数学建模实验答案微分方程模型
数学建模作业、微分方程实验、北京工业大学
2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,___ 1 0系数矩阵A，求得特征值入1=1,入2=1;0 1p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。
其图形如下:dx⑴dt dtx, y;dxdtdydt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y， (4) ? 2x;也 dtx+1, 2y.(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。
其图形如下：(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。
其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)dt令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i21 1d2N 1 5 52 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)dt 2进而求得A d2N 令r dt2 2 0可求得N=r2 /4r〔则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分0,冬dt2.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―rdt dt dt dt则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=^2 /「；是稳定的o3、有限资源竞争模型1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型当[b MX h 2X 2)]x dt dX2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2dt假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1〔S' h 2x 2)]x 1=0,f (x2)=电2 (h 1X 1h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为R (0,0), P 1 (E,0),P 2 (0, M).2 h 2对平衡点P 。
重庆大学数学实验方程模型及其求解算法参考答案
重庆⼤学数学实验⽅程模型及其求解算法参考答案实验2 ⽅程模型及其求解算法⼀、实验⽬的及意义[1] 复习求解⽅程及⽅程组的基本原理和⽅法；[2] 掌握迭代算法；[3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；[4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，复习和归纳⽅程求解或⽅程组求解的各种数值解法（简单迭代法、⼆分法、⽜顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。
这对于学⽣深⼊理解数学概念，掌握数学的思维⽅法，熟悉处理⼤量的⼯程计算问题的⽅法具有⼗分重要的意义。
⼆、实验内容1．⽅程求解和⽅程组的各种数值解法练习2．直接使⽤MATLAB命令对⽅程和⽅程组进⾏求解练习3．针对实际问题，试建⽴数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗⼝；2．根据各种数值解法步骤编写M⽂件3．保存⽂件并运⾏；4．观察运⾏结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习⼼得体会。
四、实验要求与任务基础实验1．⽤图形放⼤法求解⽅程x sin(x) = 1. 并观察该⽅程有多少个根。
画出图形程序：x=-10:0.01:10;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB运⾏结果：-10-8-6-4-20246810-8-6-4-22468扩⼤区间画图程序：x=-50:0.01:50;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB 运⾏结果：-50-40-30-20-1001020304050由上图可知，该⽅程有偶数个⽆数的根。
2．将⽅程x 5+5x3- 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进⾏迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。
（1）画图：x1=-6:0.01:6;x2=-3:0.01:3;x3=-1:0.01:1;x4=-0.8:0.01:-0.75;y1=x1.^5 +5*x1.^3-2*x1+1;y2=x2.^5 +5*x2.^3-2*x2+1;y3=x3.^5 +5*x3.^3-2*x3+1;y4=x4.^5 +5*x4.^3-2*x4+1;subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('⼦图(1)') ,grid on,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('⼦图(2)'),grid on,subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('⼦图(3)'),grid on,subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('⼦图(4)') ,grid on,由图可知x 的初值应在（-0.78，0.76）之间。
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
数学建模微分方程模型
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系.
例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1% 的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO2的百分比降低到多少?
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
三. 微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在
一个很短时间内的变化情况.
例 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间. 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t). 2 ．整个放水过程无能 量损失。 2米
