第三章微分方程建模
数学建模(补充)m
容易求得 T 物理学中常用半衰期 T 来描述放射性物质的衰减速度，
=
ln 2 。 λ
碳 14 年代测定（1949 年 W. Libby 发现） ：活体中的碳有一小部分是放射性同位 素 C 14 ，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列 交换过程进入活组织中， 直到在生物体中达到平衡浓度。 这意味着在活体中，C 14 的数量与稳定的 C 12 的数量成正比。生物体死亡后，交换过程停止了，放射性碳 便以每年八千分之一的速度减少。
dw ∆w 公斤/每天= 公斤/每天 ∆t → 0 ∆t dt
dw 1300 − 16w = dt 10000 dw 1 ⇒ = dt 1300 − 16 w 10000 1 t − ln |1300 − 16w |= +C 16 10000 ⇒
由 t = 0 时， w = w0
⇒C =−
1 ln |1300 − 16w0 | 16
e10 k − 1 5 ⇒ 10 k 10 k = ，设 u = e10 k e ( e − 1) 3
⇒
u −1 5 = u ( u − 1) 3
⇒ 3 ( u − 1) = 5u ( u − 1)
⇒ 5u 2 − 8u + 3 = 0 ⇒ ( u − 1)( 5u − 3) = 0
⇒ u = 1, u = 3 。 5
而 ds =
ds dt = v dt dt
B B ∴ dh = −( )vdt = −( ) 2 gh dt A A
A = π (10 ) ft 2
2 2
1
1 B = π ft 2 2
v = 2 gh = 2(32) h = 8h 2
1 −8 1 2 h 2 dh = 2 dt 10 1 −8 1 2 ∴ 2h 2 = 2 t + K 10
(整理)第三章微分法建模
第三章 微分法建模微分概念是高等数学中的基本概念，它表示两个变量之间的变化率.尽管大多数学过高等数学的同学对微分概念很熟悉，但灵活地将微分概念运用于数学建模并不是件容易的事情. 3.1 微分法 3.1.1纯增长率概念 纯增长率(pure growth rate)也叫净增长率(net growth rate)，它是微分法建立数学模型最常用的概念之一. 令)(t x 记某个量在t 时刻的值.我们可以设想这个量是某生物种群中个体总数.其实它也可以是地球上人类人口数，或是某集团公司的资本总量等等.这个量可以用不同方式计量，例如人口数量以百万计算；厂商资本的总量以百万元计算；植物的净重以公斤计算；某鱼类种群的数量以公斤计算等等.我们假设它的值可以取某个区间内的任何实数，也就是认为它是一个连续的量. 令b 表示在单位时间现有每单位种群诞生或新加入种群的单位数，并称它为瞬时出生率(instantaneous birth rate)，又令x 记现有种群单位数.于是，在长度为t 的无穷小时间区间中，实际增加的种群单位数近似的为t bx ∆.这里之所以说t bx ∆是近似值，是因为b 通常随时间而变化，即 )(t b b =， 因而我们在出生率前面加上了形容词“瞬时的”. 在无穷小区间),[t t t ∆+内，b 从)(t b 变到)(t t b ∆+. 类似地，x 从)(t x 变到)(t t x ∆+.另一方面，区间),[t t t ∆+又如此之短，以至于在此区间中b 的值与)(t b 的值没有多大区别，而x 与)(t x 的值也同样没有多大的不同. 通常认为，b 和x 对t 至少连续，并且假设x 对t 还是可微的.因此当 0→∆t 时， )()()(t O t b t t b ∆+=∆+,)()()(t O t x t t x ∆+=∆+,这里“大O ”定义为当0→∆t 时的无穷小量，即 时趋于零的量当0)(→∆≡∆t t O . 现在我们可以更确切地写出在无穷小区间),[t t t ∆+内种群实际增加的单位数，这就是 t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ 令d 记在单位时间现有每单位种群中死亡或离开种群的单位数，并称它为瞬时死亡率(instantaneous death rate).于是类似于上面的讨论，在无穷小区间),[t t t ∆+内，实际离开种群的单位数为 t t O t x t O t d ∆∆+∆+)}()()}{()({ 显然，上面两式之差就是在无穷小区间),[t t t ∆+内种群纯增加的单位数，这也正好是)(t x 增加的数量，所以有 =-∆+)()(t x t t x t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ t t O t x t O t d ∆∆+∆+-)}()()}{()({ 现在定义纯增长率μ为单位时间现有每单位种群中纯增加的种群单位数.因为μ为瞬时出生率b 与瞬时死亡率d 之差，亦即d b -=μ. 于是，得到 )]()()][()([)]()()][()([)()(t O t x t O t d t O t x t O t b t t x t t x ∆+∆+-∆+∆+=∆-∆+取极限0→∆t 即得 x x d b dx bx dt dx μ=-=-=)( 从而有 dt dx x 1=μ 如果用)(t o ∆表示当0→∆t 时t ∆的高阶无穷小量，即 时仍趋于零的量之后当除以0)(→∆∆≡∆t t t o . 则(3.1.1)式的右端可改写为)()(t o t x d b ∆+∆-(3.1.2)式本身并不是一个数学模型，而只是纯增长率μ的定义，它通常是t x ,函数.但是一旦对这个函数的具体形式作出假设，它就成为一个数学模型. 3.1.2 微分方程及其初等解法 用微分法建立的数学模型通常都可以用微分方程来表示，因此模型的求解会利用到微分方程的解法.大多数情形下，由于建立的模型比较复杂，很难用初等积分方法来求精确解，这时需要用数值方法来近似求解.但对于较为简单的情形，可以用分离变量法、常数变异法等方法来求得精确解.这些方法在常见的常微分方程书中都可以找到，所以这里不再重复. 3.2 Malthus 模型及其修改 3.2.1 连续Malthus 人口模型 设某地区的人口总数为)(t P .1798年，英国人T.J.Malthus 在研究了百余年的人口统计资料之后，他发现了单位时间人口的净增长与人口总数成正比的规律，即 t t kP t P t t P ∆=-∆+)()()( (3.2.1) 当0→∆t 时，上式变为微分方程)()(t kP dtt dP = (3.2.2) 根据现实状况，配以适当的初始条件如：00)(P t P = (3.2.3)系统(3.2.2) (3.2.3)可求解为： )(00)(t t k e P t P -= (3.2.4) 这就是著名的Malthus 人口模型. 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好的吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异.人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口数量比较符合该模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却与此模型相去很远. 在理论上，当∞→t 时，∞→)(t P .这意味着该地区人口数量可以无限制地增大，这与现实是相矛盾的. 3.2.2 湖泊污染的减退 考虑一个受某种物质污染的湖水.假设这个湖的湖水体积V （以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中.以)(t x 记在任意时刻t 每立方米湖水中所含污染物质的克数，这是污染程度的一种合理量度，习惯上称之为污染浓度.令r 表示每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量.我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，此时流入湖里的全部是干净水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5或环保要求？ 考虑在时间段],[t t t ∆+上湖水污染浓度的变化.因为湖水所含污染物的量的减少是由污水流出造成的，故 t r t x V t x t t x ∆-≈-∆+)()]()([ (3.2.5) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()(t x V r dt t dx -= (3.2.6) 考虑如下的初始条件： 0)0(x x = (3.2.7) 于是(3.2.6) (3.2.7)可求解为： t V r e x t x -=0)( (3.2.8) 这是Malthus 模型的另一个版本. 利用(3.2.8)我们可以解决前面提出的问题.式(3.2.8)告诉我们： ))(ln(0t x x r V t = (3.2.9) 将2005.0/1)(/0==t x x 代入(3.2.9),就可以计算出污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5所需的时间为： r V r V t 320ln 05.0≈= 我们把此结果应用于北美的两大湖：安大略湖和伊利湖.这两个湖的湖水体积分别为121064.1⨯和111058.4⨯立方米，而平均流量分别为每天81073.5⨯和81080.4⨯立方米.因此安大略湖的305.01059.8⨯≈t 天或23.5年，伊利湖的305.01086.2⨯≈t 天或7.8年.由于建立模型时有两个假设； 一、污染物质均匀的混合在湖水中. 二、流入（或流出）湖水的流量是一个常数. 故我们建立的模型与现实是有差距的.当然，如果实际流量的季节性变化对污染没有太大的影响，而污染物质与湖水混合不均匀尽可能延长净化时间的话，上面的结果就可能看成是所需净化时间的一个下限.这是我们从这个简单的模型中所得到的一个很有用的信息. 3.2.3 Malthus 模型的修改——Verhulst 模型 对Malthus 模型的修改中最著名的是Verhulst 模型.考虑到单位时间单位人口的净增长率并不一定是一个常数，那么最简单的假设是线性关系.理论上，如果没有自然灾害、疾病或战争，人类的总数会不断增加，这样必然导致人类生存竞争的加剧和人类生存环境的恶化.事实上，单位时间单位人口的净增长率呈下降趋势.因此人口数量的变化可以考虑关系： )()()()(t bP a t t P t P t t P -=∆-∆+ (3.2.10) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()](1[)(t P t cP a dt t dP -=(3.2.11) 其中a ，b ，a b c /=都是正常数.边界条件(3.2.2)在这里是同样适合.从方程发现，如果c P 10<，则0)(>dt t dP ，从而)(t P 单调增加趋于最大群体数c 1；如果c P 10>，则0)(<dt t dP ，从而)(t P 单调减少趋于最大群体数c 1.事实上，令)(1)(t Q t P =，方程(3.2.11)变为线性方程 ac t aQ dt t dQ =+)()( 其解为： at e c Q c t Q --+=)()(0 ，其中001P Q = 从而 at m me P P P t P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0(3.2.13) 其中b a c P m ==1.显然，当∞→t 时，m P t P →)(.当0P 分别取m m m P P P P P P ><=000,,时图形如图3.1所示.并称m P P <0的图像为Logistic （逻辑斯提克）曲线，而相应的微分方程也称为Logistic （逻辑斯提克）方程. 3.2.4 植物的生长模型 令)(t x 为某种植物在时刻t 的净重（或干重，即不包含水分的重量）.设这种植物吸取一种养料而生长，记这种养料在时刻t 的重量为)(t S .一般而言，养料越多，植物生长得就越快；反之，养料越少，植物生长得就越慢.因此最简单的假设是：t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 成正比，即 t t x t kS t x t t x ∆=-∆+)()()()( (3.2.14) 这里k 是正常数.我们也可以假设别的，例如t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 的平方成正比，或与养料在时刻t 的重量)(t S 的二分之三次方成正比等等.