数学物理方程 课件-第1章
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第一章 数学物理中的偏微分方程
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
14
物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
数学物理方法第一章
N y Z平面 o ξ z x
图1.2 两复平面点对应关系
10
数学物理方法
§1.2 复变函数 为简单，这里不作严格定义。简单说，复变函数 就是以复数z为自变量的函数。
f z u ( x , y ) i ( x , y )
（ 式中 u ( x , y ) 和 x , y） 是x，y的实函数。我们讨论 的并不是普遍的复变函数，而是后面我们要讨论 的解析函数。如果对于z的每一个值，ω各取一个 值，则称ω为单值函数，否则为多值函数。
i
n
z
n
e
i
0 2 k
n
( k 0,1, 2, , n 1)
8
数学物理方法
例1.3 计算下列数值（a、b为实常数） （1）
a ib
；（2）3 i ；（3） i i
解：（见document 1.3）
9
数学物理方法
4、无穷远点 复平面上模为无穷大的点称为无穷远点。如图2， 复平面z上的点与任意半径球面上的点（除原点北 极外）一一对应，因此复平面上的无穷远对应球 面（复球面）上的顶点（北极点），亦即复平面 上无穷远点就一个。
20
数学物理方法
解析函数所代表的变换的保角性，是有条件的， 这就是只在f′(z) 0处才一定有保角性。在f′(z) = 0 的点，由于argf′(z)没有确定值，因而变换可能保 角也可能不保角。巧妙利用变换在f′(z) = 0处的不 保角性，可以把z平面上的复杂图形变换为ω平面 上的简单图形。
21
数学物理方法
调和函数 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 解析函数的实部u(x, y)和虚部(x, y)满足C-R条件， 两式分别对x和y求导： x y y x
图1.2 两复平面点对应关系
10
数学物理方法
§1.2 复变函数 为简单，这里不作严格定义。简单说，复变函数 就是以复数z为自变量的函数。
f z u ( x , y ) i ( x , y )
（ 式中 u ( x , y ) 和 x , y） 是x，y的实函数。我们讨论 的并不是普遍的复变函数，而是后面我们要讨论 的解析函数。如果对于z的每一个值，ω各取一个 值，则称ω为单值函数，否则为多值函数。
i
n
z
n
e
i
0 2 k
n
( k 0,1, 2, , n 1)
8
数学物理方法
例1.3 计算下列数值（a、b为实常数） （1）
a ib
；（2）3 i ；（3） i i
解：（见document 1.3）
9
数学物理方法
4、无穷远点 复平面上模为无穷大的点称为无穷远点。如图2， 复平面z上的点与任意半径球面上的点（除原点北 极外）一一对应，因此复平面上的无穷远对应球 面（复球面）上的顶点（北极点），亦即复平面 上无穷远点就一个。
20
数学物理方法
解析函数所代表的变换的保角性，是有条件的， 这就是只在f′(z) 0处才一定有保角性。在f′(z) = 0 的点，由于argf′(z)没有确定值，因而变换可能保 角也可能不保角。巧妙利用变换在f′(z) = 0处的不 保角性，可以把z平面上的复杂图形变换为ω平面 上的简单图形。
21
数学物理方法
调和函数 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 解析函数的实部u(x, y)和虚部(x, y)满足C-R条件， 两式分别对x和y求导： x y y x
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
(哈工大)数学物理方程1-1,2讲解
M
M'
o u
l
x
T
M
ds
M'
'
T
gds
o
x
x dx
x
建立方程：
取微元 MM’ ，研究在水平方向和铅垂方向 MM’ 在
不受外力的情况下的运动情况。 牛顿第二定律： F = m· a
T
u
M
N
ds
M'
T
'
gds
o
x
N'
x dx
x
在弧段 MM ' 的水平方向上满足： T 'cos ' T cos 0
t2
在时间间隔 [t1 , t2 ]中物体温度从 u( x , y, z , t1 ) 变化 到 u( x , y, z , t 2 ) 所需要的热量为
比热
密度
Q2 c u x , y , z , t 2 u x , y , z , t1 dV
于是
2 u( x , t ) T tg T 'tg ' gdx dx t 2
由微积分知识可知，在时刻 t 有
u( x , t ) u( x dx , t ) tg , tg ' . x x
2 u( x , t ) T tg T tg ' gdx dx t 2
微分方程 常微分方程 质点运动方程, 电路微分方程 偏微分方程
静电场的电场强度在空间的分布
半导体扩散工艺中杂质的浓度在硅片中的分
布和随时间的变化.
