2020年数列专题发言
2020数学教学经验发言稿范文(精选10篇)
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2020数学教学经验发言稿范文(精选10篇)2020数学教学经验发言稿范文在我们平凡的日常里,用到发言稿的地方越来越多,发言稿可以起到整理演讲者的思路、提示演讲的内容、限定演讲的速度的作用。
还是对发言稿一筹莫展吗?下面是为大家整理的2020数学教学经验发言稿范文,欢迎阅读与收藏。
数学教学经验发言稿1各位老师,下午好!非常感谢上仓中学给我们提供了这个相互交流和学习的机会,还有我们高三数学组的各位同仁,正是大家辛勤的劳动和团结一心,让我们在去年的高考中取得了一定的成绩!现在我代表备课组谈谈我们的一些做法。
不当之处,敬请指正。
一、注意新课程与大纲之间的关系、加变化趋势强两纲研究,紧扣课本复习备课组认真研究《考纲》与《考试说明》、高考试题。
仔细琢磨高考试题的命题特点、。
熟悉高考命题的题型与要求,明确题型分布,知识点的覆盖规律。
让学生明确“考什么”、“怎么考”、“考多难”。
要让学生把主要精力首先放在中档及其以下题目上,要在“会、熟、快、准”上下功夫。
通过研析每年高考试题,我们发现源于课本的考题总在100分左右。
那么怎样研究教材,用活教材,用好教材呢?1、钻研教材,追根溯源。
一句“用教材教,而不是教教材”的话不断在重复。
事实上知识的发生与发展、延伸与交错、再生与裂变,在教材中早有它的脉络和雏形。
这些课本上的例题、练习、习题就像散落的珍珠,只要经过老师的发现、打磨、提炼,它们就会变成学生所需要的项链。
2、就地取材,锐意开发。
其实从某种意义上说考查学生的解题能力,也就是考查教师的研题水平。
研题一类是对他人试题的鉴赏,另一类是改题编题。
不懂得鉴赏,教数学就丢失了味道。
不学会创新,教数学就失去了活力。
紧扣课本复习问题上,要引导学生做好以下四点:复习每一个专题时,必须联系课本的相应部分。
不仅要让学生弄懂课本提供的知识方法,还要弄懂公式的推导过程和例题的求解过程。
在训练中,如遇到障碍,要学生有查阅课本的习惯。
通过课本,查明学生在知识和方法的缺陷。
2020年高考数学研讨会发言稿
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2020年高考数学研讨会发言稿尊敬的各位领导、老师:大家好!我是高三数学教研组任课老师,在2019年--2020学年担任数学备课组长,取得备课组成绩和个人教学成绩双丰收。
现在我介绍一些我个人和备课组在高三复习中的做法,与大家交流。
高考命题是以《高考数学考试说明》为依据的,高三数学复习要以《说明》为指导,在内容取舍上,应以考试内容为准,不随意扩充、拓宽和加深;注意各知识点的难度控制。
一、复习步骤和目标第一轮:注重基础.(2019年9月初-2020年3月上旬).6个半月。
定位是“以点带面打基础”。
以课本为依托,夯实基础,以章节为单位,将零碎与散乱的知识点串起来,并将它们系统化,加强知识的纵向与横向联系,重点在于将各知识点的网络化及融会贯通,课本是学生获得系统的数学知识的主要来源,学生最熟悉,最亲切。
为了对中学数学教学发挥积极的导向作用,高考试题“源于课本,高于课本”,有些是课本题目经过加工改造,组合嫁接而成,有些甚至是原题。
课本是考试内容的具体化,是中、低档题目的直接来源,是解题能力的生长点。
因此,数学复习要立足于课本,重基础教学。
口号是:基础基础再基础。
第二轮:(2020年3月上旬-5月初).一个半月。
定位是“重点专题上台阶,综合训练提能力”。
要求:瞄准考点,精设专题,使所学知识与高考好好对接。
方法:突出重点,归纳迁移,加强做题的规范性,准确性和时效性训练,提升学生的综合思维能力和解决实际问题的能力。
口号是:提高提高再提高。
题目的难度较第一轮略有上升.先是分章节的综合训练,教师主要是评讲卷,针对卷子中学生暴露的问题一一点评;然后是针对学生应试能力的训练,主要侧重于选择题和填空题的训练.专题安排主要是:主干知识6大块:(1)函数、方程、不等式、导数;(2)数列;(3)三角;(4)解析几何;(5)立体几何;(6)概率与复数.主要是提高学生分析问题、解决问题的能力,提高综合能力.第三轮:(2020年5月初至高考)1个月。
2024年统计交流发言讲话范本
![2024年统计交流发言讲话范本](https://img.taocdn.com/s3/m/96fb22af18e8b8f67c1cfad6195f312b3169eb93.png)
2024年统计交流发言讲话范本尊敬的各位领导、各位嘉宾,亲爱的同事们:大家好!在这个庄严而意义非凡的时刻,我感到无比荣幸地站在这里,与各位共同迎接2023年统计交流发言会的盛大开幕。
首先,我代表统计界向各位领导、各位嘉宾以及广大与会者表示最热烈的欢迎和诚挚的敬意!回顾过去,我们不禁发现统计工作所迈出的每一步都伴随着时代的发展和进步。
过去的几年里,我国统计业取得了举世瞩目的成就,为全面建设社会主义现代化强国提供了坚实支撑。
我们坚持以人民为中心的发展思想,注重高质量发展,坚持合作共赢,取得了一系列重要成果。
但同时,我们也要清醒地认识到,统计工作任重道远。
面对世界经济形势的不确定性、不稳定性和不可预测性,面对日益复杂的国内外形势,统计工作面临新的挑战和任务。
因此,我们要不断加强创新能力,提高统计质量和水平,为实现我国现代化建设目标提供坚实的数据支撑。
在新的历史起点上,我们必须有更加清晰的思路、更加明确的目标、更加有力的举措。
首先,我们要深入贯彻落实党的十九届四中全会精神,扎实开展统计工作,为全面建设社会主义现代化强国贡献力量。
其次,我们要加强技术创新和人才培养,提升统计工作的科技含量和智力支撑。
第三,我们要加强与国际统计组织的合作,积极参与全球统计治理,为国际统计事业的发展作出更大贡献。
面对新的机遇和挑战,我们有庞大的统计队伍、丰富的统计经验和科学的统计方法。
我们要团结一心、开拓创新,努力提高统计质量和水平,推动统计工作与时俱进,为实现全面建设社会主义现代化强国的宏伟目标贡献计划、智慧和力量。
最后,期盼与会各位利用这次统计交流发言会,充分沟通交流,互相学习借鉴,共同探讨前沿技术、方法和理念,共同促进统计工作的创新发展。
让我们携起手来,共同开创统计事业的美好未来!祝本次统计交流发言会圆满成功,祝各位领导、嘉宾取得丰硕的成果!谢谢大家!。
2020年高考数学(理)之数列 专题11 数列的通项( 叠加法、累乘法求通项)(解析版)
![2020年高考数学(理)之数列 专题11 数列的通项( 叠加法、累乘法求通项)(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/79eac499c281e53a5902ff45.png)
数列11 数列的通项( 叠加法、累乘法求通项)一、具体目标:掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述: 1.数列的通项公式:(1)如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. (2)数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系:11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.2.求数列的通项公式的注意事项:(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n 之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用()1n-或()11n +-来调整.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.由不完全归纳法得出的结果是不可靠,要注意代值验证.(3)对于数列的通项公式要掌握:①已知数列的通项公式,就可以求出数列的各项;②根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式,这是一个难点,在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况,分解所给数列的前几项,看看这几项的分解中.哪些部分是变化的,哪些是不变的,再探索各项中变化部分与序【考点讲解】号的联系,从而归纳出构成数列的规律,写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型:(1)已知数列是等差或等比数列,求通项,破解方法:公式法或待定系数法;(2)已知S n ,求通项,破解方法:利用S n -S n -1= a n ,但要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值 得重视;(3)已知数列的递推公式,求通项,破解方法:猜想证明法或构造法。
4. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列的通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用11a S =求出1a ;(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系,利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式; (3)对1n =时的结果进行检验,看是否符合2n ≥时n a 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n =与2n ≥两段来写.【注】该公式主要是用来求数列的通项,求数列通项时,一定要分两步讨论,结果能并则并,不并则分. 5. 递推公式推导通项公式方法: (1)叠加法:1()n n a a f n +-=叠加法(或累加法):已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11,求数列通项公式常用叠加法(或累加法)即112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ.(2)累乘法:已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+n f a a a a nn 11求数列通项公式用累乘法. (3)待定系数法:1n n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,)0)1((≠-p pq ) 解法:把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用换元法转化为等比数列求解. (4)待定系数法: nn n q pa a +=+1(其中,p q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ). (或1nn n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数).解法:在原递推公式两边同除以1+n q ,得:111n n n n a a p q q q q++=⋅+,令n n n q a b =,得:q b q p b nn 11+=+,再按 第(3)种情况求解.