第三章-微分方程模型
第3章 微分方程
流出-流入 积累率
( u ) ( u ) ( u ) x y z dxdydz x y z
dxdydz t
( u x ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z t
P38
柱坐标中的表达式：
1 1 rur u uz 0 t r r r z
式中： r 径向坐标；z 轴向坐标；θ方位角
（2-14）
d u r dt
表示线速度
直角坐标系与柱坐标系的关系
P38
图2-2b 示出球坐标系与直角坐标系的关系。
x 向质量净出率：
x 向增加量
( u x )dx dydz x
① 质量净出率
x 向质量净出率： y 向质量净出率：
z 向质量净出率：
三向六面净出率：
（kg/s）
( u x )dx dydz x
( u y )dy dxdz y
( uz )dz dxy z
本节内容：
1.能量方程（ E.E. ）的建立 2. 其他坐标系下的形式 3. E.E.的简化
4. E.E.的应用举例
1. 方程的建立 ( E.E. )
衡算根据：热力学第一定律，即某过程中体系从环境中所吸
收的热量减去对体系所作功之差，等于该体系在过程前后的能量 变化，其数学表达式为：
在传热、传质过程中往往伴随有流体流动，因
此均需要用到C.E.。
2．连续性方程的另一表达式
( u ) 0 t
引入随体导数的概念，上式可写为：
( u ) 0 u u t t
或
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程:
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x(0) x0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
x(t)
ent ( x0
cos d t
x0
x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
mx cx kx F(t)
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
mx cx kx F0 sin t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 mx cx kx F0 sin t
3.1微分方程模型-微分方程的几个简单实例
微分方程模型浙江大学数学建模实践基地§3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。
在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin θ，根据牛顿第二定律可得：sin ml mg θθ=- 从而得出两阶微分方程：0sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎪=⎧⎪⎨⎩ （3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。
当θ很小时，sin θ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：00(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎧=⎪⎨⎪⎩ （3.2）由此即可得出2g T l π=（3.2）的解为: θ(t )=θ0cosωtg l ω=其中当时,θ(t )=04T t =42g T l π=故有M Q P mgθl 图3-1（3.1）的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。
与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。
设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。
这一问题属于对策问题，较为复杂。
讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。
设巡逻艇在A 处发现位于B 处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA 为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r =r (θ)，见图3-2。
B AA1dr ds dθθ图3-2由题意，，故ds =2dr 2ds dr dt dt =图3-2可看出，222()()()ds dr rd θ=+故有:2223()()dr r d θ=即:3rdr d θ=（3.3）解为：3r Ae θ=（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和 铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力， 为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度 （匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹 及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太 阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。 ２、每颗行星运营过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过旳面积是常数。 ３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道 长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0
数学建模竞赛课件---微分方程模型
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
2.微分方程模型
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
翻译为
dT 与T m成正比 dt
数学语言
建立微分方程
dT k (T m ), dt T (0) 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
1 16 代入条件，求得c=42 ， ln , 最后得 k 3 21 1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21 , t ≥0.
1 16 结果 ：T(10)=18+42 3 ln 21 10 =34.97℃， e
该物体温度降至30℃ 需要13.82分钟.
例2、车间空气的清洁
问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一 台机器每分钟能产生r立方米的二氧化碳（CO2），为 清洁车间里的空气，降低空气中的CO2含量，用一台 风量为K立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜 空气来降低车间里的空气的CO2含量。假定通入的新 鲜空气能与原空气迅速地均匀混合，并以相同的风量 排出车间。又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0% 的CO2.问经过t时刻后，车间空气中含百分之几的CO2? 最多能把车间空气中CO2的百分比降到多少？
30000 60 24 365
这些铀约重
第三章 数学模型1-微分方程.