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
M'
o u
l
x
T
M
ds
M'
'
T
gds
o
x
x dx
x
建立方程：
取微元 MM’ ，研究在水平方向和铅垂方向 MM’ 在
不受外力的情况下的运动情况。 牛顿第二定律： F = m· a
T
u
M
N
ds
M'
T
'
gds
o
x
N'
x dx
x
在弧段 MM ' 的水平方向上满足： T 'cos ' T cos 0
t2
在时间间隔 [t1 , t2 ]中物体温度从 u( x , y, z , t1 ) 变化 到 u( x , y, z , t 2 ) 所需要的热量为
比热
密度
Q2 c u x , y , z , t 2 u x , y , z , t1 dV
于是
2 u( x , t ) T tg T 'tg ' gdx dx t 2
由微积分知识可知，在时刻 t 有
u( x , t ) u( x dx , t ) tg , tg ' . x x
2 u( x , t ) T tg T tg ' gdx dx t 2
微分方程 常微分方程 质点运动方程, 电路微分方程 偏微分方程
静电场的电场强度在空间的分布
半导体扩散工艺中杂质的浓度在硅片中的分
布和随时间的变化.
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
数学物理方程数学物理第一章
偏分方程中所有最高阶 偏导数都是线性的，而 其系数
本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式 一阶线性偏微分方程的一般表达形式
u u a( x, y ) b( x, y ) c( x, y )u f ( x, y ) x y
二阶线性偏微分方程的一般表达形式
2u 2u 2u A( x, y ) 2 2 B( x, y ) C ( x, y ) 2 x xy y u u D( x, y ) E ( x, y ) F ( x, y )u G ( x, y ) 0 x y
在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到 的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意 味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都 能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么 困难。
正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与 否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严 格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路， 这是本课程中应该注意的。
2
2u
二阶线性非齐次的
三阶非线性
2
3u x y
2
ln u 0
§2方程及定解问题的物理推导
2.1、弦振动方程 2.1.1、物理模型
设有长为 l一 根 拉 紧 的 均 匀 柔 软 弦 细， 两 端 被 固 定 在 O, A 两 点 ， 且 在 单 位 长 度受 上到 垂 直 于 OA向 上 的 力 F作 用 当 它 在 平 衡 位 置 附 近垂 作直 于 OA方 向 的 微 小 横 向 振 动
18世纪著名数学家、物理学家 达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783））
弦振动的研究先驱
数学物理方法课件-1 复数与复变函数
sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
数学物理第一章波动方程
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为.0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力xux E t l T ∂∂=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为x u∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 弦振动方程的边界条件
(1)固定端：振动过程中端点 (x=a) 保持不动，其边界条件为：
u|xa0 或： u(a,t)0 第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
ns
ns
(3)热交换状态
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交
换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。
dQ k1(uu 1)dSdt
k
u n
dSdt
k 1 热交换系数；u 1 周围介质的温度
u nuSu1S,
k1
k
第三类边界条件
边界条件
第一类边界条件
给 出 边 界 上 各 点 的 函 数 值 : u |s f 第二类边界条件
• 在 杆 中 隔 离 一 小 段 ( x , x d x ) , 分 析 受 力 情 况
截面x：受到弹(应)力P(x,t)S; 截面xdx：受到弹力P(xdx,t)S, P为单位面积所受的弹力，沿x轴方向.
牛顿运动定律：
dm 2 tu 2[P (xdx,t)P (x,t)]S.