但在缺少有关该植物本身进一步信息的情况下，我们区分不出哪一个假设更正确，因此我们采用其中最简单的假设.当然，这也可能是一个很好的假设，如果不是，以后还可以修改. 由式(3.2.14)即得 k S x dt dx = (3.2.15) 此时，由于养料在时刻t 的重量)(t S 未知，所以(3.2.15)还不能单独求解.我们必须寻求其它的量关系.为此，我们假设养分被植物吸收后全部转化成了植物的净重量，没有丢弃任何东西.这意味着，任意时刻单位时间养分减少的重量与植物净重量的增加相等，此关系可表示为： dx dS -= (3.2.16) 上式中“负号”表示植物的净重量x 增加时养分的重量S 减少.从(3.2.16)中马上可以得到xx S f -=(3.2.17) 其中常数f x 为对应于0=S 时x 的值.方程(3.2.15)和(3.2.17)一起便可求解.将(3.2.17)代入(3.2.15)，得到 x x x k dt dx f )(-= (3.2.18) 这就是植物生长的数学模型.它的解为： t kx f f f e x x x x x t x --+=))0(()0()0()( (3.2.19) 其解曲线如图3.2所示. 注意到曲线是S 形的，先向上弯曲到拐点 )0()0(ln 1x x x kx t f f -=，2fx x =，然后向下弯曲，并且当∞→t 时逼近于水平渐近线f x x =.不难发现，我们又一次得到了Logistic 方程和Logistic 曲线，即方程(3.2.18)和曲线(3.2.19).这是生态学中最重要的数学模型之一.实践中，植物的生长会在有限时间内达到它的最大净重量，而在(3.2.19)中说明只有当∞→t 时)(t x 才逼近于f x .这说明该模型只是抓住现象的本质特点，而不是现实过程的模仿.实际测量数据是判断模型有效性的唯一根据.当适当选择k 和f x 的值之后，上述模型对一年生的植物生长给出了很好的描述. 练习 １．蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成正比.如果不出生幼蚁，则在一周末总数减少一半.然而，由于要产幼蚁，出生率也同现有总数成正比变化，并且两周内蚁群总数翻一番.试确定每周该群体的出生率. ２．一个大罐装有50升的盐水，其内溶有50公斤的盐，水以每分钟2升的速度注入该罐，并且搅拌好的溶液以同样的速度流进原先装有50升纯水的二级罐，试确定25分钟后二级罐内溶液的浓度. ３．假设Verhulst 方程(3.2.11)变为)(])(1[)(2t P t cP a dtt dP -= 试求解之.并比较(3.2.11)的解.如果2)(t P 变为nt P )(又如何？ ４．两棵植物种在一起，按比例吸取养分，试建立它们的生长模型. 3.3 传染病传播的数学模型 人们将传染病的统计数据进行处理和分析发现，在某一地区某种传染病传播时每次所涉及的人数大体上是一个常数.这一现象如何解释呢？下面我们建立传染病传播的数学模型并用我们建立的数学模型来解释这种现象. 传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，如果还要考虑人员的迁入和迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的宣传等因素的影响，那么传染病的传播变得非常复杂. 如果一开始就把所有的因素统统考虑进去，那么我们将陷入多如乱麻的头绪中而不能自拔，倒不如舍弃众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原假设，再建立一个与实际比较吻合的模型.下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可从中得到很好的启发. 模型一 考虑最简单的情形. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数是常数0K ； 假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人. 记 )(t i 表示t 时刻病人数， 0K 表示每个病人单位时间内传染的人数， 0)0(i i =，即最初有)0(i 个传染病人，则在t ∆时间内增加到病人数为 t t i K t i t t i ∆=-∆+)()()(0 于是得微分方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)0()()(i i t i K dt t di (3.3.1) 这也是一个Malthus 模型.其解为： t K e i t i 00)(= (3.3.2) 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的. 这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长. 但由(3.3.2)式可知， 当∞→t 时，∞→)(t i ， 这显然与实际情况不能相符. 问题在于两条假设均不合理.特别是假设（1），每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际不符. 因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多.而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的. 为了更好的吻合实际情况，我们在原有基础上修改假设建立新的模型. 模型二 用)(t i ，)(t s 表示t 时刻传染病人数与未被传染人数.0)0(i i =. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数与这时未被传染人数成正比，比例系数是常数0K ； 假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人； 假设（3），该地区总人数不变，设为n .即n t i t s =+)()(. 由以上假设得微分方程： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=00)0()()()()()(i i n t i t s t i t s K dt t di(3.3.3) 注意到该模型与植物的生长模型一致.因此，可以类似地 求解此模型.其解为： nt K e i n n t i 0)1(1)(0--+=(3.3.4)其图形如图3.3所示.模型(3.3.3)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间. 医学上称t dt di /为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图3.4所示.由(3.3.4)式可解出20020])1(1[)1(00n tK n tK e i n e i n n K dt di ---+-=(3.3.5) 令0)(22=dt t i d ，得极大值点为：n K i n t 001)1ln(-= (3.3.6) 由此可见，当传染病强度0K 或总人数n 增加时，1t 都将变小，即传染病高峰来的快.这与实际情况吻合.同时，如果知道了传染病强度0K （由统计数据得出），即可预报传染病高峰1t 到来的时间，这对于防治传染病是有益的. 模型二的缺点： 当∞→t 时，由(3.3.4)式可知，n t i →)(.即最后人人都要生病. 这显然是不符合实际情况的.造成的原因是假设（2）中假设了人得病后经久不愈. 为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染给别人，因为其中一部分会被隔离. 还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈. 为此作出新的假设，建立新的模型.模型三在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍然要把问题简单化.设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形.并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者.在这种情况下，把居民分成三类： 第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的.用)(t I 表示t 时刻第一类人数. 第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的.用)(t s 表示t 时刻第二类人数. 第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人.用)(t R 表示t 时刻第三类人数. 假设疾病传染服从以下法则： （1）在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N ，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入与迁出等情况. （2）易受传染者人数)(t s 的变化率正比于第一类的人数)(t I 与第二类人数)(t s 的乘积. （3）由第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比. 由假设（1）（2）（3）得微分方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=I dtdR IrsI dtdI rsIdt ds γγ(3.3.7) 其中γ,r 为两个比例常数，r 为传染率，γ为排除率. 由个方程相加得 0)]()()([=++t R t I t s dt d 则)()]()()([人口总数，是常数N t R t I t s =++ 故)()()(t I t s N t R --=. 由此可知，只要知道了)(t s 和)(t I ，即可求出)(t R . 而(3.3.7)式的第一和第二个方程与)(t R 无关，因此由 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=I rsI dt dI rsI dt ds γ (3.3.8) 得 rs rsI I rsI ds dI γγ+-=--=1， (3.3.9) 从而 c s r s s I ++-=ln )(γ当0t t =时， 0000)(,)(s t s I t I ==，记r γρ=，有000ln )(s s s s I s I ρ+-+= 下面讨论积分曲线(3.3.10)的性质. 由(3.3.9)知 ⎪⎩⎪⎨⎧<>==><+-=ρρρρs s s s s I ,0,0,01)(' 所以当ρ<s 时，)(s I 是s 的增函数，ρ>s 时，)(s I 是s 的减函数. 0)()0(00>=-∞=I s I I 由连续函数中间值定理及单调性知，存在唯一点∞s ，00s s <<∞时，使得0)(=s I .而当0s s s ≤<∞时，0)(>s I . 由(3.3.8)式知0=I 时，0/,0/==dt dI st ds ，所以)0,(∞s 为方程组(3.3.8)的平衡点. 当0t t ≥时，方程(3.3.10)的图像如图3.5.图3.5 当t 由0t 变化到∞时，点))(),((t I t s 沿图3.5中诸条曲线移动，并沿s 减少的方向移动，因为)(t s 随时间的增加而单调减少.因此，如果ρ<0s ，则)(t I 单调减小直到零，)(t s 单调减小直到∞s .所以，如果为数不多的一群传染者0I 分散在居民0s 中，且ρ<0s ，则这种传染病会很快被消灭. 如果ρ>0s ，则随着)(t s 减小到ρ时，)(t I 增加，且当ρ=s 时，)(t I 达到最大值.当ρ<)(t s 时，)(t I 才开始减小. 由以上分析可以得出如下结论： 只是当居民中的易受传染者的人数超过阈值r γρ=时传染病才会蔓延. 用一般的常识来检验上面的结论也是合理的.当人口拥挤、密度高、缺乏应有的科学文化知识、缺乏必要的医疗条件、隔离不好而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低、社会条件好、有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭. 如果起初易受传染的人数0s 大于但接近于阈值ρ，即如果)(0ρ-s 与ρ相比是小量，则最终患病的人数近似于2)(0ρ-s .这就是著名的传染病学中的阈值定理.