数字电路基础d01-04逻辑函数的描述
数字电路笔记之逻辑函数
数字电路笔记之逻辑函数
◆数字电路的特点及描述工具
数字电路是一种开关电路;
输入、输出量是高、低电平，可以用二元常量(0，l)来表示。
输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。
仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的数学工具来描述。
一、逻辑函数
以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那幺当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。
输出与输入之间乃是一种函数关系。
这种关系称为逻辑函数(logic function)，写作Y=F(A，B，C，...);由于变量和输出(函数)的取值只有0和1两种状态，所以我们所讨论的都是二值逻辑函数。
数字电路与逻辑设计之逻辑代数基础
证明 令 A=X
因而 X·A = 0
X+A = 1 公理5
但是 A·A = 0
A+A = 1 公理5
由于X和A都满足公理5，根据公理5的唯一性，得到：A=X
由于 A=X，所以A=A
数字电路与逻辑设计
24
逻辑代数的基本定理和规则
定理 6 A+B = A·B ;
A·B = A+B
证明 由于（A·B）+（A + B）= (A·B+A) +B 公理2
公理4
= A·(1+B)
公理3
= A·(B+1)
公理1
= A·1
公理4
=A
公理4
数字电路与逻辑设计
23
逻辑代数的基本定理和规则
定理 4 A+A·B = A+B ; A·(A+B) = A·B
证明 A+A·B = (A+A) ·(A+B) 公理3
= 1·(A+B) = A+B
公理5 公理4
定理 5 A = A
如何判断两个逻辑函数是否相等？ 通常有两种方法：真值表法，代数法。
数字电路与逻辑设计
16
逻辑代数的基本概念
2.1.3 逻辑函数的表示法
常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种。 一、逻辑表达式
逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、 “非”3种运算符以及括号所构成的表达式。例如：
函数F和变量A、B的关系是：当变量A和B取值不同时， 函数F的值为“1”； 取值相同时，函数F的值为“0”。
即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。
“与”运算表
《数字电子技术》教学课件(高教社) 第一章 数字电路基础 1.4.1逻辑函数的最小项及最小项表达式
1.4.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式
对于n个变量函数，如果其与或表达式的每个乘积项都包含n 个因子，而这n个因子分别为n个变量的原变量或反变量，每 个变量在乘积项中仅出现一次，这样的乘积项称为函数的最小 项，这样的与或式称为最小项表达式。
1.4.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式
设有n个逻辑变量A1～An，P是由这n个逻辑变量构成的与项。 如果在与项P中，所有的变量都以原变量( Ai )或者反变量( Ā ) 的形式出现且仅出现一次，则称与项P为最小项，记作mi。
高等职业教育数字化学习中心
数单字电击子此技处术 编辑母版标题样式
主 讲：
单击此处编辑母版标题样式
讲授内容
知识点
第一章：数字电路基础
逻辑函数的最小项及最小项表达式
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
代数化简法需要使用者熟练地掌握公式，并具有一 定的技巧，还需要对所得的结果是否是最简式有判断 力，所以在化简较复杂的逻辑函数时此方法有一定的 难度。在实践中人们还找到了一些其它的方法，其中 最常用的是卡诺图化简法，它比较适用于四变量以内 的逻辑函数的化简。
