上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何
2016上海高三二模含答案
浦东新区二模测试试卷 高三数学2016.4.23、注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．不等式21x >的解为 .2．已知复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z = .3．关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是 . 4．函数sin 3cos y x x =-的最大值为 . 5．若0lim =∞→nn x ，则实数x 的取值范围是 .6．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则y x += . 7．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 . 8．已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a = .9．二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为 .10．定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 .11．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .12．若直线l 的方程为0=++c by ax （b a ,不同时为零），则下列命题正确的是 .（1）以方程0=++c by ax 的解为坐标的点都在直线l 上； （2）方程0=++c by ax 可以表示平面坐标系中的任意一条直线； （3）直线l 的一个法向量为),(b a ； （4）直线l 的倾斜角为arctan()ab-.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为 （ ）()A 1422=+y x ()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y 14．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 4515．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）PABCDE()A 若a b >，则22ac bc > ()B 若a b >，c d >则a c b d ->-()C 若a b >，则22a b >()D 若a b >，则11a b<16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）()A 84 ()B 78 ()C 81 ()D 96 17．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，1197a a a ++则的值为 （ ）()A 10 ()B 20 ()C 25()D 30 18．“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”的 （ ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件19．函数1, 0()=2ln , >0x x f x xx x ⎧-<⎪⎨⎪-+⎩的零点个数为 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 320．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）()A 赚723元 ()B 赚145元 ()C 亏145元 ()D 亏723元21．已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （ ） ()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120- 22．如果函数)(x f y =在区间I 上是增函数，而函数xx f y )(=在区间I 上是减函数，那么称函数)(x f y =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”. 若函数2321)(2+-=x x x f 是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 （ ）()A ),1[∞+ ()B ]3,0[ ()C ]1,0[ ()D ]3,1[23．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta -的最小值为2，则 （ ）()A 若θ确定，则||a 唯一确定 ()B 若θ确定，则||b 唯一确定()C 若||a 确定，则θ唯一确定 ()D 若||b 确定，则θ唯一确定24．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是 （ ） ()A 2 ()B 1()C 0()D 不确定三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）已知函数xxy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 26．（本题满分8分）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1||=OA ，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，求此圆锥的体积． 27．（本题满分8分）已知直线12y x =与抛物线22(0)y px p =>交于O 、A 两点（F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点），若17AF =，求OA 的垂直平分线的方程.28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c b =，A ∠的平分线为AD ，若.AB AD mAB AC ⋅=⋅（1）当2m =时，求cos A 的值；(2)当(1,3a b ∈时，求实数m 的取值范围.29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）在数列{}n a ，{}n b 中，13a =,15b =,142n n b a ++=,142n n a b ++=（*n N ∈）. （1）求数列{}n n b a -、{}n n a b +的通项公式；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，若对任意*n N ∈，都有(4)[1,3]n p S n -∈，求实数p 的取值范围. 30．（本题满分8分）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得AB BMAM+达到最大值.31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)设函数x x x f sin )(=（20π≤<x ）. （1）设0,0>>y x 且2π<+y x ，试比较)(y x f +与)(x f 的大小；（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.①对任意]2,0(π∈x 都有1)(cos <<x f x 成立；②对任意0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有<)(x f !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-成立； ③若关于x 的不等式k x f <)(在]2,0(π有解，则k 的取值范围是),2(+∞π.32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C .（1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程；（2）若0a b <≤，直线l :y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，O否则一律得零分.1．0x >； 2．i -1； 3．(,5)-∞； 4．2； 5．)1,1(-； 6．6； 7．3π； 8．1； 9．24； 10．(1,2)-； 11．42arccos（7arctan ）； 12．（1）、（2）、（3）. 二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．()A ； 14．()C ； 15．()C ； 16．()B ； 17．()D ； 18．()A ； 19．()C ； 20．()D ； 21．()A ； 22．()D ； 23．()B ； 24．()A .三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）解：集合)1,1(-=A ，……………………………………………………………………3分因为B A ⊆，所以 ⎩⎨⎧≤+-≥111a a ，01≤≤-⇒a .…………………………………6分即[]0,1-∈a . ………………………………………………………………………7分 26．（本题满分8分）解：因为1||=OA ，所以弧AB 长为π2，……………………………………………2分又因为32π=∠BSA ，则有ππ232=⋅SA ，所以3=SA ．……………………4分在SOA Rt ∆中，1||=OA.h SO ==22=， …………………6分所以圆锥的体积ππ322312==h r V ． ………………………………………8分27．（本题满分8分）解：OA 的方程为：12y x =. 由2212y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得280x px -=， 所以(8,4)A p p ，……………………………………………………………………3分 由17AF =，可求得2p =.………………………………………………………5分 所以(16,8)A ，AO 中点(8,4)M .…………………………………………………6分 所以OA 的垂直平分线的方程为：2200x y +-=.………………………………8分28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分) 解：（1）由.b c = 又2.AB AD AB AC ⋅=⋅ 得A bc AAb b cos 22cos)2cos (⋅=⋅………2分 2cos 2cos 2AA ∴=…………………………………………………………………4分 1cos 2cos .2A A += 1cos .3A ∴= ……………………………………………6分（2）由.AB AD mAB AC ⋅=⋅ 得1cos 21A m =-；…………………………………8分又222cos 2b c a A bc +-==222221122b a a b b -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭11(,)32，…………………10分 所以111(,)2132m ∈-，3(,2)2m ∴∈.……………………………………………12分29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）解：（1）因为122n n b a +=+，122n n a b +=+，111()2n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为2，公比为12-的等比数列，所以112()2n n n b a --=⋅-.…………………………………………………………3分111()42n n n n a b a b +++=++，1118(8)2n n n n a b a b +++-=+-，1180a b +-=，所以，当*n N ∈时，80n n a b +-=，即8n n a b +=.…………………………6分（2）由1812()2n n n n n a b b a -+=⎧⎪⎨-=⋅-⎪⎩ 得114()2n n b -=+-，214[1()]32n n S n =+--，21(4)[1()]32n n p p S n -=--，211[1()]332n p ≤--≤， 因为11()02n -->，所以1231131()1()22nnp ≤≤----.………………………8分 当n 为奇数时，11111()1()22n n=--+随n 的增大而增大， 且nnp )21(1332)21(11+≤≤+，2321≤≤p ，323≤≤p ；………………………10分 当n 为偶数时，11111()1()22n n=---随n 的增大而减小， 且n n p )21(1332)21(11-≤≤-，33234≤≤p ，292≤≤p . 综上，32≤≤p .…………………………………………………………………13分30．（本题满分8分）解：因为AB 与地面所成的角的大小为60，AH 垂直于地面，BM 是地面上的直线，所以60,60≥∠=∠ABM ABH .∵,sin sin sin BAMA BM M AB ==…………………………………………………………2分∴()BM B M B A M AM BM AB sin sin sin sin sin sin ++=+=+sin sin cos cos sin 1cos sin cos sin sin M B M B M BM M B B +++==+22cos 2sin cos cot sin cos sin 2B B M M M M B =+=+……………………………4分 cot 30sin cos 3sin cos 2sin(30).M M M M M ≤+=+=+……………6分当60=∠=∠B M 时，AB BMAM+达到最大值，此时点M 在BH 延长线上，HM BH =处.……………………………………8分31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：显然0)(>x f ，0)(>+y x f ，于是x y x x yx x y x x x x y x y x x f y x f sin sin sin cos cos sin sin )sin()()(++=⋅++=+. ………1分因为x x y x x x x y sin cos sin 00sin 1cos 0<<⇒⎭⎬⎫><<.……………………………2分又x y y x x x x x x x y y sin sin cos 0sin cos 0tan 0sin 0<<⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<.……3分 所以x y x x y x x y x x sin sin sin cos cos sin 0+<+<. 即)()(1)()(x f y x f x f y x f <+⇒<+.…………………………………………4分 方法二（作差比较）：因为0)1(cos sin 0sin 1cos 0<-⇒⎭⎬⎫><<y x x x x y .…………………………………1分又0sin sin cos sin cos 0tan 0sin 0<-⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<x y y x x x x x x x y y .……2分 xy x xy x y x x x f y x f )(sin )()sin()()(++-+=-+0)()sin sin cos ()1(cos sin <+-+-=xy x x y y x x y x x .即)()(x f y x f <+.………………………………………………………………4分（2）结论①正确，因20π<<x .xx x x x x cos 1sin 1tan sin 0<<⇒<<<⇒. 1)(cos <<⇒x f x .………………………………6分结论②错误，举反例: 设=)(x g !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-.（利用计算器）010*********.3)5.0()5.0(14>⨯=--g f 等………………………………8分（010493766163.3)6.0()6.0(13>⨯=--g f ，010*********.1)1()1(10>⨯=--g f ，0)9.0()9.0(,0)8.0()8.0(,0)7.0()7.0(>->->-g f f f g f 均可）.结论③正确，由)()(x f y x f <+知xxx f sin )(=在区间]2,0(π上是减函数.所以ππ2)()2()(≥⇒≥x f f x f ，又1)(<x f ，所以xxx f sin )(=的值域为)1,2[π.要使不等式k x f <)(在]2,0(π有解，只要π2>k 即可.………………………10分32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P 的坐标为(),x y ，则由题意可知：11222x y x y y -++-=，由于10x y -+≥，10x y +-≤，0y ≥，…2分222y =，…………………………………………………4分 化简可得：21y =2222x ≤≤5分 法2：设点P 到三边,,AC AB BC 的距离分别为123,,d d d ，其中2d y =，||2|2|2AB AC BC ===.所以 1313221221d d yy y +=⎧⎪⇒=⎨+=⎪………4分 于是点P 的轨迹方程为12-=y （2222-≤≤-x ）……………………5分 （2）由题意知道01a b <≤<，情况（1）b a =.直线l ：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………7分情况（2）b a >.此时图像如右下：令0y =得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，则直线l 与三角形两边的两个交点坐标()11,D x y 、()22,E x y 应该满足方程组：()()110y ax by x x y =+⎧⎪⎨--+-=⎪⎩. 因此，1x 、2x 是一元二次方程：()()()()()()11110a x b a x b -+-++-=的两个根.即()22212(1)(1)0a x a b x b -+-+-=, 由韦达定理得：()212211b x x a -=-而小三角形与原三角形面积比为12x x -，即1212x x =-.所以()221112b a -=--，()22112a b =--，亦即2112a b -=-再代入条件b a >，解得103a <<，从而得到113b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：113b ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.……………………………………………12分解法2：由题意知道01a b <≤< 情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 应该过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.……………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.设直线l ：y ax b =+分别与边[]:1,0,1BC y x x =-+∈，边[]:1,1,0AC y x x =+∈-的交点分别为点,D E ， 通过解方程组可得：1(,)11b a b D a a -+++，1(,)11b a bE a a ----，又点(0,1)C ， ∴0111112111111CDE ba b S a a b a ba a ∆-+=++----=12，同样可以推出()22112a b --=.