数学模型课后习题答案
数学模型课后习题答案数学模型课后习题答案数学模型作为一门应用数学的学科，通过建立数学模型来解决实际问题。
在学习数学模型的过程中，课后习题是非常重要的一环。
通过解答习题，我们可以巩固和应用所学的知识，提高解决实际问题的能力。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数学模型课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、线性规划1. 某工厂生产甲、乙两种产品，每天生产的总量不能超过100个。
甲产品每个利润为5元，乙产品每个利润为8元。
甲产品需要2个工时，乙产品需要3个工时。
每天工厂总共有200个工时可用。
如何确定每天生产甲、乙产品的数量，使得利润最大化？答案：设甲产品的数量为x，乙产品的数量为y。
根据题意，我们可以列出如下的约束条件：x + y ≤ 100 （每天生产的总量不能超过100个）2x + 3y ≤ 200 （每天工厂总共有200个工时可用）利润最大化即为目标函数，设为f(x, y) = 5x + 8y。
我们需要求解目标函数的最大值。
通过求解线性规划问题，可以得到最优解。
2. 某公司生产甲、乙两种产品，每天生产的总量不能超过200个。
甲产品每个利润为10元，乙产品每个利润为15元。
甲产品需要1个工时，乙产品需要2个工时。
每天工厂总共有300个工时可用。
如何确定每天生产甲、乙产品的数量，使得利润最大化？答案：设甲产品的数量为x，乙产品的数量为y。
根据题意，我们可以列出如下的约束条件：x + y ≤ 200 （每天生产的总量不能超过200个）x + 2y ≤ 300 （每天工厂总共有300个工时可用）利润最大化即为目标函数，设为f(x, y) = 10x + 15y。
我们需要求解目标函数的最大值。
通过求解线性规划问题，可以得到最优解。
二、微分方程1. 某物质的衰减速率与其当前的数量成正比。
已知初始数量为100，经过3小时，其数量减少到80。
求该物质的衰减速率。
答案：设物质的数量为N(t)，t表示时间。
数学建模-微分方程模型-饮酒驾车问题
和 x0 ，将体重 70kg 的某人在快速喝下 2 瓶啤酒之后一段时间内他血液中酒精含量的
测量值进行处理后，得到附录 1 所示的 y0 0 时的一组数据，并采用非线性最小二乘法 拟合算法对系数进行求解，得出参数如下。 x0 5193
=2.00796
=0.1855
同时可以看到，每瓶啤酒含酒精量为 2596.5mg。 所以，得出的血液中酒精含量关于时间的函数如下。
0.1855 t e 2.00756t ) 2860.78604(e y (t ) 0.1855( t 6) 2860.8028e 2.00756(t 6) 3800.7595e
0t 6 6 t 12
利用 matlab 对以上模型进行求解。 图 3 大李血液中酒精含量随时间变化图像
y (t ) ( y0 +5721.57208)e 0.1855t 5721.57208e 2.00796t
拟合效果如图。 图 1 函数的拟合效果
图 2 残差分析图
残差分析图
600 500 400 300 200 100 0 10 11 12 13 14 15 0.5 1.5 2.5 3.5 0.25 ‐100 ‐200 ‐300 ‐400 残差 0.75 4.5 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时刻为 t 时胃肠道中的酒精含量。
y (t ) 时刻为 t 时血液中的酒精含量。
胃肠道中的酒精进入血液的转移率与胃肠道中酒精量的比值。 血液中的酒精的排除率与血液中酒精量的比值。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 根据题目叙述，大李的实际情况符合快速饮酒的模型。为了确定函数中的系数 ，
数学建模与数学实验课后习题答案
P594•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。
学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。
解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。
i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。
首先，我们先按比例分配委员席位。
23710 A 宿舍为:n A ==2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =4.3111002现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。
经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。
所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
QA23722 3= 9361.5 Q B33323 4 = 9240.7 Q C4322 4 5=9331.2商人们怎样安全过河傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌鯉械即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘HX …佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦% V O J U;xMmm朗“…他1曲策D 咿川| thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱 就匚叫=1入“山使曲并按 腿翻律由汩3』和騒側），模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;X =3? J =0,1,2,3； X =»*=1,2}J规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点 允许状态〜U ）个。
点 , 允许决策〜移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案评注和思考［廿rfn片,rfl12 3xmm賤縣臓由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。
数学建模作业实验2微分方程实验
数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。
实验07讲评、参考答案_微分方程模型(2学时)讲解
实验07讲评、参考答案讲评未按时交的同学批改情况：附参考答案：实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
《数学建模实验》王平提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
7 微分方程-1