注：m代表最小项，下标i为最小项的编号。i是n变量 取值组合排成二进制数所对应的十进制数。
1.4.1 逻辑函数的最小项及最小项表达式
对于n个逻辑变量，其所构成的最小项共有个。如A、B、C 三个逻辑变量所构成的最小项共有八个。
高等职业教育数字化学习中心
谢 谢！
数字电子技术门电路地分析与应用逻辑函数及表示方法
数字电子技术之逻辑函数及表示方法学习导入数字电子电路Xi Yi Y与A,B,C之间是逻辑关系,没错！但是怎么来表示两者之间地关系呢？本次课主要内容第一点逻辑函数地定义第二点第三点逻辑函数表示方法之间地互换逻辑函数地表示方法一,逻辑函数地定义主题逻辑函数及表示方法逻辑函数:输入逻辑变量与输出逻辑变量之间地函数关系称为逻辑函数。
表示为Y=F(A,B,C,D…) 式:A,B,C,D…输入逻辑变量,Y为输出逻辑变量。
例如:图1.4.1是一个三裁判电路,竞赛规则为主裁与两名副裁,除主裁外至少有一个副裁判是,结果有效,否则结果无效。
主裁控制开关A,两名副裁控制B,C,当裁判判定有效时,合上开关,否则不合。
显然,灯泡Y地状态是开关A,B,C状态地逻辑函数。
Y=F（A,B,C）题逻辑函数及表示方法常用地逻辑函数表示方法有真值表,逻辑函数式,逻辑图,波形图与卡诺图等。
其任何一个逻辑函数其真值表与卡诺图地表现形式是唯一地。
1,逻辑真值表:用0,1表示输入逻辑变量各种可能取值地组合与对应地输出值排列成地表格。
题逻辑函数及表示方法2,逻辑函数式:用把输出与输入之间地逻辑关系写出与,或,非等运算地组合式,即逻辑函数式。
根据竞赛规则,与与或地逻辑定义,"B,C至少有一个等于1"可表示为（B+C）,"同时还要求A=1",则应写作A•（B+C）,Y=A•（B+C） 3,逻辑图:将逻辑函数各变量之间地与,或,非等逻辑关系用逻辑门电路来实现,就可以画出表示函数关系地逻辑图。
题逻辑函数及表示方法4,波形图:用将逻辑函数输入变量每一种可能地取值与对应地输出值按时间顺序依次排列起来,就得到了表示该逻辑函数地波形图,也称时序图。
5,卡诺图:将表示逻辑变量地所有可能组合地小方格组成地平面图,它是一种用图形描述逻辑函数地方法。
数字电子技术--逻辑代数基础知识
数字电子技术--逻辑代数基础知识数字电子技术是研究和应用逻辑代数基础知识的一门学科。
逻辑代数是数学中的一个分支，它研究命题的逻辑运算和关系。
在数字电子技术中，逻辑代数被用来描述和分析数字电路的行为。
首先，逻辑代数中的基本运算包括逻辑与、逻辑或和逻辑非。
逻辑与运算表示两个输入同时为真时，输出为真；逻辑或运算表示两个输入中至少有一个为真时，输出为真；逻辑非运算表示输入为真时，输出为假，反之亦然。
逻辑代数中的命题通常用0和1表示，其中0代表假，1代表真。
这样，逻辑运算可以用真值表来表示。
真值表是逻辑运算的真值集合的表示形式，通过列举所有可能的输入值和对应的输出值，可以得到逻辑运算的完整描述。
在数字电子技术中，逻辑运算的结果被用来表示一个电路的输出。
电路由逻辑门组成，逻辑门是实现逻辑运算的基本元素。
常见的逻辑门有与门、或门和非门。
与门将两个输入进行逻辑与运算，输出结果与两个输入相同；或门将两个输入进行逻辑或运算，输出结果与两个输入相同；非门将一个输入进行逻辑非运算，输出结果与输入相反。
利用逻辑门，可以构建各种复杂的数字电路，如加法器、计数器和存储器等。
这些电路通过组合不同的逻辑门和使用逻辑代数进行分析和设计，实现了数字信号的存储、处理和传输。
逻辑代数基础知识在数字电子技术中起着重要的作用。
它提供了一种抽象和形式化的方法，用于描述和分析数字电路的行为。
通过逻辑代数的基本运算和规则，可以简化和优化数字电路的设计，提高电路的性能和可靠性。
总而言之，逻辑代数基础知识是数字电子技术的核心内容之一。
它为数字电路的设计和分析提供了基本的工具和方法，使我们能够理解和应用数字电子技术。
通过掌握逻辑代数基础知识，可以更好地理解数字电子技术的原理和应用，为实际问题的解决提供有效的方法。
当我们深入研究数字电子技术时，逻辑代数的基础知识成为我们理解和设计复杂电路的基础。
在数字电路中，逻辑门是数字信号处理的基本组成部分。
通过逻辑代数的运算和规则，我们可以将逻辑门进行组合，从而构建出更为复杂的数字电路。
数电基础ppt课件(2024版)