亦即1b =-b a >，解得103a <<，从而得到1123b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：1123b ⎛⎤∈-⎥⎝⎦.………………………………………12分解法3：情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.令0y =，得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，当a 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b 也不断减小.当//DE AB 时，CDE ∆与CBA ∆相似，由面积之比等于相似比的平方.可知2211=-b ，所以12b >-，综上可知1123b ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.…………………………………………………………12分2015年1月上海市奉贤区高三数学(理科)一模试卷及参考答案一、填空题（每空正确3分，满分36分）1．已知全集U R =，集合{|21}P x x =-≥，则=P .2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽E D ACB样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .3．设41:<≤x α，m x ≤:β，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 .4．若双曲线122=-ky x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = . 5．已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r = .6．若i +1是实系数一元二次方程02=++q px x 的一个根，则=+q p .7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 . 8．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y 的反函数为 . 9．在ABC∆中，已知14==，且ABC ∆的面积S =，则AC AB ⋅的值为 . 10．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= . 11．如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 .二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）13．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能14．下列命题中正确的是 （ ） A ．任意两复数均不能比较大小 B ．复数z 是实数的充要条件是z z =C ．复数z 是纯虚数的充要条件是0Imz =D ．1i +的共轭复数是1i -15．与函数y x =有相同图像的一个函数是 （ ）A ．y =B ．log (01)a x y a a a =>≠且C ．2x y x= D ．log (01)xa y a a a =>≠且16．下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）A ．cos y x =B ．2xy = C ．sin y x = D ．x y tan =17．在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是 （ ）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥18．设),(b a P 是函数3)(x x f =图像上任意一点，则下列各点中一定．．在该图像上的是 （ ） A ．),(1b a P - B ．),(2b a P -- C ．),(3b a P - D ．),(4b a P -19．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的方程为 （ ） A ．13422=+y x B ．1322=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 20．在二项式()612+x 的展开式中，系数最大项的系数是 （ ）A ．20B ．160C ．240D ．192 21．已知数列{}n a 的首项11a =，*13()n n a S n N +=∈，则下列结论正确的是 （ ）A ．数列是{}n a 等比数列B ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等比数列 C ．数列是{}n a 等差数列 D ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等差数列 22．在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则角A 的取值范围是 （ ）A ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．03π⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭23．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b--的上确界为 （ ）A ．92- B ．92 C ．41 D ．4-24．定义两个实数间的一种新运算“*”：*lg(1010)x yx y =+，x 、y R ∈。
上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：.docx
高中数学学习材料唐玲出品上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：函数一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．2、（奉贤区2016届高三二模）函数21x y =-的定义域是_______．(用区间表示)3、（虹口区2016届高三二模）已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 012()f x 32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 4、（黄浦区2016届高三二模）函数3()1f x x =+的反函数1()f x -=5、（静安区2016届高三二模）若函数()()2F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6、（闵行区2016届高三二模）函数3log (1)y x =-的定义域是 .7、（浦东新区2016届高三二模）方程22log (97)2log (31)x x+=++的解为8、（普陀区2016届高三二模）若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 .9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．10、（杨浦区2016届高三二模）函数2()1x f x x +=-的定义域为 . 11、（闸北区2016届高三二模）设函数()(01xxf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．13、（崇明县2016届高三二模）已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩≤≥，则函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为 ． 14、（奉贤区2016届高三二模）已知函数()22xxf x a -=-⋅的反函数是()1fx -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________．15、（黄浦区2016届高三二模）已知函数32()lg(1)f x x x x =+++，若()f x的定义域中的a 、b 满足()()3f a f b -+--=()()3f a f b ++，则()()f a f b += 16、（闵行区2016届高三二模）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 17、（浦东新区2016届高三二模）已知函数311()=3x f x a x a +⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为 .18、（普陀区2016届高三二模）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .19、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是-------------------（ ）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩20、（杨浦区2016届高三二模）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）A.||2x y = B.ln y x = C.13y x = D.1y x x=+21、（闸北区2016届高三二模）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 22、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．23、（普陀区2016届高三二模）设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .二、解答题1、（崇明县2016届高三二模） 已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．2、（奉贤区2016届高三二模）（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+； (2)已知()()31lg 1log 2f x x x =+-,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数； (3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z =--≥∈的子集个数.3、（虹口区2016届高三二模） 已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数.（1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.4、（黄浦区2016届高三二模）已知函数2()1xx f x a x -=++，其中1a >； （1）证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数； （2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；5、（静安区2016届高三二模） 已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.（1）判断函数()221,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量31(,)22m =，(sin 2,cos 2)n x x =，(0,)x π∈，证明()1f x m n =⋅+在区间(0,)π内具有唯一零点；(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.6、（闵行区2016届高三二模）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．参考答案 一、填空题1、－12、[)0,+∞3、{}3,2,1,5-4、3(1)x - 5、A 6、()1,+∞7、{}0,1 8、⎪⎭⎫⎝⎛231， 9、12a - 10、11、12 12、)1,3(13、11 14、1 15、15 16、623,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭17、3a =- 18、0 19、B 20、C 21、32m ≤-或32m ≥； 22、]2,0[]2,( --∞ 23、2->a二、解答题1、（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............2分 当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............4分 当||1λ≠时，1(1)3,(1)333f f λλ=+-=+ 此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且 所以函数为非奇非偶函数.........................................6分（2） 由于()6f x ≤得336xxλ-+≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]xt =∈，................................................8分原不等式等价于6t tλ+≤在[]1,9t ∈上恒成立，亦即26t t λ≤-+在[]1,9t ∈上恒成立，.............................10分令[]2()6,1,9g t t t t =-+∈，当9t =时，()g t 有最小值()927g =-，所以27λ≤-................14分2、(1)解：任取210x x <<，则()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=++()21221x x x x -=+3分 210x x <<，所以()212201x xx x ->+ 4分∴212111x x x x >++5分(2)∵212111x x x x >++,∴2121lg 11lg x xx x >++. 6分 12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)log (log 212313x x -=11lg 21++x x -213log 21x x 7分=11lg 21++x x -1119109222log log log x x x x x x >-109log 9log 101101,log log log 10log 9log 10log 9t t t t t t t t t -<<-=-=⋅log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->log 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922log log 0x xx x ∴->8分∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数 9分 (3)注意到0)9(=f ∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x . 1 由)9()1998214(0)1998214(22f n n f n n f ≥--⇒≥--∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n 13分⇔922310713447,100713447n n n -≤≤⎧⎪⎨>+<-⎪⎩或14分 ∴223=n 或9-=n ， 15分 ∴}223,9{-=MM 的子集的个数是4. 16分3、解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分 对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立. 由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞-……14分 4、[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证．5、（1）函数()221,01log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内具有唯一零点． …2分理由：当1x =时，有()10f =，且当01x <<时，有()210f x x =-<；当1x >时,()2log f x x =是增函数，有()22log log 10f x x =>=． …………4分(2)因为311sin 2cos 21sin(2)1226m n x x x π⋅+=++=++,所以()s i n (2)16f x x π=++, …………7分 ()0f x =的解集为,3A x x k k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭；因为23A I π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以在区间(0,)π内有且只有一个实数23π,使得2()03f π=成立,因此()1f x m n =⋅+在开区间(0,)π内具有唯一零点； …………10分(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．1)当2m -≤-即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,(2)0f f -<⎧⎨>⎩解得2m >； …………12分2) 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点，220m m -<，所以0m <。
上海市16区高三数学 二模试题分类汇编7 立体几何 文
