人教版八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学

【几何模型三角形轴对称】试卷（培优篇）（Word 版

含解析）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，在平面直角坐标系中，点D （m ，m +8）在第二象限，点B （0，n ）在y 轴正半轴上，作DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12．

（1）求m 和n 的值．

（2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ．

（3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值．

【答案】（1）42m n =-⎧⎨=⎩

（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化．

【解析】

【分析】

（1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证；

（3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明

△ABH ≌△CAN ，即可得到结论.

【详解】

解：（1）由题意()()218122

m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩

； （2）如图2中，

由（

1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4），

∴AD ＝OA ＝4，OB ＝2，

∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25，

∵AC ＝OC ＝2，

∴AC ＝OB ，

∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ，

∴△DAC ≌△AOB （SAS ），

∴∠ADC ＝∠BAO ，

∵∠ADC +∠ACD ＝90°，

∴∠EAC +∠ACE ＝90°，

∴∠AEC ＝90°，

∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ，

∴S △ADB ＝

12•AB •AE ＝12

•BD •AF ， ∵AB ＝BD ，

∴DE ＝AF ． （3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，

∵AG ＝BG ，

∴∠GAB ＝∠GBA ，

∵G 为射线AD 上的一点，

∴AG ∥y 轴，

∴∠GAB ＝∠ABC ，

∴∠ACB ＝∠EBA ，

∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ，

即∠ABG ＝∠ACN ，

∵∠GAN ＝∠GBO ，

∴∠AGB ＝∠ANC ，

在△ABG 与△ACN 中，

ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ），

∴BF ＝CN ，

∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【点睛】

本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

2．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．

小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，

他的结论是（直接写结论，不需证明）；

(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．

【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.

【解析】

【分析】

（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到

EF=FG，最后求三角形的周长即可.

【详解】

解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC

在△ABE和△ADG中，

∵

DC DG

B ADG

AB AD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=

1

2

∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵

AE AG

EAF GAF

AF AF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

故答案为：EF=BE+DF．

（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；

理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG

在△ABE和△ADG中，

∵

DG BE

B ADG

AB AD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），