直角三角形中的分类讨论

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分类讨论思想在确定等腰(直角)三角形顶点位置中的应用

Ａ８．个Ｂ７个．
ｙ
＿一
Ｃ６．个
Ｄ４．个
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若以ＤＰ为底，Ｏ作尸的垂直平分线交轴于点Ｅ，４
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Ｉ，，，Ｐ，
１６
中’ ？（Ｌｆｌ初版？擞・２Ｏ－ＯＯ．期・中）￣
・解题研・究
分类讨论恶想在确定等腥（查角）角形顶点位置中的应用三
３２０浙江华维外国语学校１３０
等腰（直角）三角形的两个顶点确定，而第三个顶点
５由一— ＋２：），３
，
得￡：
Ｐ２
＼＼
４测尸（，８）０了
，
Ｐ（，２０
／＝ｙ寺２ｙ＝５和直线Ｙ＝一３交于点Ｃ，可求得Ｃ，（１，），Ｄｆ＝Ｙ＝－＋－１ｘ＼】。Ｃ，１５
当＜０时，一３ｚ由＋２
ｆ．）
画弧交轴于点Ｅ，如图３，Ｅ（３，）。Ｅ（）则。一０，

直角三角形分类讨论

（3）当t为何值时，△ DEF为直角三角形？
请说明理由.
如图：当∠EDF=90°，
30°
四边形EBFD是矩形,在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°, AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=2.5
如图：当∠DEF=90°，
10-2t 60°
30°
1 1 AD AE , 即10 2t t , 解得 t 4. 2 2
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC= 5 3 ， ∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间为t秒（t>0），过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF. （1）求证：AE=DF. （2）四边形AEFD能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由.
则(3 x) x 1 ,因为 0，
2 2 2
所以没有实数根，这种情况不成立
5 4 综上所述，当x 或x 时， 3 3 ABC为直角三角形小结:如何
分类？
即时训练
（2012河南）在Rt△ABC中∠ACB=90°， ∠B=30°,BC=3.点D是BC边上一动点（不与点B、C重合）,过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为。

直角坐标系中相似三角形分类讨论

1．（长宁）已知：矩形

与BC 边交于D 点。

（3）设（2M

2.（卢湾）已知抛物线24y ax ax c =-+与y 轴交于点()0,3A ，点B 是抛物线上的点，且满足AB ∥x 轴，点C 是抛物线的顶点.

（3）对（2）中的抛物线，点D 在线段AB 上，若以点A 、C 、D 为顶点的三角形与AOC ∆相似，试求点D 的坐标.

510

C (2,4)

B (4,3)

4.（09徐汇）已知：如图，抛物线22

412-+=

x x y 与y x 、轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着点O 逆时针旋90°到△''A OB ，且抛物线2

2(0)y ax ax c a =++≠过点

''B A 、。

（3）点D 在x 轴上，若以'B D 、B 、为顶点的三角形

与△B B A ''相似，求点D 的坐标．

北师大版八年级数学下册4.特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用(附答案)

特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用

1．(2017·河南中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．

第1题图第2题图第3题图2．★(2017·河南模拟)如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，F是边BC上不与B，C 两点重合的动点，直线l垂直平分BF，垂足为点D.当△AFC是等腰三角形时，BD的长为________．

3．★(2017·开封一模)如图，在长方形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处．若△CEF为直角三角形，则DE的长为________．

4．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′.当E，A′，C三点在一条直线上时，求DF的长．

5．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处．当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，求AD的长．

6．★如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P为AD上一动点，连接BP，把△ABP 沿BP折叠，使A落在A′处．当△A′DC为等腰三角形时，求AP的长．

参考答案与解析 1.

2＋1

或1 解析：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当∠B ′MC ＝90°时，点B ′与点A 重合，此时M 是BC 的中点，∴BM ＝1