线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
•
建模方法
机理分析法
适用于比较简单的系统
实验辨识法
适用于复杂系统
数学模型的概括性
• 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电 气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能 具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。
•
•
数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模 型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再 涉及实际系统的物理性质和具体特点。
自动控制原理
第三章 线性系统的数学模型
本章知识点： 线性系统的输入－输出时间函数描述 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法
引言
定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系 的数学表达式即为数学模型。 用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 （内部描述） 复域：传递函数（外部描述）、动态结 构图 频域：频率特性
目的：从时间域角度，建立系统输入量
（给定值）和系统输出量（被控变量）之 间的关系。
两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应
描述。
一．
线性系统的微分方程描述（机理建模法）
SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描 述的标准形式
an1c(t ) anc(t )
1.
c( n) (t ) a1c( n1) (t ) a2c( n2) (t )
列写系统微分方程的步骤
① ② ③
划分不同环节，确定系统输入量和输出量；
写出各环节（元件）的运动方程；
消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变 量及其各阶导数的方程； 化为标准形式。
微分方程模型
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
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结束
医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
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结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
第三章 微分方程及差分方程方法
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )
x
C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得
微分方程模型——数学建模真题解析
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
方程模型
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
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微分方程模型1.1微分方程模型简介对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。
所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。
微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1•、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系；2•、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）；3•、运用这些规律列出方程和定解条件。
2.1微分方程模型运用实例例1:发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。
首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答这个问题：（1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。
首先将问题理想化，假设：（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。
建模与求解：设地球半径为R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为m。
根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为GMmF—(1)r其中G为引力常数。
为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得GMm 亠m2 mg 2 或GM 二R g R再代入（1）式，得根据假设（i ）,若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为 因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有（R ^ mv 2mg — I =——r由此便推得卫星距地面为 （r 一 R ）km ，必须的最低速度的数学模型为 （3）取 R= 6400km ，r -R= 600km ，代入上式，得v 7.6km/s即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s 。
（2）火箭推进力及升空速度火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。
燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。
火箭飞行要受地球引力、 空气阻力、地球自转与公转等的影 响，使火箭升空后作曲线运动。
为使问题简化，假设：（i ）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。
（ii ）在t 时刻火箭质量为 m （t ），速度为v （t ），且均为时间t 的连续可微函数； （iii ）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数 u 。
问题分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在 （t,r ：t ）内的减少量可由台劳展式表示为»dm » » m （t =t ） -m （t ）t o （ ：t ） （4）dt因为喷出的气体相对于地球的速度为v （t ） -u ，则由动量守恒定律有m （t ）v （t ） = m （t =t ）v （t =t ） - 罟 二七 o （^t ） （v （t ） - u ） （5）从（4）式和（5）式可得火箭推进力的数学模型为dv dm m u （ 6）dtdt令t = 0时，v （0） =v °，m （0） =m°，求解上式，得火箭升空速度模型v （t ）=v ° ul （ 7） m （t ）（6 ）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。
（7 ）式表明，在v °,m ° —定的条件下，升空速度 v （t ）由喷气速度（相对火箭）u 及质量比m ° /m （t ）决定。