或：103.45=1×100+0×10+3×1+4×0.1+5×0.01
*
2、二进制
计数的基数是2，进位规则是“逢二进一”
其中ki是第i位的数码（0或1）2i 称为第i 位的权
如：(1010.11)2=1×23+0×22+1×21+0×20 +1×2-1+1×2-2=（10.75)10
与（AND）
或（OR）
非（NOT）
A
B
Y
A
B
Y
A
Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
0 1
1 0
1.逻辑真值表
（二）逻辑运算的描述
2.逻辑表达式
3.逻辑符号
*
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。 证： (A+B)(A+C)= (A+B)A+ (A+B)C =A·A+A·B+A·C+B·C =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC 因此有 A+BC=(A+B)(A+C)
A
B
Y
0 0 1
与非
或非
异或
同或
0 1 1
1 0 1
1 1 0
只有输入都是1时,输出才是0
A
B
Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
任何逻辑函数
任何逻辑函数1. 逻辑函数的概念逻辑函数是数字电路设计中最基本的函数，它的输入是一组逻辑变量，输出是另一组逻辑变量。
逻辑函数有很多种类型，包括布尔函数、卡诺图、真值表等。
在数字电路设计中，逻辑函数通常是通过逻辑门和与或非（AND、OR、NOT）操作来实现的。
2. 布尔函数布尔函数是逻辑函数的一种类型，它的输入和输出都是逻辑变量。
布尔函数可以用来描述逻辑运算，比如AND、OR、NOT等。
布尔函数的标准形式是Sum-of-Products（SOP）和Product-of-Sums（POS）。
在SOP形式中，布尔函数表示为逻辑变量的和的积的形式。
布尔函数F（A、B、C）= Σ（3,5,6,7）可以写为：F（A、B、C）= A'B'C'+A'BC'+AB'C'+ABC'3. 卡诺图卡诺图是用于简化布尔函数的一种图形化方法。
它是一个由方框组成的表格，其中每个方框代表一个可能的组合状态，方框中的数字代表该组合状态对应的输出值。
卡诺图中相邻的方框只相差一个逻辑变量，这使得卡诺图结构性非常好，易于使用。
使用卡诺图可以帮助设计者最小化布尔函数的项数，从而减小电路复杂度。
对于较小的布尔函数，卡诺图可以直观地展示出所有有效的组合状态，而对于复杂的布尔函数，它可以用来发现布尔函数中的潜在模式并进一步优化电路。
4. 真值表真值表是用来描述逻辑函数的一种方法，它列出了函数对于所有可能的输入组合所对应的输出值。
真值表中的每一行都代表一个特定的输入组合，每一列代表相应的逻辑变量。
真值表通常用于较小的布尔函数的设计，因为对于大型布尔函数，真值表显得非常庞大且难以处理。
真值函数是一种广泛使用的逻辑函数类型，它将一个或多个真值作为输入并产生一个真值作为输出。
真值函数可以用于执行各种逻辑或比较操作，例如大小比较、位移操作、逻辑与操作等。
在数字电路设计中，真值函数可以用来实现各种逻辑电路的核心功能。
数字电路基础_D01-03逻辑代数和逻辑函数
1.3 逻辑代数和逻辑函数1.3.1 逻辑代属于逻辑变量逻辑代数又称布尔代数。
它是用于分析和设计逻辑电路的数学工具。
也可以用来描述数字电路的结构和特征。
逻辑变量是逻辑代数中的变量。
通常用大写字母表示。
当逻辑变量作为输入，它们之间用各种逻辑运算符连结起来所形成的比较复杂的逻辑代数的运算结果作为输出，就称为逻辑函数，写作Y＝F(A，B，C，···)逻辑变量的取值只有两个：0和1。
这里的0和l不表示数量的大小，只表示对立两种逻辑状态。
例如，用1和0表示电路的忙和闲、电灯的亮和灭、事件的真和假、事物的是和非、信号的高和低、开关的开和关等。
因此，通常把1称为逻辑1，把0称为逻辑0，即所谓二值逻辑函数。
二值逻辑的基本逻辑关系只有三种：逻辑乘、逻辑加、逻辑非。
相应的在逻辑代数中只有三种基本运算：与运算、或运算、非运算。
