平移
中考数学知识点：平移定义知识点
中考数学知识点：平移定义知识点
中考数学知识点：平移定义知识点
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。
(2)平移的性质：
①对应点的连线平行(或共线)且相等
②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。
(4)平移的条件：图形的原来位置、方向、距离
(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。
平移的原理
平移的原理平移的原理是指在空间中物体沿着直线或曲线的轨迹移动的过程。
在现实生活中有很多物质都有平移的过程，如车辆在路上行驶、人类的步行、地球的自转等。
那么平移的原理是如何运作的呢？下面我们来详细解析一下。
一、平移的定义平移，即是物体在空间中沿着一条直线或曲线的轨迹进行移动。
在几何学中，平移又称为“移图”的行为。
平移是一种二维的变换，把平面上的一个点沿某个向量方向平移一定的距离，最后这个点的位置就发生了变化。
二、平移的原理平移的原理是通过改变物体在空间中相对位置的方式来实现。
在平移的过程中，物体不经历形状和大小的改变，只是在空间中沿着调整的方向平移一定的距离。
具体来说，平移的原理可分为两个步骤：1. 通过给物体施加一个力量，让它沿着所需方向运动：物体在运动时，必须受到一定的力量作用，才能移动。
这个力量可以来自于地球引力、空气的作用力、人的推拉等。
2. 完成平移的过程：在物体运动的同时，需要沿着一定的轨迹平移，使得最终达到所需的位置、方向和距离。
平移可以按照不同的轴进行，包括了x、y、z三个方向。
三、平移的应用平移在现实生活中有很多应用。
在建筑、机械装备和工程设计中，平移是非常重要的。
机械装置中，很多零件都需要沿着一定的轨迹进行平移，从而实现不同的运动功能。
建筑和工程设计方面，在进行空间设计时，必须考虑物体的位置、方向和距离，完成平移调整的过程。
四、结论可以看出，平移的原理在现实生活中非常普遍而重要。
它通过改变物体的位置、方向和距离来实现目标的移动。
随着科技的不断普及，平移会变得越来越智能化和精密化，为人们的生活和各行业产生更大的影响。
1 平移 知识点
平移: 物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
平移:物体或图形沿着直线运动的现象叫做平移。
平移的特点:平移时物体的形状、大小、方向都不改变,只是位置改变了, 整体运动过程是直线运动。
生活中100个平移现象
生活中平移现象平移现象1：火车行驶火车行驶时，它可以在铁轨上不断进行平移变化，就像是在前进的过程中不断调整自己的方向。
这种行驶现象是因为火车的车身形状和车轮的转动所导致的，而并非是随意的平移。
火车的行驶过程中，车身会随着铁轨的不断变化而调整方向，给乘客带来更平稳的行驶体验。
这种平移现象在现代火车的行驶过程中得到了广泛的应用，并且成为了火车运动中不可或缺的一部分。
平移现象2：车辆行驶车辆行驶是平移现象的一种，汽车、公交车、自行车等各种车辆在道路上行驶时，都是通过平移运动来保持平衡和稳定。
平移运动是一种旋转运动，它通过将车辆沿着直线移动，使车身不断变形和调整方向。
通过平移现象，车辆可以适应道路和环境的变化，实现更高效的行驶和导航。
平移现象3：开关门门的开关是一种平移运动，就像门在打开和关闭的过程中一样。
当门处于平移状态时，它不会受到任何阻碍或约束，而是保持直线运动。
这种平移现象在生活中经常出现，可以方便地控制门的开关。
同时，门的开关也具有稳定性，不会在运动过程中发生突然的或不可预测的改变。
通过合理设计和布置门开关，可以使门的开关更加稳定和可靠。
平移现象4:推窗推窗是滑板球在行驶过程中的一种行为，通过控制推拉窗的开关，实现对玻璃的自动调节和控制。
与传统的拉窗相比，推窗具有更少的摩擦力和能量消耗，提高了行驶的安全性和舒适性。
同时，推窗还可以实现自动开关和调节，方便用户的使用。
推窗在道路行驶等场景中也有广泛的应用。
平移现象5:桌椅家具移动桌椅家具的移动是指家具从原位置搬迁到另一个位置，包括桌子、椅子、衣柜等。
这种移动通常是通过脚部、手臂或腿的施力来完成的。
桌椅家具的移动可以带来方便和舒适，也可以满足不同人群的居住需求。
同时，这种移动还可以帮助家具进行平衡和调整，使家具保持平衡和稳定。
所以，在进行桌椅家具的移动时，我们需要谨慎选择搬运工具和合理安排搬运路线，以确保安全和顺利进行。
平移现象6:滑轮翻转滑轮的翻转是指滑轮在水平方向上发生翻转。
平移现象有哪些写10个
平移现象有哪些写10个
在生活中平移现象有：电梯的运动、滑滑梯、升国旗等；旋转现象有：钟表指针的运动、玩跷跷板、风车的运动等；故答案为：电梯的运动、滑滑梯、升国旗，钟表指针的运动、玩跷跷板、风车的运动．根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．本题考点：平移；旋转．考点点评：本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象
问题一：生活中有哪些平移现象和哪些平行现象1、物体随升降电梯上,下移动2、物体随自动扶梯斜向移动3、轻轨列车在比直轨道上行驶4、传送带5、汽车在平直的公路上走,整个车在平移6、急刹车中汽车在路面上的滑动7、升旗杆上的旗8、电梯上的人9、传输带上的物品10、推拉门11、推拉窗问题二：生活中平移现象有哪些推拉门，重物升降木匠的推子，锯木头时木头在平移问题三：日常生活中常见的平移现象有哪些平移：电梯、平滑门窗、地铁、传送带升国旗问题四：日常生活中常见的平移现象有哪些电梯、推拉门、窗户、传送带、地铁、升国旗。