生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理. 定理（传染病学中的阈值定理）设r s +=ρ0，且假设ρ/r 与1比相是小量.并设最初传染者人数0I 很小，则最终患病的人数为r 2.即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少. 根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数.这个定理揭示了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一个常数的现象. 在传染病发生的过程中，不可能准确地调查每一天或每一星期得病的人数.因为只有那些来医院就医的人才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染.因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数.所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出(3.3.7)的第三个方程. )(s R N I dt dR --==γγ (3.3.11) 因为 ργγs s r I r s I dt dR dt ds dR ds -=-=-== 即得 ρdR s ds -= 所以ρ/0)(R e s R s -=代入(3.3.11)得 )(/0ργγR e s R N I dt dR ---== (3.3.12) 方程(3.3.12)虽是可分离变量的，但是不能用显式求解. 如果传染病不严重，则ρ/R 是小量，取泰勒级数 +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2/211ρρρR R e R 的前三项，近似得 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=20211ρργR R s R N dt dR⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=200021ρργR s R s s N其解为 )]21tanh(1[)(002ϕαγαρρ-+-=t s s t R 其中 2/10020])(2)1[(ρραs N s s -+-=，)1(1tanh 01-=-ραϕs 因此 )21(sec 22022ϕαγργα-=t h s dt dR (3.3.13)方程（3.3.13）在dt dR t -平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线.如图3.6.疾病传染曲线很好的说明了实际发生的传染病.每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来. Kermack 和Mekendrick 把(3.3.13)得到的dt dR 的值与取自1905年下半年至1906年上半年在孟买发生的瘟疫资料进行比较，模型值与实际值非常接近.这说明模型III 是很好的. 3.4 Lanchester 作战模型 问题：两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后的胜负状况. 这个问题提得很模糊.因为战争是一个很复杂的问题.涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多因素.因此，如果把战争所涉及到的所有因素都考虑进去，这样的模型是难以建立的.但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的.在第一次世界大战期间，Ｆ·Ｗ·Lancheste r(兰彻斯特)投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得出交战结果的数学模型.并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定理”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比. 对于一次局部战争，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备、指挥艺术.还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数.两军士兵都处于对方火力范围内.由于战斗紧迫、短暂，也不考虑支援部队. 根据问题的不同，Lanchester 将战争分成三种：正规战、游击战和混合战.正规战是指战斗双方都处于对方的视野中，没有掩护.游击战是指战斗双方都处于各自的掩体内不被对方看见，作战射击目标是一个范围而不是单个个人.混合战是指战斗双方其中一方处于自己的掩体内而另一方处于对方的视野中，即一方是游击战而另一方是正规战. 3.4.1正规战模型 令)(t x 表t 时刻甲军人数，)(t y 表t 时刻乙军人数. 在以上假设下，显然甲军人数的减员人数成正比，同样乙军人数的减员率与甲军人数成正比，可得正规部队的作战模型为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=bx dtdy aydt dx (3.4.1)其中0,0>>b a ，均为常数，(3.4.1)式中两式作比值，可积分得 c bx ay bx ay =-=-202022 (3.4.2) 这就是“兰彻斯特平方定理”， (3.4.2)式在y x -平面上是一族双曲线.如图3.7所示，双曲线上箭头所指方向表示战斗力随着时间而变化的方向.图 3.7中，2=a ，1=b .0=c 是一条过原点的直线，它将平面分成两部分：0>c （直线上方的部分）和0<c （直线下方的部分）. 由图3.7知，当0>c 时，曲线与y 轴有一个交点.此时，因为甲部队的士兵人数先减少为０，因此，乙部队获胜.从(3.4.2)式我们知道，乙方要获胜，就要使不等式2020bx ay >成立.可采用两种方式：（1）增大a ，即配备更先进的武器.（2）增加最初投入战斗的人数0y .但是，值得注意的是：在上式中a 增大两倍，结果20ay 也增大两倍.但0y 增大两倍则会使20ay 增大四倍.这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定理的意义，说明兵力增加，战斗力将大大增加. 下面考虑一个具体的数值例子.设甲军有100=m 人，乙军有50=n 人，两军装备性能相同，即令1=b a ，于是(3.4.2)为 a c x y x y =-=-=-7500202022或750022=-y x 因为战斗结束时一方人数为０.显然，甲军获胜.最后，乙军被消灭即0=y ，从而由75002=x 解得87≈x .这说明甲方战斗死亡13人，剩余87人，乙方50人全部战斗死亡. 另外，如果考虑两军作战时有增援.令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率.所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率.即t 时刻单位时间增援的战士人数.此时正规战对正规战的作战模型为： ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dt dy t f ay dt dx(3.4.3)3.4.2 混合战模型如果甲军是游击战，乙军是正规战.由于游击战对当地的地形比较熟悉，常常处于不易被对方发现的有利地形.设游击部队占据区域R ，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R 射击，但并不知道杀伤情况.我们认为如下的假设是合理的：游击部队x 的战斗减员率与自己部队人数x 成正比.因为x 越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性就越大.另一方面，游击部队x 的战斗减员率还应当与对方部队人数y 成正比.因为y 越大，火力越强，x 的伤亡人数也就越大.因此游击部队x 的战斗减员率等于)()(t y t cx ，常数c 称为敌方y 的战斗有效系数.如果)(t f 和)(t g 分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dx dt dy t f cxy dt dx (3.4.4) 若无增援)(t f 和)(t g ，则(3.4.4)式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dx dt dy cxy dt dx(3.4.5)(3.4.5)式中两个方程相比，积分得M dx cy dx cy =-=-020222(3.4.6)(3.4.6)式在y x _平面上定义了一族抛物线，如图3.8所示. 如果0>M ，则正规部队胜.因为当)(t y 减小到c M /，部队x 已经被消灭.同样，如0<M ，则游击队胜. 3.4.3 游击战模型 甲乙双方都是游击部队，因而双方都隐藏在对方不易发现的区域内活动.由混合战部分的分析，得游击战数学模型 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dxy dt dy t f cxy dt dx (3.4.7) 其中)(t f 和)(t g 分别为甲军和乙军的增援率，c ，d 分别为乙军和甲军的战斗有效系数. 如果甲乙双方的增援率均为零，则游击战模型(3.4.7)变为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dxy dt dy cxy dt dx (3.4.8) (3.4.8)式中两个方程相比，积分得 L dx cy dx cy =-=-00 (3.4.9) (3.4.9)式在y x -平面上定义了一族直线，可通过修改图3.7或图3.8的程序来在计算机上输出这一族直线的图像.如图3.9，当0=L 时，它是这族直线中过原点的一条.此时甲乙双方战平（因为双方人数都减少为零），条件为00dx cy =；当0>L 时，即00dx cy >，此时乙方胜（因为甲方人数减少至零时，乙方还有士兵人数为c L /）.最后，当0<L 时，即00dx cy <，甲方胜（因为乙方人数减少至零时，甲方还有人数为d L /-）.。
3~~4 微分方程方法建模
r h / c 105 米/秒
为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数 值代入(2)式整理方程，得
dQ 105 103 Q(t ) , 0 t 1800 3 10 Q(t ) 5 104 Q(t ) , t 1800 dt
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3.2 草地水量模型
问题陈述
草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水; 雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。 由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
0.0835 10% 0.124e
0.0015t1
t1 3334秒
雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水 量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。
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3.3 传染病模型 模型1 (简单模型) 模型2 (SI模型) 模型3（SIS模型）
根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
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3.2 草地水量模型
数学建模03-偏微分方程方法I_32
=(号)2 (yk+l — 2yk + yk-l), k = 1, • • • , n — 1
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
其中a2 = M， T是弦中的张力 （弦振动时它被当作常数）， M是总质点， 这些研究最终只对 二阶常微分 方程的理论有贡献.
