苏教版高中数学必修四向量的概念及表示教案(3)

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高中数学向量的概念及表示苏教版必修四

向量的概念及表示【教学目标】一、知识与技能1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念二、过程与方法（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。

（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.三、情感、态度与价值观（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。

（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量的概念；2．向量的几何表示【教学过程】问题情境：问题1、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。

问题2、上述的物理量中有什么区别吗？讲解新课：一、概念辨析（1）向量的定义：（2）向量的表示：（3）向量的大小及表示（4）零向量：（5）单位向量：二、关系探究问题3：在平行四边形ABCD 中，向量与，与DC 有什么关系？向量的关系（1）平行向量（2）相等向量（3）相反向量说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a ；（2）零向量与零向量相等，记作00 ；（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

问题4：1.向量能否平移？2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？例题分析：例1．已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，如图（1），所标出的向量中：（1）试找出与FE FE（2）确定与FE 相等的向量；（3）OA 与BC 向量相等么？课时小结 1）。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.1.1 向量的概念及表示》0

向量的概念及表示教学设计江阴市祝塘中学张玉教学目标: 1了解向量的实际背景,会用字母表示向量，理解向量的几何意义2理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念重难点:向量概念、相等向量概念、向量几何表示、向量概念的理解教学过程：一【情境设置】问1：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去猫能否追到老鼠？问2：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向西北追去猫能否追到老鼠？问3：猫能否追到老鼠，涉及哪些要素？设计意图：通过3个问题让学生去发现向量的概念，从而引出向量的概念。

二【数学建构】1.向量的概念：注意：数量与向量的区别：设计意图：对向量概念的阐述，通过与数量的比照更进一步向量所需的条件。

2.向量的表示：几何表示：字母表示：设计意图：从两个角度表示向量，为以后的学习打好根底。

3.向量的模：记作：两个特殊向量：设计意图：通过观察发现向量的大小，从而引出向量的模，再从向量的长度上对零向量和单位向量进行说明。

4.向量之间的根本关系：（1）平行向量的定义：思考：吗？（2）相等向量：（3）相反向量：注意：共线向量与平行向量设计意图：通过观察发现向量的方向，引出平行向量，从而引出相等向量、相反向量以及共线向量。

三【数学运用】例1：判断以下说法是否正确或给出问题的答案：〔1〕平行向量的方向一定相同．〔2〕不相等的向量一定不平行．〔3〕与零向量相等的向量是什么向量？〔4〕存在与任何向量都平行的向量吗？〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？〔6〕共线向量一定在同一直线上．设计意图：通过判断正确与否对概念进一步的加深。

例2：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中与向量OA相等的向量。

设计意图：结合图形解决相关问题，加深对一些常见概念的理解。

例3：在4×5方格纸中有一个向量,以图中的格点为起点和终点作向量其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？设计意图：考查学生对知识理解的深度和广度，考察学生对解题的实际能力。