(5)待定系数法:b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠,, 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ解法:一般利用待定系数法构造等比数列,即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++,与已知递推式比较, 解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列. (6)待定系数法:21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法:一般利用待定系数法构造等比数列,即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++,与已知递推式比较,解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. (7)待定系数法:n n n qa pa a +=++12(其中,p q 均为常数).解法:先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q+=⎧⎨=-⎩,再按第(4)种情况求解.(8)取倒数法:1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1,按第(3)种情况求解.(11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=,解法:等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1,按第(3)种情况求解.).(9)取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法:这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数,后转化为q pa a n n +=+1,按第(3)种情况求解. 6. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型,考查频率较高,一般会结合归纳推理综合命题.常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等.(1)准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要 求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法. 类型1 )(1n f a a n n +=+解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用叠加法求解例1.设数列{}n a 中,112,1n n a a a n +==++,则通项n a = .【解析】法一:由题意可知:112,1n n a a a n +==++ 所以有()111n n a a n -=+-+,()1221n n a a n --=+-+,()2331n n a a n --=+-+,K ,3221a a =++,2111a a =++,1211a ==+将以上各式相加得:()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n --+⎡⎤-+⎣⎦=++=++=+ 故应填()112n n ++.法二:由题意11n n a a n +=++可得:11n n a a n +-=+, ()111n n a a n --=-+,()1221n n a a n ---=-+,()2331n n a a n ---=-+,K ,3221a a -=+,2111a a -=+,1211a ==+.将以上各式相加得:()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n --+⎡⎤-+⎣⎦=++=++=+ 故应填()112n n ++. 【答案】()112n n ++ 类型2 n n a n f a )(1=+ .解法:把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+,利用叠乘法求解。
高考专题数列发言稿
![高考专题数列发言稿](https://img.taocdn.com/s3/m/f5cf2b5ab6360b4c2e3f5727a5e9856a561226d1.png)
高考专题数列发言稿大家好!我是今天的主讲人,我将为大家讲解高考数列专题。
数列作为高中数学的重要部分,不仅是高考数学考试的重点内容,也是大家日常生活中经常接触到的数学概念。
本次发言稿将从数列的定义、数列的研究方法、数列的应用以及数列在高考中的考点等方面进行阐述。
首先,让我们来看一下数列的定义。
数列是指按照一定规律排列的一串数字或对象的集合。
每个数字或对象被称为数列的项,用a1,a2,a3……来表示。
数列的项次数可以是有限的也可以是无限的。
当项次数是有限的时候,数列称为有限数列;当项次数是无限的时候,数列称为无限数列。
接下来,我们将探讨数列的研究方法。
常见的数列研究方法主要有两种:递推法和通项法。
递推法是通过前一项和规律来求后一项,而通项法是通过寻找数列的通项公式来计算任意项。
对于递推法,可以通过观察数列的每一项之间的关系来推导出规律。
这种方法主要适用于项数较少的数列,且对于大多数数列来说,这种方法都是比较直观和简单的。
而通项法则是通过找出数列项之间的规律,进而推导出数列的通项公式。
这种方法难度较大,需要运用到常见的数列的知识和技巧,但一旦找到了数列的通项公式,就可以通过计算得到任意项的值。
然后,我们将探讨数列的应用。
数列的应用非常广泛。
在日常生活中,数列被广泛应用于金融、经济、物流等方面。
在金融领域中,利率、股票增长等都可以用数列来描述和计算。
在经济领域中,GDP、人口增长率等也可以通过数列来研究和分析。
在物流领域中,货物的数量、距离等也可以用数列来计算和规划。
而在数学学科中,数列的应用更加丰富。
数列可以用来求和、计算极限、研究数列的收敛性等。
数列是高等数学中重要的概念,也是许多重要定理的基础。
最后,我们将探讨一下数列在高考中的考点。
在高考中,数列作为数学必考的一部分,常常是一道必考题的核心内容。
在高考中,数列一般有两种考法:一种是数列的递推关系,另一种是数列的通项公式。
在数列的递推关系的考察中,主要考察学生对数列的规律的理解和运用能力,需要学生观察数列的每一项之间的关系并推导出规律。
高三数学主题发言材料
![高三数学主题发言材料](https://img.taocdn.com/s3/m/f2311ca49a89680203d8ce2f0066f5335a8167ba.png)
高三数学主题发言材料主题:数列与数列的性质数列是数学中常见的一种数学对象,是按照一定规律排列的数的集合。
数列可以描述各种实际问题并应用于许多领域,如物理学、经济学等。
在高中数学中,我们学习了数列的性质和应用,下面将介绍数列的一些重要性质。
首先,数列可以按照元素之间的关系进行分类。
常见的数列包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
等差数列指的是数列中的每一个项与前一项之差都相等,而等比数列指的是数列中的每一个项与前一项之比都相等。
斐波那契数列是数列中的每一项都是前两项之和,这种数列在自然界中广泛存在。
其次,数列的通项公式是一个重要的概念。
通项公式可以用来计算数列中任意一项的值,它能够将数列的规律简洁地表示出来。
通过观察数列中的元素之间的关系,我们可以找到通项公式。
对于等差数列,通项公式可以写成An = A1 + (n-1)d,其中An表示第n项,A1表示第一项,d表示公差。
对于等比数列,通项公式可以写成An = A1 * r^(n-1),其中r表示公比。
另外,数列的求和是数列中元素求和的一种方法,也是数学中的重要概念。
对于等差数列,求和可以通过等差数列的性质和公式来进行计算,即Sn = n/2 * (A1 + An),其中Sn表示前n 项和。
对于等比数列,求和可以通过公式Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)来进行计算,其中Sn表示前n项和。
最后,数列的应用广泛且重要。
数列可以用来描述自然界中的现象,如植物的花瓣数、光线在水滴中的反射等。
数列还可以用来解决一些实际问题,如经济学中的财富积累问题、物理学中的运动问题等。
通过学习数列的性质和应用,我们可以提高数学思维能力,培养逻辑思维和解决问题的能力。
综上所述,数列是数学中的重要概念,通过学习数列的性质和应用,我们能够更好地理解和运用数学知识,提高自己的数学水平。
数列不仅仅是高中数学的一部分,更是我们生活中的一种数学模型,通过数列的研究和应用,我们可以更好地理解和解决实际问题。
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲:数列中的最值问题含解析
![2020年高考数学冲刺复习知识点精讲:数列中的最值问题含解析](https://img.taocdn.com/s3/m/d8bfb18a04a1b0717fd5ddcd.png)
数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点,常见题型有:求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法,根据a n +1-a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列.②用作商比较法,根据a n +1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断.③结合相应函数的图象直观判断.(2) 最大值与最小值:若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n +1,a n ≥a n -1, 则a n 最大;若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n +1,a n ≤a n -1,则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值,常用的方法:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值;②利用等差数列的前n 项和S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)为二次函数,通过二次函数的性质求最值.另外,对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,①若0d >,n S 有最小值,若,则k S 最小,若0k a =则1,k k S S -最小; ①若0d <,n S 有最大值,若,则k S 最大,若0k a =则1,k kS S -最大。
