2016-2017学年浙江省丽水市庆元县八年级(下)期末数学试卷

2016-2017学年浙江省丽水市庆元县八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤12．（3分）一个多边形内角和的度数不可能的是（）A．180°B．270°C．360° D．540°3．（3分）一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的一次项系数是（）A．3 B．4 C．﹣5 D．﹣44．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中，他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3、3.8、5.2、6.2，则成绩最稳定的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（3分）用反证法证明“a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b6．（3分）若反比例函数y=的图象经过点M（﹣3，4），则该图象必经过点（）A．P（3，﹣4）B．P（3，4）C．P（2，6）D．P（﹣2，﹣6）7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4=0 B．x2+4=0 C．x2﹣x=0 D．x2+x=08．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，若OE=3，则菱形的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．249．（3分）如图，以正方形ABCD的一边AB为边向外作等边△ABE，则∠BED的度数是（）A．30°B．37.5°C．45°D．50°10．（3分）为了建设生态丽水，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，下列描述的是月利润y（万元）关于月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是（）A．5月份该厂的月利润最低B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万月二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若x=3，则的值是．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的一个条件是．13．（3分）在直角坐标系中，点A（1，5）和点B（a，b）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为．14．（3分）m是方程x2+x﹣10=0的一个根，则代数式2m2+2m﹣5的值是．15．（3分）在直角坐标系中，落在第一象限的等腰直角三角形两底角的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），它的边与反比例函数y=的图象始终有交点，则k 的取值范围是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a（4＜a＜6），BC的长度为6，将矩形纸片按下图顺序折叠．（1）C′D′的长度为（用含a的代数式表示）；（2）四边形C′D′EF面积的最大值为．三、解答题（本大题8小题，共52分）17．（6分）计算：（1）﹣（2）2×﹣．18．（6分）解方程：（1）x2﹣4x=0；（2）x2+6x=1．19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AE=CF；（2）若四边形ABCD的面积为36，AB=5，AC=12，求EF的长．20．（6分）某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图．（1）求这10名工人的日均生产件数的平均数、众数、中位数；（2）若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？21．（6分）用若干根火柴首尾相接摆成一个矩形，设一根火柴的长度为1，矩形的两条邻边的长分别为x、y，要求摆成的矩形面积为12．（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）能否摆成正方形？请说明理由．22．（6分）为了推动丽水生态旅游业跨越发展，某景点推出团队旅游收费标准，如果人数不超过25人，人均费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均费用不得低于70元．（1）当旅游人数为a人时，人均费用为70元，求a的取值范围；（2）若某团队工支付旅游费用2700元，求该团队有多少人．23．（8分）如图1，矩形ABCD中，AB=6，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，y关于x的函数图象由C1、C2两段组成，如图2所示．（1）求AD的长；（2）求图2中C2段图象的函数解析式；（3）当△APD为等腰三角形时，求y的值．24．（8分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边的两倍，则称这个平行四边形为“美丽四边形”，其中这条对角线叫做“美丽对角线”，这条边叫做“美丽边”．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，判断平行四边形ABCD是否为“美丽四边形”；（2）如图2，四边形ABCD与四边形ACED都是“美丽四边形”，其中BD与AE为“美丽对角线”，CD与DE为“美丽边”，AC与BD相交于点F，AE与CD相交于点G．①求证：∠BDC=∠EAC；②若AB=DE，求的值．2016-2017学年浙江省丽水市庆元县八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，解得，x≥1．故选：C．【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．（3分）一个多边形内角和的度数不可能的是（）A．180°B．270°C．360° D．540°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．【解答】解：270°不能被180°整除，故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．3．（3分）一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的一次项系数是（）A．3 B．4 C．