上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编7：立体几何姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题 1 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4, 且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 2 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =A . 1:1.B . 2:1.C . 3:2.D . 4:1.3 ．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于 （ ）A ．22+. B ．23+.C ．24+. D ．6.xyzO34 4 534344 ．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ,1CC 均垂直的棱有( )条..A 1. .B 2. .C 3. .D 4.5 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(文)关于直线,m 及平面α,β,下列命题中正确的是 （ ）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,ααm l ⊥则m l ⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α,则α⊥m二、填空题6 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）现有一个由长半轴为2,短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转ο180所形成的“橄榄球面”.已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面,则这个圆柱的侧面积的最大值是_____. 7 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________(结果保留π). 8 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）一个圆锥的底面积为4π,且该圆锥的母线与底面所成的角为3π,则该圆锥的侧面积为_______________. 9 ．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长为_____________cm .10．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）已知圆1O 是球O的小圆,若圆1O 的半径为32cm,球心O 到圆1O 所在平面的距离为32cm,则球O 的表面积为__________cm 2.11．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）将边长为2的正方形沿对角线AC折起,以A ,B ,C ,D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于_____________. 12．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为045,容器的高为10cm,制作该容器需要_______ cm 2的铁皮13．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(文)设函数21x y -=的曲cm10045题第)6(线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积__________. 三、解答题14．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面ABCD 是矩形,16=AB 米,4=AD 米,腰梁AE 、BF 、CF 、DE 分别与相交的底梁所成角均为ο60.(1)求腰梁BF 与DE 所成角的大小; (2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可 储存多少立方米粮食?15．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,已知111ABC A B C -是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是2. (1)求异面直线1A C 与11B C 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求三棱锥1C ABC -的体积1C ABC V -.A1C 1B 1ACB第21题图16．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. (1)求三棱锥1E FCC -的体积.(2)求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).17．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.如图,已知正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2,体积是16,,M N 学科网分别是棱1BB 、11C B 的中点.(1)求异面直线MN 与11A C 所成角的大小(结果用反三角表示);(2)求过11,,C B A 的平面与该正四棱柱所截得的多面体111AC D ABCD -的体积.ABA 1D18．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）本题共有2个小题,.第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2BAC π∠=,2AB AC ==,16AA =,点E F、分别在棱11AA CC 、上,且12AE C F ==. (1)求三棱锥111A B C F -的体积;(2)求异面直线BE 与1A F 所成的角的大小.解:19．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分 .如图,设计一个正四棱锥形冷水塔,高是85.0米,底面的边长是5.1米.(1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积;(2)制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板? (精确到01.0米2)0.851.5ESO （第19题图） A B CE C 1 A 1 B 1F20．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,且1A D =(1)求该正四棱柱的体积;(2)若E 为线段1A D 的中点,求异面直线BE 与1AA 所成角的大小.DCBAED 1C 1B 1A 121．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）如图,⊥PA 平面ABCD ,1=PA ,矩形ABCD 的边长1=AB ,2=BC ,E 为BC 的中点. (1)求异面直线PE 与AB 所成的角的大小; (2)求四棱锥ABED P -的侧面积.D22．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,G 分别为棱1DD 和1CC 的中点. (1)求异面直线AE 与DG 所成的角; (1)求三棱锥E CC B 1-的体积;23．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(文)(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)如图,已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上,AB 为圆O 的直径,圆柱1OO 的表面积为24π,2OA =,120AOP ∠=︒.(1)求三棱锥1A APB -的体积;(2)求异面直线1A B 与OP 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示).A 1O 1AOPBCD11D 1B 1C E G上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编7：立体几何参考答案一、选择题 1. B 2. C 3. B;4. D ;5. B 二、填空题6. π4.7. 12π 8. 8π;9. 17 10. 144π; 11.322; 12. π2100;13. (文)π4 三、解答题14.解:(1)过点E 作FB EK //交AB 点K ,则DEK ∠为异面直线DE 与FB 所成的角,4DE FB ==Q ,o 2(4cos 60)4AK =⨯=,42DK =o 90DEK ∴∠=,即DE BF ⊥.(2)过点E 分别作AB EM ⊥于点M ,CD EN ⊥于点N ,连接MN ,则AB ⊥平面EMN ,∴平面ABCD ⊥平面EMN ,过点E 作MN EO ⊥于点O ,则EO ⊥平面ABCD 由题意知,4===AD DE AE ,260cos 4===οDN AM ,32==EN EM ,∴O 为MN 中点,22EO ∴=即四棱锥AMND E -的高,同理,再过点F 作AB FP ⊥于点P ,CD ENFQ ⊥于点Q ,连接PQ , 原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且122216=--=MP111762=2+=22422+42212=323V V V ∴⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯多面体四棱锥直棱柱（）（） 答:该粮仓可储存17623立方米的粮食 15.本题共有2题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.(1)11//C B CB Q ,连接1A B ,则1A CB ∠为异面直线111A C B C 与所成角 由题意得1122,AC A B == 面直线1A C 与所以,异11B C 所成角的大小为(2)由题意得,11C ABC C ABC V V --=QABC ∆的面积21323,24ABC S h CC ∆=⋅===, 11232333C ABC V -∴=⨯⨯= ,三棱锥1C ABC -的体积为23316. [解](1)=-1FCC E V 1ECC F V -由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FCACD1A1B1C1DEF第20题BG)2222221111222222cos 22222AC BC A B ACB AC BC +-+-∠===⋅⋅⋅2arccos 4222211=⨯⨯=∆ECC S 1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32 (2)取AB 的中点为G ,连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角 在GE A 1∆中,51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得,54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0> 所以54arccos 1=∠E GA即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos 17. (文)(1)连结1BC ,1//BC MN Q ,11BC A ∴∠就是异面直线MN 与11A C 所成角在111111,BC A AC BC A B ∆===中11cos BC A ∴∠=11BC A ∴∠=.所以异面直线MN 与11A C 所成角为18. (文) [解](1)111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= (2)连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角在CEB ∆中,BC CE BE ===所以60CEB ∠=o,所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60o19.本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分 .解:(1)如图正四棱锥底面的边长是5.1米,高是85.0米sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯=所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m .(2)如图,取底面边长的中点E ,连接SE ,222275.085.0+=+=EO SO SE SE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧 22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答:制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板.20.本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.解:GA 1B 1C 1D 1EA (O )B CD(1)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,∵1AA ⊥平面ABCD ,AD ⊂≠平面ABCD ,∴1AA AD ⊥,故13AA ==,∴正四棱柱的体积为2(2)312⨯=(2)设G 是棱AD 中点,连,GE GB ,在△1A AD 中,∵,E G 分别为线段1,A D AD 的中点,∴EG ∥1A A ,且11322EG AA ==,∴GEB ∠就是异面直线1AA 与BE 所成的角∵1A A ⊥平面ABCD ,GB ⊂≠平面ABCD ,∴1AA GB ⊥,又EG ∥1A A ,∴EG BG ⊥, ∵23,1252GE BG ==+=, ∴52tan 5332BG GEB GE ∠===,故25arctan GEB ∠=. 所以异面直线1AA 与BE 所成角的大小为25arctan 321. F PA CD解:(1)取AD 的中点F ,连EF 、PF .ΘAB EF //,∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小 由1=PA ,1==BE AB ,⊥PA 平面ABCD ,ABCD 是矩形,得1=EF ,2=AE ,2=PF ,3=PE ,∴3332213cos =-+=∠PEF ∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos(2)Θ⊥PA 平面ABCD ,1=PA ,1=AB ,1=AD ,21=∆PAB S ,1=∆PAD S . ΘBE PA ⊥,AB BE ⊥,∴⊥BE 平面PAB ,∴⊥BE PB ,2=PB ,22=∆PBE S .连AE ,由1==BE AB ,得2=AE ,同理2=DE ,322=+=AE PA PE ,又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+,由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ,∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++ 22.解:(1)由题意得AE ‖BG ,DGB ∠(或其补角)就是所求的异面直线所成的角 计算2,25,25===DB BG DG51cos =∠DGB 所以所求的异面直线的角大小51arccos(2)1111ABCD A B C D -中,有BC ⊥面EGC所以BC 是三棱锥CE C B 1-的高,BC S V CE C CE C B ⋅⋅=-11131611112131=⨯⨯⨯⨯=23. (文)解:(1)由题意2122224S AA π=⋅+2π⋅⋅=π表,解得14AA =在△AOP 中,02,120OA OP AOP ==∠=,所以AP =在△BOP 中,02,60OB OP BOP ==∠=,所以2BP =所以1113A APB APB V S AA -∆=⋅112432=⋅⋅⋅=(2)取1AA 中点Q ,连接OQ ,PQ ,则1//OQ A B , 得POQ ∠或它的补角为异面直线1A B 与OP 所成的角又AP =,2AQ AO ==,得OQ =,4PQ =,由余弦定理得222cos 2PO OQ PQ POQ PO OQ +-∠==⋅所以异面直线1A B 与OP 所成角的大小为。
2016年上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2016年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．2．函数y=的定义域是______．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=______．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=______cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB 的倾斜角为α，则cosα的值为______．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=______．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______．12．在（x++1）6展开式中的常数项是______（用数值作答）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调﹣1递增，则x的取值范围是______．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．2016年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数y=的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：2n﹣1≥0，解得n的范围即可．【解答】解：根据题意得：2n﹣1≥0，解得：n≥0．∴函数y=的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M （x 0，2）代入抛物线方程，解得x 0．利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离=x 0+1．【解答】解：把点M （x 0，2）代入抛物线方程可得：=4x 0，解得x 0=3．∴点M 到抛物线焦点的距离=x 0+1=4． 故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．无穷等比数列首项为1，公比为q （q ＞0）的等边数列前n 项和为S n ，则S n =2，则q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q （q ＞0）的等边数列前n 项和为S n ，且S n =2，∴=2，解得q=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的各项和，属基础题．7．在一个水平放置的底面半径为cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R= cm ．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm 的体积，即可求出R 的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，所以，，所以R=（cm ）；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是（x﹣）2+（y﹣）2=．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先在极坐标方程ρ=sinθ+cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．即（x﹣）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．12．在（x++1）6展开式中的常数项是581（用数值作答）【考点】二项式系数的性质．=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式【分析】T r+1==2k x r﹣2k，令r﹣2k=0，对k，r分类讨论即可得出．T′k+1=，（r=0，1，…，6），【解答】解：T r+1==2k x r﹣2k，令的展开式的通项公式T′k+1令r﹣2k=0，k=0，r=0时，可得：T1=1．k=1，r=2时，可得：T3=，T′2=，∴=60．k=2，r=4时，可得：T5=，T′3==24，∴×24=360．k=3，r=6时，可得：T7=，T′4==160，∴×160=160．∴（x++1）6展开式中的常数项是1+60+360+160=581．