第五章+微分方程---万有引力定律的发现

Logistic 模型
1 1 − λt 1 + − 1e i 0
−1
t
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 传染病高潮到来时刻
1 t m = λ ln − 1 i 0
t → ∞ ⇒ i →1 ?
病人可以治愈！ 病人可以治愈！
λ (日接触率 ↓ → tm↑ 日接触率)↓ 日接触率
K α w = L 1−α r
w ↑, r ↓, α ↑ ⇒ K/L ↑
3) 经济 生产率 增长的条件 (动态模型 经济(生产率 生产率)增长的条件 动态模型 动态模型) 增长, 要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长 K(t), L(t)应满足的条件 应满足的条件 模型 假设 • 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产 用一定比例扩大再生产) 用一定比例扩大再生产
模型4 模型
di dt = λsi − µi ds = − λsi dt i (0) = i0 , s (0) = s 0
SIR模型 模型 消去dt 消去 σ =λ/µ
1 di ds = σ s − 1 i s= s = i0
0
相轨线
相轨线 i ( s ) 的定义域 在D内作相轨线 i ( s ) 内作相轨线 的图形， 的图形，进行分析
λ~日
接触率
建模
N [i (t + ∆t ) − i (t )] = [λs (t )]Ni (t )∆t
di = λ si dt
s (t ) + i (t ) = 1
di = λ i (1 − i ) dt i ( 0 ) = i0
模型2 模型
i 1 1/2 i0 0 tm
di = λ i (1 − i ) dt i ( 0 ) = i0 i (t ) =
• 降低 s0
s0 + i0 + r0 = 1
提高 r0
群体免疫
σ 的估计
1
s∞ s 0 + i0 − s ∞ + ln =0 σ s0
忽略 i0
ln s0 − ln s∞ σ= s0 − s∞
模型4 模型
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x = s0 − s∞
SIR模型 模型
1 x s∞ x + ln(1 − ) ≅ 0 =0 s 0 + i0 − s ∞ + ln σ s0 σ s0 i0 ≅0, s0 ≅1
SIR模型 模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 ）总人数 不变 病人、 不变， 出者的比例分别为 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 2）病人的日接触率λ , 日治愈率µ, ） 接触数 σ = λ / µ
建模
s (t ) + i (t ) + r (t ) = 1
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程
必须区分已感染者(病 必须区分已感染者 病 和未感染者(健康人 人)和未感染者 健康人 和未感染者 健康人)
若有效接触的是病人， 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2 模型2
假设
区分已感染者(病人 和未感染者 健康人) 区分已感染者 病人)和未感染者 健康人 病人 和未感染者(健康人 1）总人数N不变，病人和健康 ）总人数 不变 不变， 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) 2）每个病人每天有效接触人数 ） 为λ, 且使接触的健康人致病 SI 模型
模型3 模型
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 病人治愈成 传染病无免疫性 SIS 模型 为健康人， 为健康人，健康人可再次被感染 3）病人每天治愈的比例为µ ）
µ ~日治愈率 日
建模 N [i (t + ∆ t ) − i (t )] = λ Ns (t )i (t ) ∆ t − µ Ni (t ) ∆ t
感染期内有效接触感染的 感染期内有效接触感染的 i0小 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型 如何看作模型 模型)如何看作模型 模型)的特例 模型 模型 如何看作模型3(SIS模型 的特例 模型
⇒ i(t )按S形曲线增长
模型4 模型
假设
传染病有免疫性——病人治愈 病人治愈 传染病有免疫性 后即移出感染系统， 后即移出感染系统，称移出者
模型4 模型
SIR模型 模型
N [i (t + ∆t ) − i (t )] = λNs (t )i (t ) ∆t − µ Ni (t ) ∆t
N [ s (t + ∆t ) − s (t )] = − λNs (t )i (t ) ∆t
di dt = λ si − µ i 无法求出 i ( t ), s ( t ) ds = − λ si 的解析解 dt i ( 0 ) = i0 , s ( 0 ) = s 0 在相平面 s ~ i 上 研究解的性质 i0 + s0 ≈ 1 (通常r (0) = r0很小）
dK = λQ, λ > 0 dt
• 劳动力相对增长率为常数
Q = f 0 Lg ( y )
g( y) = y
α
dL = µ L L (t ) = L0 e µt dt dK α = λ f 0 Ly dt
K y = , K = Ly L
dK dy =L + µ Ly dt dt
dK = λf 0 Ly α dt
1
x<<s0
x x (1 − − 2 )≅0 s0σ 2 s0σ
1
i
x ≈ 2 s 0σ ( s 0 −
s0 - 1/σ = δ
1
σ
)
0 s ∞ 1/ σ
P1
s0
s
δ 小 , s0 σ ≅ 1
x ≅ 2δ
提高阈值1/ 降低被 提高阈值 →降低被 传染人数比例 x
5.2
经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 建立产值与资金、 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 研究资金与劳动力的最佳分配， • 调节资金与劳动力的增长率，使经济 生产率 增长 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率 生产率)增长 1. 道格拉斯 道格拉斯(Douglas)生产函数 生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 技术 f(t) = f0 F为待定函数 为待定函数 劳动力 L(t)