﹣5 D．﹣4【分析】找出一元二次方程的一次项系数即可．【解答】解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的一次项系数是﹣4，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．4．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中，他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3、3.8、5.2、6.2，则成绩最稳定的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出成绩最稳定的同学是谁即可．【解答】解：∵2.3＜3.8＜5.2＜6.2，∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，∴成绩最稳定的是甲．故选：A．【点评】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．（3分）用反证法证明“a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．【解答】解：用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．故选：B．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6．（3分）若反比例函数y=的图象经过点M（﹣3，4），则该图象必经过点（）A．P（3，﹣4）B．P（3，4）C．P（2，6）D．P（﹣2，﹣6）【分析】把M点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值，则可求得反比例函数解析式，再把选项中的点的坐标代入解析式进行判断即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点M（﹣3，4），∴k=﹣3×4=﹣12，∴反比例函数解析式为y=，当x=3时，y==﹣4，故点（3，﹣4）在函数图象上，点（3，4）不在函数图象上，当x=2时，y==﹣6，故点（2，6）和点（﹣2，﹣6）不在函数图象上，故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4=0 B．x2+4=0 C．x2﹣x=0 D．x2+x=0【分析】根据方程的系数结合根的判别式，逐一分析四个选项方程中根的判别式的正负，由此即可得出结论．【解答】解：A、在方程x2﹣4=0中，△=02﹣4×1×（﹣4）=16＞0，∴方程x2﹣4=0有两个不相等的实数根；B、在方程x2+4=0中，△=02﹣4×1×4=﹣16＜0，∴方程x2+4=0没有实数根；C、在方程x2﹣x=0中，△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0，∴方程x2﹣x=0有两个不相等的实数根；D、在方程x2+x=0中，△=12﹣4×1×0=1＞0，∴方程x2+x=0有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，若OE=3，则菱形的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．24【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大．9．（3分）如图，以正方形ABCD的一边AB为边向外作等边△ABE，则∠BED的度数是（）A．30°B．37.5°C．45°D．50°【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出AD=AE，∠DAE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠AED，然后根据∠BED=∠AEB﹣∠AED列式计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，在等边△ABE中，AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°，所以，∠AED=（180°﹣150°）=15°，所以∠BED=∠AEB﹣∠AED=60°﹣15°=45°．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．10．（3分）为了建设生态丽水，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，下列描述的是月利润y（万元）关于月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法不正确的是（）A．5月份该厂的月利润最低B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万月【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．【解答】解：A、由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故此选选项正确，不合题意；B、治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选选项正确，不合题意；C、设反比例函数解析式为：y=，则a=300，故y=，则120=，解得：x=，则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此选项错误，符合题意．D、设一次函数解析式为：y=kx+b，则，解得：，故一次函数解析式为：y=30x﹣90，故y=300时，300=30x﹣90，解得：x=13，则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到300万，故此选项正确，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若x=3，则的值是1．【分析】将x=3代入，然后利用算术平方根的性质解答即可．【解答】解：当x=3时，===1．故答案为：1．【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，求得2x﹣5的值是解题的关键．12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的一个条件是AD=BC（或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D）．