与三角形有关的分类讨论问题

ＡＭＯ如图４所示）此时Ｏ为公共斜Ｂ（，Ｂ
（），ＲＯＣ中，Ｐａ）在ｔＡＰ有ｃ＝￣一／４＝５
３故Ｐ（，），３４．
由对称性，同理可得Ｐ（一３４也在符，）合条件的直线ＢＣ上．
边，ＯＢ △ Ｂ △ ＡＭＯ，四边形ＡＢ则ＯＣ为等腰梯形，Ｏ由Ａ上Ａ知ＯＢ，Ｃ上Ｂ．点、Ｃ则点ｃ重合，Ｍ（，）故６２．（）当／ＯＢ＝／ＭＢ时，ＯＢ ∽ ２ＡＯＡＡ
在 △ ＡＣ内（图ｉａ）Ｂ如（）．
Ａ
况，然后采用分类思想加以解决，在解题中才
不会出现漏解的情况．面我们就以上四种下类型例析如下．
一
、
直角三角形的斜边不确定
Ｂ
｜
例１已知直角三角形两边分别为６和
８求此三角形的面积．，分析：由直角三角形的斜边的不确定性，
２００９年第７期
１７
为坐标原点，边形四ＯＢ是矩形，Ａ、ＡＣ点
中，腰梯形ＡＢ的等ＯＣ
四个顶点为Ａ２２）（，，０（，，（，，００）Ｂ８０）

专题02 直角三角形中分类讨论问题(老师版)

专题2直角三角形中分类讨论问题

【典型例题】

1．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴

上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．

【答案】（0，0），0），（﹣2，0）

【解析】

【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．

【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，

∴P、A、B三点不能构成三角形．

设点P的坐标为（m，0）．

当△PAC为直角三角形时，

①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；

②∠ACP＝90°时，如图，

∵∠ACP＝90°

∴AC2＋PC2＝AP2，

22222

∴+++=+，解得，m P0）；

22(

m m

当△PBC为直角三角形时，

①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；

②∠BCP＝90°时，

∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，

∴PO＝BO＝2，

∴点P的坐标为（﹣2，0）．

综上所述点P的坐标为（0，0），，0），（﹣2，0）．

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．

【专题训练】

1．（2021·江苏兴化·八年级期中）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，点D 、E 在边BC 所在的直线上，且AB =DB ，AC =EC ，则∠DAE 的度数为________．

【答案】45°或135°

【解析】

【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．

三角形中的分类讨论(附答案)

【中考数学必备专题】分类讨论专题：三角形中

的分类讨论

一、单选题(共1道，每道20分)

1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）

A.75°或15°

B.36°或60°

C.75°

D.30°

答案：A

解题思路：①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，

②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，

试题难度：三颗星知识点：分类讨论

二、填空题(共5道，每道20分)

1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_______．

答案：或

解题思路：首先根据题意作图，注意分为：E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．

试题难度：三颗星知识点：分类讨论

2.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是________.

答案：-4或6

解题思路：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．

试题难度：三颗星知识点：分类讨论

3.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m ＝______．

答案：80或120

解题思路：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，第二次交直角边AC 于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD 中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．

初中数学三角形中的分类讨论思想

三角形是平面几何中最简单、最基本的图形，也是同学们最熟悉的图形，中考中常碰见这一类题。这类题常常不给出几何图形，很多同学在做题时不知道分类讨论，导致结论不完整。为帮助同学们渡过这个难关，现将有关三角形中需要分类讨论的情况总结如下，供同学们学习时参考。

一、三角形的形状不定需要分类讨论

例1. 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2

=·，则∠BCA 的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。

如图1，当△ABC 的高在形内时，由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。由∠B ＝25°。可知∠BAD ＝65°。所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。

图1

如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。

B C D

图2

由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD 所以∠B ＝∠CAD ＝25° ∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115°

二、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例2. 已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足x y y 224560-+

-+=，则第三边的长为_____________。

解析：由x y y 224560-+-+=，可得x 240-=且y y 2560-+=

分别解这两个方程，可得满足条件的解x y 1122==⎧⎨⎩，或x y 2223==⎧⎨⎩ 由于x ，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

八年级数学寒假辅导讲义专题03 点击三角形中的分类讨论(解析版)

专题03 点击三角形中的分类讨论

【题型一】等腰三角形中的分类讨论

顶（底）角不确定

【例1－1】（2020·徐州月考）等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与另一腰的夹角是（）度

A．25或10B．40或10C．25或40D．60

【答案】B.

【解析】解：当顶角为50°时，AB=AC，∠A=50°，BD是AC边上的高，

一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°-∠A=40°；

当底角为50°时，AB=AC，∠ABC=∠C=50°，BD是AC边上的高，

∴∠A=180°－∠ABC－∠C=80°

一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°

-∠A=10° 故答案为：B ．

【变式1－1】（2020·贵州铜仁市月考）若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）

A ．40°、100°

B ．70°、70°

C ．40°、100°或70°、70°

D ．以上都不对

【答案】C.