四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是: (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n -1≤a n ,a n ≥a n +1(n ≥2)确定数列的最大项;(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n -1≥a n ,a n ≤a n +1(n ≥2)确定数列的最小项.(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项. 【分析】思路1:利用基本不等式求解.思路2:求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法., 120S <,则当0n S >时, n 的最大值为11,故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为,且145,,2a a a -成等差数列,,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 11 【分析】先求和,再解不等式. 【答案】C【解析】,当2n ≥时,,由145,,2a a a -成等差数列可得,即,解得2m =-,故2nn a =,则,故,由20172018n T >得,即122019n +>,则111n +≥,即10n ≥,故n 的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项,数列的前项和为,若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列,则满足的的最大整数值为( )A .338B .337C .336D .335 【答案】D(四) 求满足条件的参数的最值【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式;(2)首先结合(1)求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值.(2)由32n a n =- ,可得.因为,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以,所以实数t 的最大值是1.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点.【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5 【解析】要使恒成立,只需.因,所以,,数列为等差数列,首项为,,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5.【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )A.62 B.63C.126 D.127【答案】D6.【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中,,,若数列满足,则数列的最大项为()A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项【答案】B【解析】数列中,,,得到:,,,,上边个式子相加得:,解得:.当时,首项符合通项.故:.数列满足,则, 由于,故:,解得:,∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减,结合函数f (x )=x - 2 013x - 2 014的图象可知,(a n )max =a 45,(a n )min =a 44,选C.10.已知函数,且,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为( ) A .276 B .358 C .143 D .378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得. 由题意可得或解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{a n }不是等差数列;当a=-4时,,,,当且仅当1311n n +=+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D . 11.已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =,前n 项和为n S ,若不等式恒成立,则M 的最小值为__________. 【答案】625912.【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中,若,则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列,且,所以,则,即,即,即3a 13.【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ,且2n n a =,则使得的最小正整数n 的值为__________.【答案】5【解析】,,两式相减,故, 112n n a ++=故,故n 的最小值为5.14.【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=, 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________.【答案】512【解析】依题意有,解得,故.,故当3n =时,取得最大值为92512=.15.【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若250S >, 260S <,则数列的最大项是第________项.【答案】1316.【安徽省淮南市2018届高三第一次(2月)模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,当2n ≥时,,且11a =,设,则的最小值是________.【答案】9【解析】当2n ≥ 时,,即,展开化为:∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S∴数列{}n S 是等比数列,首项为1,公比为4.则则当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为919.已知数列{}n a 满足:*1a ∈N ,136a …,且,记集合.(1)若16a =,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析:(1)6,12,24.(2)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数.由,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数; 如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.。
2020年高考数学压轴题专题复习: 数列与不等式的综合问题【解析版】
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第二章 数列与不等式专题 数列与不等式的综合问题纵观近几年的高考命题,考查常以数列的相关项以及关系式,或数列的前n 项和与第n 项的关系入手,结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开,求解数列的通项、前n 项和,有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合.数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.①函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式;②放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到; ③比较方法:作差或者作商比较.【压轴典例】例1.(2013·全国高考真题(理))设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,… 若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=2n n c a +,c n +1=2n nb a +,则( ) A .{S n }为递减数列 B .{S n }为递增数列C .{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D .{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B 【解析】因为11b c >,不妨设111142,33a a b c ==,13()22p a b c a =++=;故211S ==; 21a a =,112125326a ab a +==,112147326a a c a +==,2216S a ==; 显然21S S >;同理,31a a =,112159428a a b a +==,113137428a a c a +==,231S ==,显然32S S >.例2. (2018·江苏高考真题)已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈,*{|2,}n B x x n N ==∈.将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________. 【答案】27 【解析】设=2kn a ,则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥ 所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解,此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-,+121n a m =+,m 为等差数列项数,且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥,得满足条件的n 最小值为27. 例3.(2018·浙江高考模拟)设数列的前项和分别为,其中,使成立的最大正整数__________,__________.【答案】 6. 114. 【解析】根据题意,数列{a n }中,a n =-3n+20,则数列{a n }为首项为17,公差为-3的等差数列,且当n≤6时,a n >0,当n >7时,a n <0,又由b n =|a n |,当n≤6时,b n =a n ,当n >7时,b n =-a n , 则使T n =S n 成立的最大正整数为6,T 2018+S 2018=(a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018)+(b 1+b 2+……+b 6+b 7+b 8+……+b 2018)=(a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018)+(a 1+a 2+……+a 6-a 7-a 8-……-a 2018) =2(a 1+a 2+……+a 6)=,故答案为:6,114 例4.