‘s’, ’s1’, ’s2’,…, ’x’) 其中s为方程；s1, s2, …为初始条件，缺省时给出含任意常 数c1, c2, …的通解；x为自变量，缺省时默认为t .
d 2 y dy 2 4 12 y 0 例如：求微分方程 dx 的特解 dx y (0) 0, y(0) 5
pm d2p 当 p > 2 时， 2 < 0, 曲线向下凹. dt
结论： 人口增长速度dp/dt 由增变减，在pm/2处最大，即在人口总 数达到极限值一半以前是加速生长时期，过这一点以后， 生长的速度逐渐变小，并且迟早会达到零，这是减速生长 时期． 注：1、本节讨论的人口模型，原则上可适用于其他生物种 群，如森林中的树木，池塘中的鱼等，Logistic模型在生 物数量的分析和预测中有着广泛的应用.
第三章 微分方程建模（Ⅰ）
在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量 之间的联系，问题本身往往会给出关于变化率的 一些关系．利用这些关系，我们可以建立相应的 微分方程模型．微分方程建模是数学建模的重要 方法之一，在自然科学以及工程、经济、军事、 社会科学等领域中，微分方程模型是大量存在 的．本章将讨论如何把一些实际问题转化为微分 方程的定解问题．
由船行速度向量的方向为船行 路线的切线方向，所以有
y
Q
N
by y x y bx
2 2
a
P( x, y)
M
x2 y2
或
0
A(l ,0)
x
y a y 2 y 1 ( ) x b x
(1)
图3.1.1
于是我们的问题是求上述方程满足条件
的解.
y a y 2 y 1 ( ) x b x y (l ) 0
>> dsolve('D2y+4*Dy+12*y=0','y(0)=0,Dy(0)=5','x') ans = 5/4*2^(1/2)*exp(-2*x)*sin(2*2^(1/2)*x)
如何建立Malthus的数学模型呢? 设时刻t的人口数为p(t), t = t0 时的人口数为p0, 人口增长率为 = rp (t ) r 根据Malthus的假设,在t到t+△t时间内人口的增长量为
p (t + Δt ) - (t ) Δt
p(t t ) p(t ) rp(t )t
r ( p) r sp
(r , s 0)
r ( p) r sp
(r , s 0)
这里r 相当于p=0时的增长率，称固有增长率． 显然对于任意的p>0 ，增长率r(p)<r. 为确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最 大人口容量pm，称最大人口容量． 当 p= pm时增长率为零，即r(pm )=0，由此可确定出 s=r/pm . 人口增长率r(p)可表示为
M
A(l ,0)
x
PN {0, a}
划船方向指向原点O(0,0)，大小为b.
图3.1.1
y
所以划船速度向量
Q
N
PM {
bx x2 y2
,
by x2 y2
P( x, y)
}
0
M
A(l ,0)
x
图3.1.1
因此船行速度向量
PQ { bx x2 y 2 , by x2 y 2 a}
为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必 须修改Malthus模型关于人口增长率是常数这个基本假设.从而 得到Logistic模型.
模型２ Logistic模型
此模型是荷兰生物学家Verhulst于十九世纪中叶提出．
修改假设：
将增长率r表示为人口p(t)的函数r(p),
按照前面的分析,r(p)是p的减函数. 一个最简单的假定是：设r(p)是p的线性函数，即
x y y 1 k 1 x 2 x c
2 2
（**）
由(*)、(**)可解出
l x 1-k x 1+ k y = [( ) - ( ) ] 2 l l
当x=0时确有y=0，故小船一定能到达码头. 思考：这条路线是最优路线吗？若不是，考虑最优路线． 应以时间最短为标准. 最佳路线应是O到A的直线.
（2）
y a y 2 y 1 ( ) x b x
(1)
模 型 求 解
方程(1)是齐次方程，由齐次方程解法得
a y x y cx , (k 1) （*） b k 由 y(l ) 0 ，可求出任意常数 c l .
2 2 1 k
此外, 有
1 y x y
2 2
p r ( p) r (1 ) pm
其中r, p是根据人口统计数据或经验确定的常数．
p r ( p) r (1 ) pm
（上式表示增长率r(p)与人口尚未实现部分（对最大容量Pm而
pm p 言） 的比成正比，比例系数为固有增长率r.） pm
按照上述假定,（3）应修改为
p dp )p r (1 pm dt p(t ) p 0 0
(1)
dx 对方程(1)积分一次,并代入条件 dt
t 0
v0 ，得
v0 令末速dx/dt=0，得刹车所用时间为 t1 fg
对(2)再积分一次，并代入条件 x(0) 0 ，得
dx fgt v0 dt
(2)
1 2 x(t ) fgt v0t 2
将t1=v0 / fg代入上式，得停车距离为
数学建模常用的三种数学软件
1） Matlab
2） Lindo/ Lingo
3） Mathematica
1）Matlab
Matlab的含义是矩阵实验室(Matrix Laboratory)，是美国MathWork公司于 1982年推出的一套高性能的数值计算和 高性能化软件、它集数值分析、矩阵计 算、信号处理和图形显示于一体. 构成 一个方便的、界面友好的用户环境. 到 目前为止，它已发展成为国际上最新优 秀的科技软件之一.
优点：大型矩阵运算功能非常强，构造个人适用函数很方 便，属于数值计算型软件，对处理大批数据效率高. 因此，非 常适合大型工程技术中使用.
缺点：输出界面稍差，符号运算功能也显得弱一些.再一 个就是这个软件所占内存太大，按现在流行的版本6.5，占硬盘 空间近1个G，对计算机的硬件要求较高.
例1：利用Matlab解微分方程
dp rp （3） dt p(t 0 ) p 0
(4)
（4）式称为Logistic模型．其解为
p(t )
pm pm r ( t t 0 ) 1 ( 1)e p0
(5)
由解(5),可得出人口总数具有如下规律: ①当t→∞时,p(t)→Pm，即无论人口初值如何，人口总是趋 于极限值Pm.
§3.2 单种群模型与人口问题
动植物种群本身是离散变量，谈不到可微性，但由于 突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体 数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假 设大规模种群随时间是连续地甚至是可微地在变化，进而 可以引用微分方程这一数学工具来研究.
模型1 Malthus模型
英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus,1766—1834)于1798 年提出了著名的人口指数增长模型． 这个模型的基本假设：在人口自然增长过程中，人口的净增 长率为常数,即单位时间内人口增量与当时的人口总量成正比.