【解析】解：①当这个角为顶角时，底角=(180°-40°)÷2=70°；

②当这个角是底角时，底角=40°，顶角为180°-2×40°=100°；

综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．

故答案为：C ．

底（腰）不确定

【例2－1】（2020·广西柳州市期中）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于（）

A ．12

B ．12或15

C ．15

D ．15或18 【答案】C.

【解析】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，

∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；

②当腰为3时，3+3=6，这样的三角形不存在；

第38期直角三角形与分类讨论

数学学习讲究逻辑性，分类讨论更是体现这种逻辑性，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略。与三角形有关的分类讨论，除了等腰三角形外，还有直角三角形和相似三角形。上期我们讨论学习了《等腰三角形与分类讨论》，这期我们继续探究《直角三角形与分类讨论》。我们知道，等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决。那么，类比等腰三角形的研究方法，我们对直角三角形进行如下两种情形的探究：1.在直角三角形中给出两边的长度,求第三边在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进行讨论,然后利用勾股定理即可求解。例1：若直角三角形的两边长为3和4，则第三条边长为___________.解析：直角边和斜边不确定，设第三边为x,分两种情况：①当4为直角边时，则第三边为斜边，由勾股定理，x=5；②当4是斜边时，则第三边为直角边，由勾股定理，x= √7；综上，第三边长为5或√7. 2.直角顶点的位置不确定一个三角形为直角三角形，没有明确直角顶点，要对直角顶点进行分类讨论，可分为三种情况。这种类型的题目通常以二次函数为平台，把二次函数、一次函数、直角三角形等知识融为一体，解答过程中运用到方程思想、函数思想等数学思想方法。抛物线与直线型的综合题之一即为直角三角形的存在性问题，解答此类问题常常需要与相似三角形、勾股定理及其逆定理等知识联系在一起．此类问题是中考的命题热点之一．例2：（2015云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 bx c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分类思想在三角形问题中的应用

黑龙江省绥化市育才学校王国仁152000

1. 在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础.

2. 正确的分类应当符合两条原则：

（1）分类应按同一标准进行；

（2）分类应当不重复，不遗漏.

例如，把三角形分为斜三角形和等边三角形两大类，既有重复（等边三角形是斜三角形），又有遗漏（不包括直角三角形），其分类标准不统一，故分类错误.分类后，对各个情况分别进行研究，得出不同情况下的结论，这就是讨论.

3. 分类讨论思想是中考的热点考查内容.

4. 对于三角形的分类，我们将从角和边两个标准来进行分类.

⑴按角进行分类可以分为:

①三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形（图1）.

②有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形（图2）.夹直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边.两条直角边相等的三角形，叫做等腰三角形 .

③有一个角是钝角的三角形，叫做钝角三角形（图3）锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.

三角形⎧

⎪

⎧

⎨

⎪

⎩

直角三角形

锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

图1 图2 图3

⑵如果按边进行分类可以分为:

①三边两两不等的三角形，叫做不等边三角形（图甲）.

主页:

② 三边中有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰以及底边的夹角叫做底角（图乙）.

③ 三边都相等的三角形，叫做等边三角形（图丙）.等边三角形是特殊的等腰三角形.

三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪

⎩⎩

不等腰三角形腰与底边不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形

直角三角形分类讨论专题

引言

直角三角形是一种具有一个角度为90度（直角）的特殊三角形。在几何学中，直角三角形是基础概念之一，有着重要的地位。本文档将对直角三角形进行分类讨论，介绍不同种类的直角三角形以及它们的特点。

1. 根据边长分类

1.1. 等腰直角三角形

等腰直角三角形指的是直角三角形的两个直角边相等。具有以下特点：

- 两个直角边长度相等。

- 斜边长度等于两个直角边长度的平方根。

1.2. 等边直角三角形

等边直角三角形是指直角三角形的三个边长均相等。具有以下特点：

- 三个边长相等。

2. 根据角度分类

2.1. 锐角直角三角形

锐角直角三角形是指直角三角形的直角边与斜边之间的夹角小于90度。具有以下特点：

- 直角边与斜边之间的夹角小于90度。

2.2. 钝角直角三角形

钝角直角三角形是指直角三角形的直角边与斜边之间的夹角大于90度。具有以下特点：

- 直角边与斜边之间的夹角大于90度。

结论

直角三角形根据边长和角度的不同可以分为等腰直角三角形、等边直角三角形、锐角直角三角形和钝角直角三角形。了解这些不同种类的直角三角形对于学习和应用几何学是非常重要的。