(2019·江西师大附中高考模拟(文))数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式,第一行1项,排1a ;第二行2项,从左到右分别排2a ,3a ;第三行3项,……依此类推,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则满足2019n S >的最小正整数n 的值为( )A .20B .21C .26D .27【答案】B 【解析】第一行为4,其和为4,可以变形为:1232T =⨯-;第二行为首项为4,公比为3的等比数列,共2项,其和为:()22241323213T -==⨯--;第三行为首项为4,公比为3的等比数列,共3项,其和为()33341323213T -==⨯--;依此类推:第n 行的和:232nn T =⨯-;则前6行共:12345621+++++=个数 前6行和为:()()()()26267212322322322333123152172S =⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯++⋅⋅⋅+-=-=满足2019n S >而第六行的第6个数为:543972⨯=,则202197212002019S S =-=<∴满足2019n S >的最小正整数n 的值为:21本题正确选项:B例5.(2019·内蒙古高考模拟(理))数列()11n a n n =+的前n 项和为n S ,若1S ,m S ,n S 成等比数列()1m >,则正整数n 值为______. 【答案】8 【解析】∵()11111n a n n n n ==-++,∴11111122311n nS n n n =-+-++-=++, 又1S ,m S ,n S 成等比数列()1m >,∴()21m n S S S =⋅, 即()221211m n n m =⋅++,()22211m n n m =++, ∴()2221m m <+,即2210m m --<,解得1212m -<<+,结合1m 可得2m =, ∴8n =,故答案为8.例6.(2016·天津高考真题(理))已知{}是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的,是和的等比中项.(Ⅰ)设求证:数列{}是等差数列;(Ⅱ)设求证:【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】(Ⅰ)证明:由题意得,有,因此,所以是等差数列.(Ⅱ)证明:所以.例7.(2016·四川高考真题(理))已知数列{}的首项为1,为数列{}的前n 项和,,其中q>0,.(Ⅰ)若成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设双曲线的离心率为,且,证明:.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由已知,两式相减得到.又由得到,故对所有都成立.所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.从而.由成等差数列,可得,即,则,由已知,,故.所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.所以双曲线的离心率.由解得.因为,所以.于是,故.例8.(2016·浙江高考真题(理))设数列满足,.(Ⅰ)证明:,;(Ⅱ)若,,证明:,.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由得,故,,所以,因此.(Ⅱ)任取,由(Ⅰ)知,对于任意,,故.从而对于任意,均有.由的任意性得.①否则,存在,有,取正整数且,则,与①式矛盾.综上,对于任意,均有.【压轴训练】1.(2019·安徽高考模拟(理))设是等差数列,下列结论一定正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】C【解析】若a1+a2>0,则2a1+d>0,a2+a3=2a1+3d>2d,d>0时,结论成立,即A不正确;对于B选项,当,分别为-4,-1,2时,满足a1+a3<0,但a2+a3=1>0,故B不正确;又{a n }是等差数列,0<a 1<a 2,2a 2=a 1+a 3>2,∴a 2,即C 正确;若a 1<0,则(a 2﹣a 1)(a 2﹣a 3)=﹣d 2≤0,即D 不正确. 故选:C .2.(2018·浙江高考模拟)已知等差数列的前项和是,公差不等于零,若成等比数列,则A .B .C .D .【答案】C 【解析】 由成等比数列.可得,可得(,即,∵公差不等于零,故选:C .3.(2019·山东高考模拟(文))已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=,若存在两项m a ,n a ,使得18m n a a a =,则91m n+的最小值为__________. 【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=, 432111=+2a q a q a q ∴,整理,得210+2q q -=,又0q >,解得,12q =, 存在两项m a ,n a 使得18m n a a a =, 2221164m n a q a +-∴=,整理,得8m n +=,∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m +=++=++ 19(102)28m n n m+=, 则91m n+的最小值为2. 当且仅当9m n n m=取等号,又m ,*n N ∈.8m n +=, 所以只有当6m =,2n =时,取得最小值是2. 故答案为:24.(2019·湖南师大附中高考模拟(理))已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ,若124a =-,489a =-,则当T n 取最大值时,n 的值为_____. 【答案】4 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,因为124a =-,489a =-,可得341127a q a ==,解得13q =,则()()()1112312(2131)(32424)n n nnn n n T a a a a q-+++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=-=-, 当T n 取最大值时,可得n 为偶数,函数13xy =()在R 上递减, 又由2192T =,4489T =,66983T =,可得246T T T <>,当6n >,且n 为偶数时,6n T T <, 故当4n =时,T n 取最大值.5.(2019·安徽高考模拟(理))已知数列的各项均为正数,记为的前项和,若,,则使不等式成立的的最小值是________.【答案】11 【解析】由可得,则()()=0,又数列的各项均为正数,∴,即,可得数列{a n }是首项为公比为q =2的等比数列,∴,则n>10,又,∴n 的最小值是11,故答案为11.6.(2019·甘肃天水一中高考模拟(文))已知数列{}n a 满足11a =,0n a >,11n n a a +=,那么32n a <成立的n 的最大值为______ 【答案】5 【解析】11n n a a +=, 所有{}na 11a =,公差d 1=n n a =,2n a n = 解232n a n =<,得n 42<所以32n a <成立的n 的最大值为5 故答案为:57.(2019·河北高考模拟(理))已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()2119*2n n n nS S n N +-+=∈,若24a <-,则n S 取最小值时n =__________.【答案】10 【解析】由21192n n n nS S +-+=,()21(1)1912n n n n S S ----+=,两式作差可得:1110(2)n n S S n n +--=-≥,即110(2)n n a a n n ++=-≥,由110n na a n ++=-,219n n a a n +++=-,两式作差可得:21(2)n n a a n +-=≥,则328a a +=-,24a <-,故234a a <-<,进一步可得:4567891011,,,a a a a a a a a <<<<,又10110a a +=,则10110a a <<,且111212130a a a a <+<+<,则n S 取最小值时10n =.8.(2019·河南高考模拟(理))记首项为11(0)a a >,公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1212a d =-,且1n n n S a S λ+≤+,则实数λ的取值范围为__________. 【答案】19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由1n n n S a S λ+≤+,得11n n n n S S a a λ++-=≤. 因为10a >,所以0d <,()12312n a a n d n d ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭. 所以当111n ≤≤时,0n a >,当12n ≥时,0n a <. (1)当111n ≤≤时,由1n n a a λ+≥得1211223n n n n n a a d d a a a n λ++≥==+=+-. 因为221911223212321n +≤+=-⨯-,所以1921λ≥.(2)当12n ≥时,由1n n a a λ+≥得121223n n a a n λ+≤=+-. 因为211223n +>-,所以1λ≤.综上所述,λ的取值范围是19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 9.(2019·四川重庆南开中学高考模拟(理))在正项递增等比数列{}n a 中,51a =,记12...n n S a a a =+++,12111...n nT a a a =+++,则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________. 【答案】9【解析】由题得11111(1)(1)(1)11(1)1n nn nq q a q a q q q a q q--⋅-≤=---,因为数列是正项递增等比数,所以10,1a q >>,所以2111n a q -≤.因为51a =,所以44281111,,a q a q a q --=∴=∴=,所以81901,,9n n q qq q n ---⋅≤∴≤∴≤.所以使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为9. 故答案为:910.(2017·吉林高考模拟(理))已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ (1)若数列{}n b 满足12n n b a =-,求证:{}n b 是等比数列; (2)若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++,求证:()1.2n n n T ->【答案】(1) 见解析;(2)见解析. 