故答案为：581．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件，{a n}单调递增，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2）得S n+S n+1=2（n+1）2+1，两式相减得a n+1+a n=4n+2，故a n+2+a n+1=4n+6，两式再相减得a n+2﹣a n=4，得{a n+2}是公差d=4的等差数列，由n=2得a1+a2+a1=9，a2=9﹣2x，从而a2n=4n+5﹣2x；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=19，a3=1+2x，从而a2n+1=4n﹣3+2x，由条件得，解得2＜x＜3，故x的取值范围为（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题．16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据等差中项，得到2log2y=2+log2x，继而得到y2=4x，x＞0，y＞0，问题得以解决．【解答】解：∵log2x，log2y，2成等差数列，∴2log2y=2+log2x，∴y2=4x，x＞0，y＞0，∴M（x，y）的轨迹的图象为焦点为（1，0）的抛物线的一部分，x＞0，y＞0，故选：A．【点评】本题考查了等差中项和对数的运算性质，以及抛物线的问题，属于基础题．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π【考点】复数求模．【分析】由已知可得： +4=0，解得=i，即可得出．【解答】解：∵，∴+4=0，解得==i，∴|z1|=|z2||1i|=4，∴以|z1|为直径的圆的面积为22π=4π．故选：B．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；理由如下：∵AP 、AB 、AC 两两互相垂直， ∴PA ⊥平面ABC ， ∵DE ⊥平面ABC ， ∴DE ∥PA ，∴=，∴F 与C 重合．∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ， ∴C 是平面PBE 和平面ABC 的公共点， 又B 是平面PBE 和平面ABC 的公共点， ∴BC 是面PBE 与面ABC 的交线． （2）∵AP 、AB 、AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴V B ﹣PADE =S 梯形ADEP •AB=（1+2）×1×AB=，解得AB=．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），=（，0，2），=（0，1，﹣1），设二面角PBE 的法向量=（x ，y ，z ），则，取y=1，得=（﹣，1，1），平面ABC 的法向量=（0，0，1），∴cos ＜＞===，∴面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小为arccos ．【点评】本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，∴=k2，∴﹣+m2=0，∵m≠0，∴k2=，方向向量=（±2，1）．∴直线l不定向．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．【点评】本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n 2﹣214n ﹣1998≤9． ∴13447＜（n ﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n ∈Z ，∴n ﹣107=116或n ﹣107=﹣116． ∴集合M 有两个元素． ∴集合M 有4个子集．【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n }，{b n }满足，a 1＞0，b 1＞0；（1）求证：{a n •b n }是常数列；（2）若{a n }是递减数列，求a 1与b 1的关系； （3）设a 1=4，b 1=1，当n ≥2时，求a n 的取值范围． 【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意可知a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，故问题得以证明； （2）根据{a n }是递减数列，得到（a 1﹣b 1）2＞0，a n ＞b n ，得到a 1＞b 1恒成立，（3）先判断a n +1＞2，再根据a n +1﹣a n =，得到a n +1﹣a n ＜0，{a n }是递减数列，即可得到a n ﹣a 2＜0，求出a n 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴2a n +1=a n +b n ，=，∴b n +1=，∴a n +1b n +1=a n •b n ，∴a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，∴{a n •b n }是常数列；（2）{a n }是递减数列，a n +1﹣a n ＜0，∵a 2﹣a 1=（a 1+b 1）﹣a 1=（b 1﹣a 1）＜0∴a 1＞b 1，∵a 3﹣a 2=（b 2﹣a 2）＜0，∴a 2＞b 2，∵（a 1+b 1）＞，∴（a 1﹣b 1）2＞0，猜想a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）＜0，∴a n ＞b n ，∴a 1＞b 1恒成立，∵a k +2﹣a k +1=（b k +1﹣a k +1）==＜0， ∴a 1＞b 1时，{a n }是递减数列．（3）整理得a n +1=（a n +），a 1=4，∴a 2=，∴a 1＞0⇒a 2＞0⇒a 3＞0⇒…⇒a n ＞0，当n ≥2时，a n +1﹣2=（a n +）﹣2=＞0， ∴a n +1＞2，∴a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）==， ∵a n ＞2，∴a n +1﹣a n ＜0，∴{a n }是递减数列，∴a n ﹣a 2＜0，∴a n∈（2，]【点评】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．。
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何概要
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为cm 2．2、（奉贤区2016届高三二模）在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323， 则球O 的表面积为__________4、（黄浦区2016届高三二模）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右上图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V = 5、（静安区2016届高三二模）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长为23cm ，侧面积为 283cm ，则它的体积为 .6、（闵行区2016届高三二模）若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.7、（浦东新区2016届高三二模）已知四面体ABCD 中，2==CD AB ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =________． 8、（普陀区2016届高三二模）若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C ）363h （D ）3193h10、（杨浦区2016届高三二模）已知命题：“若a ,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a ,b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a ,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a ,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条 11、（闸北区2016届高三二模）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == 2BC =，则球O 的表面积等于（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．π12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）下列命题正确的是（ ）． （A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ； （B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α； （C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π； （D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .13、（闵行区2016届高三二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线14、（浦东新区2016届高三二模）给出下列命题，其中正确的命题为( ) （A ）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；（B ）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；Q A DCBP （第20题图）（C ）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （D ）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直. 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 的中点． （1）求证：11EF B D ∥； （2）求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数值表示）．2、（奉贤区2016届高三二模）面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE ，多面体B PADE -的体积是33． (1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由；（2）求面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小．3、（虹口区2016届高三二模）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ， 且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离；(2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.AC BC 1A 1B 1（第19题图）D 1 DFEADB CPE4、（黄浦区2016届高三二模）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分两钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳面的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）；5、（静安区2016届高三二模）设点,E F 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点．如图，以C 为坐标原点，射线CD 、CB 、1CC 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量1D E 与1C F 的数量积；（2）若点,M N 分别是线段1D E 与线段1C F 上的点，问是否存在直线MN ，MN ⊥平面ABCD ？若存在，求点,M N 的坐标；若不存在，请说明理由EFB 1A 1C 1D 1BC DA6、（闵行区2016届高三二模）如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=．（1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -的体积为26．7、（浦东新区2016届高三二模）如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆O 的直径，点C 为»AB 的中点，SO AB =.（1）证明：AB ⊥平面SOC ；（2）若点D 为母线SC 的中点，求AD 与平面SOC 所成的角.（结果用反三角函数表示）8、（普陀区2016届高三二模）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）D .A 1CEABCD B 19、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．10、（杨浦区2016届高三二模）如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点. (1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.11、（闸北区2016届高三二模）在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动．（1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．1A 1B 1CA BC12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA的中点． （1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角 函数值表示）．参考答案一、填空、选择题1、12π2、23、64π4、3325、4106、37、1 或38、C9、D 10、D 11、A 12、D 13、B 14、D二、解答题1、可得有关点的坐标为 11111(0,0,1),(1,1,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,1)22D BEF C 11(,,0)22EF =-- ，11(1,1,0)B D =--......................4分所以112B D EF =...............................5分 所以11EF B D ∥...............................6分 （2）设1(,,)n u v w = 是平面1C EF 的一个法向量. 因为111,n EF n FC ⊥⊥所以1111110,0222n EF u v n FC v w ⋅=--=⋅=+=解得,2u v v w =-=- .取1w = ，得1(2,2,1)n =-.............................9分 因为1DD ABCD ⊥平面，所以平面ABCD 的一个法向量是2(0,0,1)n = .........10分 设1n 与2n 的夹角为α ，则12121cos 3||||n n n n α⋅==⋅ .......................11分AC BC 1A 1B 1（第19题图）D 1D FExyzAB C A 1B 1C 1D结合图形，可判别得二面角1C EF A --是钝角，其大小为1arccos3π- ........12分 2、(1)根据条件知:PE 与AD 交点恰好是C 1分 ,C PE C ∈∴∈面PBE ,,C AC C ∈∴∈面ABC 2分B ∈面PBE ,B ∈面ABC 3分 面PBE 与面ABC 的交线BC 5分 (2)(理) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯= 9分 233BA ∴=10分建立空间直角坐标系,设平面的法向量是()1,,n x y z23,0,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C ()0,1,0D ()0,1,1E ()0,0,2P 23,0,23BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，23,1,13BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭123203n BP x z ⋅=-+=12303n BE x y z ⋅=-++=()13,1,1n ∴= 11分面ABC 的法向量()20,0,1n =1212cos n n n n θ⋅==⋅1555= 12分 所以面PBE 与面ABC 所成的锐二面角大小5arccos513分 注：若作出二面角得2分，计算再3分(2)(文) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分 多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯= 9分 233BA ∴=10分 连接AEAE 是BE 在面EDAP 的射影BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角． 11分计算2AE =,2363tan 32BAE ∠== 12分ADBCPEADB C P Ez xyQA D CBP （第20题解答图）zyx BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角6arctan3． 13分3、（理）解：(1)以},,{AP AD AB 为正交基底建立空间 直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =由(2,1,0),DC =-(0,2,2),DP =-(0,2,0).DA =-则202,2.220n DC x y y x z x n DPy z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n =. ……5分所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d n×-?=== ……7分(2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==且(1,1,1).CQ =-- 设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z =则00000000200,.0n ADy y z x n AQx z ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî令01x =，则0(1,0,1)n =-. ……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则00026sin cos ,.332CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===⋅故直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为6sin.3arc ……14分 注：第（1）小题也可用等积法来做.4、[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得63AO =，（4分） 在直角三角形PAO 中，318OP AO ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分）三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分）5、（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为11(2,0,2),(1,2,0),(1,2,2)D E D E =-- …………2分PA B C D xy z PA BCD11(0,0,2),(2,2,1),(2,2,1)C F C F =- …………4分所以111222(2)(1)4D E C F ⋅=-⨯+⨯+-⨯-=。