开创了音乐审美.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
传说有一天， 毕达哥拉斯外出散步， 经 过一家铁匠铺， 发现里面 传出打铁的声音,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
要比别的铁匠铺 更加协调、悦耳. 他走进铺子， 量了量铁锤和铁砧的 大小,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
发现了一个规律, 音响的和谐 与发 声体体积的 一定 比例有关.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
而响度较小' 频率 加倍的辅助音 被 称为谐音.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
飞利浦•拉莫(Jean-Philippe Rameau) 在 1722年
关于和声理论 阐述如下事实：
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
—声音的频率 是基音 频率的整数倍 则称为 乐声是和谐的. 由此激起了人们 运 用数学来研究 乐声 的和谐问题.
(AX)2
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
然后他注意到 当n 变成无穷时， △x趋于0, 方括号 内的表达式 就变 成了悬-
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
因此他推出了 包—a2 包(I 1) dt2 — a dx2 (丄•丄丿 其中 Q2 —岑是常数,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
得到了一个 二阶常微分方程 a x =s讷
_____
第3章 微分方程模型
第三章 微分方程建模在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。
例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。
本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。
这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。
提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。
最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。
因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。
事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。
§3.1 几个简单实例例3.1 （理想单摆运动的周期）本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。
（图3-1）从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 sin mg ，根据牛顿第二定律可得：θθsin mg ml -= 从而得出两阶微分方程：sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ⎧+=⎪⎨⎪==⎩ （3.1） 这就是理想单摆运动满足的微分方程。
（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。
根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：⎪⎩⎪⎨⎧===+∙∙∙0)0(,0)0(0ϑϑϑϑϑl g （3.2）（3.2）的特征方程为02=+lg λ 对应的特征根为i lg =λ，（其中i 为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为： t c t c t ωωϑcos sin )(21+=，其中lg =ω 代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解θ(t )= θ0cos ωt注意到当4T t =时，θ(t ) = 0，即可得出 24πω==T l g t 故有 l g T π2=这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。
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实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
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运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
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微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和 铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力， 为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度 （匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹 及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景： 开普勒三定律： １、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太 阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。 ２、每颗行星运营过程中单位时间内太 阳—行星向径扫过旳面积是常数。 ３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道 长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
3第三章 线性微分方程
第三章 线性微分方程线性微分方程是常微分方程理论的重要组成部分，它在自然科学和工程技术方面有着极其广泛的应用，很多实际问题都可以用线性微分方程来处理.在第一章中，我们学习了一阶线性微分方程的处理方法，本章介绍高阶线性微分方程的概念以及常系数线性微分方程的解法.3.1 线性微分方程的一般理论在第一章，我们介绍了一阶线性微分方程)()(x q y x p y =+'的解法，这里介绍n 阶线性微分方程的概念，以及解的存在唯一性定理.首先来研究下面一个实际的例子.例1 弹簧振动设一质量为m 的物体A 悬挂在一上端固定的弹簧的末端（假设弹簧的质量相对于物体A 的质量可以忽略）试求该物体在外力)(t f 作用下的所满足的微分方程.当物体A 不受外力时，重力与弹簧的拉力平衡时的位置选为坐标轴x 的原点O ，向下的方向取为x 轴的正向.设t 时刻，物体A 的位移为)(t x ，速度为)(t v ，加速度为)(t a ，则22)(,)(dtx d t a dt dx t v ==. 由牛顿第二定律知，ma F =，其中m 是物体A 的质量，a 是加速度，F 是合外力.下面对物体A 所受到的力进行分析，由以下几个部分构成.（1）弹簧的拉力1f ，设弹簧的弹性系数为k ，在t 时刻，物体的位移为)(t x ，依据胡克定律知kx f -=1（2）空气的阻力2f ，当速度不太大时，空气的阻力与物体的速度成正比，设比例常数为)0(>μ，因为阻力的方向与速度的方向相反，所以dtdx v f μμ-=-=2 （3）外力)(t f因此，我们得到合外力)(t f dtdx kx F +--=μ 代入ma F =得物体A 所满足的微分方程为)(22t f kx dt dx dtx d m =++μ （3.1） 那么物体A 的运动规律方程)(t x 就是上述微分方程（3.1）的解，如何解该方程是我们本章学习的重点.方程（3.1）和我们第一章中所学的一阶线性微分方程一样，都是线性微分方程，因为方程（3.1）中的导数的最高阶数为2，所以（3.1）是二阶线性微分方程.一般的n 阶线性微分方程具有如下的形式：)0)((),()()()()(01)1(1)(0≠=+'+++--x a x y x a y x a y x a y x a n n n n ϕ因为0)(0≠x a ，所以上式可化为)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2） 其中)()()();,,2,1(,)()()(00x a x x f n i x a x a x p i i ϕ=== 方程（3.2）的初值条件为)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y （3.3） 方程（3.2）在什么条件下存在满足初值条件（3.3）的解呢？有解的话，其解是否唯一？存在区间又是什么呢？为了解决这些问题，我们先给出一般的n 阶方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y满足初值条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 的解的存在唯一性定理.定理3.1 如果函数),,,,()1(-'n y y y x f 在闭区域1)1(0)1(100001,,,,:---+≤-≤'-'≤-≤-n n n n b y y b y y b y y a x x R上满足（1）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上连续；（2）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上关于变量)1(,,,-'n y y y 满足李普希兹条件，即存在正数N ，使得对于任何一对点1)1(222)1(111),,,,(),,,,,(+--∈''n n n R y y y x y y y x ，总有)(),,,,(),,,,()1(2)1(12121)1(222)1(111-----++'-'+-≤'-'n n n n y y y y y y N y y y x f y y y x f 则初值问题⎩⎨⎧='='='=---)1(00)1(0000)1()()(,,)(,)(),,,,(n n n n y x y y x y y x y y y y x f y 在0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解)(x y ϕ=. 这里),,,,(max },,,,,min{)1(),,,,(11001)1(-∈'-'==+-n R y y y x n y y y x f M Mb M b M b a h n n . 定理3.1的证明和第二章中的解的存在唯一性定理的证明是相仿的，读者可以模仿定理2.1的证明，完成定理3.1的证明.n 阶线性微分方程（3.2）只是一般的n 解微分方程的一种特殊形式，和一阶线性微分方程类似，有如下的解的存在唯一性定理.定理3.2 如果方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，则初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)()()()()(n n n n n n y x yy x y y x y x f y x p y x p y x p y 在],[b a 上存在唯一解)(x y ϕ=.该定理的证明可以利用定理3.1，只要),,2,1)((n i x p i =以及)(x f 在区间],[b a 上连续，则该初值问题就满足了定理3.1的两个条件，从而定理3.2是成立的.如无特别声明，在本章的讨论中，总假定方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，从而，方程（3.2）满足初值条件（3.3）的解在闭区间],[b a 上存在且唯一.特别地，如果0)(=x f ，则方程（3.2）变为0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n （3.4）方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程；如果0)(≠x f ，则称方程（3.2）为n 阶线性非齐次微分方程.这时，称方程（3.4）为方程（3.2）所对应的n 阶线性齐次微分方程.3.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程，对于这类方程应该如何处理呢？我们先研究方程（3.4）的解的性质（1）如果1y 是方程（3.4）的解，则对任意常数C ，1Cy 也是方程（3.4）的解.证明 因为1y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(111)1(11)(1Cy x p Cy x p Cy x p Cy n n n n +'+++--00))()()((111)1(11)(1=⨯=+'+++=--C y x p y x p y x p y C n n n n 因此，1Cy 也是方程（3.4）的解.（2）如果21,y y 是方程（3.4）的解，则21y y +也是方程（3.4）的解.证明 因为21,y y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 0)()()(221)1(21)(2=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(21211)1(211)(21y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--))(())((])())[(()()(21211)1(2)1(11)(2)(1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- ))()()(())()()((221)1(21)(2111)1(11)(1y x p y x p y x p y y x p y x p y x p y n n n n n n n n +'+++++'+++=---- 000=+=因此，21y y +也是方程（3.4）的解.推论 如果n y y y ,,,21 是方程（3.4）的解，则对任意n 个常数n C C C ,,,21 ，线性组合n n y C y C y C +++ 2211也是方程（3.4）的解.该推论可由性质（1）和性质（2）直接推出.并且根据性质（1）和性质（2），我们可以得出，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的解构成一个线性空间，称为解的线性空间.例1 易于验证函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，因此，函数x x e C e C x y -+=21)(也是原方程的解.反过来，方程0=-''y y 的通解是不是x x e C e C x y -+=21)(呢？同样地，给出了方程（3.4）的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 后，含有n 个任意常数n C C C ,,,21 的函数)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是否就是线性齐次微分方程的通解呢？为了解决这个问题，我们首先给出函数组的线性相关和线性无关的概念.定义3.1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果其中的某个函数可由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性相关的.