【解析】(1) 由题可知()*n N∈,从而有13n n b b +=,11112b a =-=,所以{}n b 是以1为首项,3为公比的等比数列.(2) 由(1)知13n n b -=,从而1132n n a -=+,11331log 3log 312n n n c n --⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭,有()12101212n n n n T c c c n -=+++>+++-=,所以()12n n n T ->.11.(2019·江苏金陵中学高考模拟)已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ,满足:S n ﹣1+ka n =ta n 2﹣1,n≥2,n∈N *(其中k ,t 为常数).(1)若k =12,t =14,数列{a n }是等差数列,求a 1的值; (2)若数列{a n }是等比数列,求证:k <t . 【答案】(1)a 1=(2)见解析 【解析】(1)∵k=12,t =14,∴2111124n n n S a a -+=-(n≥2),设等差数列{a n }的公差为d ,令n =2,则212211a a a 124+=-,令n =3,则2123311124a a a a ++=-,两式相减可得:()()()2332321124a a a a a a +=+-,∵a n >0,∴a 3﹣a 2=2=d .由212211124a a a +=-,且d =2,化为2112a a -﹣4=0,a 1>0.解得a 1=(2)∵S n ﹣1+ka n =ta n 2﹣1①,n≥2,n∈N *,所以S n +ka n+1=2n 1ta +﹣1②, ②-①得a n +ka n+1﹣ka n =2n 1ta +﹣2n ta ,∴a n =(a n+1﹣a n )[t (a n+1+a n )﹣k], 令公比为q >0,则a n+1=a n q ,∴(q ﹣1)k+1=ta n (q 2﹣1), ∴1=(q ﹣1)[ta n (q+1)﹣k];∵对任意n≥2,n∈N *, 1=(q ﹣1)[ta n (q+1)﹣k]成立;∴q≠1,∴a n 不是一个常数; ∴t=0,∴S n ﹣1+ka n =﹣1,且{a n }是各项均为正整数的数列,∴k<0, 故k <t .12.(2019·天津高考模拟(理))已知单调等比数列{}n a ,首项为12,其前n 项和是n S ,且3312a S +,5S ,44a S +成等差数列,数列{}n b 满足条件1231(2)n b na a a a =(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设1n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和是n T . ①求n T ;②求正整数k ,使得对任意*n N ∈,均有k n T T ≥.【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1)n b n n =+;(2)①.1112n n T n =-+;②.4k =. 【解析】(1)设11n n a a q -=.由已知得53344122S a S a S =+++,即5341222S a S =+, 进而有()543122S S a -=.所以53122a a =,即214q =,则12q =±.由已知数列{}n a 是单调等比数列,且112a =,所以取12q =.数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 1231(2)n b na a a a =,(1)2322222222n b n nn+∴⨯⨯⨯⨯==,则(1)n b n n =+.即数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+. (2)①.由(1)可得:1111112(1)21n n n n n c a b n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭, 分组求和可得:1111112112n n nT n n ⎛⎫=---=- ⎪++⎝⎭. ②由于11111111(1)(2)222122(1)(2)n n n n n n n n T T n n n n ++++++--=--+=++++, 由于12n +比()()12n n ++变化快,所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增,而456,,n T T T T 递减.所以,4T 最大.即当4k =时,k n T T ≥.13.(2019·安徽高考模拟(文))已知数列为等差数列,且公差,其前项和为,,且,,成等比数列. (1)求等差数列的通项公式;(2)设,记数列的前项和为,求证.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】 (1)由题意得: ,解得:,∴(2)由(1)得,∴ ∴14.(2019·广东高考模拟(理))已知数列{}n a 满足11*121(22)2()n n n a a a n N n-++++=∈.(1)求12,a a 和{}n a 的通项公式;(2)记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ,若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立,求实数k 的取值范围. 【答案】(1) 1a 4= 26;a = 22n a n =+ (2) 125[,].52【解析】(1)由题意得111222?2n n n a a a n -++++=,所以23112124,222,a a a =⨯=+=⨯得26;a =由111222?2n n n a a a n -++++=,所以()2121221?2n n n a a a n --+++=-(2n ≥),相减得()1+12?21?2n n n n a n n -=--,得22,1n a n n =+=当也满足上式. 所以{}n a 的通项公式为22n a n =+.(2)数列{}n a kn -的通项公式为()2222,n a kn n kn k n -=+-=-+ 是以4k -为首项,公差为2k -的等差数列,若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立,等价于当4n =时,n S 取得最大值,所以()()4544220,55220.a k k a k k ⎧-=-+≥⎪⎨-=-+≤⎪⎩解得125.52k ≤≤ 所以实数k 的取值范围是125,.52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15.(2017·浙江高考模拟)已知无穷数列{}n a 的首项112a =,*1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. (Ⅰ)证明: 01n a <<;(Ⅱ) 记()211n n nn n a a b a a ++-=, n T 为数列{}n b 的前n 项和,证明:对任意正整数n , 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)证明:①当1n =时显然成立;②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立,即01k a <<, 那么当1n k =+时,11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=,所以101k a +<<, 即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知, 01n a <<对任意*n N ∈成立. (Ⅱ)12211n n n a a a +=>+,即1n n a a +>,所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列, 所以111nn a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列, 所以当2n ≥时,111n n a a +-22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940= 所以当2n ≥时, ()211n n nn n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭当1n =时, 11934010n T T b ===<,成立; 当2n ≥时, 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦()12994040n a a +=+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上,对任意正整数n , 310n T <16.(2017·浙江高考模拟)已知数列{}n a 满足: 11p ap +=, 1p >, 11ln n n na a a +-=.(1)证明: 11n n a a +>>; (2)证明:12112n nn n a a a a ++<<+; (3)证明:()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】(1)先用数学归纳法证明1n a >. ①当1n =时,∵1p >,∴111p a p+=>; ②假设当n k =时, 1k a >,则当1n k =+时, 1111ln 1k k k k k a a a a a +--=>=-. 由①②可知1n a >. 再证1n n a a +>.111ln ln ln n nn nn n n n na a a a a a a a a +----=-=, 令()1ln f x x x x =--, 1x >,则()'ln 0f x x =-<, 所以()f x 在()1,+∞上单调递减,所以()()10f x f <=,所以1ln 0ln n n nna a a a --<,即1n n a a +>.(2)要证12112n nn n a a a a ++<<+,只需证2111ln 2n n n n n a a a a a -+<<+, 只需证()2210,{1220,n n n n n na lna a a lna a -+<+-+>其中1n a >, 先证22ln 10n n n a a a -+<,令()22ln 1f x x x x =-+, 1x >,只需证()0f x <. 因为()()'2ln 2221220f x x x x x =+-<-+-=, 所以()f x 在()1,+∞上单调递减,所以()()10f x f <=. 