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
di = λ i (1 − i ) − µ i dt i ( 0 ) = i0
λ ~ 日接触率
1/µ ~感染期 感染期
σ =λ/µ
σ ~ 一个感染期内每个病人的 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。 有效接触人数，称为接触数。 接触数
模型3 模型
di/dt
di = λ i (1 − i ) − µ i dt i
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/ ~ 阈值
模型4 模型
预防传染病蔓延的手段
SIR模型 模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/σ 传染病不蔓延的条件 • 提高阈值 1/σ 降低 σ(=λ/µ)
λ ↓, µ ↑
λ (日接触率 ↓ ⇒ 卫生水平↑ 日接触率)↓ 卫生水平↑ 日接触率 µ(日治愈率 ↑ ⇒ 医疗水平↑ 医疗水平↑ 日治愈率)↑
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1
D = {( s , i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
Байду номын сангаас
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
模型1 模型1
假设 建模
病人) 已感染人数 (病人 i(t) 病人 • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病 人数为λ 足以使人致病)人数为 足以使人致病
i (t + ∆t ) − i (t ) = λi (t )∆t
di = λi dt i ( 0 ) = i0
i ( t ) = i0 e
λt
t →∞ ⇒i →∞ ?
P4
di 1 di dt = λsi − µi ds = σ s − 1 ds = − λsi i s= s = i0 dt i (0) = i0 , s (0) = s 0
0
1
s(t)单调减→相轨线的方向 单调减→ 单调减
1
P2 im
P1∗ P3
z = Q / L = f0 g ( y)
Q = f 0 L ( K / L )α
g ( y) = yα ,
0 <α <1
g(y)
Q ( K , L ) = f 0 K α L1−α Douglas生产函数 生产函数
∂Q ∂Q , >0 ∂K ∂L
∂ 2Q ∂ 2Q , 2 < 0 含义？ 含义？ 2 ∂K ∂L
微分方程模型I 第五章 微分方程模型I
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.7 传染病模型 经济增长模型 正规战与游击战 药物在体内的分布与排除 香烟过滤嘴的作用 烟雾的扩散与消失
5.6 人口预测和控制 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 描述对象特征随时间(空间 空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
S = Q − rK − wL
求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 求资金与劳动力的分配比例 每个 劳动力占有的资金) 使效益S最大 劳动力占有的资金 ，使效益 最大
∂S ∂S = 0, =0 ∂K ∂L
KQK LQL = α, = 1−α Q Q
QK r = QL w
QK L α = QL K 1 − α
s = 1 / σ , i = im t → ∞ , i → 0
s∞ s ∞ 满足 s 0 + i0 − s ∞ + ln =0 σ s0
0
s∞
S0
1 / σ s0
1s
P1: s0>1/ → i(t)先升后降至 先升后降至0 先升后降至 P2: s0<1/ → i(t)单调降至 单调降至0 单调降至
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数 生产函数 更一般的道格拉斯
Q ( K , L) = f 0 K α Lβ , 0 < α , β < 1, f0 > 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） ）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） 资金来自贷款， 资金来自贷款，利率 r 资金和劳动力创造的效益 劳动力付工资 w
0 y
1. Douglas生产函数 生产函数 QK ~ 单位资金创造的产值 QL ~ 单位劳动力创造的产值
Q(K , L) = f0 K L
α
1−α
KQ K = α, Q
LQ L = 1−α Q
KQK + LQL = Q
α ~ 资金在产值中的份额
1-α ~劳动力在产值中的份额 劳动力在产值中的份额
Q ( t ) = f 0 F ( K ( t ), L ( t ))
1. 道格拉斯 道格拉斯(Douglas)生产函数 生产函数 静态模型 每个劳动 力的产值 模型假设
Q( K , L) = Q z= L
f 0 F ( K , L)
每个劳动 y = K 力的投资 L
z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减 的增加而增长，
σ >1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
dK dy = L + µLy dt dt
dy α + µ y = f0λ y dt
Bernoulli方程 方程
1 1−α
f 0λ f 0 λ − ( 1−α ) µ t 1−α y (t ) = µ + ( y 0 − µ )e K0 1−α α 1−α & 0 = λQ0 y0 = K 0 / L0 , Q0 = f 0 K 0 L0 , K y0 = f0λ & K0