dm 2u[P (xdx,t)P (x,t)]S. t2
2u2u2u0 ( Laplace方程 ) x2 y2 z2 ( 位势（Possion）方程 )
19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶 (Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要 确定物体内部各点的温度如何随时间变化。Fourier对这种 热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研 究热传导的论文并创立了分离变量法：
1 偏微分方程定解问题
(5)微小横振动——绝对位移和相对位移都很小。
建立坐标系：确立未知函数 研究对象：u ( x, t ) ，弦上某点在 t 时刻的横向位移。
7
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
微元分析法：取微元[x,x+dx]， t时刻 牛顿运动定律： F=ma
2 u ( x, t ) dx u0 T t , x dx T t , x G t , x; dx 2 t T x dx g t , x dxu0
17
数学物理方程 翻译：对微元应用物理定律 dt时间内温度升高所需热量
第1章偏微分方程定解问题
Q Q流入 Q放出 u Q cdxdydz dt t
2u 2u 2 u Q流入 Q左右 Q上下 Q前后 k（ 2 2 2 )dtdxdydz x y z u u Q左右 k dtdydz k dtdydz x (t , x, y , z ) x (t , x dx, y , z ) 2u z k 2 dtdxdydz (x+dx, x+dy, z+dz) x 2u Q前后 k 2 dtdxdydz y dz 2 y u dy Q上下 k 2 dtdxdydz z (x,y,z) dx
2 2u u 2 a f t, x 2 2 t x
ut 6uxux uxxx 0
(4)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
3
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
2u 2 2 a u f (t , x) ☆波动方程： 2 t
2 T2 u u u T2 T1 张力沿切线： T T12 T22 T1 1 T1 T1 x x x 由(1)得: T1 T1 t （T 与 x 无关）
计算物理课件1-3章
1、欧拉（Euler)方法
数值方法的第一步就是将微分方程中的导数项y’进行离散
化。设在区间[xn,xn+1]的左端点xn,则：
y’(xn)=f(xn,y(xn)) 并用差商 y ( xn 1 ) y ( xn ) 替代导数项y’(xn),则有
h
y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
x=dsolve('D2x+w^2*x=0','Dx(0)=0,x(0)=0.1','t') v=diff(x,'t'); a=diff(x,'t',2); k=400; m=2; w=sqrt(k/m); t=0:0.01:0.9; x1=eval(x); v1=eval(v); a1=eval(a); subplot(3,1,1) plot(t,x1) subplot(3,1,2) plot(t,v1) subplot(3,1,3) plot(t,a1)
或写成
yn1 yn hf ( xn , yn ), n 0,1,2,
这就是著名的Euler格式，若初值y0已知，在取定步长h后，就 可以逐步叠代算出数值解y1，y2 ….。 实际应用中Euler格式
存在较大的误差，为此人们又提出了各种改进的Euler格式。 其中有一种改进的Euler格式是：
[x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y','x(0)=0,y(0)=1')
x= exp(3*t)*sin(4*t)
y=
exp(3*t)*cos(4*t)
下面讨论受阻力作用时振动系统的运动特征。比较下面三 种情况下振子的轨迹： 1、欠阻尼状态； 2、过阻尼状态； 3、临界阻尼状态。
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
成绩：
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9
数学物理方程第一章 基础概念
∂u ( x, t ) 2 ) dx ≈ dx ∂x
ds = 1 + (
弧段 M ′ M 在 t 时刻，沿 u 方向运动的加速度近似为 以
∂ 2 u ( x, t ) ， x 为弧段 M ′ M 的质心。所 ∂t 2
− T sin α + T ′ sin α ′ − ρgdx = ρdx
即
∂ 2 u ( x, t ) ∂t 2
Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
式中， c 为物体的比热， ρ 为物体的密度。 如果物体内部没有热源，则由热量守恒可得 Q1 = Q2 ，则
Ω
（1.2.3）
∫
t2 t1
⎡ ∂u ⎤ ⎢ ∫∫ k dS ⎥dt = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV ⎢∑ ∂n ⎥ Ω ⎦ ⎣
（1.2.4）
假设函数 u 关于 x, y, z 具有二阶连续导数，关于 t 具有一阶连续导数，则利用 Gauss 公 式有
t2 ⎡ ⎡ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞⎤ ⎤ Q1 = ∫ ⎢ ∫∫∫ ⎢ ⎜ k ⎟ + ⎜ ⎟ + ∂z ⎜ k ∂z ⎟⎥dV ⎥dt ⎜ k ∂y ⎟ t1 x x y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎣Ω ⎣ ⎦
次方程，若 f ( x, t ) = 0 ，则称为齐次方程。式（1.1.3）称为非齐次一维波动方程。
1.1.2 定解条件 一般弦线的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦线两端所受外界的影响。 为了确定一个具体的弦振动的规律， 除了列出方程外， 还需要写出它满足的初始条件和边界 条件，我们称之为定解条件。 初始条件，即初始时刻 t = 0 时，弦上各点的位移和速度。