平移知识点归纳总结
平移知识点归纳总结一、平移的定义平移是指在空间中保持一定方向和距离的情况下，将一个图形沿着这个方向移动一定距离的过程。
在二维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2)，向量b=(b1,b2)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2)在三维空间中，平移可以用下面的方式表示：设有向量a=(a1,a2,a3)，向量b=(b1,b2,b3)，则a加上向量b得到向量c：c=a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)这就是平移的基本定义，即通过向量的加法实现的空间中的一种移动操作。
需要注意的是，在进行平移操作时，被平移的图形保持原来的形状和大小不变，只是位置移动了一定的距离。
二、平移的性质1. 平移是向量的加法运算：平移操作是通过向量的加法运算来实现的，即在空间中沿着一定方向移动一定距离。
这就意味着向量的平移操作满足向量的加法的性质，包括交换律、结合律和存在零元素等性质。
2. 平移保持图形的形状和大小不变：平移是一种保持图形形状和大小不变的移动操作，这是因为平移操作是将向量加上一个固定的平移向量，只是改变了位置，而没有改变图形的形状和大小。
3. 平移操作可以用矩阵表示：平移是一种线性变换，可以用矩阵表示。
在二维空间中，平移可以用下面的矩阵表示：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\]其中a和b分别表示x轴和y轴的平移向量，这样的矩阵称为二维平移矩阵。
在三维空间中，平移可以用类似的方式表示。
4. 平移操作可以逆向进行：平移操作可以逆向进行，即通过一个相反的平移向量可以将图形还原到原来的位置。
这是因为平移是线性变换，具有逆变换的性质。
5. 平移操作保持向量的相对位置不变：在平移操作中，图形中各个点的相对位置关系保持不变，只是整体移动了一定的距禿。
初中数学 什么是平移
初中数学平移是在平面上进行的还是在空间中进行的
平移可以在平面上进行，也可以在空间中进行。
它是一种几何变换，可以应用于二维平面和三维空间。
在平面上的平移：
在平面上进行的平移是指将平面上的图形沿着指定的方向和距离移动，而保持其形状和大小不变。
在平面上进行平移时，图形的每个点按照相同的方式和距离进行移动。
平移可以通过指定一个二维向量来描述，该向量表示平移的方向和距离。
在空间中的平移：
在空间中进行的平移是指将空间中的图形沿着指定的方向和距离移动，而保持其形状和大小不变。
在空间中进行平移时，图形的每个点按照相同的方式和距离进行移动。
平移可以通过指定一个三维向量来描述，该向量表示平移的方向和距离。
平移在二维平面和三维空间中的应用：
在二维平面中，平移可以用于布局、排列和组合图形。
它可以用于设计平面图案、平面几何的证明和计算机图形学中的图形变换。
在三维空间中，平移可以用于建筑设计、机械工程、计算机图形学和航空航天等领域。
它可以用于设计三维模型、布局物体在空间中的位置和运动路径的规划。
无论是在平面上还是在空间中，平移都是一种重要的几何变换，它在数学和实际应用中都发挥着重要作用。
通过平移，我们可以改变图形或物体的位置，实现布局、设计和规划等目标。
平移知识点总结
平移知识点总结在几何学中，平移是一种基本的图形变换操作，它将一个图形沿着特定方向和距离移动，而不改变其形状或大小。
平移操作常常用于解决几何问题和构建各种图形。
一、基础概念平移操作基于以下几个基础概念：1. 平移向量：平移向量是一个有大小和方向的向量，表示平移操作中的位移。
平移向量通常用箭头符号来表示，例如“→”。
2. 平移距离：平移距离指的是图形在平移操作中移动的距离，可以用长度单位表示，例如“2个单位”。
3. 平移方向：平移方向是指图形在平移操作中移动的方向，可以用箭头符号表示，例如“↑”表示向上平移。
二、平移规则平移操作遵循一些基本的规则：1. 平移向量和平移距离的关系：平移向量的大小和平移距离相等，但方向相反。
例如，如果平移向量是“→”，则平移距离为正数；如果平移向量是“←”，则平移距离为负数。
2. 平移方向与坐标轴的关系：平移方向与坐标轴之间存在一定的关系。
例如，在二维平面坐标系中，向右平移与正X轴方向平行，向上平移与正Y轴方向平行。
3. 平移次序：多个平移操作可以按照任意次序进行。
无论平移操作的次序如何，最终的结果都是相同的。
三、平移性质平移操作具有一些重要的性质：1. 保持平行性：平移操作不改变图形内部各点之间的相对位置关系，也就是说，平行的线段在平移后仍然保持平行。
2. 保持距离：平移操作不改变图形中任意两点之间的距离。
3. 保持形状和大小：平移操作不改变图形的形状和大小。
通过平移操作，图形可以在二维平面中任意位置移动，但仍然保持原始的形状和大小。
四、平移的应用平移操作广泛应用于几何学和图形构建中。
以下是一些常见的平移应用：1. 图形旋转和缩放：通过平移操作，可以将图形移动到指定的位置，然后进行旋转和缩放操作，从而构建各种复杂的图形。
2. 图形对称性：平移操作可以用于判断图形的对称性。