再证()1ln 220n n n a a a +-+>,令()()1ln 22g x x x x =+-+, 1x >,只需证()0g x >,()11'ln 2ln 1x g x x x x x +=+-=+-, 令()1ln 1h x x x =+-, 1x >,则()22111'0x h x x x x -=-=>,所以()h x 在()1,+∞上单调递增,所以()()10h x h >=,从而()'0g x >,所以()g x 在()1,+∞上单调递增,所以()()10g x g >=, 综上可得12112n nn n a a a a ++<<+. (3)由(2)知,一方面, 1112n n a a ---<,由迭代可得()1111111122n n n a a p --⎛⎫⎛⎫-<-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,因为ln 1x x ≤-,所以111ln 12n n n a a p -⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭,所以()1212ln ln ln ln n n a a a a a a ⋯=++⋯+ 0111111222n p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111112121212nn n p p -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⨯=⨯-;另一方面,即11112n n n na a a a ++-->, 由迭代可得111111111212n n nn a a a a p ----⎛⎫⎛⎫>⨯= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.因为1ln 1x x ≥-,所以1ln 1n n a a ≥- 11112n p -⎛⎫> ⎪+⎝⎭,所以()01112121111ln ln ln ln 1222n n n a a a a a a p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯=++⋯+>⨯++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦112112n n p --=⨯+;综上,()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+.。
专题 数列-2020年高考数学(理)二轮专项复习
![专题 数列-2020年高考数学(理)二轮专项复习](https://img.taocdn.com/s3/m/1a6451bd9b6648d7c0c74688.png)
n
m
n
p
q
等比数列{a }中,若 m+n=p+q,则 a ·a =a ·a ;
n
m
n
p
q
【复习要求】
1.理解等差数列、等比数列的概念.
2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相
应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
10
1
∴S
1 2 10 10 95 .选 C.
(∵2等)等1差0差数数列a列{a{aa}n各}中项a均4+为a正8=数2a,6,
n
5
∴由均值不等式
a 4
a 8
(
a 4
2
a 8
)2
a2 6
,当且仅当
a
=a
4
时等号成立
8
aa 即: a4 a6 ,选 B.
6
8
【评析】本题中涉及到等差数列中的重要性质:若 m+n=p+q,则a +a =a +a ,(1)
n
1
A.
(1)n1
B. (1)n
C. (1)n 3n 2
2.若数列的前四项是 3,12,30,60,则此数列的一个通项公式是( )
A. n(n 1)(n 2) 2
B.5n2-6n+4
C.
3
9n(n 1) 2
1ln2 7n12
D.
2
3.数列{a }中,若 a =1,a =1,a =a +a ,则 a =( )
【分析】本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系,猜想出一个通项公式.这种
通过特殊的元素得到一般的规律是解决问题的常用方法,但得到的规律不一定正确,可经过
2020年数学发言稿范文
![2020年数学发言稿范文](https://img.taocdn.com/s3/m/6a78d0e6ce2f0066f53322bd.png)
数学发言稿范文四年级是一个转折点,现在进入高年级,知识的难度有所增加,很多孩子感觉很吃力。
从5月7日的期中考试来看,综合整张试卷,其难度较为适中,平均分为84分,班上有24名同学的成绩达到九十分以上,其中林秋作同学得了100分。
从成绩看,孩子们前一阶段的数学学习还是比较扎实的。
试卷批改后我也进行了仔细的分析,从中也发现了一些问题(学生的具体问题,在学生自己的卷子上,我有简要的语句提示)。
(1)首先我们从计算方面来看:计算类型主要有口算、用竖式计算、混合运算、简便运算和求三角形中角的度数。
这部分学生丢分比较严重,口算很多学生都出错了,用竖式计算有少数学生全部错了,简便运算和求三角形中角的度数一部分学生不知道怎么做。
也就是的知识的应用还不够熟练。
(2)其次,从学生完成试卷的情况来看,有些同学还欠缺良好的审题习惯和审题能力。
这次半期检测,填空、选择、计算是学生丢分最厉害的地方,有的学生连题目是什么都没有看清楚就去找答案了。
这部分题虽然有个别难题,但整体难度一般。
课堂纪律方面,在这里我就不多讲了。
下面,结合学生在数学学习中出现的问题,我想和大家谈一谈“如何使学生养成认真完成数学家庭作业的习惯”这个课题。
作为小学的主课,数学家庭作业每天都有。
而作业是学生学习情况的一面镜子,老师通过它所反馈的信息,及时了解孩子们的学习习惯,并进行有针对性、有重点的辅导。
在批改课外作业的过程中,我们发现他们在完成作业上还存在着一些不好的现象:现象一:有些同学不肯抄写作业内容和要求,经常要打电话询问别人。
有些同学虽然抄下了作业内容和要求,但没有对照记载本来做,在不明晰数学家庭作业要求的情况下,经常会出现漏做、少做、做错页数的现象。
现象二:有些同学完成作业不是“一气呵成”,而是做了一会儿作业又去做别的事情,最后自己都忘记作业有没有做完。
等到老师指出才“恍然大悟”。
现象三:有些学生完成作业过程中,对家长的依赖性很强,遇到问题,不肯动脑筋,总等着家长来提示他、告诉他,做作业变成了听写作业,还有的学生做完作业就把本子、练习册往家长面前一推,还理所当然的说:“检查吧。
2024年数学年会的发言稿
![2024年数学年会的发言稿](https://img.taocdn.com/s3/m/e0922bf7fc0a79563c1ec5da50e2524de518d0cf.png)
2024年数学年会的发言稿尊敬的各位领导和与会的各位专家学者:大家好!首先,我要感谢组委会给我这个宝贵的机会,能够站在这里向大家分享我的研究成果和思考。
近年来,我一直致力于研究数学在实际问题中的应用。
数学,作为一门基础学科,不仅有严格的逻辑体系和精确的推演方法,更具有广泛的应用前景。
在人工智能、金融、生物医学等领域,数学已经发挥着越来越重要的作用。
那么,在未来的发展中,我们应该如何进一步发掘数学的潜力?首先,我们需要加强数学教育,培养更多的数学人才。
数学是一门需要细致耐心和坚实基础的学科,而良好的数学教育是培养数学人才的关键。
因此,我们应该从小学开始,注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力,让他们在学习过程中体会到数学的美妙和应用的实用性。
另外,我们还需要加强师资队伍建设,提高教师的教学水平,使更多的学生对数学产生浓厚的兴趣和热爱。
其次,我们需要加强基础研究,推动数学理论的发展。
数学的理论研究是数学发展的基石,也是应用数学取得突破性进展的先决条件。
因此,我们应该加强基础研究的投入,支持数学理论的创新和发展。
同时,我们要鼓励和支持青年数学家的研究工作,为他们提供更多的机会和资源,培养他们的创新意识和研究能力。
只有不断推动数学理论的深入研究,我们才能更好地发现数学的内在规律,为实际问题的解决提供更加可靠的理论支持。
再次,我们需要加强学科交叉和合作研究。
数学的应用范围很广,但是在实际问题中,往往需要多个学科的知识和方法的交叉运用。
因此,我们应该加强学科之间的合作,促进学科交叉的研究,拓宽数学的应用领域。
例如,在人工智能领域,数学方法在模式识别、机器学习和数据挖掘等方面发挥着重要作用。
而且,数学与统计学、物理学、经济学等学科的交叉研究也能够为我们打开新的研究方向和解决复杂问题的途径。
最后,我们需要加强国际合作,共同推动数学领域的研究与发展。
数学是一门普遍适用的学科,不受国界的限制。
目前,世界范围内的数学研究成果和前沿理论交流已经非常频繁,特别是在国际会议、期刊和合作项目等方面。
2024年统计交流发言讲话模板
![2024年统计交流发言讲话模板](https://img.taocdn.com/s3/m/f1a05e29793e0912a21614791711cc7931b77886.png)
2024年统计交流发言讲话模板尊敬的各位领导、同事们,大家好!首先,我要感谢大家对我的信任和支持,使我能够有机会在这次统计交流发言讲话中与大家一同分享自己的心得体会。
作为一名统计工作者,我深知我们肩负着重要的使命和责任,为国家的发展和社会进步提供了重要的参考和支撑。
今天,我想结合实践经验和理论知识,谈一谈我对我所从事的统计工作的认识和感悟。
统计工作是一项细致入微、需要高度专业技能和绝对严谨的工作。
在信息时代的今天,数据已经成为了战胜各种困难和问题的利器。
统计工作在政府决策、企业管理、社会管理中发挥着重要的作用。
在统计工作中,我们要时刻保持客观公正的原则,确保数据的真实可靠,以便为决策者提供正确的参考。
同时,我们也要不断提高自身的技术水平,学习新的方法和工具,适应不断变化的需求和环境。
统计工作是需要高度专业素养的工作。
作为统计工作者,我们需要具备扎实的统计知识和分析能力,能够熟练运用各种统计方法和工具,应对各种复杂情况。
同时,我们还需要具备良好的沟通能力和团队合作精神,能够与不同领域的专业人士进行有效的合作,共同完成统计任务。
只有不断提高自身的素质和能力,我们才能更好地履行统计工作的职责,为国家和社会的发展做出更大的贡献。
统计工作是一项细致入微、需要高度专业技能和绝对严谨的工作。
在信息时代的今天,数据已经成为了战胜各种困难和问题的利器。
统计工作在政府决策、企业管理、社会管理中发挥着重要的作用。
在统计工作中,我们要时刻保持客观公正的原则,确保数据的真实可靠,以便为决策者提供正确的参考。
同时,我们也要不断提高自身的技术水平,学习新的方法和工具,适应不断变化的需求和环境。
统计工作需要精确和准确。
统计数据是数字化的真实反映,只有经过科学的方法和严谨的过程,才能保证数据的准确性。
我们在进行统计工作时,要注重细节,严格按照统计法律法规的要求进行操作,确保数据的准确和可比性。
同时,我们还要善于发现数据中的问题和趋势,避免因为不正确的数据影响了决策和发展。
数学优秀课题交流发言材料
![数学优秀课题交流发言材料](https://img.taocdn.com/s3/m/3f96439f5122aaea998fcc22bcd126fff7055d38.png)
数学优秀课题交流发言材料
尊敬的评委老师、亲爱的同学们:
大家好!今天我要与大家分享的是数学优秀课题,我的课题是关于数列的研究与应用。
首先,我们先来了解一下数列。
数列是指按照一定规律排列的一串数字或者函数,在数学中有着广泛的应用。
而在我所研究的数学优秀课题中,我主要探索了数列的性质和应用。