如果任何一个函数都不能由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性无关的.定理3.3（判定定理）函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.如果只有n k k k ,,,21 全为零时，0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n 才成立，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性无关.证明 如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n不妨假定01≠k ，则)()()(12121x y k k x y k k x y n n ---= 即)(1x y 可由)(,),(2x y x y n 线性表出，因此函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.由线性相关与线性无关的定义，我们可以很容易的得出下面的结论：（1）在函数组)(,),(),(21x y x y x y n 中，如果含有一个零函数，比如0)(=x y i ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关.事实上，)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即)(0)(0)(0)(0)(00)(1121x y x y x y x y x y x y n i i i ⨯++⨯+⨯++⨯+⨯=+-（2）如果函数组只含有两个函数)(),(21x y x y ，则它们线性相关等价于它们之比)()(21x y x y 为常数. 证明 如果)(),(21x y x y 线性相关，则其中的一个可以由另一个线性表出，不妨设)()(21x y x y →，则存在常数k ，使得)()(21x ky x y =，所以k x y x y =)()(21为常数. 反过来，如果)()(21x y x y 为常数，设k x y x y =)()(21，则)()(21x ky x y =， 即)()(21x y x y →，所以)(),(21x y x y 线性相关.例2 函数组x x e x y e x y -==)(,)(21在任意区间是线性无关的.证明 因为x e x y x y 221)()(=不是常数，所以x x e x y e x y -==)(,)(21线性无关. 例3 函数组x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===在任意区间上是线性相关的.证明 因为x x x 22sin cos 2cos -=，即)()()(321x y x y x y -=，所以函数组 x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===线性相关.对于一般的函数组，直接用线性相关和线性无关的定义，或者用定理3.3去判定是非常困难的.比如函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性相关的，还是线性无关的呢？为了解决这个问题，我们下面给出朗斯基（Wronski ）行列式的定义.定义3.2 设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，我们称行列式)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式.函数组的朗斯基行列式有如下的性质：定理3.4 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义而且线性相关，又对每个),,2,1)((n k x y k =存在1-n 阶导数，则它们的朗斯基行列式恒等于零.证明 因为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，所以其中的一个函数可由其余1-n 个函数线性表出，不妨设)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即存在1-n 个常数n i i k k k k k ,,,,,,1121 +-，使得)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i ++++++=++--而且有)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i '++'+'++'+'='++-- …………………………………………………………………………………………)()()()()()()1()1(11)1(11)1(22)1(11)1(x y k x y k x y k x y k x y k x y n nn n i i n i i n n n i --++------++++++= 则在朗斯基行列式)()()()()()()()()()()()()()1()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n i n n i i ----''''=的计算中，第一列乘以1k -，第二列乘以2k -，…，第1-i 列乘以1--i k ，第1+i 列乘以1+-i k ，…，第n 列乘以n k -后，全加至第i 列，则第i 列中的每个元素全为零，所以0)()()(0)()(0)()(0)()()()1()1(2)1(12121='''=---x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n nn n n n推论1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，如果存在某一点I x ∈0，使得0)(0≠x W ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关.该推论是定理3.4的逆否命题，所以显然是成立的.例4 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 在任意区间上是线性无关的.证明 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 的朗斯基行列式为01cos sin sin cos 0cos sin 0sin cos 1cos sin )(≠-=---=---=x x x x x x x x x x x W 所以函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性无关的.例5 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 （其中n λλλ ,,21两两互异）在任意区间上是线性无关的.证明 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 的朗斯基行列式为1121121)(1121121111)(21212121---+++---==nnn n nx x nn x n x n x n x x x x xn n n n e e e e e e e e e e x W λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∏≤<≤+++-=n j i i j xn e 1)()(21λλλλλ因为n λλλ ,,21两两互异，所以0)()(1)(21≠-=∏≤<≤+++n j i i j xn e x W λλλλλ ，因此，函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 线性无关.由定理3.4知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，则它们的朗斯基行列式恒为零；反过来，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式恒为零，能不能得出函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关呢？即朗斯基行列式恒为零是不是线性相关的充分必要条件呢？下面的例子给出了答案.例6 函数组,0,0)(21<≥⎩⎨⎧=x x x x y 0,0,0)(,22<≥⎩⎨⎧=x x x x y 显然是线性无关的，因为)()(21x y x y 不是常数.但是，它们的朗斯基行列式为 当0≥x 时，0020)(2==x x x W ，当0<x 时，0200)(2==xx x W . 即，对所有的R x ∈，朗斯基行列式恒为零.通过这个例子，我们可以看出即使函数组的朗斯基行列式恒为零，该函数组也有可能是线性无关的，所以函数组的朗斯基行列式恒为零是判定函数组线性相关的必要条件，而不是充分条件.我们只能用朗斯基行列式在某点处不为零，判定该函数组线性无关.但是，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解，这时它们的朗斯基行列式恒为零是判定该函数组线性相关的充分必要条件.这可由下面的定理得到.定理3.5 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，则它们的朗斯基行列式0)(≠x W在区间),(b a 上恒成立.证明 假设0)(≠x W 在区间),(b a 上不恒成立，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x W .构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='++'+'=+++---0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C n n n n n n n n n因为方程组的系数行列式0)(0=x W ，所以方程组有非零解，设为)0()0(2)0(1,,,n C C C （)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零） 以)0()0(2)0(1,,,nC C C 为系数，构造)(,),(),(21x y x y x y n 的线性组合)()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++=根据齐次线性微分方程解的性质知，它是方程（3.4）的解.而且满足初始条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=='++'+'='=+++=----0)()()()(0)()()()(0)()()()(0)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10)1(0)0(02)0(201)0(100)0(02)0(201)0(10x y C x y C x y C x yx y C x y C x y C x y x y C x y C x y C x y n n n n n n n n n n 而0)(≡x y 也是方程（3.4）的解，也满足0)(,,0)(,0)(0)1(00=='=-x y x y x y n .因为初值问题⎩⎨⎧=='==+'+++---0)(,,0)(,0)(0)()()(0)1(001)1(1)(x yx y x y y x p y x p y x p y n n n n n 的解是唯一的，所以0)()()()()0(2)0(21)0(1≡+++=x y C x y C x y C x y n n又)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零，由定理3.3知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关，这与函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关矛盾. 所以，假设不成立，因此，0)(≠x W 在区间),(b a 上恒成立. 推论2如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个解，如果存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0=x W则该解组在),(b a 上线性相关.该推论是定理3.5的逆否命题，所以显然是成立的. 推论3方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 在其定义区间),(b a 上线性无关的充要条件是，存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0≠x W . 这样，我们就可以得出下面的结论：设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠.这样，我们判定方程的n 个解是线性相关还是线性无关就可以看),,(0b a x ∈∀ )(0x W 是否为零.解决了线性相关与线性无关的判定问题后，我们继续解决线性齐次微分方程的通解问题，首先给出基本解组的概念.定义3.3 方程（3.4）的定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，称为方程（3.4）的基本解组.例7 在例1中，我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，而且x x e x y e x y -==)(,)(21是线性无关的两个解，即)(),(21x y x y 是方程0=-''y y的基本解组，那么x x e C e C x y -+=21)(是否为方程的通解呢？我们需要证明，方程的任一解是否可由基本解组线性表出？定理 3.6 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则对于（3.4）的任一解)(x y ，均可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，存在一组数)0()0(2)0(1,,,nC C C ，使得 )()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++= .证明 设)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++'='++'+'=+++----)1(00)1(0)1(220)1(110002201100022011)()()()()()()()()(n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C因为)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的基本解组，即)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，所以它们的朗斯基行列式在0x x =的值不为零，即方程组的系数行列式0)(0≠x W ，因此方程组存在唯一的解，设其解为)0()0(2)0(1,,,n C C C ，这样，我们可以用)0()0(2)0(1,,,nC C C 构造函数 )()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y n n +++=根据线性齐次微分方程解的性质知，)(~x y 是方程（3.4）的解，而且)(~x y 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='='++'+'='=+++=-----)1(00)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10~)1(00)0(02)0(201)0(10~00)0(02)0(201)0(10~)()()()()()()()()()()()(n n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C x yy x y C x y C x y C x y y x y C x y C x y C x y 又)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 因为初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)(0)()()(n n n n n n y x y y x y y x y y x p y x p y x p y 的解是唯一的，所以)()()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y x y n n +++==即，)(x y 可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出. 