如果一个图形可以通过平移操作与自身重合，则说明该图形具有平移对称性。
3. 几何问题解决：平移操作可以用于解决各种几何问题，例如构建平行线段、判断线段是否相交等。
生活中的25个平移现象
生活中的25个平移现象平移是指在几何学中一个物体被移动，在不改变其形态和大小的情况下，变换了其位置。
生活中，平移现象是常见的，无论是人类活动还是自然现象，都有这种变化。
下面，让我们一起来看看生活中的25个平移现象：1. 车辆行驶：汽车、公交车、自行车等各种车辆在道路上行驶时，都是平移运动。
2. 人类行走：走路时，人体会从一点到另一点移动，这也是一种平移。
3. 桌椅家具的移动：家具搬迁时，桌子、椅子、衣柜等都是平移运动。
4. 池塘中鱼群的移动：鱼游动时，他们形态不变，只是在水中做着平移运动。
5. 荷叶的漂浮：莲花池中的荷叶漂浮在水面上，随着风的吹拂和水流的冲刷，做着不断的平移运动。
6. 云层的漂移：天空中飘荡的云层也是一种平移运动，它们被风吹来吹去，在天空中漂移着。
7. 风筝的飞行：风筝在天空中飞行时，它的位置会一直变化，这也是一种平移运动。
8. 箱子的搬运：当我们搬运箱子时，箱子也是做着平移运动。
9. 怀表指针的旋转移动：怀表的指针在旋转时，指针本身的形状没有改变，只是位置的变化。
10. 手机屏幕的滑动：使用手机时，我们可通过屏幕的滑动来变换屏幕内容；这也是平移运动。
11. 电梯上下移动：当我们乘坐电梯时，电梯的上下运动就是一种平移现象。
12. 滑轮的翻转：滑轮同样是一种平移运动，当滑轮旋转时，它在垂直方向上的位置也在改变。
13. 门的开关：如果门开关是平移的形式，那么门在被开关过程中也是一种平移运动。
14. 电视机画面的平移：我们可以通过遥控器在电视机上在不改变画面的情况下，变换画面的位置。
15. 滑雪板的移动：滑雪时，滑雪板平移运动，使滑雪者移动到不同的位置。
16. 人造卫星的轨道：在太空中，人造卫星在预定的轨道上做着平移运动。
17. 太阳系行星的运动：行星们的公转和自转运动，也是一种平移运动。
18. 蜗牛爬行：蜗牛在慢慢的爬行时，它们的形态和大小没有变化，但是从一个地方平移到另一个地方。
19. 火车的行驶：火车可以在沿着铁轨前行，好像不断的平移变化。
七年级下册平移的知识点
七年级下册平移的知识点平移是初中数学中的一个重要知识点，也是初中代数学的基础，它与中学数学与几何学密切相关。
在七年级下册的数学教材中，平移是一个重要的章节，学习平移的知识点能够帮助我们更好地理解几何学的基本概念，同时也能够为以后学习代数和几何学打下基础。
一、平移的定义平移是指将一个几何图形沿着一个方向移动一定的距离，而不改变其大小和形状的操作。
平移的结果是一个与原图形完全相同的新图形。
平移的基本要素有两个：方向和距离。
二、平移的符号表示平移的符号表示为“T”，后跟一个括号，括号中的第一个数表示平移的横向距离，第二个数表示平移的纵向距离。
例如T(2,3)表示平移的横向距离为2，纵向距离为3.三、平移的性质1. 平移保持图形的大小和形状不变。
2. 平移保持相邻两点之间的距离和角度不变。
3. 平移把一条直线变成与原有直线平行的直线。
4. 平移把一条射线变成与原有射线相同的射线。
5. 平移把一个线段变成另一个相同长度的线段。
6. 平移把平行线段变成平行线段。
四、平移的解题方法平移的解题方法通常分为以下三类：1. 用图形进行分析。
使用图形进行分析，可以更加直观地理解问题，找到规律。
2. 使用向量法。
使用向量法，可以将平移问题转化为向量的加法。
3. 使用坐标法。
使用坐标法，可以将平移问题转化为坐标系中的问题，通过计算坐标的变化来解决问题。
五、平移的应用平移的应用非常广泛，例如算术、几何、物理等方面。
在几何学中，平移被广泛应用于图形的变形、对称、相似和全等等问题中。
在物理学中，平移被应用于描述各种运动的规律。
六、结语平移是一个基础且重要的几何运算，学习平移的知识点对于学习初中数学和几何学至关重要。
同时，掌握平移的应用也是我们理解和掌握其他领域的知识的基础。
因此，学生们在学习平移的知识点时，一定要认真理解，并运用到实际问题中去。
生活中的平移课件
平移的原理
平移的定义
平移是一种将对象移 动到新的位置的操作， 保持其形状和大小不 变。
平移的向量表 示
通过向量指定平移的 方向和距离。
平移的矩阵表 示
使用矩阵来表示平移 操作，简化计算和处 理。
平移的逆运算
逆向平移操作即返回 对象到原位置的操 作。
平移的实现方式
平移的物理实现方式
了解平移实际在物理世界中的 实现方式，如平移机械、滑轨 等。
评估平移操作的优点和限 制，以及它与其他操作的 比较。
3 如何学好平移？
提供学习平移技术的建议 和资源，以及实战建议。
参考文献
平移相关书籍和论文
推荐一些权威的书籍和学术论文，深入了解平移的理论和实践。
平移相关网站和资源
提供在线资源和网站链接，方便进一步学习和深入研究平移。
平移相关视频和课程
推荐一些学习平移的视频教程和在线课程，以帮助您更好地掌握平移技术。
平移的拓展知识
平移与旋转的关系
深入了解平移和旋转操作之间 的联系和相互影响。
平移与缩放的关系
了解平移和缩放操作的关系， 以及它们在处理图像和对象方 面的作用。
平移还是变形？
探讨平移是简单的移动还是一 种更广泛的变形操作。
小结
1 平移的重要性
了解平移在不同领域中的 重要性和实际应用。
2 平移的优缺点
生活中的平移PPT课件