苏教版数学高一苏教版必修4教学设计 2.1向量的概念及表示

教学设计2.1向量的概念及表示整体设计教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪，多媒体课件．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.如图1，图1在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫在B 处向正东方向的D 处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课．思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入新课也是一个不错的选择．推进新课新知探究1．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．向量的表示方法(1)字母表示法：如a 、b 、AB →等．(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．3．零向量长度为零的向量，记为0，其方向是任意的．4．单位向量模为1个单位长度的向量．5．平行向量方向相同或方向相反的非零向量，也叫做共线向量.规定：0与任一非零向量平行．a 与b 平行，记作a ∥b .6．相等向量长度相等且方向相同的向量，记作a ＝b .7．相反向量长度相等且方向相反的向量．在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象出这些具有共同特征的量呢？教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．教师再次指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论向量的表示方法、向量的长度、零向量，单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．特别是有向线段，是学习向量的关键．但不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，图2在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点、B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，起点要写在终点的前面．已知AB →，线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就惟一确定了．用有向线段表示向量的方法是：①起点是A ，终点是B 的有向线段，对应的向量记作：AB →.这里要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．②用字母a ，b ，c ，…表示．(一定要让学生规范书写：印刷用黑体a ，书写用 a →)③向量AB →(或a )的大小，就是向量AB →(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，所以像a ＞b 就没有意义，而|a |>|b |有意义．注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．对于有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫相等向量．对于平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，第二，我们规定0与任一向量平行即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .如图3.图3又如图4，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．图4这里一定要特别注意平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小．本章学习的向量都是平面内的自由向量，它们仅由方向和大小确定而与起点的位置无关．应用示例例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1) ABCD 中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．活动：教师引导学生画出平行四边形，如图5.图5因为AB ∥CD ，所以AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好．例2见课本本节例1.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确：向量相等不仅大小相等，还要方向相同．对于相反向量，我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量(opposite vectors)，记作－a ，a 与－a 互为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－(－a )＝a .例3见课本本节例2.图6在以图中的点为端点的所有向量中，与AG →平行的向量有哪些？其中单位向量有哪些？例4下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确．对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从反面入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑，即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意这两方面的结合.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量的描述，向量的两种表示，即对向量的手写要标上箭头，图示要标上箭头和起点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．教师简要总结：本节课我们从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AE ∶ED ＝BF ∶FC ＝AB ∶DC ，O 是AC 与BD的交点，求证：EO →＝OF →.图7证明：∵AB ∥CD ，∴AO ∶OC ＝BO ∶OD ＝AB ∶CD.又AE ∶ED ＝BF ∶FC ＝AB ∶DC ，∴AE ∶ED ＝AO ∶OC.∴EO ∥DC.同理，OF ∥DC ，∴E ，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC. ∴EO ＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，显然属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，但也是难点．本教案设计的指导思想是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了不少，应该有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节具体问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养学生严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．备课资料备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量…() A ．都相等 B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图8所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，则其中共线向量有…( )图8A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．如图9所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图9A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →4．如图10所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图10(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．5．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．如图11，O 为正方形ABCD 的中心．图11(1)AB →与CD →是相等向量吗？(2)AO →与AC →是平行向量吗？(3)AD →的长度与AC →的长度之比为________．7．如图12，有四个全等的相邻正方形，从中找出与GF →相等的向量．图128.(1)如果非零向量a 、b 平行，非零向量b 、c 也平行，则a 、c 是否平行？(2)如果非零向量a 、b 共线，非零向量a 、c 也共线，则向量a 、b 是否共线？参考答案：1．D 2.C 3.D4．(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →(因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC)．(2)向量EC →的模等于6.5．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．6．(1)不是 (2)是 (3)1∶ 2评注：弄清平行向量及表示方法，能正确地解决有关相等向量和向量模的问题．7．解：与GF →相等的向量有CG →，MH →，NE →.评注：成为相等向量的条件是方向相同和长度相等．8．解：(1)(2)符合任一组平行向量都可移到同一直线上及它们的位置关系与表示它们的有向线段的起点无关．所以(1)是平行，(2)是共线．(设计者：郑吉星)。

苏教版高中数学必修4教学案：第二章平面向量第1课时向量的概念及表示

第1课时向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________（4）平行向量：________________________________（5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；b c，则a和c是方向相同的向量；（4）向量a和b是共线向量，//（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中：（1）试找出与EF 共线的向量；（2）确定与EF 相等的向量；（3）OA 与BC 相等吗？例3.如图所示的为34⨯的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量AB 相等的向量共有几个？与向量AB向量共有几个？与向量AB的方向相同且模为【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB CD =；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________3.四边形ABCD 中，1,||||2AB DC AD BC ==，则四边形ABCD 的形状是_________4.设0a ，则与a 方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.1.1 向量的概念及表示》

平面向量的坐标创新整合点1、平面向量得坐标表示由平面向量基本定理知任一向量可以用不共线的两个向量表示，借助白板课件可以将分解的图形展示的非常形象，在课件中用图像可以将分解的情况展示给学生。

本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可，然后通过相关问题让学生感悟提高。

2、平面向量的坐标运算先与学生共同推出运算法则，然后通过练习强化最后通过学生独立思考,让学生充分动手,动脑,动眼；再通过生生合作和师生合作达到掌握本节课的教学目的。

教学目标：知识与技能目标：正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；情感态度与价值观目标：借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力．教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

特别地，当基底相互垂直时，称为正交分解。

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．设计意图：借助白板的投影功能和拉幕功能展现向量分解的几何意义。

二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？实际操作：如图，在直角坐标系内分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底分解向量a ：设计意图：利用白板的书写和平移图像的功能让学生彻底掌握分解向量的相关思维方法，完成学生自我探究，学生与学生交流合作的功能。