研究种群增长的Logistic Logistic微 例2 研究种群增长的Logistic微分方程模型 的动力学行为。 dn/dt= r (1-n) n 的动力学行为。 数值试验（ 对不同的初值N0=[0.01 数值试验（1）取r=0.8 对不同的初值Байду номын сангаас0=[0.01 0.2 0.5 0.8] 观察解的变化 。 建立函数文件: 建立函数文件: funlog.m function y=funlog(t,x) y=0.8*x*(1-x); y=0.8*x*(1运行程序： 运行程序： N=[0.01 0.2 0.5 0.8] for i=1:4 x0=N(i); [tt,xx]=ode45('funlog',[0,10],x0); plot(tt,xx),grid, hold on end
练习1 数值实验（ 对固定的初值N0=0.1， 练习1：数值实验（2）对固定的初值N0=0.1， N0=0.1 取不同的r=[0.1, 观察Logistic Logistic微 取不同的r=[0.1, 0.8, 1, 2, 5] 观察Logistic微分方 程解的变化 。 练习2 给出下面的Matlab Matlab指令的数学表达 练习2：给出下面的Matlab指令的数学表达 F=@(t,y)[y(2); -y(1)] ode45(F,[0,10],[0,2]) for i=1:5 [t,y]=ode45(F,[0,10],[0,1/i]); plot(y(:,1),y(:,2)),grid,hold on end
附录1. 研究洛伦兹Lorentz Lorentz方程组 附录1. 研究洛伦兹Lorentz方程组 的动力学行为。 的动力学行为。 在一个从底部加热的空气层里， 在一个从底部加热的空气层里， 上升的热空气与下降的冷空气相 互作用形成湍流圈。 互作用形成湍流圈。一个简化的 系统模型包含3个状态变量x 系统模型包含3个状态变量x1对流 环旋转的速度， 环旋转的速度，x2上升与下降气 流的温差， 流的温差，x3垂直温度剖面的线 性偏差，运动方程： 性偏差，运动方程： 对不同的r值数值模拟该动力系统， 对不同的r值数值模拟该动力系统， 以确定解的长期行为。 以确定解的长期行为。 分别考虑 0<r<1; 1<r<1.35; 24.8<r几种情形下的 1.35<r<24.8; 24.8<r几种情形下的 平衡态及其稳定性。 平衡态及其稳定性。
06第6章 微分方程建模习题解答
（6.3）
x t 0 0 ，
dx v0 ， dt t 0
（6.4）
于是，刹车距离就是直到速度 v 0 时汽车驶过的距离。 首先，求解二阶微分方程（6.3） ，对（6.3）式从 0 到 t 积分，再利用初始条件 （6.4） ，得到
dx gt v0 ， dt dx 在 v0 的条件下对（6.5）式从 0 到 t 积分，得 dt t 0 1 x gt 2 v0t . 2 dx 在式（6.5）式中令 0 ，得到刹车所用的时间 dt v t0 0 ， g
Q q(l , t )dt ， T l1 / u .
0
T
（6.7）
下面分 4 步计算 Q 。 i）求 t 0 瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过 x 处的数量 q( x,0) 。由假设 4 中关于 v u 的假定，可以认为香烟点燃处 x 0 静止不动。 为简单起见， 记 q( x,0) q( x) ， 考察 （ x, x x ） 一段香烟， 毒物通过 x 和 x x 处的流量分别是 q( x) 和 q( x x) ，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未 点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设 2、4 有
w( x, t t ) w( x, t ) b
令 t 0 并将（6.11） ， （6.12）式代入得
b ( x ut ) w abu w(ut , t )e v , v t w( x,0) w . 0
q( x, t ) t ， v
（6.14）
2 2
dx dx dy 由于 1 5v0 ，即 0 ，所以 dt dt dx
dt 1 dy 1 ， dx 5v0 dx
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
微分方程模型有解答
嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱.让我们都能幸福着，在各自的路程快乐第五章 微分方程模型建立微积方程模型要对研究对象作具体分析.一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模.§5.1 根据规律建模在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率.我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程.下面以目标跟踪问题为例介绍.设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V .由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由xyt V y --=10'得 y y x t V +-='0)1(，又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即t V dx y x002'51=+⎰所以 dx y y y x x ⎰+=+-02''151)1(， 整理得 2'''151)1(y y x +=+，并有y(0)=0,0)0('=y ，解得245)1(125)1(855654+-+--=x x y当x=1时，254=y 即当乙舰行到⎪⎭⎫⎝⎛254,1处被击中，00245V V y t ==.§5.2 微元法建模微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式.与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律.以容器漏水问题为例.有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出.小孔横截面为1cm 2.开始时的容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里面水面的高度h （水面与小孔中心距离）随时间t 变化的规律.解：由流体力学知识知道，水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算：gh S dtdvQ 262.0==， 其中0.62为流量系数，S 为孔口横截面积.现S=1cm 2.故 gh dtdv262.0=另一方面，现在［t,t+t ∆］内，水面高度由h 降至0)dh(dh h <+，则dh r dv 2π-=其中r 是时刻t 的水面半径.因为222200)100(100h h h r -=--=，所以dh h h dv )200(2--=π，于是dh h h dt gh )200(262.02--=π，由此得)200(262.02423h h gdh dt -=π， 满足100|0=t h .