通过这份PPT课件，了解平移的定义、应用领域，以及平移的原理和实现方式。 探索生活中的平移应用和平移的拓展知识。
简介
平移是什么？
平移是指在平面上按照指定方向和距离移动对象的操作。
平移的应用领域
平移广泛应用于建筑、工程、设计等领域，以及计算机图形学和游戏开发。
人教版《平移》课件
平移在几何图形中的应用
01
02
03
对称性
平移可以使几何图形保持 对称，例如，一个正方形 可以沿垂直或水平方向平 移，保持其对称性。
组合图形
通过平移，可以将多个图 形组合成一个复杂的图形 ，如将两个三角形平移拼 成一个平行四边形。
理解图形变换
平移是图形变换的一种形 式，通过平移可以帮助学 生理解其他图形变换，如 旋转和缩放。
平移在数学解题中的应用
代数方程的解法
在代数方程的解法中，有时需要 通过平移来找到方程的解。例如 ，将方程的图像沿x轴或y轴平移
，可以改变方程的解。
几何图形的证明
在几何图形的证明中，有时需要 利用平移来证明某些性质。例如 ，通过平移一个三角形，可以证
明两个三角形的面积相等。
函数的图像
在函数的图像中，可以通过平移 来理解函数的性质。例如，将函 数的图像沿x轴或y轴平移，可以
平移不改变图形的形状、大小 和方向，只改变图形的位置。
平移的性质
01
平移前后，图形的对应 点之间的距离相等，且 方向相同。
02
平移前后，图形的对应 线段之间的距离相等， 且方向相同。
03
平移前后，图形的对应 角大小相等。
04
平移不改变图形的对称 性。
平移的分类
等距平移
在平面上沿某一固定方向移动一 定的距离。
总结词
通过是否所有角都是直角来判断是否 为矩形。
详细描述
在平面内，如果一个四边形的所有角 都是直角，则这个四边形是矩形，具 有平移的性质。
菱形的平移判定
总结词
通过是否所有边相等来判断是否为菱形。
详细描述
在平面内，如果一个四边形的所有边都相等，则这个四边形是菱形，具有平移 的性质。
平移
一、平移变换1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注：⑴平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换． ⑵图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据． ⑶图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等． 平移变换前后的图形具有如下性质： ⑴对应线段平行(或共线)且相等； ⑵对应角的两边分别平行且方向一致； ⑶对应的图形是全等形．注：⑴要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．⑵“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3．简单的平移作图 想一想：⑴生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质(如：平移不改变图形的大小和形状等)作图，要找出图形的关键点．⑶平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离． ４．平移变换的方法应用⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来． ⑵平移法在应用时有三种情况：知识点睛平移与几何探究①平移条件：把条件中的某条线段或角平移； ②平移结论：把结论中的线段或角平移；③同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移． 5．平移变换的主要功能：把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．题型一：构造平行四边形【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，AB 的延长线上截取E ，D ，有ED DA EC BC ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCBA【例2】 F 是平行四边形ABCD 内的一点，且FAB FCB ∠=∠，求证：FBA FDA ∠=∠例题精讲FDCB A【例3】 如图，ABC ∆的三条中线长分别为5AD =、12CF =、13BE =，则_______ABC S ∆=O F E DCBA【例4】 在ABC ∆中，点P 为BC 的中点．⑴如图1，求证：1()2AP AB AC <+；⑵延长AB 到D ，使得BD AC =，延长AC 到E ，使得CE AB =，连结DE ．①如图2，连结BE ，若60BAC ∠=︒，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：12BC DE ≥．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上的一点，且AM BC =；N 为BC 上的一点，且CN BM =．连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM ∠=︒．