这三种基本运算反映了逻辑电路中最基本的逻辑关系，其他复杂的逻辑关系都可以通过这三种基本运算来实现。
1.3.2基本逻辑运算与基本逻辑门1．逻辑与(乘)运算及与门若决定某一事件的所有条件都成立，这件事就发生，否则这件事就不发生，这样的逻辑关系称逻辑与。
逻辑与运算的符号可以用 、和·表示，常用符号为“·”，此符号也可省略。
如图1-3-l(a)中电灯亮的条件是要求开关A和B都闭合。
若用A＝1、B＝l表示开关闭合，A＝0、B＝0表示开关断开；Y＝l表示电灯亮，Y＝0表示电灯灭；可以列出输入变量A、B的各种取值的组合和输出变量Y的一一对应关系，如表1-3-1所示。
这样的表叫做真值表。
从表中可以看出，输出变量Y与输入变量A、B是对应的函数关系，故称Y是A、B的逻辑函数。
表中只要输入变量中有一个为0，输出逻辑函数就为0；只有当全部输入变量均为1时，输出函数才为1。
当逻辑关系用表达式来表示时，称为逻辑函数表达式。
逻辑与的表达式为：Y＝A·B＝AB，读作Y等于A与B。
数电-第三节 逻辑函数的标准形式
最小项
A BC A BC ABC ABC A BC A BC ABC ABC
二进制数 000 十进制数 0
001 1
010 011 2 3
100 101 4 5
110 111 6 7
编号
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
最小项的性质： 任意一组变量取值：只有一个最小 项的 值为1，其它最小项的值均为0。 同一组变量取值：任意两个不同最小 项的乘积为0，即mimj=0 (i≠j)。
逻辑函数的标准形式
例：已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。 解: 从真值表找出 F 为 1 的对应最小项。
函数的最小项 然后将这些项逻辑加。 表达式是唯一的。
ABC
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
mi
0 1 2 3 4 5 6 7
标准积之和( 最小项）表达式
ABCD ABCD ABCD ABC( D D) ABC( D D) ABCD ABCD ABCD ABCD
ABCD ABCD ABC D
m3 m7 m9 m10 m11 m14 m15
m(3, 7, 9, 10,11,14,15 )
例：
m ( 0, 1, 5, 6) F F m m m m 1 3 5 7 例： M（0 ，1，5，6） m =F m= m
F m1 m3 m5 m7
1 3
=
M1 M 3 M 5 M 7
m5
7
逻辑函数的标准形式
利用互补律，补 上所缺变量B式中的每一个 。 例： 求函数 F ABCD A CD AC 的标准积之和表达式。 乘积项均为最小项 利用互补律，补 解：F ABCD A( B B)CD A ( B B)C 上所缺变量D。
逻辑函数 数字电路
逻辑函数数字电路在数字电路中，逻辑函数是对一组输入信号作出逻辑决策的函数。
它将输入信号映射到输出信号，通过使用逻辑门组成各种逻辑函数电路，实现不同的数字逻辑功能。
逻辑函数是由逻辑变量和逻辑操作符组成的表达式。
逻辑变量可以取值为0或1，代表逻辑门的输入信号。
逻辑操作符包括与、或、非和异或等，用来描述逻辑变量之间的逻辑关系。
逻辑函数对应不同的逻辑关系，如与门实现逻辑与操作，或门实现逻辑或操作，非门实现逻辑非操作。
在设计逻辑函数电路时，需要根据具体的功能要求，选择合适的逻辑函数和逻辑门的组合。
常用的逻辑函数包括与、或、非、异或、与非、或非等。
它们可以通过逻辑门的串联、并联、反向连接等方式组成复杂的逻辑电路。
逻辑函数电路广泛应用于计算机、通信、控制等领域。
在计算机中，逻辑函数电路用于实现算术逻辑单元（ALU）、寄存器、存储器等关键功能。
在通信系统中，逻辑函数电路用于实现编解码器、调制解调器等信号处理功能。
在控制系统中，逻辑函数电路用于实现逻辑控制、时序控制等功能。
在设计逻辑函数电路时，需要考虑逻辑函数的准确性、稳定性和可靠性。
合理选择逻辑操作符和逻辑门，确保逻辑函数的正确性和稳定性。
通过合理的布线和电路连接，减少信号延迟和失真，提高电路的可靠性和性能。
