内切球、外接球问题

一、球与棱柱的组合体问题：

1正方体的内切球：

设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2

a R =

； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2

2

=

。 （3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为

矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2

3

1==

2.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,求这个球的表面积是______.

【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】 3.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 6

3

2=

，正三棱柱的高为a R h 3

3

22=

=，由O D A Rt 11∆中，得 22

2

222

2

1125633333a a a R a R =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

=图3

图4

图

5

图6

，a R 12

51=

∴ 1:5::2

22121==∴R R S S ，1:55:21=V V 二 棱锥的内切、外接球问题

4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．

在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22

2

33r a R +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3=

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4

h

( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4

3h

，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。

5.正三棱锥S ABC -，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少

6. 正四棱锥S ABCD -，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少 练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，

则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，

2，3，则此球的表面积为 。 3．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 .4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC SAB ⊥侧面，侧棱2SC =，则此正三棱锥的外接球的表面积为

5.（球内接棱柱问题）

若一个底面边长为

2

球的体积为 ．

6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。

7.（球内接正四棱锥问题）半径为R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为 ．

8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3，

底面边长为正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为 ．

9. 三棱锥A BCD -的两条棱6AB CD ==,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，

球心到正三棱锥的四个面的距离相等，

图

1

都为球半径R ．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．

1 3π；

2 14π；；4 12π；5 92π ；6 1:5；7 323R ；8 64256;

981ππ 外接球内切球问题专题二

1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个

大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．

433 B ．33 C ． 43 D ．123

答案 B

2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的

表面积等于 。

解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =由正弦定理,可得ABC ∆

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径R =为2

420R ππ=.

3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱

柱的体积为 ． 答案 8

4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A B ．13π C ．23π D

答案 A

【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8=

1a =A 。

5.已知正方体外接球的体积是π3

32

，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.

332 C.324 D.3

3

4 答案 D

6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A . 1∶3

B . 1∶3

C . 1∶33

D . 1∶9 答案 C