由定理3.6，可以得出下面的基本定理.定理3.7（基本定理）如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的通解，其中n C C C ,,,21 是n 个任意常数.证明 首先由线性齐次微分方程解的性质知，对任意的n C C C ,,,21)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的解.其次，由定理3.6知，方程（3.4）的任一解均可由)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，任一解都可以表示成)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 的形式. 因此，)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是方程（3.4）的通解. 由基本定理可知，方程（3.4）的求解，关键是找到方程（3.4）的一个基本解组，即，方程（3.4）的n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n ，这样就可以很容易的写出方程（3.4）的通解：)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= .例8 求方程0=-''y y的通解.解 我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的两个线性无关的两个解，因此方程的通解为：x x e C e C x y -+=21)(.根据基本定理，我们可以得到下面的推论.推论4 n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个. 证明 设)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是方程（3.4）的任意1+n 个解.如果前n个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关的，则上述1+n 个解是线性相关的. 如果前n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，由定理3.6知，)(,),(),()(211x y x y x y x y n n →+所以)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是线性相关的. 因此，方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个.由推论4知，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个，那么方程（3.4）的线性无关解的个数是不是有且只有n 个呢？其基本解组存在吗？下面的定理可以回答这个问题.定理3.8 方程（3.4）总存在定义在),(b a 上的基本解组，即，总存在n 个线性无关的解.证明 在),(b a 上任取一点0x x =，由解的存在唯一性定理，方程（3.4）在),(b a 上必存在n 个解)(,),(),(),(321x y x y x y x y n ，它们分别满足下列初始条件：0)(,,0)(,0)(,1)(0)1(1010101==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,0)(,1)(,0)(0)1(2020202==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,1)(,0)(,0)(0)1(3030303==''='=-x y x y x y x y n………………………………………………………1)(,,0)(,0)(,0)(0)1(000==''='=-x y x y x y x y n n n n n由于这n 个解在0x x =点的朗斯基行列式的值011000010100001)(0≠==x W所以)(,),(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的解，从而它们是方程（3.4）定义在),(b a 上的基本解组.由定理3.8知，线性齐次微分方程（3.4）的基本解组一定存在，且含有n 个线性无关的解.而且方程（3.4）的解与它的系数之间满足如下的刘维尔（Liouville ）公式.定理3.9 设)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的任意n 个解，)(x W 是这n 个解的朗斯基行列式，则对),(b a 上的任一点0x x =，总有⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在给出定理3.9的证明之前，先给出行列式函数求导法则 设n 阶行列式函数为)()()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D nn n n n n n =则+'''+'''=)()()()()()()()()()()()()()()()()()())((212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a dxx D d nn n n n n nn n n n n n)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''+证明 当2=n 时，这时)()()()()()()()()(21122211222112112x a x a x a x a x a x a x a x a x D -===dxx D d ))((2)]()()()([)]()()()([2112221121122211x a x a x a x a x a x a x a x a '-'+'-' )()()()()()()()(2221121122211211x a x a x a x a x a x a x a x a ''+''= 当3=n 时，)()()()()()()()()()()()()()()()(3231222113333123211233322322113x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D +-==dx x D d ))((3)()()()()()()()()()()()()()()(323122211333312321123332232211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '+'-' ))()()()()(())()()()()(())()()()()((323122211333312321123332232211'+'-'+x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(333231232221131211333231232221131211333231232221131211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '''+'''+'''= 假设对1-n 阶方阵成立，则对于n 的情形有：)()()()()()()(1112121111x A x a x A x a x A x a x D n n n +++==dxx D d n ))(()]()()()()()([1112121111x A x a x A x a x A x a n n '++'+' )()([1111x A x a '+ )]()()()(111212x A x a x A x a n n '++'+ )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a nnn nn n nn n n n n nn n n n n '''++'''+'''=下面，我们给出定理3.9的证明.证明 因为)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=对朗斯基行列式求导得：)()()()()()()()()()()()()()()(2)(1)2()2(2)2(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n---'''=分别用)(,),(),(21x p x p x p n n -乘以上述行列式的第一行，第二行，…，第1-n 行后，全部加至第n 行，这时第n 行元素为：),,2,1(,)()()(1)2(2)(n i y x p y x p y x p y i n i n n i n i =+'+++--因为)(,),(),(21x y x y x y n 均是方程（3.4）的解，即),,2,1(,0)()()()(1)2(2)1(1)(n i y x p y x p y x p y x p y i n i n n i n i n i ==+'++++--- 所以),,2,1(,)()()()()1(11)2(2)(n i y x p y x p y x p y x p y n i i n i n n i n i =-=+'+++--- 所以第n 行元素可以换为：),,2,1(,)()1(1n i y x p n i =--因此)()()()()()()()()()()()()()()()()()(1)1(1)1(21)1(11)2()2(2)2(12121x W x p x y x p x y x p x y x p x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n -=---'''=------即)()()(1x W x p dxx dW -= 即dx x p x W x dW )()()(1-= 从0x 到x 积分得：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在前面我们已经得出：如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠. 现在刘维尔公式直接给出了n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式的值与它在某一点0x x =处的值之间的关系：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，则由刘维尔公式可以求得与)(1x y 线性无关的另一个解，从而可求得方程的通解.设)(x y 是二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的与)(1x y 线性无关的解，则由刘维尔公式得：)0()()(11≠⎰=''=-C Ce y y y y x W dxx p即⎰='-'-dxx p Ce y y y y )(11两边同时乘以211y 得： ⎰='-'-dx x p ey C y y y y y )(212111 积分得：⎰⎰⎰=⎰=--dx e y C dx e y C y y dxx p dx x p )(21)(2111 即⎰⎰=-dx e y Cy y dxx p )(2111 因此方程的通解为：⎰⎰+=-dx e y Cy y C x y dxx p )(2111*1)(. 例9 已知方程011)ln 1(2=-'+''-y xy x y x的一个解x y ln 1=，试求其通解.解 这里)1(ln 1)(--=x x x p ，由公式可得通解为：]ln 1[ln ]1[)1(ln 1ln 12*)1(ln 121*1⎰⎰⎰+=⎰+=---dx e xC C x dx e y C C y y x d x dx x x)]ln 1ln 1([ln ]ln 1ln [ln 2*2*⎰⎰⎰-+=-+=dx x dx x C C x dx xx C C x Cx x C xCx C x dx x x xd x x C C x +=+=--+=⎰⎰ln )ln (ln )]ln 1ln 1ln ([ln **2*. 上述例子表明，一个二阶的线性齐次微分方程，如果能得到其一个非零解，利用刘维尔公式可求得该线性齐次微分方程的通解.我们也可以采用换元法，将二阶线性齐次微分方程降阶为一阶微分方程，从而求得该方程的通解，下面介绍一下换元法.对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，下面做变量代换，令z y y 1=则z y z y z y y z y z y y ''+''+''='''+'='111112,，代入原方程得： 0)())((2111111=+'+'+''+''+''z y x q z y z y x p z y z y z y 即0))(2())()((111111=''+'+'++'+''z y z y x p y z y x q y x p y 因为)(1x y 是原方程的解，所以0)()(111=+'+''y x q y x p y ，从而上式可化为： 0))(2(111=''+'+'z y z y x p y 令u z ='，则u z '=''，代入得：0))(2(111='++'u y u y x p y 降为了一阶微分方程，而且是变量可分离的方程，整理得：dx y y x p y u du111)(2+'-=102积分得：⎰=+'-dxy y x p y Ceu 111)(2.从而得到⎰⎰⎰=⎰=+'-+'-dx Cey y dx Cez dxy y x p y dxy y x p y 111111)(21)(2,.因此方程的通解为：⎰⎰+=+'-dx eCy y C x y dx y y x p y 111)(211*)(.例10 求方程066323=-'+''-'''y y x y x y x的通解，已知它的两个特解221,x y x y ==.解 令xz y =，则z z x y z z x y z z x y ''+'''=''''+''=''+'='3,2, 代入066323=-'+''-'''y y x y x y x 得：06)(6)2(3)3(23=-+'+'+''-''+'''xz z z x x z z x x z z x x即04='''z x ，所以,,,12321x z x z z ===因此33x y =故原方程的通解为：33221x C x C x C y ++=.习 题 3.21.试讨论下列各函数组在它们的定义区间上是线性相关的还是线性无关的？（1）;sin ,cos ,2sin t t t （2）;tan ,cos ,sin x x x （3）;42,2,322+++-x x x x x （4）.,,2t t t e t te e2.设在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(x p 在某区间I 上连续且恒不为零，103试证它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I 上的严格单调函数.3.试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数.4.已知方程022)1(2=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.5.已知方程0)1(=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.6.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.7.