2019-2020学年苏教版必修4 2.1 向量的概念及表示学案

2．1向量的概念及表示1.理解平面向量的基本概念和几何表示．2.掌握相等向量、共线向量和相反向量的定义．1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小，又有方向的量． (2)有向线段①定义：带有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A 为起点、B 为终点的有向线段记为AB →.④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量(又称共线向量)．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .(3)相反向量：把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ，其中a 与－a 互为相反向量，并规定零向量的相反向量仍是零向量，对任一向量a 都有－(－a )＝a .1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大小相等的两个向量是共线向量．( ) (2)向量的模是一个正实数．( )解析：(1)错误．方向相同或相反的非零向量才是共线向量． (2)错误．零向量的模是零，不是正实数．答案：(1)× (2)×2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D3．下列说法正确的序号是________． ①两个单位向量一定相等；②若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③共线的单位向量必相等；④两个相等的向量起点、方向、长度都必须相同．解析：因为零向量与任意向量都共线，又因为a 与b 不共线，所以a 与b 都是非零向量．答案：②4．与非零向量a 平行的单位向量的个数是________．解析：与非零向量a 平行的单位向量只有与a 方向相同和方向相反的两个向量．答案：2向量的有关概念如图，O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心．根据图中标出的向量，回答下列问题：(1)AO →与AF →的长度相等吗？它们是相等向量吗？(2)AB →与DE →的长度相等吗？它们平行吗？它们是相等向量吗？【解】 (1)AO →与AF →的长度相等，都是1，即|AO →|＝|AF →|，但AO →与AF →不是相等向量．(2)|AB →|＝|DE →|，且AB →∥DE →，但AB →与DE →不是相等向量，因为AB →与DE →的方向相反．对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量、共线向量与平行向量之间的区别和联系．(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．(2)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．1.判断下列各命题是否正确．(1)因为|AB →|＝|BA →|，所以AB →＝BA →； (2)因为a ＝b ，b ＝c ，所以a ＝c ；(3)因为AB →＝DC →，所以AB →与DC →是共线向量，即A 、B 、C 、D 四点共线； (4)因为|0|＝0，所以0＝0.解：(1)不正确.AB →表示以A 为起点，B 为终点，方向从A 指向B ；BA →表示以B 为起点，A 为终点，方向从B 指向A ；虽然|AB →|＝|BA →|，但AB →与BA →的方向不同．(2)正确．相等向量是大小相等，方向相同的向量，显然由a ＝b ，b ＝c 可知，a 、c 都与b 大小相等，方向相同．(3)不正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量中AB →与DC →所在的直线不一定共线，也可能平行．(4)不正确．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向，故0≠0.向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|. 【解】 (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线．(2)由题意，易知AB又|AB→|＝|CD→|，所以在四边形ABCD中，AB═∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．所以AD→＝BC→，|AD→|＝|BC→|＝200 km.用有向线段表示向量的步骤(1)运用向量观点将实际问题抽象转化成数学模型．(2)确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 的正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)求出|AB →|的值．解：取每个方格的单位长度为1，依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|AB→|＝|OB→|2－|OA→|2＝3.相等向量与共线向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →， OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．3.如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与DO →，CO →相等的向量； (2)与DO →共线的向量；(3)与AO →模相等的向量．解：(1)DO →＝CF →，CO →＝DE →. (2)与DO →共线的向量为CF →，BO →，AE →.(3)与AO →模相等的向量有：DO →，CO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.1．向量与数量的区别和联系(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量；(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．同一直线上的向量也是平行向量．4．与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中的正确命题有________个．【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．【答案】 1(1)解答本题误认为|a|与|a|是同一问题，把向量的模按实数的绝对值来处理．(2)注意实数和向量的区别，不能简单地将实数中的性质直接迁移到向量中．1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．关于零向量，下列说法中错误的是________． ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的模都相等； ④零向量的方向是任意的．解析：零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的．答案：①4.如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则 (1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →. (3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.[学生用书P101(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D ．根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D ．A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B ．因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．4．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B ．①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．5.如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形． (1)写出与BC →相等的向量：________； (2)写出与BC →共线的向量：________．解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：(1)FE →、AD → (2)FE →、AD →、EF →、DA →、CB →6.如图所示，O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．解析：因为正方形的对角线互相平分，所以AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．答案：①②③7.已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，所以m ＝0. 答案：08.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a .(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．9．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．解：如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．[B 能力提升]1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．解析：因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.答案：BA →，CD →2．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：123．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.证明：如图所示，连结AC ．在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ＝12AC ，EF ∥AC ，同理HG ＝12AC ，HG ∥AC ．所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.4．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