上海市2016届高三数学(理)优题精练：立体几何 Word版含答案
上海市2016届高三数学理优题精练立体几何一、填空、选择题 1、（2015年上海高考）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．2、（2014年上海高考）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.3、（2013年上海高考）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ．5、（闵行区2015届高三二模） 如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===点P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为 ( )(A) 2. (B) (C) 1. (D)6、（浦东新区2015届高三二模）已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm .7、（普陀区2015届高三二模）一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为ABlCαPO8、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==,则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为9、（长宁、嘉定区2015届高三二模）在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为………………（ ） A ．6:1 B ．5:1 C ．4:1 D ．3:1 10、（奉贤区2015届高三上期末）如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为11、（黄浦区2015届高三上期末）已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是12、（金山区2015届高三上期末）如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD =2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF =∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是 ▲13、（浦东区2015届高三上期末）如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .14、（松江区2015届高三上期末）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 ▲ （结果用反三角函数表示）．15、（宝山区2015届高三上期末）正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于ECDPAB二、解答题 1、（2015年上海高考）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．PABCD E2、（2014年上海高考）底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .P 123、（2013年上海高考）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ．（1）求四棱锥111A BCC B -的体积；（2）求二面角111C C A B --的大小．C 11AA1A 15、（闵行区2015届高三二模）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧 AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．6、（浦东新区2015届高三二模） 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2，⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan． （1） 求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B 到平面PCD 的距离．7、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）BD 1A B 18、（长宁、嘉定区2015届高三二模）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，︒=∠60BAD ，E 为BC 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．9、（青浦区2015届高三上期末）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .10、（松江区2015届高三上期末）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。
上海市各区高三二模数学试题分类汇编立体几何
20XX 年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题：15．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试文科）如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（ B ）．15、（上海市奉贤区20XX 年4月高三质量调研理科）已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π,则线段AB 的长度为（ C ）（A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （D ） 2316、（上海市长宁区20XX 年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试理科) 四棱A ．俯视主视左视俯视主视左视俯视主视左视B ．C ．D ．第17题图锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD内的轨迹一定是（ B ）17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A ．33；B ．3；C ．3；D ．3.17．(上海市松江区20XX 年4月高考模拟文科)三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( A ) A ．4 B ．6 C ．8 D ． 1014．（上海市闸北区20XX 年4月高三第二次模拟理科）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为 【 A 】[AB CDC.AB CDA.AB CDB.ABCDD.15．（上海市浦东新区20XX 年4月高考预测理科）“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的 （ C ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15. （20XX 年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（B ）.(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 二、填空题：6．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为（结果保留π）．10．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留π）．128π7[第1010、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________________。
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：圆锥曲线
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：圆锥曲线一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线22221x y a b-=00a b >>（,）的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ．2、（奉贤区2016届高三二模）双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．3、（虹口区2016届高三二模）如图, 2222+1(0)x y A B a b a b=>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于点C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.4、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为5、（静安区2016届高三二模）已知双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点， 则该双曲线的焦距的取值范围为 .6、（闵行区2016届高三二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）. (A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线7、（浦东新区2016届高三二模）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则PF PA的最小值是（ ）（A ）12（B ）22（C ）32（D ）2338、（普陀区2016届高三二模）过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在 9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）抛物线x y 42=的焦点坐标是____________10、（杨浦区2016届高三二模）已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则||||PM PF = . 11、（闸北区2016届高三二模）已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PFF ∆的面积为9，则b = ． 12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________13、（奉贤区2016届高三二模）已知抛物线24y x =上一点()0,23M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为________． 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模） 已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足12F Q a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅=，20TF ≠ ．（1）当5,3a b ==时，用点P 的横坐标x 表示1F P；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使12F MF ∆的面积2S b =？若存在，求出12F MF ∠的正切值；若不存在，说明理由．（第22题图）P NQxOAMy2、（奉贤区2016届高三二模）已知椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点O 的直线与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．3、（虹口区2016届高三二模）已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ．(1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）； (2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．问：在x 轴上是否存在定点T ， 使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存 在，请说明理由．(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程．4、（黄浦区2016届高三二模）对于双曲线22(,)22:1a b x y C a b-=(,0)a b >，若点00(,)P x y 满足2200221x y a b -<，则称P 在的(,)a b C 外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b ->，则称P 在(,)a b C 的内部； （1）若直线1y kx =+上的点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围；（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=(0)r >在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长 等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围；（3）若曲线2||1xy mx =+(0)m >上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围；5、（静安区2016届高三二模）已知12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（其中0a b >>）的左、右焦点，椭圆C 过点(3,1)-且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求线段AB 的长度．6、（闵行区2016届高三二模）已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程．7、（浦东新区2016届高三二模）教材曾有介绍：圆222r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。
上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：函数一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．2、（奉贤区2016届高三二模）函数21x y =-的定义域是_______．(用区间表示)3、（虹口区2016届高三二模）已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 012()f x 32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 4、（黄浦区2016届高三二模）函数3()1f x x =+的反函数1()f x -=5、（静安区2016届高三二模）若函数()()2F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6、（闵行区2016届高三二模）函数3log (1)y x =-的定义域是 .7、（浦东新区2016届高三二模）方程22log (97)2log (31)x x+=++的解为8、（普陀区2016届高三二模）若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为 .9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．10、（杨浦区2016届高三二模）函数2()1x f x x +=-的定义域为 . 11、（闸北区2016届高三二模）设函数()(01xxf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．13、（崇明县2016届高三二模）已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩≤≥，则函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为 ． 14、（奉贤区2016届高三二模）已知函数()22xxf x a -=-⋅的反函数是()1fx -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________．15、（黄浦区2016届高三二模）已知函数32()lg(1)f x x x x =+++，若()f x的定义域中的a 、b 满足()()3f a f b -+--=()()3f a f b ++，则()()f a f b += 16、（闵行区2016届高三二模）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 17、（浦东新区2016届高三二模）已知函数311()=3x f x a x a +⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为 .18、（普陀区2016届高三二模）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f .19、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是-------------------（ ）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（B ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪--<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩20、（杨浦区2016届高三二模）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）A.||2x y = B.ln y x = C.13y x = D.1y x x=+21、（闸北区2016届高三二模）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 22、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．