三角形中的分类思想

BD AB
BP2
AEBD AB
7
2 3 5
2 42 5
OP2
42 5
4
22 5
P2
252，0
综合①②得点P的坐标P1
173，0或P2
252，0
a
14
①( 2 ，0)②(0， 2 )③(- 2 ，0)④(0，- 2 )
●
A
●
●
●
●
O
●
a
7
探索发现
如果点P不在坐标轴上还有符
合条件的点P吗
？
这些点P有什 ● 么规律？
●
A
●
●●
●
●
●●
●
O
● 简称“两圆一平分
a
8
2.（07苏州）设抛物线 y＝ax2bx2 与x轴交
于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点 C.且∠ACB=90°． (1)求m的值和抛物线的解析式；
由， AD2 BD·DC 得△ABD∽△CAD
所以∠B＝∠CAD＝25° ∠BCA ＝∠CAD＋∠ADC
＝25°＋90°
＝115°
B
CD
图2
a
4
三提高练习
2. 已知x，y为直角三角形两边的长，满足， x24 y25y 60则第三边的长为________

直角三角形分类讨论

建筑设计
直角三角形在建筑设计中应用广泛，如金字塔、塔吊等，利用其稳定性来支撑和保持结构的平衡。
桥梁工程
在桥梁设计中，直角三角形常被用于支撑和固定桥面，以确保桥梁的稳定性和安全性。
建筑测量
直角三角形在建筑测量中用于确定角度和高度，例如在测量建筑物的高度和角度时，可以利用直角三角形的性质来计算。
在锐角三角形中，任意一边的平方小于其他两边平方和，即$a^2 < b^2 + c^2$（其中$a$、$b$、$c$为三角形的三边）。
边角关系的应用
01
实际问题解决
勾股定理在实际问题中应用广泛，如建筑、航海、航空等领域。通过勾
股定理可以解决直角三角形中的实际问题，如计算高度、距离等。
02
数学证明
直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即$c^2 = a^2 + b^2$，其中$c$为斜边，$a$和$b$ 为两直角边。
在钝角三角形中，钝角所对的一边（即最长边）的平方大于其他两边平方和，即$a^2 > b^2 + c^2$（其中 $a$、$b$、$c$为三角形的三边）。
锐角三角形边角关系
直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形中，两个锐角的和为90度。
02
直角三角形的分类
按照角度分类
30-60-90度直角三角形

用分类讨论方法来解直角三角形中的难题。

在练习或者考试中，经常会遇见要分不同种情形讨论的情况，而往往很多同学对这种题型没有掌握必要的解题思路和方法，丢三落四，或者顾此失彼，造成失误，大量丢分。今天选取一道题目供大家欣赏。希望大家能共同探讨，掌握解题方法与技巧。在今后考试中，能面面俱到。

分析：显然这里存在分类讨论，可以分为当点P是直角顶点、点A是直角顶点，当点B是直角顶点时。根据题意画出图形。

从刚才解题过程来看，当我们遇见不明确的要素的时候，就要分类讨论，如本题是直角三角形，那不明确的就是哪个角是直角，这样就自然产生要按照直角顶点来分类。其中要注意的是，在某一类里面又要细分，如本题，当点P是直角顶点的时候，又分为点P在AB的上方与下方两种情形。

20春八数下(湘教版)思想方法专题：直角三角形中的思想方法

思想方法专题：直角三角形中的思想方法

——找准方法，快准解题

◆类型一方程思想

一、利用方程思想求角度

1．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是()

A．9°B．18°C．27°D．36°

2．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝________°.

第2题图第3题图第4题图

二、结合勾股定理利用方程思想进行计算

3．如图，在△ABC中，

CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD 的长为()

A．4 B．5 C．6 D．8

4．如图，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，则CD的长度为() A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

5．如图，小刚准备测量一条河的深度，他把一根竹竿垂直插到离岸边1.5米远的水底(不计淤泥深度)，竹竿高出水面0.5米，再把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐．求河水的深度．

◆类型二分类讨论在勾股定理中的应用

一、直角边与斜边不明时需分类讨论

6．(湘潭县期末)若一个直角三角形的两边长分别为2，4，则第三边长为____________．【易错1】

二、三角形形状不明时需分类讨论(分钝角三角形和锐角三角形)

7．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2.【易错2】

【变式题】一般三角形→等腰三角形

等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为____________．