高中数学(北师大版)选修4-4 课件：第一章 坐标系本章整合 (共23张PPT)
合集下载
高中数学北师大版选修4-4配套课件：1-1《平面直角坐标系》
已知某荒漠上有两个定点 A、B，它们相距 2 km，现准 备在荒漠上开垦一片以 AB 为一条对角线的平行四边形区域 建成农艺园，按照规划，围墙总长为 8 km. (1)问农艺园的最大面积能达到多少？ (2)该荒漠上有一条水沟 l 恰好经过点 A，且与 AB 成 30° 的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园 的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂 不加固，问：暂不加固的部分有多长？
【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲 舰的相对位置，因此不妨用点 A、B、C 表示甲舰、乙舰、丙 舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．
【自主解答】 设 A， B， C， P 分别表示甲舰、 乙舰、 丙舰和商船．如图所示，
以直线 AB 为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直 角坐标系，则 A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3)．
联立①②，解得 P 点坐标为(8,5 3)． 5 3 ∴kPA＝ ＝ 3. 8－3 因此甲舰行进的方位角为北偏东 30° .
1．由于 A、B、C 的相对位置一定，解决问题的关键是： 如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解． 2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列 关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
实数对(x，y)
与之对应；反之，对于任意的 一个有序实
数对(x，y) ，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标
系中， 点 和
有序实数对
是一一对应的．
2．平面直角坐标系与曲线方程 曲线可看作是 满足某些条件 的点的集合或轨迹，由
此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系． 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 点 与一个二 元方程 f(x，y)＝0 的 实数解 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f(x，y)＝0 的 解 ；
北师大版高中数学选修4-4课件第1讲 第1节平面直角坐标系精选ppt版本
缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩后仍为
抛物线，而椭圆伸缩后可能是椭圆或圆．
[变式训练] 2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应 的图形经过伸缩变换yx′′＝＝42yx 后的图形，
(1)2x＋4y＝a； (2)x2＋y2＝r2(r≠0)．
解析：
(1)由伸缩变换yx′′＝＝42yx ，得到yx＝＝1214xy′ ′
D．yx′′＝＝22yx
解析： 设伸缩变换公式为
x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0，
由题意，得1－＝62＝μ，－2λ，
λ＝3， 解得μ＝12，
• 答案： C
x′＝3x， ∴y′＝12y
故选C．
2．将正弦曲线y＝sin x的纵坐标保持不变，横坐标缩短为
即3λ2x2＋μ22y2＝1.与x2＋y2＝1比较系数，
得3μ2λ22＝＝11，，
故λμ＝＝32，，
所以伸缩变换为yx′′＝＝23yx，，
即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横
坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆
[思路点拨] 逆向运用坐标的伸缩变换公式
区分原方程和 变换后的方程
系―待数 ―定→法
设伸缩 变换公式
―→
代入变换后 的曲线方程
与原曲线方 ―→ 程比较系数
[解题过程] y′4 2＝1，
将变换后的椭圆的方程x92＋y42＝1改写为x′9 2＋
设伸缩变换为yx′′＝＝μλxyλμ>>00，， 代入上式得λ29x2＋μ24y2＝1，
x1＋x2
y1＋y2
____2______，y＝_____2_____.
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
高中数学(北师大版)选修4-4 课件：1.3柱坐标系和球坐标系
探究一
探究二
探究三
思维辨析
把点的柱坐标化为直角坐标 【例1】 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:
(1) 2,
5π ,3 6
;(2)
2, ,5 .
π 4
分析：由题目可获取以下主要信息:(1)已知点的柱坐标(r,θ,z);(2)
������ = ������cos������, 化为点的直角坐标(x,y,z).解答本题直接利用公式������ = ������sin������, ������ = ������ 计算即可.
一
二
特别地, r=常数,表示的是以原点为球心的球面; φ=常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面; θ=常数,表示的是过z轴的半平面. ������ = |������������|cos������ = ������sin������cos������ , 点M的直角坐标与球坐标的关系为 ������ = |������������|sin������ = ������sin������sin������ , ������ = ������cos������ . 名师点拨空间中点的三种坐标的特点 设空间中点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,θ,z),球坐标为 (r,φ,θ),它们都是有序数组,但意义不同.直角坐标为三个实数;柱坐 标分别表示距离、角、实数;球坐标分别表示距离、角、角.
5π =6 5π 2sin = 1, 6
∵(r,θ,z)=
π π
������ = 0, 即 ������ = 3, ������ = 0. π π ∴点 M 3, , 的直角坐标为(0,3,0).