在研究数列的性质时,我首先学习了各种常见数列的定义,如等差数列、等比数列等。
然后,我进一步研究了数列的通项公式、求和公式以及递归公式等,从而更深入地理解了数列的性质和特点。
接下来,我将着重介绍我在数列应用方面的研究成果。
首先,我在金融方面的研究中,应用了数列的概念,通过分析股票价格的变化,发现了一些规律,并基于此制定了相应的投资策略,取得了良好的投资收益。
其次,在自然科学中,我利用数列的性质研究了植物的生长规律。
通过观察植物的生长状态和测量相关数据,我成功建立了一种数列模型,可以预测植物的生长趋势,对于农业生产和植物研究有着重要的意义。
最后,在信息技术领域,我利用数列的应用解决了一些实际问题。
比如,在图像处理中,我运用数列的思想来处理图片的像
素点,实现了高效的图像压缩算法;在音频处理中,我通过分析音频信号的频率分布,利用数列的方法进行降噪处理,提高了音质的清晰度。
通过这些研究成果,我深深认识到数列的重要性和广泛的应用领域。
数学作为一门基础学科,其优秀课题探索的应用前景无穷。
希望我的研究成果能够对大家对数列的认识和应用有所启发,也希望能够为数学领域的研究做出一些贡献。
谢谢大家!。
2024年统计会议发言稿
![2024年统计会议发言稿](https://img.taocdn.com/s3/m/9cddfd19302b3169a45177232f60ddccda38e603.png)
2024年统计会议发言稿尊敬的各位领导、专家、嘉宾、同事们:大家好!我很荣幸站在这里,参加____年的统计会议,并有机会与各位分享我的见解和研究成果。
首先,我想谈谈今天的统计学在社会发展中的重要性。
统计学是研究数据的收集、整理、分析和解释的一门学科。
随着科技的快速发展和信息时代的到来,数据的获取和应用已经成为各行各业的常态。
统计学则成为了解数据背后真相的关键工具。
从宏观层面到微观层面,统计学为我们的社会和经济发展提供了科学可靠的依据和支持。
在____年,数据的价值和意义变得更加凸显。
在如今的数据爆炸时代,我们面临着大数据的管理、分析和隐私保护等挑战。
因此,统计学的发展成为解决这些问题的核心。
我们需要不断提高我们的分析能力,利用机器学习、人工智能等技术,提高对大规模数据的处理和解读能力。
同时,我们还需要加强数据的隐私保护和伦理监管,确保数据用于合法的目的,并同时不侵犯个人的隐私权。
其次,我想分享一下我在统计学上的一些研究成果。
最近,我团队的研究重点是应用统计学的方法来解决环境问题。
环境问题一直是全球关注的焦点。
而其解决的关键在于准确地了解和预测环境的变化情况。
我们通过对大气、水质、土壤等多个环境因素的数据进行收集和分析,建立了一种精准的环境模型。
该模型可以帮助我们预测气候变化、水资源利用等问题,为环境保护的决策提供有力支持。
此外,我们还研究了统计学在医学领域的应用。
我们发现通过对大量医疗数据进行统计分析,可以发现不同疾病间的关联性和趋势,进而为药物研发和治疗提供指导。
我们团队通过引入机器学习算法,构建了一种预测疾病发展和治疗效果的模型。
该模型在癌症治疗等领域的实际应用中取得了一定的成果,并提供了一种全新的治疗策略。
最后,我要呼吁我们在统计学的研究和应用中注意合作和共享。
统计学是一个涉及多个领域和学科的交叉学科,只有通过合作和共享才能取得更好的发展。
我们应该加强与其他学科的合作,如计算机科学、数学等,共同解决数据分析和方法应用的难题。
高中数学教研会专题发言
![高中数学教研会专题发言](https://img.taocdn.com/s3/m/4f278825b207e87101f69e3143323968011cf437.png)
尊敬的各位领导、各位老师:大家好!今天很荣幸能够在这里参加我们高中数学教研会,并就高中数学教学中的几个关键问题进行专题发言。
首先,我要感谢学校领导给予我们这次交流的机会,同时也要感谢各位老师的辛勤付出和无私奉献。
下面,我将从以下几个方面展开讨论。
一、高中数学教学现状分析近年来,我国高中数学教育取得了显著的成果,但同时也面临着一些挑战。
以下是对当前高中数学教学现状的分析:1. 教学内容丰富,但难度较大。
高中数学课程涵盖了函数、三角、立体几何、解析几何等多个模块,内容丰富,但难度较高,给学生带来了较大的学习压力。
2. 教学方法单一,缺乏创新。
部分教师在教学中仍采用传统的“灌输式”教学,忽视学生的主体地位,导致学生被动接受知识,不利于培养学生的创新能力和实践能力。
3. 教学评价体系不完善。
当前高中数学教学评价主要依赖于考试成绩,忽视了学生的综合素质评价,不利于学生的全面发展。
4. 教师队伍建设有待加强。
部分教师教学经验不足,对教材、教法、学法的研究不够深入,导致教学质量受到影响。
二、高中数学教学策略探讨针对上述问题,我认为可以从以下几个方面进行改进:1. 优化教学内容,降低难度。
教师在教学过程中要关注学生的实际情况,合理调整教学内容,降低难度,使学生能够更好地理解和掌握知识。
2. 创新教学方法,激发学生学习兴趣。
教师应运用多种教学方法,如情境教学、合作学习、探究式学习等,激发学生的学习兴趣,提高教学效果。
3. 建立多元化的教学评价体系。
教师应关注学生的综合素质评价,将学生的平时表现、作业、课堂参与、实验操作等纳入评价体系,全面评价学生的学习成果。
4. 加强教师队伍建设。
学校应加强对教师的培训,提高教师的教学水平和综合素质,同时鼓励教师积极参与教学研究,提高教学质量。
三、高中数学教学案例分享以下是一个高中数学教学案例,旨在说明如何将创新教学方法应用于实际教学中:案例:《函数的图像与性质》教学目标:使学生掌握函数的图像与性质,能够运用图像分析函数的变化规律。
2024年副书记在统计分析会发言模板
![2024年副书记在统计分析会发言模板](https://img.taocdn.com/s3/m/3db72107bf1e650e52ea551810a6f524ccbfcbad.png)
2024年副书记在统计分析会发言模板尊敬的领导、各位专家、各位同仁:大家好!首先,我非常感谢组织方对我的信任,让我有机会在这场统计分析会上发表自己的见解和建议。
作为一名副书记,我深知自己的责任和使命,我将以饱满的热情、扎实的工作态度和务实的思维方法,积极参与到统计分析工作中,为党和国家事业的发展贡献力量。
回顾过去几年的工作,我认为统计分析在我党党内监督、国家治理体系和治理能力现代化建设中扮演着重要的角色。
统计分析是科学的、客观的方法,可以帮助我们更好地了解社会经济发展的规律,为政策决策提供科学依据。
然而,我们也必须意识到,在实践中,统计分析存在一些问题和挑战,需要我们不断加强建设和完善。
首先,在统计数据的质量方面,我们需要加大监测和审核力度,确保统计数据的真实性和可靠性。
当前,随着经济社会的发展和变革的深入,统计数据产生的速度越来越快,而数据的真实性却面临一些挑战。
在这样的情况下,我们必须提高对统计数据质量的重视程度,严格执行统计法律法规和政策规定,加强数据采集、处理和发布的监测和审核工作,确保统计数据的真实、准确和可比性。
其次,在统计人才队伍建设方面,我们需要加强培养和引进优秀统计人才。
统计分析是一项复杂的工作,需要具备扎实的专业知识和分析能力。
然而,目前统计人才的培养和引进还存在一些问题,比如培养模式偏重理论而忽视实践能力的培养,缺乏实践经验丰富的统计专家等。
因此,我们应该在统计人才培养中注重实践能力的培养,加强与实践机构的合作,鼓励统计专家参与到实际统计工作中,提高他们的实践经验和能力。
再次,在统计分析方法和技术方面,我们需要加强研究和创新。
统计分析是一个不断发展和演变的领域,需要我们不断学习和掌握新的方法和技术。
当前,随着人工智能、大数据等新技术的发展,统计分析方法也在不断创新和完善。
我们应该加强对新方法和技术的研究和应用,提高统计分析的精确度和效率,为政策决策提供更准确、全面的信息。
最后,在统计分析应用方面,我们需要与其他领域和学科进行深度合作,实现统计分析的全面应用。
数学分析会领导发言稿
![数学分析会领导发言稿](https://img.taocdn.com/s3/m/2e83afc803d276a20029bd64783e0912a2167cab.png)
数学分析会领导发言稿尊敬的各位领导、各位老师、各位同事:大家好!今天,我很荣幸能够站在这里,向各位领导、老师和同事们报告我们数学分析会的工作情况,并分享一些学习和成果。
数学分析作为数学中的一门重要学科,是研究数列、函数、极限、连续、导数等概念和理论的一门基础课程,它对于数学及相关学科的发展有着重要的意义。
首先,我想通过今天的报告,向大家全面介绍一下我们数学分析会的工作情况。
在过去的一年中,我们数学分析会的成员们积极投入到研究学习中,认真参加各项学术活动,并且取得了一些成果。
我先来介绍一下我们的学习情况。
在过去的一年中,我们数学分析会的成员们每周都会组织学习讨论会,一起学习数学分析中的重要概念、定理、证明和应用等知识。
在这些学习讨论会上,我们不仅仅是进行课程复习和知识强化,更是通过讨论交流,共同提高数学分析的理论水平和解题能力。
此外,我们还安排了一些专题讲座和学术沙龙,邀请相关领域的专家学者和资深教师,为我们进行学术指导和知识传授。
这样的学习形式,为我们提供了更多的学术交流和学习机会,并且丰富了我们的学术活动内容。
除了学术交流和学习,我们数学分析会的成员们还积极参加各类数学竞赛和挑战赛。
在过去的一年中,我们组织了数学分析竞赛、数学建模挑战赛和数学知识竞赛等活动,为广大同学提供了锻炼和提高数学分析技能的机会。
在这些竞赛和挑战赛中,我们的成员们都表现出了非常出色的能力,取得了一些优异的成绩。
他们不仅仅是锻炼了自己的数学分析能力,更是通过比赛的形式,充分展现了我们数学分析会的风采和实力。
在学习和竞赛的基础上,我们数学分析会还积极投入到科研工作中。
在过去的一年中,我们组织了一些科研课题和学术调研,开展了一些科研课题的研究和探讨。
在这些科研工作中,我们的成员们都积极投入,通过实验、推导和分析等方法,进行了一些关于数学分析领域的研究。
他们不仅仅是积累了很多实践经验和科研成果,更是增强了我们数学分析会的实力和影响力。
2024年统计会议发言稿(二篇)
![2024年统计会议发言稿(二篇)](https://img.taocdn.com/s3/m/7a2ba949fd4ffe4733687e21af45b307e871f9c7.png)
2024年统计会议发言稿尊敬的各位领导,各位同仁:大家好。
处里领导安排我在这里讲一下统计工作经验,其实经验也谈不上,只是从事统计工作多年,有一些体会,在这里与大家交流一下。
我是一名综合统计,今天与大家交流内容的主要是站在一个统计人员的角度,谈一下自己在工作中的得失,希望能对大家的工作有所帮助。
我们都是在开发区做统计工作的,可能所属的部门不一样,有的象我一样是统计部门,有的则是项目、招商或其它部门,统计是一项繁琐的工作,整天与数字打交道,尤其到季报、年报,各项报表工作纷至沓来,应接不暇。
就我感觉要想在统计工作中得心就手、应运自如,从几个方面入手来做,这样效果会好一些:一是努力取得领导重视。
对于统计工作领导的重视主要体现在对我们工作内容的熟悉,对我们所做的工作支持,这就是领导的重视。
领导对统计的重视是有一个过程的,除了领导自己认识到统计工作重要性外,我们做为统计人员要积极争取领导的重视,多把自己的统计产品向领导推送,比如一些分析、信息快报、与其它相关区域的比较资料等,同时对领导关心的热点问题及时提供相关资料,从我们统计的角度提出建议等等,这些都能取得领导对统计的重视的方法。