PN M CBA【例6】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 、E 分别为CB 、CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P（1）若BD AC =，AE CD =，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出APE ∠的度数 （2）若AC，CD =，求APE ∠的度数备用图图1CBACBA题型二：构造中位线【例7】 我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：⑴写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；⑵如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在BC 上，且CD CA =，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；⑶如图2，若点D 在ABC ∆的内部，⑵中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．图1GFABCDE 图2E DCBA F G题型三：还原构造---平移【例8】 已知，正方形ABCD 的边长为1，两直线12l l ∥，1l 与2l 之间的距离为1，1l 、2l 与正方形ABCD的边总有交点．（1）如图1，当1l AC ⊥于点A ，2l AC ⊥交边DC 、BC 分别于E 、F 时，求EFC ∆的周长； （2）把图1中的1l 与2l 同时向右平移x ，得到图2，问EFC ∆与AMN ∆的周长的和是否随x 的变化而变化，若不变，求出EFC ∆与AMN ∆的周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图2中的正方形饶点A 逆时针旋转α，得到图3，问EFC ∆与AMN ∆的周长的和是否随α的变化而变化，若不变，求出EFC ∆与AMN ∆的周长的和；若变化，请说明理由．（第25题图1） （第25题图2） （第25题图3）lDC A l 1CC A题型四：平移与等腰三角形【例9】 在ABC ∆中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．⑴在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)G图3【例10】 ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF BD ⊥于点F ，EG AC ⊥于点G ，CH BD ⊥于点H ，试证明CH EF EG =+;H 图3L GFE DC BA图2图1EFGO O ABC DH GDCBAFE⑵若点E 在B 、C 的延长线上，如图2，过点E 作EF BD ⊥于点F ，EG AC ⊥的延长线于点G ，CH BD ⊥于点H ， 则EF 、EG 、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑶如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL BC =，连结CL ，点E 是CL 上任一点，EF BD ⊥于点F ，EG BC ⊥于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；题型五：其他类平移问题【例11】 如图所示，设ABCD 是矩形，K 为矩形所在平面上的一点，连接KA 与KD 均与BC 相交．由点B向直线DK 引垂线，由点C 向直线AK 引垂线，二垂线相交于M ，求证M K AD ．DMBFEKCA【例12】 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，以两腰AB ，CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，连接AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ．求证：点M 为EF 的中点．MlHFDCEGBA。
平移
不能重合
可以重合 不能重合
图形A先向 平移 格后，然 后向 平移 格。
图形B先向 平移 格后，然 后向 平移 格。
2.怎样平移可使得图形A变为图形B？ （在图B上标出相应B上标出相应的序号）
1先向 再向 2先向 再向 3先向 再向 4先向 再向 平移 平移 平移 平移 平移 平移 平移 平移 格， 格。 格， 格。 格， 格。 格， 格。
什么是平移？
所谓平移就是将一个物 体或图形按一定方向移动 一定距离；图形的位置发 生变化，但本身方向、大 小、形状没有改变。
物体或图形沿水平方向 移动再沿垂直方向移动 也是平移现象。 平移有两个参量： 一是移动的方向； 二是移动的距离。
1.将方格纸上的图形A、B分别平移 后，可以得到哪个图形？怎么平移? 可以重合
平移
活动四
课堂小结
本节课你学到了什么？还有什么疑问？
活动五
作业布置
教材p30第1、2、3、4题做在书上。
注意：图形平移的方向，不一定是水平的.图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”)
活动三
当堂训练
1.一个图形先向右平移5个单位，再向左平移7个单位，所得到的图形可以看作是原来位置的图形一次性向_____平移______个单位得到.