23、（普陀区2016届高三二模）设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 .二、解答题1、（崇明县2016届高三二模） 已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．2、（奉贤区2016届高三二模）（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+； (2)已知()()31lg 1log 2f x x x =+-,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数； (3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z =--≥∈的子集个数.3、（虹口区2016届高三二模） 已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数.（1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.4、（黄浦区2016届高三二模）已知函数2()1xx f x a x -=++，其中1a >； （1）证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数； （2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；5、（静安区2016届高三二模） 已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I 内具有唯一零点.（1）判断函数()221,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具有唯一零点，并说明理由；(2)已知向量31(,)22m =，(sin 2,cos 2)n x x =，(0,)x π∈，证明()1f x m n =⋅+在区间(0,)π内具有唯一零点；(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.6、（闵行区2016届高三二模）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．参考答案 一、填空题1、－12、[)0,+∞3、{}3,2,1,5-4、3(1)x - 5、A 6、()1,+∞7、{}0,1 8、⎪⎭⎫⎝⎛231， 9、12a - 10、11、12 12、)1,3(13、11 14、1 15、15 16、623,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭17、3a =- 18、0 19、B 20、C 21、32m ≤-或32m ≥； 22、]2,0[]2,( --∞ 23、2->a二、解答题1、（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............2分 当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............4分 当||1λ≠时，1(1)3,(1)333f f λλ=+-=+ 此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且 所以函数为非奇非偶函数.........................................6分（2） 由于()6f x ≤得336xxλ-+≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]xt =∈，................................................8分原不等式等价于6t tλ+≤在[]1,9t ∈上恒成立，亦即26t t λ≤-+在[]1,9t ∈上恒成立，.............................10分令[]2()6,1,9g t t t t =-+∈，当9t =时，()g t 有最小值()927g =-，所以27λ≤-................14分2、(1)解：任取210x x <<，则()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=++()21221x x x x -=+3分 210x x <<，所以()212201x xx x ->+ 4分∴212111x x x x >++5分(2)∵212111x x x x >++,∴2121lg 11lg x xx x >++. 6分 12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)log (log 212313x x -=11lg 21++x x -213log 21x x 7分=11lg 21++x x -1119109222log log log x x x x x x >-109log 9log 101101,log log log 10log 9log 10log 9t t t t t t t t t -<<-=-=⋅log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->log 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922log log 0x xx x ∴->8分∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数 9分 (3)注意到0)9(=f ∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x . 1 由)9()1998214(0)1998214(22f n n f n n f ≥--⇒≥--∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n 13分⇔922310713447,100713447n n n -≤≤⎧⎪⎨>+<-⎪⎩或14分 ∴223=n 或9-=n ， 15分 ∴}223,9{-=MM 的子集的个数是4. 16分3、解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分 对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立. 由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞-……14分 4、[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证．5、（1）函数()221,01log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内具有唯一零点． …2分理由：当1x =时，有()10f =，且当01x <<时，有()210f x x =-<；当1x >时,()2log f x x =是增函数，有()22log log 10f x x =>=． …………4分(2)因为311sin 2cos 21sin(2)1226m n x x x π⋅+=++=++,所以()s i n (2)16f x x π=++, …………7分 ()0f x =的解集为,3A x x k k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭；因为23A I π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,所以在区间(0,)π内有且只有一个实数23π,使得2()03f π=成立,因此()1f x m n =⋅+在开区间(0,)π内具有唯一零点； …………10分(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．1)当2m -≤-即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,(2)0f f -<⎧⎨>⎩解得2m >； …………12分2) 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点，220m m -<，所以0m <。
上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：立体几何
（第10题图）上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编立体几何一、填空题1、（宝山区2016届高三上学期期末）等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积是____________ cm 3 .3、（虹口区2016届高三上学期期末）如图所示，半径2R =的球O 圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于__________4、（黄浦区2016届高三上学期期末）若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．5、（嘉定区2016届高三上学期期末）在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6、（嘉定区2016届高三上学期期末）在若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________．7、（静安区2016届高三上学期期末）已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm 3.8、（闵行区2016届高三上学期期末）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9、（浦东新区2016届高三上学期期末）如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11BCC B 所成的角为 （结果用反三角表示）10、（普陀区2016届高三上学期期末）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为_________11、（青浦区2016届高三上学期期末）平面直角坐标系中，方程1=+y x 的曲线围成的封闭图形绕y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为12、（松江区2016届高三上学期期末）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲13、（徐汇区2016届高三上学期期末）已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD上，AB =，2CD =，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________________．14、（闸北区2016届高三上学期期末）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是1填空题参考答案：1、π62 2、12π 3、8π 4、32 5、510arccos 6、π33 7、 12288π 8、15π 9、552arctan ．（2arcsin 3，5arccos 3） 10、4503 11、π3212、3:2 13、23π 14、34 二、选择题1、（宝山区2016届高三上学期期末）若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为--------- （ ）（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行； （B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直； （C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距； （D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直。
2016届上海市高三(二模模拟)检测理科数学试题及答案
2016届上海市高三（二模模拟）检测理科数学试题及答案核准通过，归档资料。
未经允许，请勿外传～2014届上海市高三年级检测试卷(二模模拟)数学(理)一、填空题(本题满分56分)本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分(2cos,,sin2cos2,,，,,1.若，则a,1,bia，bi2.若，其中都是实数，是虚数单位，则= a,bi1,im,7n,9XY3.现在某类病毒记作，其中正整数m，n(，)可以任mnm，n意选取，则都取到奇数的概率为52MF,Mxy(,)yx,24.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，F002x,则______ 05.某市连续5天测得空气中PM2.5(直径小于或等于2.5微米的颗粒3mgm/物)的数据(单位:)分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为,,,,,,,,,,,,,,,,6.平行四边形中，=(1，0)，=(2，2)，则等于ABCDACABADBD,an7.已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常x，(x)3x数项为80，则的值为 a8.在?中，角所对的边分别为，已知，，ABCa,2c,3ABC,,abc,,，则= B,:60b29.用半径为cm，面积为cm的扇形铁皮制作一个无盖的圆1021002,锥形容器(衔接部分忽略不计)，则该容器盛满水时的体积是22xy31,10.已知椭圆()右顶点与右焦点的距离为，，,1a,b,022ab短轴长为22椭圆方程为，x,011.设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，yfx,()a2a若“对于任意，fxa()1,，”是假命题，则的取,，x,0,，,afxx()97,，，x 值范围为pp3,,3q,,,aa,tan3qa12.已知，等比数列中，，，数列的a,1,,,,,,n4n1669,, 前2014项的和为0，则的值为 q[x]x,0f(x),,a13.表示不超过x的最大整数，若函数，当时，[x]f(x)xa有且仅有3个零点，则的取值范围为 .22xOyP(1,2)14.在平面直角坐标系中，已知圆O:xy，,16，点，M，N,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PMPN,,0为圆O上不同的两点，且满足(若，则的最PQPMPN,，PQ小值为二( 选择题(本题满分20分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分(x15.如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的zzAAC点是OyBDCA( B. C( D( ABDanlim,limaAbB,,16.“”是“”的 limnn存在,,,,nnn,,bnA.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件.x17.已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩yfx,()fxx()sin,,，R21倍(纵坐不变)，得到函数的图象，则关于有短为原来的gx()fxgx()(),2 下列命题，其中真命题的个数是?函数是奇函数; yfxgx,,()()?函数不是周期函数; yfxgx,,()()?函数yfxgx,,()()的图像关于点(π，0)中心对称;3?函数yfxgx,,()()的最大值为 3A.1B.2C.3D.4ABBC18.如图，、分别为棱长为1的正方体的棱、的中点，EF1111D GACDD点、分别为面对角线和棱上的动HC1GAB EFGH,点(包括端点)，则下列关于四面体的HD1C1 体积正确的是 F A1B 1E A此四面体体积既存在最大值，也存在最小值;B此四面体的体积为定值;C此四面体体积只存在最小值;D此四面体体积只存在最大值。
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：复数与框图
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：复数一、填空题1、（崇明县2016届高三二模）设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为2、（奉贤区2016届高三二模）若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b +=4、（静安区2016届高三二模）设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = .5、（闵行区2016届高三二模）若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为6、（浦东新区2016届高三二模）已知复数z 满足(1)2z i i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = .7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）若复数z 满足1,i i z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________．8、（杨浦区2016届高三二模）若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||z z i+的虚部为 9、（闸北区2016届高三二模）如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz ，则=||z __________．二、选择题1、（黄浦区2016届高三二模）若1m i z i+=-（,m R i ∈为虚数单位）在复平面上的点不可能是位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限三、解答题1、（闵行区2016届高三二模）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．程序框图1、（静安区2016届高三二模）算法流程图如图所示，则输出的k 值是程序框图答案1、5复数参考答案一、填空题1、3-2、03、34、3455i +5、2 67、1i - 8、－3 9 10、1二、选择题1、D三、解答题1、解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分 当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分 综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分。
2016-2017年高三二模数学(理)试题(带答案)