2 2
π π ������ = 3sin cos , 2 2 π π ������ = 3sin sin , 2 2 π ������ = 3cos , 2
北师大版高中数学选修4-4课件本讲高效整合1精选ppt版本
• 求两个圆ρ＝4cosθ，ρ＝4sinθ的圆心之间的距 离．并判定两圆的位置关系．
解析： 方法一：ρ＝4cosθ的圆心为(2,0)，半径为2， ρ＝4sinθ的圆心为2，π2，半径为2. 两圆圆心的距离为 d＝ 22＋22－2·2·2cosπ2＝2 2. 而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0. ∴两圆相交．
知识网络构建
考纲考情点击
[课标导航]
• 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法， 体会坐标系的作用．
• 2．能通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变 换作用下平面图形的变化情况．
• 3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在 极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区 别．能进行极坐标和直角坐标的互化．
• 答案： D
4．在球坐标系中，集合M＝{(r，φ，θ)|2≤r≤6, 0≤φ ≤π2,
0≤θ<2π}表示的图形的体积为( )
A．4316π
B．1436π
C．6134π
D．4631π
解析： 由球坐标中r，φ，θ的含义知， 该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球体积之差． ∴V＝1243π×63－43π×23 ＝12×43π×208＝4136π.
兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中 心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． • 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
• 如图1所示，木工师傅把一块边长为a的正方形
铁板ABCD割开，割线是CP，其中P是AD上一点， M是AD的中点，要求|CP|＝|AB|＋|AP|，∠BCP与 ∠MCD有怎样的关系？怎样切割才满足要求？
• 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入 法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所 设点的坐标ρ，θ的关系．
高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.
高中数学第1章坐标系本讲高效整合课件北师大版选修4_4
第1章 坐标系
知识网络构建
考纲考情点击
[课标导航]
1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会 坐标系的作用．
2．能通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况．
3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐 标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．能进行极坐标 和直角坐标的互化．
极坐标系
1．极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ) ＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极 坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极 坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要 求至少有一组能满足极坐标方程．
由两点间的距离公式得 (x－a)2＋y2＝λ2(x2＋y2)， (1－λ2)(x2＋y2)－2ax＋a2＝0. 当λ＝1时，方程为x＝a2，它表示OA的垂直平分线； 当λ≠1时，方程化为x2＋y2－1－2aλ2x＋1－a2λ2＝0， 即x－1－a λ22＋y2＝1－λaλ22， 它表示以1－a λ2，0为圆心，以1－λaλ2为半径的圆．
[命题探究]
本章知识在高考中主要以直角坐标系的应用为主，并且主 要以解答题为主，在历年的高考中均有体现，预测今后的高考 中，仍将会出现以建立直角坐标系来解决实际问题的类型，并 且还会有平移变换和直角坐标与极坐标、柱坐标、球坐标等的 互化问题．
热点考点例析
[热点题型] 平面直角坐标系
解析法解决几何问题 利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到 它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系 中的x轴，y轴(坐标原点)． 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
知识网络构建
考纲考情点击
[课标导航]
1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会 坐标系的作用．
2．能通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况．
3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐 标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．能进行极坐标 和直角坐标的互化．
极坐标系
1．极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ) ＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极 坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极 坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要 求至少有一组能满足极坐标方程．
由两点间的距离公式得 (x－a)2＋y2＝λ2(x2＋y2)， (1－λ2)(x2＋y2)－2ax＋a2＝0. 当λ＝1时，方程为x＝a2，它表示OA的垂直平分线； 当λ≠1时，方程化为x2＋y2－1－2aλ2x＋1－a2λ2＝0， 即x－1－a λ22＋y2＝1－λaλ22， 它表示以1－a λ2，0为圆心，以1－λaλ2为半径的圆．
[命题探究]
本章知识在高考中主要以直角坐标系的应用为主，并且主 要以解答题为主，在历年的高考中均有体现，预测今后的高考 中，仍将会出现以建立直角坐标系来解决实际问题的类型，并 且还会有平移变换和直角坐标与极坐标、柱坐标、球坐标等的 互化问题．
热点考点例析
[热点题型] 平面直角坐标系
解析法解决几何问题 利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到 它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系 中的x轴，y轴(坐标原点)． 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
《 平面直角坐标系》 (北师大版 选修4-4)
(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几 何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动， 称之为相关点。
(3)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设 方程再确定其中的基本量。 (4)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标
之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之
间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这 样便可得动点的轨迹方程。
故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
当堂检测
《三维设计》第2页 “即时突破”
方法总结
1．求曲线方程一般有下列五个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上 任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平
行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；
(2)写出适当条件P下的点M的集合：{M|P(M)}；
图形。
2.解：将 xy
3x y
代入
x2 -9y2 =9
得9x2 -9y2 =9 即x2 -y2 =1
当堂检测
3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解：设伸缩变换
x
y
x y
，
北师大版 选修 4-4
第一章《坐标系》
§1 平面直角坐标系
学习目标
1.了解曲线与方程的关系; 2．会运用坐标法求曲线方程问题; 3．通过具体例子，了解在平面直角坐标系 伸缩变换下平面图形的变化情况及作用．
自主学习
自学课本P1—P5的内容，并完成下列问题： 1.完成《三维设计》中第1页“自主学习” 2.如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 3.求曲线的方程有哪些方法？应该注意什么问题？ 4.平面直角坐标系的作用是什么？
(3)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设 方程再确定其中的基本量。 (4)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标
之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之
间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这 样便可得动点的轨迹方程。
故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
当堂检测
《三维设计》第2页 “即时突破”
方法总结
1．求曲线方程一般有下列五个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上 任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平
行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；
(2)写出适当条件P下的点M的集合：{M|P(M)}；
图形。
2.解：将 xy
3x y
代入
x2 -9y2 =9
得9x2 -9y2 =9 即x2 -y2 =1
当堂检测
3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解：设伸缩变换
x
y
x y
，
北师大版 选修 4-4
第一章《坐标系》
§1 平面直角坐标系
学习目标
1.了解曲线与方程的关系; 2．会运用坐标法求曲线方程问题; 3．通过具体例子，了解在平面直角坐标系 伸缩变换下平面图形的变化情况及作用．
自主学习
自学课本P1—P5的内容，并完成下列问题： 1.完成《三维设计》中第1页“自主学习” 2.如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 3.求曲线的方程有哪些方法？应该注意什么问题？ 4.平面直角坐标系的作用是什么？
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
-7-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
专题二 极坐标与直角坐标互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴 作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位. 互化公式为x=ρcos θ,y=ρsin θ ρ2=x2+y2
������ tan θ= (x ≠0) ������
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入即 可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常先将极坐标方程化为ρcos θ,ρsin θ的整体形式,然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘ρ即可达 到角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
π 例2已知极坐标方程C1为ρ=10,C2为ρsin ������- 3 =6.