领导重视统计,对我们工作的支持力度就会加强,理解程度也会提高,反过来领导对我们工作的要求也会有增加,更能促进我们工作能力和整体水平的提高,两方面是相辅相成的。
二是统计人员要有高度的责任感。
统计报表特点长期性,固定性,统计工作是一种重复的工作,只有把心沉下去才能进入状态,只有高度的责任感才能使我们能够耐心细致地做好各项工作。
在工作中要多想,要把各种报表上报时间列个表,掌握好报表的节奏,报表中每一项指标是如何取材、什么时间我们能够取到,做到心中有数,各个指标按时间分别取,而不要等到马上就要报表再集中取数,这样就能把工作分散到平时,避免因找不人,个别指标出不来,耽误了报表时间,保证报表的及时性。
在准确性上,对于报表中的每一个数字,首先要反复与专业核对、与相关部门资料核对、与其它报表相互核对,多方核对保证数据的准确性,其次报表中逻辑关系的审核。
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《单元二数列》滨州实验中学陈凤华2020年9月20日立足基础,强化综合,关注创新--全国新高考数列试题分析及备考策略1 本单元历年高考试题考查情况分析1.1 2018——2020年高考试题考查内容分析1.2 命题规律分析(1)由表中可以看出,前两年数列题型主要为选择题和填空题,题目较为简单基础,但2020年在全国I 卷和山东新高考中都出现了解答题,分值增加,难度也有所增大。
(2)2018-2020年高考全国I 卷中数列多作为基础题出现,重视基础知识、基本技能和相关数学思想方法的考查,数列考查的内容是常见的三个公式,通项公式(等差和等比数列)、求和公式(等差和等比数列)及nS a n 与关系的公式;利用方程(组)的思想求解数列中的相关量,列方程的依据就是前面的三个公式,数列问题如果只用基本量法通常均能解决,但若巧用性质的话可以大大简化运算;求和多局限为裂项相消与错位相减两种方法,对计算能力要求较高。
(3)2020年山东新高考中数列题目的设置来看,打破常规,淡化技巧,回归数列本质,指向了数学核心素养的考查,尤其数学抽象、数学建模、直观想象等核心素养。
题型分布齐全,突出数学本质——等差等比其中蕴含 考察内容稳定,注重通性通法——方程函数基础再现 试题背景灵活,体现创新意识——转化化归别出心裁 知识交汇综合,考察力度有别——计算论证正反交融 1.3 本单元的地位与作用数列是刻画离散型现象的数学模型,是高中代数的重要内容之一。
等差数列与等比数列作为两种特殊的数列模型,对其定义、性质、通项公式和前n 项和等基础知识的考查是高考的热点和重点。
同时数列问题的处理中,涉及到丰富的思想方法,如函数与方程、转化与化归、分类讨论等,以及换元法、配方法、待定系数法等基本数学方法,并能充分体现从特殊到一般、具体到抽象、猜测到证明的解题策略。
所以数列与函数、方程、不等式的内容结合问题也是高考的热点、亮点和生长点。
随着新课程标准的颁布与实施,数列试题也逐渐成为对学生数学抽象、数学计算、逻辑推理、数学建模等数学核心素养的考查的载体。
2 本单元一轮复习的重点、热点、易错易混点、规律、一般突破方法、一般解法、需要注意哪些问题(教与学)2.1本单元中“热点”与“难点”分析2.1.1以定义为根本,重视数列通性通法的运用 (1)基本量考查(2019全国Ⅰ.9)记为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则A .25n a n =-B .310n a n =- C .228n S n n =- D .2122n S n n =- (2019全国Ⅰ.14)记Sn 为等比数列{an}的前n 项和.若214613a a a ==,,则S5=____________.(2018全国Ⅰ.4)记为等差数列的前项和.若,,则 A .B .C .D .(2018全国Ⅱ.17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值.复习建议:(1)掌握等差数列,等比数列中基本量的关系并能熟练进行转化和相关运算 (2)重点抓好以下一些方法: ①求通项公式的方法;②求前n 项和的方法(转化法,错位相减法,倒序相加法,裂项抵消法,并项求和法,试值猜想法等等);③求最值的方法(函数思想,不等式思想); (3)关注方法的生成过程回顾,回归教材(4)掌握基本性质:等距性,中项性,连续相同项和的延续性并能熟练运用。
n S n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-1012(2)Sn 与an 关系式的考查(2018全国Ⅰ.14)记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+,则6S =_____________.(2013全国Ⅰ.14)若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+,则{a n }的通项公式是a n =__________.(2014全国Ⅰ.17)已知数列{n a }的前n 项和为n S ,1a =1,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:2n n a a λ+-=;(2018全国Ⅰ.17)n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知n a >0,2243n n n a a S +=+.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;复习建议:重视Sn 与an 关系式的灵活运用:(1)数列的任意性:不仅局限于等差等比数列;(2)首项的特殊性:独立求解,莫忘检验;(3)形式的多变性:n S 的衍生变化;(4)消元后的延续性:递推关系式。
(3)关于递推关系式的考查(2018全国Ⅰ文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设nn a b n=. (1)求123b b b ,,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由;(3)求{}n a 的通项公式.(2012全国Ⅰ.16)数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{n a }的前60项和为____________. 复习建议:(1)累加法、累乘法的典型性:把握几种式子结构的特征,以不变应万变; (2)构造法的关联性:理清其间必然连接点,自然而不生硬;(3)思维的自然性:铺垫自然,层层深入,寻找最优解(学生思维的自然合理)。
(4)关于定义的考查(2019课标II ,19)已知数列{}n a 和{},0,111==b a b n 满足1434n n n a a b +-=+,1434n n n b b a +-=-(1)证明:{}n n b a +是等比数列,{}n n b a -是等差数列;(2)求{}{}n n b a 和的通项公式.复习建议:定义复习:从多角度入手既要重视文字形式,又要注重符号表达;既要重视正面形式,又要注重否定形式;既要重视原始形式,又要注重等价形式。
{}111112()(2)2(2)(,,,,0)n n n n n n n n n n n n a a a d d a a a a n a a a n S an bn a kn m a b k m a k ++--+⇔-=⇔-=-≥⇔=+≥⇔=+⇔=+数列是等差数列为常数为常数,且不为;{}11,(2),.n n n n n a n a a a a n +-⇔-≠-≥若数列不是等差数列存在一个使得即举反例否定,这是否定数列的依据2.1.2以综合为主流,关注数列与函数不等式的知识交汇(2016全国卷Ⅰ·15)设等比数列}{n a 满足1031=+a a ,542=+a a ,则12n a a a 的最大值为.(2013全国卷Ⅱ·16)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为____.(2014全国卷Ⅱ·17)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(Ⅰ)证明1{}2n a +是等比数列,并求{a n }的通项公式;(Ⅱ)证明:123111 (2)n a a a +++<.(2016浙江卷6)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ,1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合).若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则()A .{}n S 是等差数列B .2{}n S 是等差数列C .{}n d 是等差数列D .2{}n d 是等差数列复习建议:(1)小题交汇:重在知识综合,难度不大,层次不深,但形式多样,需采用灵活多样的思维方式,加强限时训练,努力提高小题解答的准确性,有效性和灵活性.(多考一点想,少考一点算——考试说明)(2)大题综合:重在思想方法的交汇,渗透较深,难度较大,要重视多以函数、不等式的观点认识运用数列知识(关注内在联系,寻求变化发展)。
在平时训练中,不妨适时适度的加大知识交汇的深度和难度,以更有效的训练学生的思维能力和综合分析能力.2.1.3以创新为主导,促进学生探究意识和创新能力的发展(2020山东卷18).已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数,求数列{}m b 的前100项和100S .(2017全国卷I 12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是02,接下来的两项是02,12,再接下来的三项是02,12,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A .440B .330C .220D .110(2016年全国Ⅲ)定义“规范01数列”{}n a 如下:{}n a 共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4,则不同的“规范01数列”共有(A )18个(B )16个(C )14个(D )12个(2016年全国II 17)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且17=128.a S =,记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1,.(Ⅰ)求111101b b b ,,;(Ⅱ)求数列{}n b 的前1000项和.2.2 易错、易误点分析及归纳数列题目难度虽然不大,但考题形式灵活,对计算能力要求高。
在与不等式、函数综合问题中,需运用数列蕴含的思想方法才能展开思考。
在实际问题中提炼有关数列模型,学生也需较高数学素养才能进行。
由于学生对基础知识、基本思想方法掌握不够扎实,经常丢三落四,不够严谨,考试中丢分严重。
在综合性问题、情景题中,缺乏合理的解题策略,知识形不成了能力。
现把常见的解题错误和思考障碍归纳如下2.3 本单元复习策略与建议(1)重视基础知识,关注问题本质熟练掌握等差数列、等比数列中的一些基本问题,如通项公式与求和公式的各种形式、结构特点,常见性质,判断是等差数列、等比数列的方法,常见数列求和的方法,等等。