2016-2017年高三二模数学（理）试题（带答案）2016-2017学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科试卷使用时间：20161020 命题人：刘新风校对人：洪臣本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分10分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．．D．2若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为( )A．1 B．．D．3 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（）A单调递增B单调递减在上递增，在上递减D 在上递减，在上递增4已知命题p: ;命题q：，则下列命题中的真命题是( )A B D．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A（，0）B（0，）（，）D（，）6设，则（）A．B．．D．7已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是( ) A．B．．D．8．函数的部分图象大致为（）9．函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为( )A．B．．D．10在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成的一个“类”，记作，即，其中给出如下五个结论：①；②；③；④；⑤“整数属于同一“类””的充要条是“ ”。
其中，正确结论的个数是（）A．B．4 ．3 D．211已知是定义在上的偶函数，对于,都有,当时，，若在[-1,]上有五个根，则此五个根的和是（）A7 B8 10 D1212奇函数定义域是，，当＞0时，总有＞2 成立，则不等式＞0的解集为A．B．．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分．把答案填在题中横线上．13函数在点处切线的斜率为14由抛物线，直线＝0，＝2及轴围成的图形面积为1 点是边上的一点，则的长为_____．16已知函数则关于的不等式的解集为三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设、，，。
上海市17高三第二次模拟数学理试题分类汇编：数列有答案
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：数列一、填空、选择题1、(崇明县2016届高三二模)若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}na 各项的和为a ，则a 的值是 ．2、(奉贤区2016届高三二模)无穷等比数列首项为1，公比为()0q q >的等比数列前n 项和为n S ，则lim 2n n S →∞=， 则q =________．3、(虹口区2016届高三二模)在正项等比数列{}na中，132341,,3a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.4、(黄浦区2016届高三二模)已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1(,22,1,2,3,)k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为5、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}na的前n 项和n S 的最大值为.6、(闵行区2016届高三二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-(0a >)，则使得1n n a a +≤(n ∈*N 学科网)恒成立的a 的最大值为 .7、(浦东新区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-⋅+，*n N∈，则这个数列的前n 项和nS =___________． 8、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．9、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++的最大值为__________________．10、(杨浦区2016届高三二模)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }na 的前7项之和为 .11、(闸北区2016届高三二模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}na 的论断中正确的是( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列12、(长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模)已知各项均为正数的数列}{n a满足23n n =+L (*N ∈n )，则12231n a a a n +++=+L ___________． 13、(崇明县2016届高三二模)下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： (1)数列{}n a 是递增数列； (2)数列{}n n a 是递增数列；(3)数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列； (4)数列{}3n a nd +是递增数列． 其中的真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．314、(奉贤区2016届高三二模)若数列{}n a 前n 项`和nS 满足()2*1212,n n S S n n n N -+=+≥∈，且1ax =，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是_______．15、(浦东新区2016届高三二模)任意实数,a b ，定义00ab ab a b aab b≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，设函数2()log f x x x =⊗（）.数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()2f a f a f a f a f a a +++++=L ，则1a =_______．二、解答题1、(崇明县2016届高三二模)已知数列{}n a 与{}n b 满足11*(),n n n n a a b b n N λ++-=-∈．(1)若123,1,2n b n a λ=-==，求数列{}n a 的通项公式；(2)若111,2a b ==，且数列{}n b 是公比等于2的等比数列，求λ的值，使数列{}n a 也是等比数列；(3)若1*,,n na b n N λλ==∈，且(1,0)λ∈-，数列{}n a 有最大值M 与最小值m ，求M m的取值范围．2、(奉贤区2016届高三二模)数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .(1)求证：{}n n b a ⋅是常数列； (2)若{}na是递减数列，求1a 与1b 的关系； (3)设114,1a b ==，当2n ≥时，求n a 的取值范围.3、(虹口区2016届高三二模)设数列{}n a的前n 项和为,nS 且2(1)().n n n S a S n N *-=∈(1)求123S S S 、、的值，并求出nS 及数列{}n a 的通项公式；(2)设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列{}n b 的前n 项和.n T (3)设(1)(),n n c n a n N *=+⋅∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤试求M 的最小值.4、(黄浦区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中12,k k Z ∈；(1)试写出一组12,k k Z ∈的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数； (2)若11k =、*2k N ∈，数列{}n b 满足n n a b n=，且对任意*m N ∈(3)m ≠，均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值；(3)若120k k <<，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠*(,,)i j N i j ∈<的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求12,k k 的最小值；5、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足n n n a a 331+=-(*∈≥N n n ,2)，首项31=a ．(1)求数列{}na 的通项公式； (2)求数列{}na 的前n 项和n S ；(3)数列{}nb满足n a bn n3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若nT A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．6、(闵行区2016届高三二模)已知n ∈*N ，数列{}na、{}n b 满足:11n n a a +=+，112n n nb b a +=+，记24n n nc a b =-．(1)若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)证明：数列{}n c 是等差数列；(3)定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．7、(浦东新区2016届高三二模)数列{}n a 满足：112,2n n n a a a λ+==+⋅，且123,1,a a a +成等差数列，其中*n N ∈。
高考数学二模试题2016年高三二模客观题难题解析(上)
2016年高三二模客观题难题解析（上）——奉贤、三区（徐汇、金山、松江）、浦东、崇明、四区（青浦、嘉定、宝山、长宁）、虹口、黄浦一、【奉贤区】13（理）、在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的 点P 的个数 ； 解析：法一（枚举法）：一条棱一条棱的分别枚举，通过对称性可以找到一定的规律，满足条件的点应该在棱''C B ，''D C ，'CC ，'AA ，AB ，AD 上，各有一点，故满足条件一共有6个点；法二（定义法）：因为正方体的体对角线且2'=+PC PA ，所以点P 是以32=c ，以1=a 为长半轴，以21为短半轴的椭球上，因为P 在正方体的棱上，所以点P 应是椭圆与正方体的棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱''C B ，''D C ，'CC ，'AA ，AB ，AD 上，各有一点，故满足条件一共有6个点；14（理）、若数列{}n a 前n 项和n S 满足2121n n S S n -+=+（2n ≥，*n N ∈），且满足1a x =，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是 ；解析：由题意：2121n n S S n -+=+，根据公式法，做差得，142n n a a n ++=+，……①，退一步，即241-=+-n a a n n ，……②，再做差得：411=--+n n a a （3n ≥），故{}{}122,-k k a a 是从第二项起的分奇偶项的以4为公差的等差数列，若要满足{}n a 单调递增，则只需321a a a <<即可；所以分别计算出123,92,12a x a x a x ==-=+，代入计算即可，故答案为：()3,2∈x ；17（理）、设12,z z C ∈，221122240z z z z -+=，2||2z =，那么以1||z 为直径的圆的面积为（ ）A.π B. 4π C. 8π D. 16π解析：法一（复杂法）：221122240z z z z -+=，两边同除21z z ，可得：0421221=+-z zz z ，设t z z =21，则0422=+-z z ，设bi a z +=，则可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⇒+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++041241024422222222b a b b a a i i b a b b b a a a ， 解得：①⎩⎨⎧==02b a 舍去；②⎩⎨⎧±==31b a ，2121231z z z i z zz ==⇒±==⇒，1||z 4=，2=r ，故为B ； 法二（韦达法）：221122240z z z z -+=，两边同除21z z ，可得：0421221=+-z zz z ，设t z z =21，则0422=+-z z ，设方程两根为：43,z z ，根据韦达，424121243=⇒==⇒==z z z z z z z ，故选B ；18、方程935x x b ++=（b R ∈）有两个负实数解，则b 的取值范围为（ ） A. (3,5) B. ( 5.25,5)-- C. [ 5.25,5)-- D. 前三个都不正确解析：设t x =3，因为0<x ，故()1,0∈t ；根据数形结合，可作出2个函数图象：b t y +=和25t y -=，故b 的取值范围就卡在直线b t y --=过点()5,0和与抛物线相切时的2个临界值之间：故答案选B ；二、【徐汇区+金山区+松江区=三区合卷】13（理）14（文）定义在R 上的奇函数)(x f ，当0≥x 时，[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=,1,311,0),1(log )(21x x x x x f ，则关于x 的函数)10(,)()(＜＜a a x f x F -=的所有零点之和为 （结果用a 表示）。
2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．（5分）计算：＝．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为．10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝．11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…+＝．13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是．二、选择题15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）三、解答题19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BF0；（3）求面积△ABF的最大值．23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝（﹣2，1]．【解答】解：A＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}＝{x|x≥3或x≤1}，则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}，故答案为：（﹣2，1]．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝1．【解答】解：设z＝a+bi，则＝＝i，∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z＝﹣i，|z|＝1，故答案为：1．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．（5分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【解答】解：由题意可知：V＝，∴V＝π（y3﹣），＝．方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则V＝•π×12×2＝，故答案为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．【解答】解：∵sin2θ+sinθ＝0，⇒2sinθcosθ+sinθ＝0，⇒sinθ（2cosθ+1）＝0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1＝0，解得：cosθ＝﹣，∴tanθ＝﹣＝﹣，∴tan2θ＝＝．故答案为：．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是[﹣2，2]．【解答】解：当x≥0时，由f（x）＝2x﹣4＝0得x＝2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2＝4x．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1＝0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p＝2，从而得到抛物线C的方程为：y2＝4x．故答案为：y2＝4x．9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为（0，1），（，﹣2）．【解答】解：先求参数t得直线的普通方程为2x+y＝1，即y＝1﹣2x消去参数θ得曲线的普通方程为y2＝1+2x，将y＝1﹣2x代入y2＝1+2x，得（1﹣2x）2＝1+2x，即1﹣4x+4x2＝1+2x，则4x2＝6x，得x＝0或x＝，当x＝0时，y＝1，当x＝时，y＝1﹣2×＝1﹣3＝﹣2，即公共点到坐标为（0，1），（，﹣2）故答案为：（0，1），（，﹣2）10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝5．【解答】解：根据二项式定理，可得，根据题意，可得2n﹣2•∁n2＝2×2n﹣3•∁n3，解得n＝5，故答案为5．11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．【解答】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，SO⊥底面ABCD，SO＝AO＝，S△SAB＝S△SBC＝S△SCD＝S△SAD＝＝，S△ABD＝S△BCD＝S△ADC＝S△ABD＝＝2，S△SBD＝S△SAC＝＝2，∴ξ的可能取值为，P（ξ＝）＝，P（ξ＝2）＝，Eξ＝＝．故答案为：．12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…+＝2n2+6n．【解答】解：令n＝1，得＝4，∴a 1＝16．当n≥2时，++…+＝（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得＝（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝2n+2，∴a n＝4（n+1）2，n＝1时，a1适合a n．∴a n＝4（n+1）2，∴＝4n+4，∴++…+＝＝2n2+6n．故答案为2n2+6n13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．【解答】解：若甲全对，则乙的得分为54﹣3×10＝24，则此时乙做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若乙全对，则甲的得分为54﹣3×10＝24，则此时甲做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若甲做错了一道，则乙的得分为54﹣3×9＝27，则此时乙做对了9道题，即甲乙错的题目不是同一道题，故乙的得分为{24，27，30}，故答案为{24，27，30}．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是6+4．