苏教版高中数学必修四向量的应用教案(3)

《向量的应用》教学设计一、教材分析向量概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程。

向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，向量在物理中的应用，是培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，向量在物理中的应用既是一个物理问题又是一个数学问题，所以在教学中，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理中量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。

本节课是苏教版必修4第2章平面向量中第5节向量的应用，通过本节课的学习，学生将进一步深化用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。

二、学情分析本节课的授课对象为单招预科班学生，对于职高学生的数学基础及学习特点，为了激发学生学习兴趣并考虑学生的最近发展区针对单招预科班学生创设拔河比赛等问题情景。

学生已学习平面向量的相关内容,初步建立了向量的数学模型和物理模型。

教学中尽可能提供学生动手实践的机会,利用信息技术工具,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；应创设情境,提高学生学习兴趣,发挥主观能动性。

此外,学生总结归纳的能力还不够, 需要教师适当的引导和帮助。

三、教学目标知识与技能：1. 学会如何把生活中的问题提炼出数学信息，并加工成数学语言，并用向量知识解决物理问题，.体会向量是一种数学工具2. 掌握用向量知识解决代数问题与几何问题的互相转换和强化数形结合的数学思想方法．3.揭示知识背景，强化学生的参与意识；加强数学结合能力，发展运算能力和解决实际问题的能力.4.初步会用多媒体技术——几何画板作图工具处理数学问题。

向量的概念及表示学案高中数学必修四苏教版 Word版

2.1 向量的概念及表示1．向量的概念及其表示 (1)向量的定义既有大小又有方向的量称为向量． (2)向量的表示方法(3)向量的长度(模)向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. 预习交流1有向线段是向量吗？提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式． 2．特殊向量及其表示(1)零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(1)相等向量一定是共线向量吗？提示：是．由共线向量与相等向量的概念知，共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(2)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必共线，正确吗？提示：不正确．共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线平行，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线．一、向量的有关概念判断下列命题的正误： (1)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(3)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之，若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点必能组成平行四边形．思路分析：解答有关向量概念的题目，其关键是理解向量的大小和方向及向量的相关概念．解：(1)正确，相等向量具有传递性；(2)不正确，若b ＝0，则不共线的向量a ，c 也有a ∥0，0∥c ；(3)不正确，结合平行四边形的定义可知：四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之不成立，因为A ，B ，C ，D 四点可能共线．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a 与b 共线的是__________(填序号)．答案：①③④解析：根据相等向量一定是共线向量知①正确； |a |＝|b |但方向可以任意， ∴②不正确；a 与b 反向必平行或重合， ∴③正确；由|a |＝0或|b |＝0，得a ＝0或b ＝0.根据0与任何向量共线，得④正确；两单位向量的模相等但方向不一定相同， ∴⑤不正确．(1)向量是数与形的完美结合体，因此在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．(2)相等向量具有传递性，但共线(平行)向量不具有传递性．(3)注意向量与数量的区别，两者最大的差异在于前者具有方向性．后者可以比较大小，但向量一般不比较大小．二、向量的表示方法在一次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东突进100 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求出|AD →|.思路分析：作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，可建立平面直角坐标系，在坐标系中作图求解．解：(1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →. ∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.在如图的方格纸中，按要求画出向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应各题的向量如图所示．向量的画法及表示方法(1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)向量的表示方法：向量的表示方法有几何表示和字母表示．用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示便于向量的运算．三、共线向量与相等向量如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量；(3)若|AB →|＝3，求向量DE →的模．思路分析：本题可依据相等向量与共线向量的定义求解．寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量．解：(1)与向量AB →相等的向量是ED →，DC →；(2)与向量AB →共线的向量是DE →，DC →，CE →，BA →，ED →，CD →，EC →；(3)∵D E →＝－A B →，且|AB →|＝3， ∴|DE →|＝|AB →|＝3.如图所示，四边形ABCD 为平行四边形．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)分别写出与OA →共线，与AB →共线的向量．解：(1)3个，分别是OC →，CO →，AO →. (2)OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →.与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.(1)注意相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．(2)用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到．1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④加速度；⑤路程；⑥力；⑦密度；⑧功．其中不是向量的是__________(填序号)．答案：①⑤⑦⑧解析：利用向量的定义判断．2．下列说法错误的是__________(填序号)．①向量AB →与BA →模相等；②两个相等向量若起点相同，则终点必相同； ③只有零向量的模等于0； ④零向量没有方向．答案：④解析：零向量的方向是任意的．3．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝__________.答案：0解析：由两向量相等可得．4．下图中，小正方形的边长为1，则|AB →|＝__________； |CD →|＝__________； |EF →|＝__________.答案：32 26 2 2解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32；|CD →|＝26；|EF →|＝2 2.5．在下图的坐标纸上，按要求画出向量(每个小方格的边长为1)．(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； (3)BC →，使|BC →|＝32，点C 在点B 南偏东45°方向．解：如图所示．。