【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知：需要增加的条件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D．故答案为AD=BC（或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D）．【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．13．（3分）在直角坐标系中，点A（1，5）和点B（a，b）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为4．【分析】直接利用关于原点成中心对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（1，5）和点B（a，b）关于原点成中心对称，∴a=﹣1，b=﹣5，则a﹣b的值为：a﹣b=﹣1﹣（﹣5）=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．14．（3分）m是方程x2+x﹣10=0的一个根，则代数式2m2+2m﹣5的值是15．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣10=0，则m2+m=10，再把原代数式变形得到2（m2+m）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣10=0的一个根，∴m2+m﹣10=0，∴m2+m=10，∴2m2+2m﹣5=2（m2+m）﹣5=2×10﹣5=15．故答案为15．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（3分）在直角坐标系中，落在第一象限的等腰直角三角形两底角的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），它的边与反比例函数y=的图象始终有交点，则k 的取值范围是1≤k≤9．【分析】把（1，1），（5，1）分别代入y=即可得到结论，【解答】解：∵等腰直角三角形的边与反比例函数y=的图象始终有交点，∴当反比例函数y=的图象经过（1，1），得k=1，当反比例函数y=的图象经过（5，1），得k=5，当反比例函数y=的图象经过（3，3），得k=9，∴k的取值范围是1≤k≤9，故答案为：1≤k≤9．【点评】本题考查了反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a（4＜a＜6），BC的长度为6，将矩形纸片按下图顺序折叠．（1）C′D′的长度为3a﹣12（用含a的代数式表示）；（2）四边形C′D′EF面积的最大值为3．【分析】（1）由轴对称可以得出A′B=AB=a，求得A′C=6﹣a．由轴对称的性质得到A′C′=6﹣a，于是得到结论；（2）由折叠的性质可知，四边形C′D′EF是矩形，由（1）知C′D′=3a﹣12，于是得到C′F=A′C′=6﹣a，根据矩形的面积公式得到四边形C′D′EF面积=（3a﹣12）•（6﹣a）=﹣3a2+30a﹣72=﹣3（a﹣5）2+3，于是得到结论．【解答】解：（1）由轴对称可以得出A′B=AB=a，∵BC=6，∴A′C=6﹣a．由轴对称可以得出A′C′=6﹣a，∴C′D′=a﹣2（6﹣a），∴C′D′=3a﹣12．故答案为：3a﹣12；（2）由折叠的性质可知，四边形C′D′EF是矩形，∵C′D′=3a﹣12，C′F=A′C′=6﹣a，∴四边形C′D′EF面积=（3a﹣12）•（6﹣a）=﹣3a2+30a﹣72=﹣3（a﹣5）2+3，∴当a=5时，四边形C′D′EF面积的最大值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称的运用，代数式的运用，折叠问题在实际问题中的运用，矩形的性质，二次函数的最值，解答本题时利用折叠问题抓住在折叠变化中不变的线段是解答本题的关键．三、解答题（本大题8小题，共52分）17．（6分）计算：（1）﹣（2）2×﹣．【分析】（1）先把化简，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法则和性质运算，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=2﹣=；（2）原式=2×3﹣3=3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（6分）解方程：（1）x2﹣4x=0；（2）x2+6x=1．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x+3）2=10，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）x（x﹣4）=0，x=0或x﹣4=0，所以x1=0，x2=4；（2）x2+6x+9=10，（x+3）2=10，x+3=±，所以x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AE=CF；（2）若四边形ABCD的面积为36，AB=5，AC=12，求EF的长．【分析】（1）由垂直的定义得出∠AEB=∠CFD=90°，由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的面积为36以及AC=12，可求出BE的长，进而利用勾股定理可求出AE的长，则EF的长可求出．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵四边形ABCD的面积为36，AC=12，∴AC•BE×2=36，∴BE=3，∵AB=5，∴AE=4，∴AE=CF=4，∴EF=12﹣4﹣4=4．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；熟练掌握平行四边形的各种性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．20．（6分）某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图．（1）求这10名工人的日均生产件数的平均数、众数、中位数；（2）若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？【分析】（1）根据平均数=加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，分别进行解答即可得出答案．（2）应根据平均数、中位数和众数和本题的60%可知选择哪个统计量比较合适．【解答】解：（1）由统计图可得，平均数为：（8×3+10+12×2+13×4）÷10=11（件），∵13出现了4次，出现的次数最多，∴众数是13件；把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，最中间的数是第5、6个数的平均数，则中位数是=12（件）；（2）由题意可得，若要使占60%的工人都能完成任务，应选中位数作为日生产件数的定额．