解得)310107(265.4252335h h gt +-⨯=π此即容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系式.P.S matlab 程序 clearsyms r; %定义符号变量 ry=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解§5.3 模拟近似法建模在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型.这是因为，这些学科中的一些现象的规律我们还不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象.然后再把解得的结果同实际情况作对比.以交通管理问题为例.在交通十字路口，都会设置红绿灯.为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯.对于一些驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远.那么，黄灯应亮多长时间合理呢？、解：各段时间应该满足以下关系：黄灯状态应持续的时间=驾驶员反应时间+车通过交叉路口时间+通过刹车距离的时间.设v 0-----表示法定速度，I-----交叉路口宽度，L-----典型车身长度.则通过路口的时间为v LI +，（车尾通过路口）.下面计算刹车距离.设w----为汽车的重量，u------摩擦系数，则摩擦力=μw ，汽车在停车过程中，行驶距离x 与时间t的关系可由下面微分方程求得w dtxd g w μ-=22（F=ma ). 满足：00'0|,0|v x x t t ====，于是刹车距离就是直接到速度v=0时汽车驶过的距离，由上式得t v gt x 0221+-=μ .令x ’=0，所以刹车时所用时间g v t μ00=，刹车距离gv t x μ2)(200=由上面得黄灯状态时间为t V LI g v T v L I t x A +++=+++=0002)(μ，其中T 是驾驶员反应时间，A,v 0关系（如图）（即黄灯周期与法定速度的关系）.假设T=1s,L=4.5m,I=9m,另外，我们取具有代表性的u=0.2,，当v 0=45，60，80km/h 时，黄灯时间如下表示.v0 (km/h) A(s) 经验法的值（s）45 5.27 360 6.06 480 7.28 5经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些.这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转为红灯时正处于交叉路口.§5.4 微分方程模型实例例1.最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度.一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…，4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55,17.86,22.99(克)；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）;这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×10 11/（1.22×10 11+n）.渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比.比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13 mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.（1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）.（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组.鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式.该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高.问题分析要求研究的问题是：对某种鱼的最优捕捞策略.1.鱼的情况具体数据如下表：i m i(g) r(1/年) u i (个/条)1 2 3 4 5.0711.5517.8622.990.80.80.80.8其中，i表示i龄鱼，m i表示龄鱼的质量，r表示龄鱼的自然死亡率，u i表示平均每条i 龄鱼的产卵量.如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）不变，这时单位时间捕捞量将与i成正比，比例系数之比为ik使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其中两个捕捞强度系数之比为k3:k4=0.42:1,k1=k2=0渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.2.基本假设假设I:一年中，鱼的产卵是集中在8月底一次性完成，捕捞工作只在8个月进行.假设II:各龄鱼（不包括4龄鱼）只在年末瞬时才长大一岁，鱼卵在年终才孵化完毕，成为1龄鱼.这样在计算产卵量时，3，4龄鱼的条数为t=8/12.3.应解决的问题1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）.2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组.鱼群的数量分别为x 1,x 2,x 3,x 4, 如果仍用固定努力量的捕捞方式.该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高. 记号和约定)(t x i：i 龄鱼在t 时刻的数量（t 以年为单位，i=1,2,3,4)；ip ：i 龄鱼的捕捞量（i=3,4)； M ：捕捞总质量：Q ：每年的产卵中能孵化成l 龄鱼的数量； N ：每年的产卵量； 模型的建立由于鱼的数量随时间变化，可视为)(t x i 为连续函数，它的变化与时间t ，自然死亡率r ，单位时间捕捞量i k ，卵的成活率有关. 