ds = 1 + (
弧段 M ′ M 在 t 时刻，沿 u 方向运动的加速度近似为 以
∂ 2 u ( x, t ) ， x 为弧段 M ′ M 的质心。所 ∂t 2
− T sin α + T ′ sin α ′ − ρgdx = ρdx
即
∂ 2 u ( x, t ) ∂t 2
Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
式中， c 为物体的比热， ρ 为物体的密度。 如果物体内部没有热源，则由热量守恒可得 Q1 = Q2 ，则
Ω
（1.2.3）
∫
t2 t1
⎡ ∂u ⎤ ⎢ ∫∫ k dS ⎥dt = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV ⎢∑ ∂n ⎥ Ω ⎦ ⎣
（1.2.4）
假设函数 u 关于 x, y, z 具有二阶连续导数，关于 t 具有一阶连续导数，则利用 Gauss 公 式有
t2 ⎡ ⎡ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞⎤ ⎤ Q1 = ∫ ⎢ ∫∫∫ ⎢ ⎜ k ⎟ + ⎜ ⎟ + ∂z ⎜ k ∂z ⎟⎥dV ⎥dt ⎜ k ∂y ⎟ t1 x x y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎣Ω ⎣ ⎦
次方程，若 f ( x, t ) = 0 ，则称为齐次方程。式（1.1.3）称为非齐次一维波动方程。
1.1.2 定解条件 一般弦线的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦线两端所受外界的影响。 为了确定一个具体的弦振动的规律， 除了列出方程外， 还需要写出它满足的初始条件和边界 条件，我们称之为定解条件。 初始条件，即初始时刻 t = 0 时，弦上各点的位移和速度。
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
深圳大学电子科学与技术学院
知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
第1章 数学物理方程及定解问题
记 = a
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
第一章 复变函数
arg z = = tg 1 y , ( π < ≤ π ) x
7
y π < tg ≤ , 注意： 注意：若规定 2 x 2 y = tg 1 在第一、四象限内， 在第一、四象限内， x y = π + tg 1 在第二象限内， 在第二象限内， x y = π + tg 1 在第三象限内， 在第三象限内， x
1
数学物理方法的主要内容
第一部分： 第一部分：复变函数论及其应用 第一章 复变函数 第二章 复变函数的积分 第三章 幂级数展开 第四章 留数定理及其应用 第五章 拉普拉斯变换 第六章 傅立叶展开
2
第二部分 数学物理方程及特殊函数论 第七章 数学物理方程的定解问题 第八章 分离变量法 第九章 傅立叶积分法 第十章 线性常微分方程的级数解法 第十一章 球函数 第十二章 柱函数
可见一个复数开n次方应有 个值 可见一个复数开 次方应有n个值 次方应有 i 试讨论iz, 例1、设 z = re ，试讨论 -iz, -z的 、 的 几何意义. 几何意义 解：
相
12
讨论电容C和电感 和电感L的端电压与 例2 、讨论电容 和电感 的端电压与 电流的相位。 电流的相位。 解：设电容两端的电压为 u = u0e iω t ， 则流过电容的电流为： 则流过电容的电流为：
z1 x2
(a )
x
x1 x + x 1 2
z1和z2的减法为三角形作图法得到的矢量 1-z2，如图（b）. 的减法为三角形作图法得到的矢量z 如图（ ） |z1|和|z2|分别表示 1和z2矢量的长度，|z1+z2|、|z1-z2|分别代表矢 分别表示z 矢量的长度， 和 分别表示 、 分别代表矢 的模. 三角形的两边之和大于（ 量z1+z2、z1-z2的模 根据三角形的两边之和大于（等于）第 的模 根据三角形的两边之和大于 等于） 三边，两边之差小于（等于）第三边： 三边，两边之差小于（等于）第三边：
7
y π < tg ≤ , 注意： 注意：若规定 2 x 2 y = tg 1 在第一、四象限内， 在第一、四象限内， x y = π + tg 1 在第二象限内， 在第二象限内， x y = π + tg 1 在第三象限内， 在第三象限内， x
1
数学物理方法的主要内容
第一部分： 第一部分：复变函数论及其应用 第一章 复变函数 第二章 复变函数的积分 第三章 幂级数展开 第四章 留数定理及其应用 第五章 拉普拉斯变换 第六章 傅立叶展开
2
第二部分 数学物理方程及特殊函数论 第七章 数学物理方程的定解问题 第八章 分离变量法 第九章 傅立叶积分法 第十章 线性常微分方程的级数解法 第十一章 球函数 第十二章 柱函数
可见一个复数开n次方应有 个值 可见一个复数开 次方应有n个值 次方应有 i 试讨论iz, 例1、设 z = re ，试讨论 -iz, -z的 、 的 几何意义. 几何意义 解：
相
12
讨论电容C和电感 和电感L的端电压与 例2 、讨论电容 和电感 的端电压与 电流的相位。 电流的相位。 解：设电容两端的电压为 u = u0e iω t ， 则流过电容的电流为： 则流过电容的电流为：
z1 x2
(a )
x
x1 x + x 1 2
z1和z2的减法为三角形作图法得到的矢量 1-z2，如图（b）. 的减法为三角形作图法得到的矢量z 如图（ ） |z1|和|z2|分别表示 1和z2矢量的长度，|z1+z2|、|z1-z2|分别代表矢 分别表示z 矢量的长度， 和 分别表示 、 分别代表矢 的模. 三角形的两边之和大于（ 量z1+z2、z1-z2的模 根据三角形的两边之和大于（等于）第 的模 根据三角形的两边之和大于 等于） 三边，两边之差小于（等于）第三边： 三边，两边之差小于（等于）第三边：
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
思考 判断下列方程的类型
u 2 u a 2 x 2 t x
2 2
2 2u u 2 a u 2 2 x t
u 2 u a xu 2 x t
2
1 u 1 2u 0 2 2