这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u 值；从结构上设法减少 m （t ）。
（3） —级火箭末速度上限火箭一卫星系统的质量可分为三部分： m p （有效负载，如卫星），m F （燃料质量），m s（结构质量，如外壳、燃料容器及推进器） 。
一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制，假设：（i ）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度u=3km/s 及其中g =9.81（m/s 2）为重力加速度。
（2）v ，则其向心力为mv 2 / r ，1 由假设(i )，取u =3km, & =―,便得火箭速度上限9v ° =3ln9 &：6.6km/s因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。
理想火箭模型从前面对问题的假设和分析可以看出： 火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗， 所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大。
所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。
下面建立它的数学模型。
假设：在(t,r . ：t)时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以 :与1 -:的比例同时进行。
建模与分析：由动量守恒定律，有m(t)v(t)二 m(t =t)v(t =t)-：並=t v(t) -(1 -：)虫=t (v(t) - u) o(=t)dt dt由上式可得理想火箭的数学模型为心、dv(t) 。
. dm-m(t)(1-二)u dtdt(10)及v(0) = 0， m(0) = m 0解之得m 0v(t) = (1 - - )u ln(11)m(t)由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量m p ，从而最终速度的数学模型为v(t) =(1 -： )ul 门皿(12)m p(12)式表明，当m 。
足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。
例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使v =10.5km/s 才行，如果取u = 3km/s ， 0.1，m s m F m s1(ii )初速度V o 忽略不计，即V 。
= 0。
模型求解：因为升空火箭的最终(燃料耗尽)质量为 m p - m s ，由(7)式及假设(ii )得到末速度为m om p m s (8)令 m s = ■ (m F - m s ) = ■ (m ° -m p )，代入上式，得m o■m o (1 -，)m p(9)于是，当卫星脱离火箭，即mp =0时，便得火箭末速度上限的数学模型为则可推出m°/m p =50，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
多级火箭卫星系统理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。
目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。
多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i级燃料烧尽时，第i • 1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级。
我们用m i表示第i级火箭质量，m p 表示有效负载。
为了简单起见，先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的■，m i表示第i级结构质量，（1 - Jm j表示第i级的燃料（ii）喷气相对火箭的速度u相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，记该比值为k。
先考虑二级火箭。
由（7）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为k+1 v^i = uln uln扎m, +m? +m p人k + 1在第二级火箭燃烧完时，其速度为mz+m p k + 1V2 = w uln 2ul n （13）扎m2+m p 扎k+1仍取u =3km/s，■ =0.1，考虑到阻力等因素，为了达到第一宇宙速度，对于二级火箭，欲使v2 =10.5km/s，由（13）式得k +16ln 10.50.1k 1解之得k =11.2，这时m0m1 m2 m p 2p=(k 1)2：1490- -m p m p同理，可推出三级火箭k+1v3=3ulnk 1欲使v3 = 10.5 km/s，应该k 3.25，从而m°/m p : 77。
与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。
现记n级火箭的总质量（包括有效负载m p）为m0，在相同假设下（u=3km/s，v末=10.5km/s，- 0.1），可以算出相应的m0/m p值, 现将计算结果列于下表中：实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级以上的火箭，经济效益是不合算的, 因此采用三级火箭是最好的方案。
例2 :战争模型早在第一次世界大战期间，F. W. Lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中包括作战双方均为正规部队；作战双方均为游击队；作战的一方为正规部队，另一方为游击队。
后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争， 如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年的越南战争。
影响战争胜负的因素有很多，兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素。
士兵的数量会随着战争的进行而减少，这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘，也可能是因为疾病与 开小差。
分别称之为战斗减员与非战斗减员。
士兵的数量也可随着增援部队的到来而增加。
从某种意义上来说，当战争结束时，如果一方的士兵人数为零，那么另一方就取得了胜利。
如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢？比如如何描述增加士兵数量与提高士兵素 质之间的关系。
模型假设(i )双方士兵公开活动。
x 方士兵的战斗减员仅与 y 方士兵人数有关。
记双方士兵人数分别为x(t), y(t)，则x 方士兵战斗减员率为 ay(t)，a 表示y 方每个士兵的杀伤率。
可知a = 口 P y ， r y 为y 方士兵的射击率(每个士兵单位时间的射击次数)，P y 每次射击的命中率。
同理，用b 表示x 方士兵对y 方士兵的杀伤率，即 b 二.P x 。
(ii )双方的非战斗减员率仅与本方兵力成正比。
减员率系数分别为 :o(iii )设双方的兵力增援率为u(t),v(t)。
模型与求解由假设可知dx丄“、——=一ay _ax +u(t)业= _bx_By +v(t) ・dt我们对(14)式中的一种理想的情况进行求解， 式化为dx一 =-ay dt 业一 bx dt x(0) = x o ,其中X o , y o 为双方战前的兵力。
由(14)式的前两式相除，得dy bx dx ay分离变量并积分得a(y 2 _y [) =b(x 2 -X ：),整理得2 . 2 2 . 2ay -bx ay 。