5.4平移
学习任念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题
数学思考
掌握平移的规律，会利用平移画图.
情感态度
培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题.
重点
平移的概念和作图方法.
难点
平移的作图.
学习过程设计
学习环节
问题与情景
师生行为
设计意图
活动一
情境
导入
平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小；
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是；
(3)连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且.
即,在平面内，将一个图形沿移动一定的，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移.
生活中有许多美丽的图案，他们都有着共同的特点，请同学们欣赏下面图案.
观察上面图形,我们发现他们都有一个局部和其他部分重复,如果给你一个局部,你能复制他们吗?学生思考讨论,借助举例说明.
感受平移现象与生活的密切联系，激发他们学习的积极性
《平移》轴对称和平移
平移和轴对称是几何学中非常重要的两种变 换，它们在解决几何问题、设计几何图案等 方面有着广泛的应用。通过平移和轴对称， 可以将一个图形变成另一个图形，从而方便 解决一些几何问题。
平移和轴对称在其他学科 中的应用
除了在几何学中有广泛的应用，平移和轴对 称在其他学科中也有广泛的；在工程学中，平移和轴对称被用来设 计建筑结构、机械部件等；在计算机科学中 ，平移和轴对称被用来进行图像处理、计算
在几何学中，平移被广泛应用于图 形的变换和构造。
在物理学中，平移被用于描述物体 的运动和力的传递。
在日常生活中，平移也经常被用来 进行物体的移动和搬运。
在计算机图形学中，平移被用于实 现图形的位移和动画效果。
02
轴对称的定义和性质
轴对称的定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称在物理学中的应用
轴对称在物理学中也有广泛的应用，如晶体结构、电磁场、光学等。晶体结构中的对称性可以描述晶 体的空间排列，电磁场中的对称性可以描述电磁波的传播特性，光学中的对称性可以描述光的反射和 折射等。
平移和轴对称在艺术和设计中的应用
平移在艺术和设计中的应用
在艺术和设计中，平移也被广泛应用于各种场景，如建筑设计、平面设计、服装设计等。建筑设计中的平移可 以描述建筑物的空间排列，平面设计中的平移可以描述图形的排列和组合，服装设计中的平移可以描述服装的 花纹和图案。
轴对称的意义
轴对称是指将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫 做对称轴。轴对称是一种常见的几何变换，也是图形的基本 性质之一。
平移的数学概念
平移的数学概念平移是数学中一个重要的几何变换概念，在平面几何中广泛应用于解决各种问题，如构造几何图形、计算几何图形的位置等。
平移是指将一个几何图形沿着同一方向的直线段移动一定的距离，保持原始图形的大小、形状和方向不变。
这个距离称为平移向量，用箭头表示。
平移的操作可以表示为T(v)，其中v为原始图形上任意点，表示将点v沿着平移向量的方向平移至新位置。
平移有以下几个重要的性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。
这是因为平移只是将图形中的点一个个地按照相同的距离进行移动，不会改变原始图形的性质。
2. 平移保持图形间的相对位置关系。
如果两个图形在平移前是相邻的，那么它们在平移后仍然是相邻的；如果两个图形在平移前有交点，那么它们在平移后仍然有交点。
3. 平移等效于一系列的平移。
如果对一个图形进行多次平移，那么这些平移可以合成为一个等效的平移。
例如，先将一个图形沿着平移向量v1平移至新位置，再将新位置上的图形沿着平移向量v2平移至另一个新位置，这两次平移等效于将原始图形沿着平移向量v1+v2平移至最终位置。
4. 平移可以通过矩阵运算表示。
对于平面上的一个点P(x, y)，进行平移可以表示为P' = P + v，其中v为平移向量，P'为P点的平移后位置。
可以使用矩阵相加的方式来计算平移后的位置。
平移可以应用于解决各种几何问题。
下面举几个例子说明平移的应用：1. 构造平行线：对于给定的一条直线和一点，可以通过平移的方法构造一条与给定直线平行，并经过给定点的直线。
方法如下：以给定直线为平移向量，将给定点平移到新位置，新位置上的点与给定点连线即为所求的平行线。
2. 构造等边三角形：通过平移可以构造等边三角形，方法如下：先在平面上选择一个任意的边长，然后将这个边长向右上方进行平移，再向左上方进行平移，最后向下方进行平移，就可以得到一个等边三角形。
3. 计算几何图形的位置：通过平移可以计算几何图形的位置。
平移
学以致用
（1）把 先向东平 移3格，再向南平 移3格。 （2）把 先向北 平移4格，再向西 平移4格。
平移时根据题中要求，分清东西南北。
小房子向右平移了6格
左
8
右
7
下
3
课堂小结
大家想一想，什 么是平移体沿着一条直线运动。
2. 平移后的物体形状、大小、方向都不变，位置变 了。
平移
这是生活中常见的现象。
这些运动都是平移现象，生活 中你还见过哪些平移现象？
推开窗户的动作是平移现象。 拉抽屉是平移现象。
平移是物体沿着一 条直线运动。
下面哪些图形通过平移可以相互 重合？
状 平移后的物体形状、大小、方向
元
成 才 路
都不变，只是位置发生了变化。
1.平移是物体沿着一条直线运动。 2.平移后的物体形状、大小、方向都 不变，只是位置发生了变化。
状 元 成 才 路
探究新知
把数学书放在课桌左上角，接着把它 平移到课桌面的面的右上角，再依次 平移到右下角和左下角。