在实际应用中，逻辑函数电路的设计与优化是一个复杂而关键的任务。
需要充分理解逻辑函数的特性和原理，结合具体的应用要求进行设计和优化。
同时，也需要考虑功耗、面积和可测试性等因素，综合考虑电路的性能和可行性。
总之，逻辑函数数字电路在数字系统设计中扮演着重要的角色。
它通过逻辑函数和逻辑门的组合，实现了各种数字逻辑功能。
在实际应用中，设计人员需要深入理解逻辑函数的原理和特性，合理选择逻辑操作符和逻辑门，以满足系统的功能要求和性能指标。
因此，了解逻辑函数数字电路的基本概念和设计原则对于数字电路设计人员来说是至关重要的。
中南大学数字电子技术 1.4逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法
（二）逻辑函数的标准形式2—最大项之积 推论：任一逻辑函数都可以用唯一最大项之 积的形式表示
Y mi M k
i k i
Y mi (i 2,3,4,7)
M (0,1,5,6)
二、 逻辑函数的地 排列起来所组成的图形。
M2 = A B C
M1= A B C M0= A B C
（2）性质：
①在输入变量的任何取值下必有一个最 大项,而且仅有一个最大项的值为0
②全体最大项之积为0
③任意两个最大项的之和为1
④相邻两个最大项之乘积等于各相同变 量之和
⑤
例：
M i mi
=M5
m5 ABC A B C
Y
B A
0
1
二变量卡诺图 Y=F(A,B)
0 1
m0 m2
m1 m3
三变量卡诺图 Y=F(A,B,C)
Y A 0 BC 00 01 11 10
m0
m4
m1
m5
m3 m7
m2
m6
1
四变量卡诺图 Y=F(A,B,C,D)
Y CD 00 AB m0 00 01 m4 11 10 m12 m8 01 m1 m5 m13 11 m3 m7 m15 10 m2 m6 m14 m10
Y ABC D ABC BD
01
0
CD 00 AB
0
11
0 1 1
10
0 0 0 1
00 01
1 0 0
1
1 0
11
10
0
两个最小项只有一个 因子不同
例：三变量逻辑函数的最小项如
逻辑函数的表示方法
《电子技术》知识点：逻辑函数的表示方法逻辑函数定义: 用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A 、B 、C 等连接起来，所得的表达式称为逻辑函数。
F (A ，B)=A +B F (A ，B ，C )=A +BC输出变量 逻辑函数的表示方法： 逻辑图逻辑表达式波形图 真值表 输入变量例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。
试建立该问题的逻辑函数。
A BC F 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 11 0 0 0 三个人意见分别用逻辑变量A 、B 、C 表示 表决结果用逻辑变量F 表示 同意为逻辑1，不同意为逻辑0。
表决通过为逻辑1， 不通过为逻辑0。
1.真值表F =(A ，B )=A +B F =(A ，B ，C )=A +BC 输出变量 逻辑函数的表示方法： 逻辑图逻辑表达式 波形图 真值表 例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。
试建立该问题的逻辑函数。
A B C F 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1.真值表 2.逻辑函数表达式 ∙ 找出函数值为1的项。
∙ 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。
∙ 这些乘积项作逻辑加。
F= ABC+ABC+ABC +ABC输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC 、ABC 、ABC 、ABC 。