苏教版高中数学必修四学案向量的概念及表示学案

一、学习目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）； 2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长； 3．注意向量的特点：可以平行移动二、学习重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念； 2．向量的几何表示三、学习过程：问题1、湖面上有三个景点O,A,B ，一游艇将游客从景点O 送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O 到景点A 有一个位移，从景点A 到景点B 也有一个位移。

思考：1、位移和距离有何区别？2、生活中还有哪些量既有大小又有方向？问题2.⑴向量的定义：______________________________ ⑵向量的表示： ①_________________________ ②_________________________⑶向量的大小：______________（或称模）：线段AB 的长度叫向量AB u u u r的长度，记作____________．⑷两种特殊向量：① 叫零向量，记为，方向是任意的 ②长度为１个单位的向量叫单位向量⑸两种特殊关系：①平行向量: 方向相同或相反的非零向量.记作： b a // ②相等向量：长度相等方向相同的向量.记作：b a问题3了解了向量的概念，下面让我们来继续探究： ⑴所有的单位向量都相等吗？⑵向量平行是否具有传递性？⑶平行向量就是向量所在直线平行吗？(4)相反向量？四）数学应用： 123O ABCDEF FE FE OA BC u u u ru u u ru u u r u u u r 例1：已知为正六边形的中心，在图中所标出的向量中：（）试找出与共线的向量；（）确定与相等的向量；（）与相等吗？例2.在54例3、一人从O 点出发向西走了100米，到达A 点，然后改变方向向西北方向走了200米到达B 点，然后又改变方向向东走了100米到达C 点，（1）作出向量AB 、BC 、CO （2四、巩固练习（1）下列各量中是向量的是（）A ．时间B ．速度C ．面积 D. 长度AA（2）等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF过点P 且EF//AB ，则下列等式正确的是（）A ．BC AD =B ．BD AC = C ．PF PE =D ． PF EP = ⑶下列说法正确的是 ( )A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B)C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量 ⑷ 如图是单位正方形组成的网络，则：=||PQ⑸下列说法正确的是 ( )A 、方向相同或相反的向量是平行向量B 、零向量是0C 、长度相等的向量叫做相等向量D 、共线向量是在一条直线上的向量E 、向量就是有向线段⑹已知a 、b 是任意两个向量,下列条件: ①b a =a 与b 的方向相反；④0=a 或0=b ；⑤a 与b 都是单位向量。

高中数学 2.1 向量的概念及表示教案苏教版必修4

2．1向量的概念及表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km ，行驶速度的大小为120 km/h ，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的． 2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示． 1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量． 2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →. 向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念判断下列各说法是否正确： (1)单位向量一定相等；(2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合；(4)若向量a 与b 同向，且|a|>|b|，则a>b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.【思路探究】从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的． (5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)． 2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号) 【解析】方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达点B ，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D. (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a|＝|b|，则a ＝±b；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形．【错解】以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等．(3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线． (4)由|a|＝|b|，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a|＝0，则a ＝0； ②若|a|＝|b|，则a ＝b ； ③向量AB →与向量BA →是相反向量；④若a ∥b ，则a ＝b.【解析】 ①不正确，若|a|＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．(2013·江油高一检测)若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确．【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a|＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°； (2)|a|＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a ∥b ；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b.其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a|是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a|＞0. 只有③正确．【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a|＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a|＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →，又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°. 【答案】南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a|＝|b|两向量方向不确定；④|a|＝0或|b|＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．(2013·常州高一检测)如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形．又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形．【答案】矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO→与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－8 10．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.(教师用书独具)如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN 綊MA.【思路探究】要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形， ∴AN ，MC 平行且相等， ∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。