(1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状; (2)求C1,C2交点间的距离. 解：(1)由ρ=10,得ρ2=100,即x2+y2=100, 故C1为圆心在(0,0),半径等于10的圆.
-11-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
专题三 极坐标方程及其应用 借助点的极坐标或曲线的极坐标方程,将最值问题转化为三角函 数问题求解.
-12-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
例3在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为
12
2
( 3) +(-1)
2
=6<r=10,
∴直线 C2 被圆截得的弦长为
2 ������ 2 -������ 2 =2 102 -62 =16. 故 C1,C2 交点间的距离为 16.
-10-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
变式训练2 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0(a≠0)为极坐标方 程. 解：将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2-2ax=0, 得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2aρcos θ=0, 即ρ=2acos θ(a≠0). 所以所求极坐标方程为ρ=2acos θ(a≠0).
由 ρsin ������得ρ
1 3 sin������- cos������ 2 2
π 3
=6, =6.
得 y- 3x=12,即 3x-y+12=0. 故 C2 表示直线 3x-y+12=0.
-9-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
(2)∵圆心(0,0)到直线 3x-y+12=0 的距离 d=
-3-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
例1设点P的极坐标为(ρ1,θ1),直线l过点P且与极轴所成的角为α, 求直线l的极坐标方程. 分析：先设直线l上任意一点M(ρ,θ),再利用直线在极坐标系中相 应的关系列出式子. 解：如图,设点M(ρ,θ)为直线l上除点P外的任意一点, 连接OM,则|OM|=ρ,∠xOM=θ. 由点P的极坐标为(ρ1,θ1), 知|OP|=ρ1,∠xOP=θ1. 设直线l与极轴交于点A,已知直线l与极轴成α角. 于是∠xAM=α. 在△MOP中,∠OMP=α-θ,∠OPM=π-(α-θ1),
.
-6-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
(2)由(1)得点 M 的直角坐标为(2,0),点 N 的直角坐标为 0, 所以点 P 的直角坐标为 1, 则点 P 的极坐标为
2 3 π , 3 6 3 3
2 3 3
.
,
π 6
.
所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈R.
-4-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
|������������| |������������| = , sin∠������������������ sin∠������������������ ������1 ������ 即 = . sin[π-(������-������1 )] sin(������-������)
解： (1)由 ρcos ������从而曲线
1 3 cos������ + sin������ 2 2 1 3 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2
π 3
=1,得 ρ
=1.
即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时 ,ρ=2,得 M(2,0); 当
π 2 3 θ= 时 ,ρ= ,得 2 3
N
2 3 π , 3 2
本章整合
-1-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程
知识网络
专题归纳
高考体验
答案：①直角坐标 ②极坐标系 ③曲线的极坐标方程与直角 坐标方程的互化 ④柱坐标系 ⑤球坐标
-2-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
专题一 求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程类似,就是 把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹,将已知条件用曲线上 点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极坐标方 程. 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方 程和直角坐标方程也有不同之处,一条曲线上的点的极坐标有多组 表示形式,有些表示形式可能不满足方程,这里要求至少有一组能 满足极坐标方程.
由正弦定理,得
即 ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1).① 显然 ,点 P 的坐标(ρ1,θ1)是方程 ①的解 . 所以方程 ①为直线 l 的极坐标方程.
-5-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
变式训练1在直角坐标系xOy中,以点O为极点,x轴正半轴为极轴 π 建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos ������- =1,点M,N分别为曲 3 线C与x轴、y轴的交点. (1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标; (2)设MN的中点为点P,求直线OP的极坐标方程.