模型1定义单位死亡率8.0,=-=r rx dtdx i i单位时间捕捞量0,1:42.0:,2143====k k k k x k dtdp i i i则捕捞时满足i i ix k r dtdx )(+-= 对各龄鱼存在以下方程（令4k k =，则k k42.03=） 118.0)(x dt t dx -=，t ∈[]1,0 228.0)(x dtt dx -=，t ∈[]1,0 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=1,128,8.0128,0,42.08.03333t x dt dx t x k dt dx ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=1,128,8.0128,0,8.04444t x dtdxt x k dt dx由此可解得)0()8.0exp()1(11x x -=， )0()8.0exp()1(22x x -=， )0()32)42.08.0(exp()128(33x k x ⨯+-=， )0()32)8.0(exp()128(44x k x ⨯+-=， )0())28.08.0(exp()1(33x k x +-=， )0())328.0(exp()1(44x kx +-= 收获量为⎰⎰==128012804433)(,)(42.0dt t kx p dt t kx p .模型II要实现持续收获，即每年初，各年龄组鱼群数量不变，同时需满足以下等式（M 为捕捞总质量，N 为卵量，Q 为存活量），由此可建立模型：Max M= 4433m p m p +()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====11010100..43423121x x x x x x x Q x t s 其中10543109.121109.1⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=x x N , ()N N Q +⨯⨯=1010111122.1/22.1 利用约束关系，将()()0,,041x x 均用k 来表示，从而得出M 关于k 的一元函数关系：4433p m p m M +=，()()()k k kx P 0428.0/320428.0ex p 1042.033+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-=，()()()k k kx P +⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+--=8.0/328.0ex p 1044，()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⨯⨯⨯-⨯=32exp 226.2/32exp 226.228.0exp 7504.32463.0010106113k k k x ，()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯-⨯=32exp 3252.07241.0/22.132exp 0598.40272.9/28.0exp 010106114k k k x ， 用计算机搜索，得出近似解，结果为： 年最大收获量：()()g M 1011*88685.30⨯=最佳捕捞强度系数：()()g K 7600.170*= 此时()1011*1193.10⨯=x ，()1011*1193.10⨯=x ，()1010*3409.20⨯=x ，()107*4501.70⨯=x ，()1011*193.10⨯=Q .四.模型结果及实用性讨论当[]38.31,0∈k 时，鱼场可实现持续捕捞，即满足了持续捕捞条件0≥M .在此前提下取得了最优的捕捞系数：3龄龟的捕捞系数为7.4592，4龄龟的捕捞系数为17.76，年最大捕捞量为：3.886851110⨯（克）.例2．存贮型模型 某厂生产若干种商品，轮换生产时因更换设备要付准备金，产量大于需要时因积压资金要付贮存费. 今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小，设该厂生产能力非常大，即所需数量可在短时间内产出.要求：不只是回答问题，而且要建立生产周期，产量与需求量，准备费，贮存费之间的关系. 问题分析与思考·日需求100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.·每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，故每日费用为500元.·10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100＝4500元，准备费5000元，总计9500元.平均每天费用为950元.·50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…100=122500元.准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元.·周期短，产量小——贮存费少，准备费多. ·周期长，产量大——准备费少，贮存费多.是否存在最佳的周期和产量，是总费用（二者之和）最小？这是一个优化问题，关键在建立目标函数，显然不能用一个周期的总费用作为目标函数. 目标函数——每日总费用的平均值. 模型假设1．产品每天的需求量为常数r ；2．每次生产准备费为1c .每天每件产品贮存量为2c .3．T 天生产一次（周期为T ），每次生产Q 件，且贮存量降到零时，Q 件产品立即生产出来（生产周期不记）；4．为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.建模目的 设21,,c c r 已知，求T ，Q ，使每天总费用的平均值最小.模型建立离散问题连续化将贮存量表示为时间的函数()t q ，0=t 生产Q 件，贮存量()Q q =0，()t q 以需求r 的速率递减，直到()0=T q .由此得rT Q = 一周贮存费()A c dt t q c T202=⎰一周总费用T Qc c rT c c C 2221221+=+=每天总费用平均值（目标函数）()221rT c T c T C T C +==模型求解 求T 使()min 221→+=rTc T c T C 由0=dTdC有 21212,2c c rT Q rc c r r===模型分析↑↓↑⇒↑↑⇒Q T r Q T c ,,,1模型应用经济批量订购公式（EOQ 公式） 用于订货，供应，存贮情况每天需求量r ，每次订货费为c1，每天每件贮存费为c2，T 天订货一次（周期T ），每次订货Q 件，且当贮存量降到零时，Q 件立刻到货.21212,2c rc rT Q rc c T ===这是不允许缺货的贮存模型问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 允许缺货的存贮模型当存贮量降到零时仍有需求r ，出现缺货，造成损失.原模型假设：当存贮量降到零时Q 件立即生产出来（或立即到货） 现假设：允许缺货，每天每件缺货损失费c 3，缺货需补足. 周期T ，t=T 1贮存量降为零. T 一周期贮存费()A c dt t q c T 2021=⎰一周期缺货费()B c dt t q c TT 331=⎰一周期总费用()22213121T T r c QT c c C -++=每天总费用平均值（目标函数）()()rTQ rT c rT Q c T c T C Q T C 22,23221-++==求T ，Q 使0,0=∂∂=∂∂QCT C 为不允许缺货的贮存模型相比，T 记作他T ’，Q 记作Q ’ 32321'33221'2,2c c c c c Q c c c rc c T +=+=. 