对第一方程两边取旋度， 得： H ( E ) t 根据矢量运算： 2 H ( H ) H
H
2
H
2
t 2
2 H 1 2 H 2 H 2 H ( 2 2 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 t x y z
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值
u |s f
(2) 绝热状态
S——给定区域 v 的边界
第一类边界条件
第二类边界条件
(3)热交换状态
u 0 n s
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
u dQ k1 (u u1 )dSdt k dSdt n
2 t1 V
t2
t2
t1
u c dVdt t V
u k 2 热传导方程 u a 2 2u t c u 2 a 2 2u f 稳恒温度场： u 0 有热源： t
u k u c t
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
第1章 典型方程和定解条件的推导
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发： D H Jc t B E t D v B 0 在自由空间： Jc 0, v 0
D E B H
E H t H E t E 0 H 0
M
温度发生变化需要的热量为： Q2 c u ( x, y, z , t 2 ) u ( x, y, z , t1 )dV V t2 t 2 u u c dtdV t c dVdt t1 t 1 t V V
Q1 Q2
2
S
热场
k udV dt
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H 2 ) 由此得： H ( t t
2 2 2 拉普拉斯算子： 2 2 2 2 x y z
E H t H E t E 0 H 0
k1 热交换系数； u1周围介质的温度
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
u u u1 S n S
k1 k
第三类边界条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
S
V
n
M
在dt时间内从dS流入V的热量为： S u 热场 ˆdt ˆ dSdt ku dS dQ k dSdt k u n n 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 t ˆ Q1 ku dS dt t S 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
2u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2 u ( x, t ) a t 2
ds dx
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx dx 2 x x x x x
的约束情况的条件。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) u ( x) t t 0
系统各点的初位移 系统各点的初速度
u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
u /
2
泊松方程 拉普拉斯方程(无源场)
2u 0
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例4、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t ) 根据热学中的傅里叶实验定律
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui f i
f
i
f
u u
i
i
u
Lu f
Lu 0
Lui 0
u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原
因单独产生的效果的累加。(物理上)
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
5、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。 研究对象：u ( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
T u 2 ( x, t ) 2u ( x, t ) g 2 x t 2
令： a
2
T
2 2u u 2 a g ………一维波动方程 2 2 t x
自由项 忽略重力作用：
------非齐次方程
u 2 u a 2 t x 2
2
2
------齐次方程
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学物理方程定义 描述某种物理现象的数学微分方程。 ☆ 课程的内容 三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数 波动方程、 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法
热传导、 拉普拉斯方程
贝赛尔函数、 勒让德函数
数学物理方程与特殊函数
形式解：未经过验证的解为形式解。
6、求解方法
分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 定解问题的检验 •解的存在性：定解问题是否有解；
•解的唯一性：是否只有一解； •解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2 E 1 2 同理可得： 2 E t
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u 根据物理规律建立微分方程：
u E
E /
对方程进行化简：
2 E (u) u u /
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
有界杆上的热传导（杆的两端绝热）
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。