设)(1x y 是n 阶线性齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x a y x a y x a y n n n n的一个非零解.试证明：利用线性变换z x y y )(1=可将已知方程化为1-n 阶的齐次方程.3.3 n 阶线性非齐次微分方程的一般理论对于线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2）而言，我们首先研究其解与对应的线性齐次微分方程解之间的关系.（1）如果)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解，)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.证明 因为)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解， 所以0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n因为)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解， 所以)()())(())(()(**1)1(*1)(*x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(**1)1(*1)(*y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--104))(())()(())()(()(**1)1(*)1(1)(*)(y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- )1(*1)(*1)1(1)())(()(())()()((---+++'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y )()(0))())((**1x f x f y x p y x p n n =+=+'++- . 即，)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.（2）如果)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.证明 因为)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，所以)()())(())(()(*1*11)1(*11)(*1x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- )()())(())(()(*2*21)1(*21)(*2x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(*2*1*2*11)1(*2*11)(*2*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n -+'-++-+---))(())())((())())((()()(*2*1*2*11)1(*2)1(*11)(*2)(*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n -+'-'++-+-=--- )1(*21)(*2*1*11)1(*11)(*1))(()(())())(())(()((---+-+'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y 0)()())())((*2*21=-=+'++-x f x f y x p y x p n n . 即，)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.根据上述两条性质，我们可以得到下面的定理. 定理3.10 n 阶线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--的通解等于它对应的齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的通解与它本身的一个特解之和.即)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=证明 因为)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ 是齐次方程（3.4）的解，)(*x y 是105非齐次方程（3.2）的解，由性质（1）知，)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=是非齐次方程（3.2）的解.下面证明非齐次方程（3.2）的任一解)(x y 都可以表示成)()()()(*2211x y x y C x y C x y C n n ++++事实上，因为)(x y 和)(*x y 都是非齐次方程（3.2）的解，由性质（2）知，)()(*x y x y -是齐次方程（3.4）的解，所以可表示成方程（3.4）的通解形式，即)()()()()(2211*x y C x y C x y C x y x y n n +++=-因此)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++= .故非齐次方程（3.2）的通解可以表示为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和.由定理3.10知，求解一个线性非齐次方程（3.2）的关键是先找到对应的线性齐次方程（3.4）的通解，再找到一个非齐次方程的特解就可以了，这时有非齐通解=齐通解+非齐特解.假定我们已经求得了线性齐次微分方程（3.4）的齐通解)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=这时，可以采用常数变易法求非齐次方程的特解)(*x y .下面来看一下n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法.已知)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是齐次方程（3.4）的通解，设)()()()()()()(2211*x y x C x y x C x y x C x y n n +++=是线性非齐次方程（3.2）的一个特解，为了将)(*x y 代入方程（3.2），我们需要首先计算)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数.则)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n '+'+'++'+'='106)]()(x y x C nn '++ 在求二阶导数之前，我们先研究一下特解)(*x y ，要想得到)(*x y ，必须求得)(,),(),(21x C x C x C n ，但是代入方程（3.2）只能得到一个等式，所以我们必须构造)(,),(),(21x C x C x C n 满足的另外1-n 个等式，因此在))((*'x y 中，令0)()()()()()(2211='++'+'x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n '++'+'=' 这时，再求))((*''x y ，有)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n ''+''+''++''+''='' )]()(x y x C n n ''++ 再令0)()()()()()(2211=''++''+''x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n ''++''+''='' 序行此法，可得)()([)]()()()()()([))(()1(11)2()2(22)2(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n -----+'++'+'= )]()()()()1()1(22x y x C x y x C n n n n --+++令0)()()()()()()2()2(22)2(11='++'+'---x y x C x y x C x y x C n n n n n则)()()()()()())(()1()1(22)1(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n ----++++=这时，再求)(*))((n x y ，有)()([)]()()()()()([))(()(11)1()1(22)1(11)(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n +'++'+'=--- )]()()()()()(22x y x C x y x C n n n n +++107最后将求得的)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数代入方程（3.2）得：)()()()([)]()()()()()({[)(22)(11)1()1(22)1(11x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n n ++'++'+'--- )]()()()()()()[()]}()()1()1(22)1(111)(x y x C x y x C x y x C x p x y x C n n n n n n n n ---++++++)()()[()]()()()()()()[(1122111x y x C x p x y x C x y x C x y x C x p n n n n +'++'+'++- )()]()()()(22x f x y x C x y x C n n =+++ 即)]()()()()()()()[(111)1(11)(11x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n +'+++-- ++'++++--)]()()()()()()()[(221)1(21)(22x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n )]()()()()()()()[(1)1(1)(x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n n n n n n +'++++-- )()]()()()()()([)1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'+---因为),,2,1(,0)()()()()()()(1)1(1)(n i x y x p x y x p x y x p x y i n i n n i n i ==+'+++-- 所以)()()()()()()()1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'---这样，就得到了)(,),(),(21x C x C x C n ''' 的n 个方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()()1()1(22)1(11)2()2(22)2(1122112211x f x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n nn n n n n n n 该方程组的系数行列式为)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式)(x W ，因为这n 个解是线性无关的，所以0)(≠x W ，因此，该方程组存在唯一解，这样就可以求得)(,),(),(21x C x C x C n ''' ，再逐个积分，求得)(,),(),(21x C x C x C n ，从而得到特解)(*x y .例1 求方程10812-=-''x xe e y y的通解.解 齐次方程0=-''y y的通解为：x x e C e C y -+=21.设xxe x C e x C x y -+=)()()(21*为方程12-=-''x xe e y y 的一个特解，则⎪⎩⎪⎨⎧-='-'='+'--12)()(0)()(2121x x xx x x e e e x C e x C e x C e x C ， 解方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-='-='x xx e e x C e x C 1)(11)(221，所以x e de ee de e e dx e x C xx x x x x x x --=--=-=-=⎰⎰⎰1ln )111()1(111)(1 )1(ln )111(11)(22xx x x x x x x x e e de e de e e dx e e x C +--=+--=-=-=⎰⎰⎰ 因此非齐特解为)11ln (1ln )(*+----=-x x x x x e e xe e e x y故方程的通解为)11ln (1ln )(21+----++=--x x x x x x x e e xe e e e C e C x y .例2 求方程)(2t f x x =+∙∙ω的通解. 解 对应的齐次方程020=+∙∙x x ω的通解为t C t C t x 0201sin cos )(ωω+=.。
第三章 微分方程方法
第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。
针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。
一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题。
3.1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dtdx(3.1) 其中),(x t f 是t 和x 的已知函数，00)(x t x =为初始条件，又称定解条件。
一阶微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧====),2,1( )(),2,1( ),,,,()0(021n i x t x n i n x x t f dtdx i i i i（3.2） 又称为一阶正规方程组。
如果引入向量T n x x x x ),,,(21 =，Tn x x x x ),,,()0()0(2)0(10 =，Tn f f f f ),,,(21 =，Tn dt dx dt dx dt dx dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,21 。
则方程组（3.2）可以写为简单的形式⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dtdx（3.3） 即与方程（3.1）的形式相同，当1=n 时为方程（3.1）。
对于任一高阶的微分方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11,,,,n n n n dt x d dt dx x t f dt x d ， 如果记),,2,1,0(n i y dtxd i i i ==，则方程为),,,;(1101--=n n y y y t f dt dy 即可化为一阶方程组的形式。
因此，下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论。
3.1.2微分方程解的存在惟一性正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理。
定理3.1（Cauchy-Peano ）如果函数),(x t f 在区域b x x a t t R ≤-≤-00;:上连续，则方程组（3.3）在h t t ≤-0上有解)(t x φ=满足初值条件)(00t x φ=，此处),(max ,,min ),(x t f M M b a h R x t ∈=⎪⎭⎫⎝⎛=。
第三章 数学模型1-微分方程.