1 0 1 1 1 1 1 03.逻辑图F= ABC+ABC+ABC +ABC 乘积项用与门实现和项用或门实现4.波形图ABF &CAB&CAB &CAB &C≥1ABCF逻辑函数的表示方法∙ 函数表达式的五种常用形式 “与―或”式 =++(A C)(A B)“或―与”式 =∙AB A C“与非―与非”式 =+++A C A B “或非―或非”式=+∙∙A C A B“与―或―非”式 ∙ 表达式形式转换 F (A ，B ，C ) = AB + AC基本 形式 例如函数 F = AB + AC=++(A C)(A B)=∙AB A C =+++A C A B= AB + AC 1.与-或表达式转换为或-与表达式 F = AB + AC = AA + AB +AC +BC= (A +C ) (A + B ) 吸收率 互补率 = A (A + B )+C (A +B )2.与-或表达式转换为与非—与非表达式 =AB + AC 还原率F = AB + AC= AB • AC反演率3.或-与表达式转换为或非—或非表达式F = (A +C ) (A + B )= (A +C ) (A + B ) = A +C + A + B 反演率还原率4.或-与表达式转换为与-或-非表达式 反演率 还原率 = A C + A B F = (A +C ) (A + B ) = (A +C ) (A + B ) = A +C + A + B逻辑函数的标准形式n 个变量有2n 个最小项，记作m i 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4逻辑函数的描述
常用的逻辑函数描述方法有逻辑函数真值表(简称真值表)、逻辑函数表达教、逻辑电路图和卡诺图法等，它们在设计和分析逻辑电路时非常重要。
真值表和逻辑函数表达式在上节己作了简单介绍，卡诺图将在下节详细讨论。
1.4.1逻辑函数的建立和描述方法
对于任何一个具体的二值逻辑问题，我们常常可以设定此问题产生的条件为输入逻辑变量，设定此问题产生的结果为输出逻辑变量，从而用逻辑函数来描述它。
下面举一个实例来说明逻辑函数的建立过程以及它的描述方法；某系统为验收判决逻辑，判决原则是当3个验收报告中有两个及两个以上通过时，我们认为系统验收合格，否则为不合格。
设3个验收报告分别为A、B、C，系统验收结果为Y，若用1表示验收报告通过，0表示不通过，1表示系统合格，0表示系统不合格，其逻辑函数真值表列于表l-4-1中。
由此可见，真值表就是将输入变量的所有取值和其对应的输出值用表格来表示，它是直观地描述逻辑变量之间的逻辑关系的有效方法。
当把逻辑函数输出和输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，就得到了所需逻辑函数表达式。
对上例，其Y＝AC十AB十BC。
将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用与、或、非门等电路图形符号表示出来，就可以得到表示逻辑函数关系的逻辑电路图。
卡诺图是描述逻辑函数的第四种方法，它是用几何图形来简化逻辑函数表达式，并将表达式转化最简形式的有用工具。
逻辑函数真值表、逻辑函数表达式、逻辑电路图、卡诺图是描述一个逻辑问题的四种不同形式，这四种形式是可以相互转换的，或者说，由其中—种形式可以得到其他任一种形式。
1.4.2 逻辑函数表达式的两种标准形式
在讨论逻辑函数的标准式之前，首先要了解最小项、最大项的定义和性质，然后再介绍逻辑函数的最小项之和及最大项之积这两种标准形式。
1．最小项的定义和性质
在n个变量的逻辑函数中，若m是由n个变量组成的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称该乘积项m为该组逻辑变量的最小项。
由于一个变量仅有0和1两种形式，因此n个变量的逻辑函数共有2n个最小项。
例如，三变量逻辑函数，共有23＝8个最小项。
如果把A B C的取值101作为一个二进制数，那么它所表示的十进制数就是5，因此为
今后计算方便，将这个最小项表示为m5。
按照这一约定，表1—4—2示出了三变量逻辑函数的最小项及其编号。
同样，我们把A 、B 、C 、D 这4个逻辑变量的24
＝16个最小项记作为m 0 ～m 15
由最小项的定义可以证明其具有如下的重要性质：
(1)n 个变量的全部最小项之和为l
这是因为n 个变量的任意一组取值，总有一个最小项取值为1；其余取值均为0。