例3.传染病模型随着卫生设施的改变，医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱，天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制，但是一些新的，不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来.20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延;2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害.长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题，是建立传染病的数学模型，以分析传染病的传播规律.模型1 已感染人数（病人）假设每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为λ，建立如下数学模型()()()t t i t i t t i ∆=-∆+λ由()0,i t i i dtdi==λ，推出()∞→⇒∞→=i t e i t i t ,0λ 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加，必须区分易感染者（病人）和未感染者（健康人） % P.S 上面微分方程的matlab 程序 clearSyms r %定义符号变量 ry=dsolve('Dy=r*y','t') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y','y(0)=y0','t') %求特解 得到 y =y0*exp(r*t) 修改一下模型2区分已感染者和未感染者（SI 模型） 假设：（1）总人数N 不变，病人和健康人数比例分别为i （t ），s （t ）.（2）每个病人每天有效接触人数为λ，且使接触的健康人致病，λ为日接触率 建立数学模型()()[]()[]()t t i t Ns t i t t i N ∆=-∆+λ.由()()1,=+=t i t s si dtdiλ得称为Logistic 模型，可解出()tei t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111% P.S matlab 程序clearsyms r; %定义符号变量 ry=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解 令)11ln(1-=-i t m λ是传染病高潮到来时刻.λ（日接触率）↑↓→m t 1 1→⇒∞→i t ，说明病人不可以治愈，这是不可能的.要改善模型模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（SIS 模型） 增加假设3）病人每天治愈的比例为μ，即日治愈率 建立数学模型⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()1(i i i i i dt di μλ λ是日接触率，μ/1是感染期，μλσ/=是一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=∞---=1,01,11)()],11([σσσσλi i i dt di感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人人数.思考模型2（SI 模型）如何看做模型3（SIS 模型）的特例模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR 模型假设1） 总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)2） 病人的日接率λ，日治愈率μ，接触数μλ/=S建立数学模型s （t ）+ i(t)+ r(t)=1需建立i(t),s(t),r(t)的两个方程t t Ni t t i t Ns t i t t i N ∆-∆=-∆+)()()()]()([μλt t i t Ns t s t t Ns ∆=-∆+)()()]()[(λ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(s s i i si dt ds i si dt di λμλ 100≈+s i （通常()00r r =很小）%%%%%%%%%%%%%做数值计算%以下存到m 文件function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';以下在matlab 中运行ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0); % 大家百度ode45的意义[t,x]plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause plot(x(:,2),t,x(:,1)),grid,i(t ）,s(t)的图形无法求出i(t),s(t)的解析解，在相平面s-t 上研究解的性质.由上模型得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0011i i s ds di s s σ 求解得到如下相轨线（即i-s 的曲线）i(s)=( 00s i +)-s+0ln 1s s σ 定义域D=}{1,0,0),(≤+≥≥i s i s i s ,在D 内作相轨线i(s)的图形，进行分析i （s ）图形：s(t ）↓, 0=∞i ,m i s i ==)/1(σ,∞s 满足0ln 1000=+-+∞∞s s s i s σ 0s ＞1/)()(1t i p →σ先升后降至0，传染病蔓延. 0s ＜1/ )()(2t i p →σ单调降至0，传染病不蔓延. 预防传染病蔓延的手段传染病不蔓延的条件——0s ＜1/σ. λ（日接触率）↓⇒卫生水平↑μ（日治愈率）↑⇒医疗水平↑降低↑⇒=++00000)1(r r i s s ，即群体免疫. σ的估计：由0ln 1000=+-+∞∞s s s i s σ，忽略0i 得∞∞--=s s s s 00ln ln σ. 具体内容可以看姜启源的数学模型（第三版） 第135页。
重庆大学数学实验微分方程模型、求解及稳定性分析-参考答案
5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。
二、实验过程（一般应包括实验原理或问题分析，算法设计、程序、计算、图表等， 实验结果及分析）
1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，
y’=y+ 2x,y(0) = 1, 0<x<1;
解：1）求解析解的程序设计：y=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')
%改进欧拉
end
x1,y1,y2