学以致用
判断平移时，就看是否沿着直线运动。
① 平移
② 平移
③
平 移
学以致用
哪些树叶通过平移可以和绿色树叶重合？ 把它们涂上颜色。
1
2
3
4
5
6
平移时形状、大小、方向都不变，只有位置变了。
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图形的平移
1. （ 2013 •朝 阳 ） 下 列 图 形 中 ， 由 如 图 经 过 一 次 平 移 得 到 的 图 形 是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2.（ 2012 •宜 昌 ） 如 图 ， 在 10 × 6 的 网 格 中 ， 每 个 小 方 格 的 边 长 都 是 1 个 单 位 ， 将 △ ABC 平 移 到 △ DEF 的 位 置 ， 下 面 正 确 的 平 移 步 骤 是（ ） A．先把△ABC 向左平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 B．先把△ABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 C．先把△ABC 向左平移 5 个单位，再向上平移 2 个单位 D．先把△ABC 向右平移 5 个单位，再向上平移 2 个单位 3.（2012•南昌）如图，有 a、b、c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距 排列，则三户所用电线（ ） A．a 户最长 B．b 户最长 C．c 户最长 D．三户一样长 4. （ 2012 •定 西 ）将 如 图 所 示 的 图 案 通 过 平 移 后 可 以 得 到 的 图 案 是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.在 下 列 四 个 汽 车 标 志 图 案 中 ， 能用平移变换来分析其形成过程的图案是 （ A． B． C． D．
）
6.（ 2010 •历 下 区 三 模 ）下 列 图 片 中 ，哪 些 是 由 图 片（ 1 ）分 别 经 过 平 移 和 旋 转 得 到的（ ）
A． （3）和（4） B． （2）和（3） C． （2）和（4） 7.如图， 在长 32 米， 宽 20 米的矩形地内修筑两条同样宽的之形道路， 2 余下的作为耕地．当路宽 2 米时，耕地面积是（ ）米 ．
D． （4）和（3）
A．528
B．536
C．540
D．544 ）
8.． 如 图 所 示 的 图 案 中 ， 不 能 由 基 本 图 形 通 过 平 移 方 法 得 到 的 图 案 是 （
A．
B．
C．
D．
9.在 下 图 的 四 个 图 形 中 ， 不 能 由 如 图 图 形 经 过 旋 转 或 平 移 得 到 的 是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10.在以下现象中，属于平移的是（ ） ①在荡秋千的小朋友； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③自行车在行进中车轮的运动； ④传送带上，瓶装饮料的移动． A．①② B．①③ C．②③
D．②④
11.（ 2010 •鼓 楼 区 二 模 ）如 图 ，图 案 ⑥ 是 由 ① ② ③ ④ ⑤ 五 种 基 本 图 形 中 的 两 种 拼 接而成的，这两种基本图形是（ ）
A．①⑤ B．②⑤ C．③⑤ D．②④ 12.（2012•义乌市）如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF， 则四边形 ABFD 的周长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12
13.如 图 ， Rt △ ABC 沿 直 角 边 BC 所 在 的 直 线 向 右 平 移 得 到 △ DEF ， 下 列 结 论中错误的是（ ） A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=90° C．AC=DF D．EC=CF 14. （2013•山西模拟） 如图， 将直角三角板 ABC 沿 BC 方向平移， 得到△A′CC′． 已知∠B=30°， ∠ACB=90°，则∠BAA′度数为（ ） A．100° B．120° C．150° D．160° 15.（2011•路南区一模）如图，将周长为 10 个单位的△ABC 沿边 BC 向右平移 2 个单位得到△DEF，则四边形 ABFD 的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18 16.（2010•保定三模）如图，在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图 中阴影部分） ，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，则道路的宽为（ ） A．5 米 B．4 米 C．3 米 D．2 米 17.如图，已知△ABC 平移后得到△DEF，则以下说法中，不正确的是（ ） A．AC=DF B．BC∥EF C．平移的距离是 BD D．平移的距离是 AD 18.如图所示，△ABC 平移得到△DEF，若∠DEF=35°，∠ACB=70°，则∠A 的度数是（ ） A．55° B．65° C．75° D．85°
19.如 图 所 示 ，在 Rt △ ABC 中 ∠ C=90 °，AC=BC=4 ，现 将 △ ABC 沿 着 CB 的 方 向 平 移 到 △ A′ B′ C′ 的 位 置 ， 若 平 移 的 距 离 为 1， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 .