【解答】解：∵f（x）＝x﹣（x∈[1，2]），a＞0，∴A（1，1﹣a），B（2，2﹣）∴直线l的方程为y＝（1+）（x﹣1）+1﹣a设M（t，t﹣）∴N（t，（1+）（t﹣1）+1﹣a）∵|MN|≤1恒成立∴|（1+）（t﹣1）+1﹣a﹣（t﹣）|≤1恒成立∴|a|≤1∵g（t）＝t2﹣3t+2，在t∈[1，2]上小于等于0恒成立∴﹣a≤1①t＝1或t＝2时，0≤1恒成立．②t∈（1，2）时，a≤＝∴由基本不等式得：a≤＝4+6此时t＝∴a的最大值为6+4二、选择题15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若sin x＝0，则x＝kπ，k∈Z，此时cos x＝1或cos x＝﹣1，即充分性不成立，若cos x＝1，则x＝2kπ，k∈Z，此时sin x＝0，即必要性成立，故sin x＝0是cos x＝1的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA＝OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则0＜x1＜1，1＜x1＜3，则log3x1＝﹣log3x2，即log3x1+log3x2＝log3x1x2＝0，则x1x2＝1，同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），∵x3，x4关于x＝9对称，∴＝9，则x3+x4＝18，则x4＝18﹣x3，则x1x2x3x4＝x3x4＝x3（18﹣x3）＝﹣x32+18x3＝﹣（x3﹣9）2+81，∵x3∈（3，6），∴x3x4∈（45，72），即x1x2x3x4∈（45，72），故选：B．三、解答题19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥BC，∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1．解：（2）以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），由（1）得＝（0，2，0）是平面ACC1A1的一个法向量，＝（0，2，2），＝（2，0，1），设平面B1CD的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣2），设二面角B1﹣CD﹣C1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，由图形知二面角B1﹣CD﹣C1的大小是锐角，∴二面角B1﹣CD﹣C1的大小为arccos．20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．【解答】解：（1）f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1＝＝．∵T＝，∴ω＝2．则f（x）＝2sin（2x）﹣1；（2）由f（B）＝＝0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B＝．而＝ac•cos B＝，∴ac＝3．又a+c＝4，∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝16﹣2×3＝10．∴b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝7．则b＝．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝＝1﹣，则f（x）在[﹣，]上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；故﹣1≤f（x）≤；故|f（x）|≤1；故f（x）是有界函数；故f（x）上所有上界的值的集合为[1，+∞）；（2）∵函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；即﹣3≤g（x）≤3，∴﹣3≤1+2x+a•4x≤3，∴﹣﹣≤a≤﹣；令t＝，则t∈[，1]；故﹣4t2﹣t≤a≤2t2﹣t在[，1]上恒成立；故（﹣4t2﹣t）max≤a≤（2t2﹣t）min，t∈[，1]；即﹣≤a≤﹣；故实数a的取值范围为[﹣，﹣]．22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BF0；（3）求面积△ABF的最大值．【解答】解：（1）联立，得（3k2+4）x2﹣24kx+36＝0，∵直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，∴△＝144（k2﹣4）＞0，即k＞2或k ＜﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵，∴x2＝2x1，代入上式，解得k＝．证明：（2）由图形得要证明∠AFP＝∠BFO，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补，即等价于k AF+k BF＝0，k AF+k BF＝+＝＝2k﹣3（）＝2k﹣＝2k﹣2k＝0，∴∠AFP＝∠BFO．解：（3）∵k＞2或k＜﹣2，∴S△ABF＝S△PBF﹣S△P AF＝＝＝．令t＝，则t＞0，3k2+4＝3t2+16，∴S△ABF＝＝＝≤＝，当且仅当3t＝，即t2＝，k＝取等号，∴△ABF面积的最大值为．23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2b n＝a n+a n+1①，a n+12＝b n•b n+1②．由②得③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差数列．（4分）（Ⅱ）设数列的公差为d，由a1＝10，a2＝15．经计算，得．∴．∴．∴，．（9分）（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化为．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a﹣1＝0，即a＝1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）＝4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．综上，a≤1．（14分）。
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上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为cm 2．2、（奉贤区2016届高三二模）在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323， 则球O 的表面积为__________4、（黄浦区2016届高三二模）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右上图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V =5、（静安区2016届高三二模）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长为，侧面积为 2，则它的体积为 .6、（闵行区2016届高三二模）若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.7、（浦东新区2016届高三二模）已知四面体ABCD 中，2==CD AB ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =________． 8、（普陀区2016届高三二模）若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a //9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C（D ）10、（杨浦区2016届高三二模）已知命题：“若a ,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a ,b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a ,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a ,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条 11、（闸北区2016届高三二模）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==BC =O 的表面积等于（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．π12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）下列命题正确的是（ ）． （A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ； （B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α； （C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π； （D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .13、（闵行区2016届高三二模）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线14、（浦东新区2016届高三二模）给出下列命题，其中正确的命题为( ) （A ）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；（B ）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；Q A DCBP （第20题图）（C ）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （D ）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直. 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 的中点． （1）求证：11EF B D ∥； （2）求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数值表示）．2、（奉贤区2016届高三二模）面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE ，多面体B PADE -(1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由；（2）求面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小．3、（虹口区2016届高三二模）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ， 且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离；(2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.AC BC 1A 1B 1（第19题图）D 1 DFEADB CPE4、（黄浦区2016届高三二模）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分两钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳面的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）；5、（静安区2016届高三二模）设点,E F 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点．如图，以C 为坐标原点，射线CD 、CB 、1CC 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量1D E 与1C F的数量积；（2）若点,M N 分别是线段1D E 与线段1C F 上的点，问是否存在直线MN ，MN ⊥平面ABCD ？若存在，求点,M N 的坐标；若不存在，请说明理由1D6、（闵行区2016届高三二模）如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=．（1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -的体积为6．7、（浦东新区2016届高三二模）如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆O 的直径，点C 为»AB 的中点，SO AB =.（1）证明：AB ⊥平面SOC ；（2）若点D 为母线SC 的中点，求AD 与平面SOC 所成的角.（结果用反三角函数表示）8、（普陀区2016届高三二模）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）D .A 1CEABCD B 19、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．10、（杨浦区2016届高三二模）如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点. (1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.11、（闸北区2016届高三二模）在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动．（1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．1A 1B 1CA BC12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角 函数值表示）．参考答案一、填空、选择题1、12π2、23、64π 45、4106、37、1 或38、C9、D 10、D 11、A 12、D 13、B 14、D二、解答题1、可得有关点的坐标为 11111(0,0,1),(1,1,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,1)22D BEF C 11(,,0)22EF =-- ，11(1,1,0)B D =-- (4)所以112B D EF =...............................5分所以11EF B D ∥...............................6分（2）设1(,,)n u v w =是平面1C EF 的一个法向量. 因为111,n EF n FC ⊥⊥所以1111110,0222n EF u v n FC v w ⋅=--=⋅=+= 解得,2u v v w =-=- .取1w = ，得1(2,2,1)n =-.............................9分因为1DD ABCD ⊥平面，所以平面ABCD 的一个法向量是2(0,0,1)n =.........10分 设1n 与2n 的夹角为α ，则12121cos 3||||n n n n α⋅==⋅.......................11分AB C A 1B 1C 1D结合图形，可判别得二面角1C EF A --是钝角，其大小为1arccos3π- ........12分 2、(1)根据条件知:PE 与AD 交点恰好是C 1分 ,C PE C ∈∴∈面PBE ,,C AC C ∈∴∈面ABC 2分B ∈面PBE ,B ∈面ABC 3分 面PBE 与面ABC 的交线BC 5分 (2)(理) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()1132PA DE AD BA ⨯+⨯⨯= 9分BA ∴=10分建立空间直角坐标系,设平面的法向量是()1,,n x y zB ⎫⎪⎪⎝⎭ ，()0,2,0C ()0,1,0D ()0,1,1E2BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1203n BP x z ⋅=-+=103n BE x y z ⋅=-++=)1n ∴=11分面ABC 的法向量()20,0,1n =1212cos n n n n θ⋅==⋅ = 12分 所以面PBE 与面ABC 所成的锐二面角大小 13分 注：若作出二面角得2分，计算再3分(2)(文) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分 多面体B PADE -的体积是()11323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯= 9分 3BA ∴=10分 连接AEAE 是BE 在面EDAP 的射影BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角． 11分计算AE tan 3BAE ∠== 12分ADBCPE（第20题解答图）BEA ∠是BE 与面PADE所成的线面角 ． 13分3、（理）解：(1)以},,{为正交基底建立空间 直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =由(2,1,0),DC =- (0,2,2),DP =- (0,2,0).DA =-则202,2.220n DC x y y x z x n DPy z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n =. ……5分所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d n×-?=== ……7分 (2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==且(1,1,1).CQ=-- 设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z = 则00000000200,.0n AD y y z x n AQ x z ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî 令01x =，则0(1,0,1)n =-. ……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则000sin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===故直线CQ 与平面ADQ所成角的大小为arc ……14分 注：第（1）小题也可用等积法来做.4、[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得AO =4分） 在直角三角形PAO中，18OP =，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分）三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分）5、（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为11(2,0,2),(1,2,0),(1,2,2)D E D E =--…………2分PA BCD11(0,0,2),(2,2,1),(2,2,1)C F C F =-…………4分所以111222(2)(1)4D E C F ⋅=-⨯+⨯+-⨯-=。