苏教版高中数学必修四向量的坐标表示三教案

第 8 课时：§2.3.2 向量的坐标表示（三）【三维目标】：一、知识与技能1.理解向量共线的坐标表示2.理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算，会根据向量的坐标，判断向量是否共线3.能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。

二、过程与方法教材利用平面向量线性运算的坐标表示得到向量平行的坐标表示；让学生经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.三、情感、态度与价值观通过用坐标表示平面向量共线的条件，体会数形结合的思想。

【教学重点与难点】：重点：向量平行的充要条件的坐标表示；难点：应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．已知(3,2)a =r ，(0,1)b =-r，求24a b -+r r ，43a b +r r 的坐标；2．已知点(1,1)A ，(1,5)B -及21=−→−AC −→−AB ，=−→−AD 2−→−AB ，21-=−→−AE −→−AB ，求点C 、D 、E的坐标。

归纳：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则−→−AB 2121(,)x x y y =--；（2）11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，则1212(,)a b x x y y +=++r r，1212(,)a b x x y y -=--r r ，11(,)a x y λλλ=r；3．向量a r 与非零向量b r 平行的充要条件是：(,0)a b R b λλ=∈≠r r r r.4.向量共线定理：________ 二、研探新知1.共线向量的充要条件: [展示投影]思考与交流：【思考】：共线向量的条件是有且只有一个实数．．．．．．．．λ使得．．b ρ=．λa ρ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？设a r ),,(11y x =b r ),(22y x =其中b r ≠0r ,由a r λ=b r 得),(),(2211y x y x λ=⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ：01221=-y x y x ，∵b r ≠0r,∴22,y x 中至少有一个不为0【归纳】：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：a r ∥b ρ (b ρ≠0r )12210a b x y x y λ⎧=⎪⇔⎨-=⎪⎩r r【注意】：①消去λ时不能两式相除,∵21,y y 有可能为0.∵b ρ≠0r,∴22,y x 中至少有一个不为②这个条件不能写成2211x y x y =,∵21,x x 有可能为0. ③向量共线的两种判定方法：a r ∥b r (b ρ≠0r )⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇔→→1221y x y x b a λ 即：若存在两个不全为0的实数μλ,使得λa r +μb r =0r ，那么a r 与b ρ为共线向量，零向量与任意向量共线 2.轴上基向量（1）与向量a r 同方向的a r 的单位向量为||→→→=a ae（2）数轴上的基向量→e 的概念（3）轴上向量的坐标：轴上向量a r ，一定存在一个实数x ，使得a r x =→e ，那么x 称为向量a r 的坐标。

苏教版高中数学必修四向量的线性运算教案(3)

第 5 课时：§2.2.3 向量的线性运算（四）【三维目标】：一、知识与技能1.理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题。

2.理解两个向量共线（平行）的充要条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；3.通过练习使学生对两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，初步学会用向量的方法解决一些简单的几何问题和实际应用问题二、过程与方法通过对两个向量共线（平行）充要条件的探索，对平面向量的基本定理有更深刻的理解，为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：理解两个向量共线（平行）的充要条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；难点：对两个向量共线（平行）的充要条件的理解.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题向量数乘的含义及向量数乘的运算律；二、研探新知【探索】：（师生共同分析向量共线的充要条件）对于向量a r （a r ≠0r ）、b r ，① 如果有一个实数，使得b r λ=a r ，那么a r 与b r 共线吗？② 如果a r 与b r 共线，是否存在一个实数λ，使b r λ=a r ？答案：若有向量a r (a r ≠0r )、b ρ，实数λ，使b ρ=λa r ，则由实数与向量积的定义知：a r 与b ρ为共线向量若a r 与b ρ共线(a r ≠0r )且|b ρ|:|a r |=μ，则当a r 与b ρ同向时b ρ=μa r ；当a r 与b ρ反向时b ρ=-μa r从而得：向量b ρ与非零向量a r 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数．．．．．．．．．．λ，使b ρ=λa r .定理：向量a r (a r ≠0r )与b ρ共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ρ=λa r ．【思考】：为什么要求a ρ是非零的？（若a r =0r ，则a r ,b ρ总共线，而b ρ≠0r 时，则不存在实数λ，使b ρ=λa r 成立；而b ρ=a r =0r 时，不管λ取什么值，b ρ=λa r 总成立，λ不唯一）三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（教材64P 例3）如图2-2-10，E D ,分别为ABC ∆的边AB和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示。