20. 已 知 △ ABC 的 面 积 为 8 ，将 △ ABC 沿 BC 的 方 向 平 移 到 △ A ′ B ′ C ′ 的 位 置 ，使 B ′ 和 C 重 合 ， 连 接 AC ′ 交 A ′ C 于 D ， 则 △ CAC ′ 的 面 积 为 . 21. 如 图 ， 直 线 a ∥ b ， 先 用 三 角 板 画 出 ∠ 1=60 °， 将 三 角 板 向 左 平 移 形 成 ∠ 2 ， 则 ∠ 2= . 22. 如 图 ， 在 正 六 边 形 中 ， 由 阴 影 三 角 形 平 移 得 到 的 三 角 形 是 . 23. 如 图 ，已 知 △ ABC 的 周 长 为 20cm ，现 将 △ ABC 沿 AB 方 向 平 移 2cm 至 △ A ′ B ′ C ′ 的 位 置 ， 连 结 CC ′ ． 则 四 边 形 AB ′ C ′ C 的 周 长 是 .
24. 如 图 ， 两 个 全 等 的 直 角 三 角 形 重 叠 在 一 起 ， 将 其 中 的 一 个 三 角 形 沿 着 点 B 到 C 的 方 向 平 移 到 △ DEF 的 位 置 ， AB=10 ， DO=4 ， 平 移 距 离 为 6 ， 则 阴 影 部 分 面 积 为 . 25. 如 图 ，把 直 角 梯 形 ABCD 沿 AD 方 向 平 移 到 梯 形 EFGH ，HG=24m ，MG=8m ，MC=6m ， 则阴影部分地的面积是 . 26.28.如 图 ，面 积 为 12cm 的 △ ABC 沿 BC 方 向 平 移 至 △ DEF 位 置 ，平 移 的 距 离 是 边
2
BC 长 的 两 倍 ， 则 图 中 的 四 边 形 ACED 的 面 积 是 27. 如 图 ， 有 一 条 小 船 ，
.
（ 1） 若 把 小 船 平 移 ，使 点 A 平 移 到 点 B， 请 你 在 图 中 画 出 平 移 后 的 小 船 ； （ 2） 若 该 小 船 先 从 点 A 航 行 到 达 岸 边 L 的 点 P 处 补 给 后 ， 再 航 行 到 点 B， 但 要 求航程最短，试在图中画出点 P 的位置． 28．如 图 ，方 格 中 是 美 丽 可 爱 的 小 彩 旗 图 形 ，请 将 小 彩 旗 向 右 平 移 四 个 单 位（ 每 小方格边长为 1 个单位） ，其 中 A 点 平 移 到 A 1 位 置 ，再 将 平 移 后 以 点 A 1 为 旋 转 中 心 顺 时 针 方 向 旋 转 90 °（ 只 要 求 画 出 平 移 后 的 图 形 ， 不 要 求 写 出 作 图 步 骤 和 过 程）
29.在 如 图 所 示 的 方 格 纸 中 ， 每 个 小 正 方 形 的 边 长 都 为 1 ， △ ABC 与 △ A 1 B 1 C 1 构 成 的图形是中心对称图形． （ 1） 画 出 此 中 心 对 称 图 形 的 对 称 中 心 O； （ 2 ） 画 出 将 △ A 1 B 1 C 1 沿 直 线 DE 方 向 向 上 平 移 5 格 得 到 的 △ A 2 B 2 C 2 ； （ 3 ）要 使 △ A 2 B 2 C 2 与 △ CC 1 C 2 重 合 ，则 △ A 2 B 2 C 2 绕 点 C 2 顺 时 针 方 向 旋 转 ，至 少 要 旋 转多少度？（不要求证明）
。