线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
•
建模方法
机理分析法
适用于比较简单的系统
实验辨识法
适用于复杂系统
数学模型的概括性
• 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电 气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能 具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。
•
•
数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模 型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再 涉及实际系统的物理性质和具体特点。
自动控制原理
第三章 线性系统的数学模型
本章知识点： 线性系统的输入－输出时间函数描述 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法
引言
定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系 的数学表达式即为数学模型。 用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 （内部描述） 复域：传递函数（外部描述）、动态结 构图 频域：频率特性
目的：从时间域角度，建立系统输入量
（给定值）和系统输出量（被控变量）之 间的关系。
两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应
描述。
一．
线性系统的微分方程描述（机理建模法）
SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描 述的标准形式
an1c(t ) anc(t )
1.
c( n) (t ) a1c( n1) (t ) a2c( n2) (t )
列写系统微分方程的步骤
① ② ③
划分不同环节，确定系统输入量和输出量；
写出各环节（元件）的运动方程；
消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变 量及其各阶导数的方程； 化为标准形式。
第三章 常微分方程
（3） 日治愈率为 , 病人治愈后仍可被感染
推知：
di N Ni (1 i ) Ni dt
di i (1 i ) i dt s (t ) i (t ) 1
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SIS模型的解
当 时，有
1 i (t ) [ ( )e ( )t ]1 i0
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人口分类（在此用绝对人数）
1、易感类S，该类成员没有感染SARS，也没有免疫
能力，处于自由环境，可以被传染上SARS
2、潜伏期类E，该类成员已经感染了SARS病毒，但 处于潜伏期，还不是SARS患者，不能把病毒传 染给S 类成员
3、患病未被发现类Iu，该类成员已经成员真正的 SARS患者，可以把病毒传染给S 类成员
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二、模型的建立—机理分析法
1. SI模型
假设条件
（） 1 人群分为易感者s(t )和已感者i(t )两类
（2） 每个病人每天有效接触的平均人数为
推知：
每个病人每天可使 s(t )个健康者变为病人，病人数
为Ni(t )，所以每天有 Ns(t )i(t )个健康者变为病人.
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关于SARS的假设
1、所研究地区的人口总量一定，不考虑人口迁入 迁出、自然出生和自然死亡 2、结合SARS的病理特性，假设其传播方式为接 触性传播，不与患病者接触就不会被感染 3、假设病人被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期 内不具备传染性
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4、假设易感者与患病者在人群中混合充分均匀， 易感者感染的机会与接触患病者的机会成正比， 并且传染率为常数 5、假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离 者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以 传染他人 6、假设SARS康复者不会被再次感染，且无传染性
微分方程模型
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
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医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
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结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt
微分方程模型——数学建模真题解析
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
微分方程和差分方程方法
律可用“微元分析法”进行分析，选取研究对 象后，研究对象在一定时间内量的变化一般遵 循广义物质守恒律，即
净变化率＝输入率－输出率 物质不会自动产生，也不会自动消失。通过对 时间取极限可以得到微分方程。
3．列出方程和定解条件(初始条件和边界条 件)。
4．解方程。可以找到精确解的微分方程只是极少 数，多数情况下需要进行数值分析或找到数值解， 对于自治的常微分方程(组)，可以运用稳定性分析 方法，转换到相平面去分析解的性态。
人口的增长也是因为有人口的基数和
一定的增长率(人口出生率减去死亡率)，设某
一年的人口为 x0 ，年增长率为r0 ，可以认为今后 k 年内的人口数为
x x0(1 r0 )k
(3.1)
这里实际暗含着年增长率不变的假设。
一、指数增长模型(Malthus模型)
设t 时刻的人口为x(t) ，经过一段短的时间t 后，在t t 时刻，人口数量变化为x(t t) 。由基本 假设，在这段短的时间t 内，人口数量的增加
第二部分 微分方程与差分方程方法
第三章 微分方程方法
动态模型一般具有两个特点：一、方程与 时间相关，即自变量中含有时间；二、方程中 出现导数或微分。在处理实际问题时，有时很 难找出变量之间的直接函数关系，却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的 关系式(有时人们特别关心这些变量的增加幅 度和变化快慢)，这种关系式中通常含有导数 或微分，故称微分方程模型。
二、阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)
Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家 Verhulst 修正。他提出的假设包括：
1、由于自然资源(自然资源条件和环境条 件)的约束，人口存在一个最大容量xm 。
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
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从而有： dN r ( N ) N
（3.7）
对（3.9）分离变量： 1
N
1 dN kKdt KN
两边积分并整理得： 令N(0)=N0，求得：
K N 1 Ce kKt K N0 C N0
N0 K N0 ( K N 0 )e kKt
故（3.9）的满足初始条件N(0)=N0的解为：
一般情况下，在同一截面上 但由题意可以看出，因金属 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比， dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为： AT '( x dx)dt 的各点处温度也不尽相同， 杆较细且金属杆导热系数又 比例系数与介质有关。 AT '( x dx)dt A[T '( x) T ( x)dx]dt 由泰勒公式： 如果这样来考虑问题，本题 较大，为简便起见，不考虑 要建的数学模型当为一偏微 这方面的差异，而建模求单 金属杆的微元 [x,x+dx]在dt内由获得热量为： AT ( x)dxdt 变量函数 分方程。 T(x)。 Bdx[T ( x) T3 ]dt 同时，微元向空气散发出的热量为：
例3 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了
水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻 被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共 需要多少时间？
解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。 令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分 方程。 设水从小孔流出的速度为 0.6S 2hgv(t)，由力学定律，在不计水 dh 即： 的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： dt [ R2 ( R h)2 ] (t ) 0.6 2gh 这是可分离变量的一阶微分方程，得 y 2 2 0 [ R ( R h) ] 因体积守衡，又可得： T dh 易见：
(2R h h )dh 2 2 R r0.6 SR 2 g( R h)
3 2 5 2
S 2 dV 0.6 r 2 dh gh s dt 0
R
3 2
R r h
5 2
故有：
42 2 0 14 R [R (R Rh hS 2 h) ]dh 0.6 R ghdt 5 0.6S 2 g 3 9S 2 g
0
（3.6）
其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 故
T ln 2 r
2 N0 N0erT
模型检验 模型预测 假如人口数真能保持每 34.6年增加一倍，那么人口数将 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如， 以几何级数的方式增长。例如，到 2510年，人口达 19612 年世界人 ×1014个， 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为 即使海洋全部变成陆地，每人也只有 9.3平方英尺的活动范围， 2%，人口数 Malthus 模型实际上只有在群体总数 大约每 而到 2670 35年，人口达 年增加一倍。检查 36 ×1015 1700 个，只好一个人站在另一人的 年至1961的260年人口实际 不太大时才合理，到总数增大时， 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数 所以 Malthus 模型假设的人口净 生物群体的各成员之间由于有限的 量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 增长率不可能始终保持常数， 生存空间，有限的自然资源及食物 它应当与人口数量有关。 等原因，就可能发生生，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立 几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大， 为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引 起的误差将是十分微小的。
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现， 人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率， d为死亡率）， 既：1 dN dN rN r 或 （3.5） dt N dt （3.1）的解为： N (t ) N er (t t ) 0
3.5 x 10
11
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
象。
2
N/ 人
几何级数的增长
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
模型2
Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限 dt 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量， 此时得到微分方程： K-N恰为环境还能供养的种群数量，（ 3.9）指出，种群增长率与两者的乘 dN dN N 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（ 3.9） (r aN ) N 或 r (1 ) N （3.8） 也被称为统计筹算律的原因。 dt dt K r(N)最简单的形式是常数，此 为了得出一个有实际意义 r(N)是未知函数，但根 的模型，我们不妨采用一 时得到的就是马尔萨斯模型。 （3.8）可改写成： 据实际背景，它无法用 下工程师原则。工程师们 对马尔萨斯模型的最简单的改 dN 。 进就是引进一次项（竞争项） Logistic k ( K在建立实际问题的数学模 N模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学 )拟合方法来求 N （3.9） （3.8）被称为 dt 型时，总是采用尽可能简 生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群 单的方法。 数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
dθ
(ds)2 (dr )2 (rd )2 图3-2可看出，
B
θ 图3-2
A
故有: 3(dr )2 r 2 (d )2 即:
r dr d 3
（3.3） （3.4）
解为：r
Ae
3
追赶方法如下： 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然 后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。
N (t )
（3.10）
易见：
N(0)=N0 ， lim N (t ) K
t
N(t)的图形请看图3.5
图3-5
模型检验 用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（E· F· Gauss）也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效 果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有 0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量 375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic 曲线： 375 N (t ) 几乎完全吻合，见图3.6。 1 74e 2.309t
l
l ml mg sin (0) 0, (0) 0
l
M P Q
mg
图3-1
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了
我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。
这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：
敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方 程为r=r(θ)，见图3-2。 A1 dr ds dr 由题意， 2 ，故ds=2dr ds dt dt
图3-6
Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
T2 T1 Bdx AT ( x)dxdt [ T ( x ) T3 ]dt 系统处于热平衡状态，故有： l
所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程: o
这是一个两阶常系数线 性方程，很容易求解
T ( x)
B T3 (T T3 ) A
x
A
B
§3.2 Malthus模型与Logistic模型
第三章
微分方程模 型
浙江大学数学建模实践基地
§3.1 微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。