【点评】本题考查统计量的选择、平均数、中位数和众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．（6分）用若干根火柴首尾相接摆成一个矩形，设一根火柴的长度为1，矩形的两条邻边的长分别为x、y，要求摆成的矩形面积为12．（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）能否摆成正方形？请说明理由．【分析】（1）根据长方形的长=面积÷宽列出函数解析式即可；（2）正方形的边长相等，说明x、y相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立．【解答】解：（1）y=（x=1，2，3，6，12）；（2）不能摆成正方形．理由如下：因为x2=12，x=2，不是整数，所以不能摆成正方形．【点评】此题考查反比例函数的实际运用，掌握长方形和正方形的面积计算公式是解决问题的关键．22．（6分）为了推动丽水生态旅游业跨越发展，某景点推出团队旅游收费标准，如果人数不超过25人，人均费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均费用不得低于70元．（1）当旅游人数为a人时，人均费用为70元，求a的取值范围；（2）若某团队工支付旅游费用2700元，求该团队有多少人．【分析】（1）直接表示出人均费用，进而得出答案；（2）易得人数超过了25人，等量关系为：（人均旅游费用﹣超过25人的人数×2）×人数=2700，把相关数值代入求得人均旅游费用不得低于70元的旅游方案即可．【解答】解：（1）由题意可得：100﹣2（a﹣25）=70，解得：a=40，故当a≥40时，人均费用为70元；（2）设该团队这次旅游共有x人．因为100×25=2500＜2700，所以人数一定超过25人．可得方程[100﹣2（x﹣25）]x=2700，整理得x2﹣75x+1350=0，解得：x1=45，x2=30，当x1=45时，100﹣2（x﹣25）=60＜70，故舍去x1；当x2=30时，100﹣2（x﹣25）=90＞70，符合题意．答：该团队有30人．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到旅游总费用的等量关系是解决本题的关键；判断相应的方案是解决本题的易错点．23．（8分）如图1，矩形ABCD中，AB=6，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，y关于x的函数图象由C1、C2两段组成，如图2所示．（1）求AD的长；（2）求图2中C2段图象的函数解析式；（3）当△APD为等腰三角形时，求y的值．【分析】（1）由图1和图2直接确定出AD；（2）先利用互余即可得出∠BAP=∠DGA，进而判断出△ABP∽△DGA即可确定出函数关系式；（3）分三种情况利用等腰三角形的性质和勾股定理求出x的值，即可求出y的值．【解答】解：（1）如图，当点P在AB上移动时，点P到PA的距离不变，当点P从B点向C点移动时，点D到PA的距离在变化，由图2知，AD=10，（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP=∠BAD=90°，∵DG⊥AP，∴∠AGD=90°，∴∠ABP=∠DGA，∵∠BAP+∠GAD=90°，∠CAG+∠ADG=90°，∴∠BAP=∠DGA，∴△ABP∽△DGA，∴，∵AB=6，AP=x，DG=y，AD=10，∴，∴y=（6＜x≤2）；即：图2中C2段图象的函数解析式y=（6＜x≤2）；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，BC=AD=10，∠ABC=∠DCB=90°，当AD=AP时，∵AD=10，∴x=AP=10，∴y==6，当AD=DP时，∴DP=10，在Rt△DCP中，CD=AB=6，DP=10，∴CP=8，∴BP=BC﹣CP=2，在Rt△ABP中，根据勾股定理得，x=AP===2，∴y===3，当AP=DP时，点P是线段AD的垂直平分线，∴点P是BC的中点，∴BP=BC=AD=5，在Rt△ABP中，根据勾股定理得，x=AP===，∴y===．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理线段垂直平分线定理，解（2）的关键是判断出△ABP∽△DGA，解（3）的关键是分类讨论的思想，是一道中等难度的题目．24．（8分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边的两倍，则称这个平行四边形为“美丽四边形”，其中这条对角线叫做“美丽对角线”，这条边叫做“美丽边”．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，判断平行四边形ABCD是否为“美丽四边形”；（2）如图2，四边形ABCD与四边形ACED都是“美丽四边形”，其中BD与AE为“美丽对角线”，CD与DE为“美丽边”，AC与BD相交于点F，AE与CD相交于点G．①求证：∠BDC=∠EAC；②若AB=DE，求的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长即可判定；（2）①如图2中，由∠4=∠5+∠CAE，∠2=∠BDC+∠6，∠5=∠6，只要证明∠2=∠4即可解决问题；②由题意AB=CD=DE=EG，设CD=DE=EG=4a，则GH=DH=a，CH=3a，求出AD即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD是“美丽四边形”．在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=1，BC=，∴AC==2，∴AC=2AB，∴平行四边形ABCD为“美丽四边形”．（2）①如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACED是平行四边形，∴BF=DF，AG=GE，∵BD与AE为“美丽对角线”，CD与DE为“美丽边”，∴DC=DF，ED=EG，∴∠3=∠4，∠1=∠2，∵AC∥DE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∵∠4=∠5+∠CAE，∠2=∠BDC+∠6，∠5=∠6，∴∠CAE=∠BDC．②如图3中，作EH⊥CD于H．由题意AB=CD=DE=EG，设CD=DE=EG=4a，则GH=DH=a，CH=3a，在Rt△DHE中，EH==a，在Rt△CHE中，CE===2a，∴AD=CE=2a，∴==．【点评】本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。