(2)任意两个最小项的乘积恒为0。
因为变量的每一组取值，两个不同的最小项不可能同时为l ，所以两个最小项相乘必 为0。
(3)n 个变量的任一个最小项有n 个“相邻项”。
若两个最小项只有一个因子不同(互补)，则称这两个最小项是相邻项。
例如，三变 量的一个最小项ABC ，则它的相邻项共有3个相邻项。
由此可以推得，具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一个变量。
例如，两个相邻的最小项取和，B A C B A C B A =+，结果合并为一项，并将互补因子消去。
2．最小项标准与或表达式
任何一个逻辑函数，都可以表示成若干个最小项之和，称为最小项标准与或表达式， 或称为最小项之和表达式，式(1—4—1)即为标准与或表达式。
下面介绍求逻辑函数标准与或表达式的两种方法。
(1) 利用基本公式A 十A ＝1，可以把缺少变量A 的乘积项拆项为两个包含A 和A 的
乘积项之和。
[例1—4-1]写出Y=AB 十AC 十BC 的最小项标准与或表达式。
解Y=m3十m5十m6十m7＝∑(3，5，6，7)
(2)由真值表求标准与或表达式。
前面已经讨论过，任何一个逻辑函数都可以用真值表来描述，真值表中的每一行，实 质上就是一个最小项。
所以，只要将真值表中输出函数Y ＝1的最小项相加，就是此函数 的标准与或式，即式(1—4—1)。
应当指出，对于任何一个逻辑函数，它的真值表是唯一的，由此它的标准与或式也是唯一的。
3．最大项的定义和性质
在n 个变量的逻辑函数中，若M 是n 个变量之和项，而且这个变量均以原变量或反变 量的形式在M 中出现一次，则称M 为该组逻辑变量的最大项；同样，n 个变量的逻辑函数
共有2n 个最大项。
对逻辑函数最大项的编号恰好与最小项的编号相反，若为原变量时，则变量取值为0，若为反变量时，则变量取值为l。
例如，当三变量的取值为101时，最大项为A十B十C，其编号为M5，三变量逻辑函数的最大项及其编号如表1—4—3所示。
与最小项类似，最大项也有几个重要的性质。
(1)n个变量的全部最大项之积为0。
这是因为每一个最大项与变量的一组取值对应，即只有这一组取值才使该最大项为0。
其余最大项的值都是1。
(2)任意两个最大项的之和为1。
(3)n个变量的每一个最大项有n个相邻项。
(4)在变量个数相同的条件下，编号相同的最小项和最大项互为反函数.
4．最大项标准或与表达式。
上面已经说明，任何一个逻辑函数都可以表成最小项和的形式。
由最小项的性质知，全部最小项之和为1。
因此，若给定逻辑函数Y＝∑m i，则∑m i以外的最小项之和必为Y。
任何一个逻辑函数都可以表示成最大项之积的标准形式；称为标准最大项或与表达式，或称为最大项之积表达式。
下面举例说明。
[例1-4-2]写出Y＝AB十AC十BC的最大项标准或与表达式
解: 利用分配律 Y＝AB十AC十BC =M0M1M2M4
＝∏(0，1，2，4)
1.4.3逻辑函数的最简表达式
根据逻辑函数表达式，可以画出相应的逻辑电路图。
逻辑式的繁简程度直接影响到逻辑电路中所用电子器件的多少。
因此，往往需要对逻辑函数进行化简。
以找出逻辑函数的最简形式，节省器件，降低成本，提高数字系统的可靠性。
同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，常用的逻辑函数表达式是与或式，如Y＝AB十AC 十BC。
往往化简也是针对与或式进行的。
即要求乘积项的数目最少，且每个乘积项中的逻辑变量因子也是最少的，我们称这样的逻辑函数表达式为最简与或表达式。
用门电路实现上式的电路如图1—4—1所示。
由图中可以看出，需要使用与门和或门两种类型的器件。
在实际中，往往只采用一种门电路来实现逻辑函。
这种情况就需要将与或式转换成所需要的表达式形式。
最常见的表达式有五种：与或式、或与式、与非—与非式、或非—或非式、与或非式。
利用逻辑代数的基本定律和常用公式，很容易实现这五种表达式的直接变换。
这里以Y＝AB十AC十BC为例加以说明。
实现与或非的逻辑电路是一级与或非门，如图l—4—2所示.
必须注意，将最简与或式直接变换为其他类型的逻辑式时。
得到的结果不一定是最简的。