xห้องสมุดไป่ตู้0:0.1:1;
y=(1+2*x).^(1/2)%解析解
plot(x,y,x1,y1,'g--',x1,y2,'r--')
legend('½âÎö½âÇúÏß','ÏòÇ°Å·À ÇúÏß','¸Ä½øÅ·À ÇúÏß')
xlabel('x'),ylabel('y')
解：1）程序：x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;
fork=1:10
x1(k+1)=x1(k)+h;
y1(k+1)=y1(k)+h*(y1(k)-2*x1(k)/y1(k));%向前欧拉
y2(k+1)=y2(k)+h/2*(y2(k)-2*x1(k)/y2(k)+y2(k)+h*(y2(k)-2*x1(k)/y2(k))-2*x1(k+1)/(y2(k)+h*(y2(k)-2*x1(k)/y2(k))));
toc
经典：微分方程模型——数学建模真题解析
h h
ds
16
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
1
2
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
3
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
吸收
中心室
19
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
第四篇微分方程建模习题答案
第十四章习题1．(1) 设t 时刻氨氮的浓度为()N t ，日降解系数为k ，则氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程如下：0(0)dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，其中0N 表示0时刻的氨氮浓度。
(2) 研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律：(0)0.41,(9.6451)0.06dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪==⎩ 解得0ln ln N N k t -=-，带入边界条件(0)0.41,(9.6451)0.06N N ==得1993.0=k 。
从而该河段氨氮浓度随时间的变化规律为0.1993dNN dt=- 注：由于平均水流速度s m /6.0，每天水流路程m 518402436006.0=⨯⨯，流经km 500需耗时9.6451天。
(3)如果氨氮降解系数的自然值是0.3，则你计算的降解系数值是高了还是低了？这说明了什么问题？从(2)中计算出的降解系数可以看出，其值0.1993比自然值0.3低了，说明在该河段(从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂)还有其它的排污点，这就为进一步的治理提供了理论上的依据。
2．设t 时刻该湖泊含染物A 为()W t ，则在时间间隔[,]t t dt +内，有：进污染物A 量： 001326m m V dt dt V ⨯⨯⨯= 出污染物A 量： ()()33W t V W t dt dt V ⨯⨯= 得含污染物A 量的微元为：0()()63m W t dW t dt dt =- 即 0()()36m dW t W t dt =-+ 外加初始条件0(0)5W m = 解该一阶线性初始问题得：10039()22t m m W t e -=+ 要使得该湖泊含污染物A 的量不超过0m ，则需10030922t m m e m -+≤解得，6ln3 6.5916t ≥≈(年)。
3．若每分钟通入3V m 的新鲜空气且排出的量相同，设t 时刻化工车间2CO 的含量为()%C t 则在时间间隔[,]t t dt +内进2CO 的量： 0.040.04V dt Vdt ⨯⨯= 出2CO 的量： ()()V C t dt VC t dt ⨯⨯= 得2CO 含量的方程为()0.04()1080010800(0)0.12dC t V V C t dtC ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩ 解该一阶线性初值问题得10800()0.040.08V tC t e-=+使得在10分钟之后使车间内2CO 的含量不超过0.06%，即10800.060.040.08V e-≥+从而，得2160ln21497.2V ≥≈(3m ) 即：每分钟应通入1497.23m 新鲜空气。
数学建模实验5-微分方程求解
x = 0 0.0800 0.1800 0.2800 0.3800 0.48000.5800
0.6800 0.7800 0.8800 0.9800 1.0000
y = 1.0000 1.0770 1.1662 1.2490 1.32671.4000
1.4697 1.5363 1.6001 1.6614 1.72061.7322
2、了解微分方程（组）的数值解法。
3、会微分方程（组）的一些简单应用。
二、实验环境（实验器材、环境要求）：
1、计算机
2、Matlab软件
三、实验内容（实验原理、任务等）：
1、求微分方程的解析解,并画出它们的图形。
（1） ， ， ；
（2） ， ， 。
2、求下列微分方程组 的通解.
3、求下列方程（组）的数值解，并画出它们的图形。
取t0=0,tf=500,输入命令：
[x,y]=ode23('zhuiji',[500 1],[0 0]);
y1=y(:,1);
plot(x,y1)
结果如图
五、实验心得（质疑、建议）：
取t0=0,tf=3000,输入命令：
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);
plot(T,Y(:,1),'-')
结果如图
4.
建立如下微分方程模型：
其中，
转化为一阶微分方程组：
得
建立M文件：
function f=zhuiji(x,y)
f=[y(2);0.75*sqrt(1-y(2)^2)/x];
湖南第一师范学院数学系实验报告
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实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。
参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。
返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
'HorizontalAlignment'为水平控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一水平线上。
'字符串1'为水平控制属性值，取三个值之一：'left'，点(x,y)位于文本标识的左边。
'center'，点(x,y)位于文本标识的中心点。
'right'，点(x,y)位于文本标识的右边。
格式2text(x,y, 文本标识内容, 'VerticalAlignment', '字符串2')x,y给定标注文本在图中添加的位置。
'VerticalAlignment'为垂直控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一垂直线上。
'字符串1'为垂直控制属性值，取四个值之一：'middle'，'top'，'cap'，'baseline'，'bottom'。
（对应位置可在命令窗口应用确定）本题可用text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center');5）坐标轴标注调用函数xlabel，ylabel和title本题可用title('SI模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');★程序运行结果（比较[138]图2）：（在图形窗口菜单选择Edit/Copy Figure，复制图形）1.2 画i~t曲线图p136~138求出微分方程的解析解i(t)，画出i~t曲线（i(0)=0.15, k=0.2, t=0~30）（见[138]图1比较）。
参考程序：% 5.1 传染病模型——模型2% 文件名：p136fig1.m% di/dt=ki(1-i), i(0)=i0clear; clc;x=dsolve('Dx=k*x*(1-x)','x(0)=x0') %求微分方程的解析解，为符号表达式x0=0.15; k=0.2;%xi对应i，xi0对应i0，k对应λtt=0:0.1:30;%时间单位为天for s=1:length(tt)%x的表达式中没有点运算，按标量运算取值xx t=tt(s);xx(s)=eval(x);%给出xi0=0.2,k=0.2,t,求符号表达式xi的对应值end %xx为复数表示plot(tt,xx);axis([0 31 0 1.1]);title('图1 SI模型的i~t曲线');xlabel('t （天）'); ylabel('i （病人所占比例）');提示：1) 求解微分方程dsolve]，见提示；2) 画出i~t曲线（i(0)=0.15, λ=0.2, t=0~30）用for循环，函数length, eval, plot, axis, title, xlabel, ylabel。
★程序运行结果（见[138]图1）：命令窗口中的结果：图形窗口中的结果（比较[138]图1）：2.（编程）传染病模型3（SIS 模型）已知传染病模型3（SIS 模型）：0)0()],11([i i i i dt di =---=σλ 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。
σ是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。
2.1 画~dii dt曲线图p138~139取λ=0.1，σ=1.5，画出如下所示的i dtdi~曲线图。
试编写一个m 文件来实现。
（在图形窗口菜单选择Edit/Copy Figure ，复制图形）（注：p139图3） 提示：用fplot 函数画出i dtdi~的曲线图； 在上图上用plot 函数画一条过原点的水平线； 用title, xlabel, ylabel 标注。
★★ 编写的M 文件和运行结果（见[139]图3）：2.2 画i~t曲线图p138~139要求：求出微分方程的解析解i(t)。
取λ=0.2, σ=3, t=0~40，画出如下所示的图形。
试编写一个m文件来实现。
（注：p139图4）其中蓝色实线为i(0)=0.2时的i~t曲线（第1条）；黑色虚点线为过点（0, 1-1/σ）的水平线（第2条）；红色虚线为i(0)=0.9时的i~t曲线（第3条）。
提示图例标注可用legend('i(0)=0.2','1-1/¦σ','i(0)=0.9');★★编写的M文件和运行结果（比较[139]图4）：解法一：程序：命令窗口的结果：图形窗口的结果：51015202530354000.10.20.30.40.50.60.70.80.91t （天）i （病人所占比例）图1 SI 模型的i~t 曲线(λ=0.2,σ=3)i(0)=0.21-1/σi(0)=0.9解法二： 程序：%传染病模型3（SIS 模型）的i~t 曲线图 %文件名：p138fig4.m clear; clc;%λ=0.2, σ=3，x 代表ix=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=x0')%求微分方程的解析解，为符号表达式for x0=[0.2,0.9]%i(0)=0.2,0.9for t=ttxx(2-(x0==0.2),round(t/0.1)+1)=eval(x);endendplot(tt,xx(1,:),'-b',[0,41],[1-1/3,1-1/3],'-.k',tt,xx(2,:),':r');legend('i(0)=0.2','1-1/σ','i(0)=0.9');axis([0 40 0 1]);title('图1 SI模型的i~t曲线(λ=0.2,σ=3)');xlabel('t （天）'); ylabel('i （病人所占比例）');命令窗口的结果：图形窗口的结果：与解法一相同解法三：程序%传染病模型3（SIS模型）的i~t曲线图%文件名：p138fig4.mclear; clc;x=dsolve('Dx=-lam*x*(x-(1-1/si))','x(0)=x0')%求微分方程的解析解，为符号表达式lam=0.2; si=3; %λ=0.2, σ=3，x 代表ifor x0=[0.2,0.9] %i(0)=0.2,0.9 for t=ttxx(2-(x0==0.2),round(t/0.1)+1)=eval(x); end endplot(tt,xx(1,:),'-b',[0,41],[1-1/3,1-1/3],'-.k',tt,xx(2,:),':r');legend('i(0)=0.2','1-1/σ','i(0)=0.9'); axis([0 40 0 1]);title('图1 SI 模型的i~t 曲线(λ=0.2,σ=3)'); xlabel('t （天）'); ylabel('i （病人所占比例）');命令窗口的结果：图形窗口的结果：与解法一相同3.（验证）传染病模型4（SIR 模型）p140~141SIR 模型的方程：00(0) (0)disi i i i dtds si s sdtλμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ 设λ =1，μ =0.3，i (0)=0.02，s (0)=0.98。
输入p140的程序并运行，结果与教材p141的图7和图8比较。
ode45, pause 的用法见提示。
★ 2个M文件（见[140]）和运行结果（比较[141]图7、图8）：函数M文件：命令M文件：i(t), s(t)图形（比较[141]图7）：i~s图形（相轨线）（比较[141]图8）：4.（验证）人口指数增长模型参数估计及结果分析（美国1790-2000年人口）p163~164美国1790-2000年人口统计数据（以百万为单位）人口指数增长模型：x(t) = x0 e r t(1) 用表中数据进行数据拟合求参数r，x0。