非负矩阵分解下的稀疏基构建

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NMF综述报告

人脸识别的非负矩阵分解(NMF)方法文献综述摘要：人类对整体的感知是基于对部分的感知，NMF（非负矩阵分解，Non-negative matrix factorization）的思想正是源于此。

通过对矩阵分解因子加入了非负性约束，使得对高维非负原始数据矩阵的分解结果不存在负值，且具有一定的稀疏性，因而得到了相对低维、纯加性、拥有一定稀疏特性的分解结果。

与PCA（主成分分析，principal components analysis）等传统人脸识别方法相比，NMF的基图像就是人脸的各个局部特征，并且通过对经典算法的一系列优化，改进的NMF算法的识别率和鲁棒性较传统方法有着显著优势。

此外，NMF在机器学习、语义理解等领域也有着重要应用。

关键词：非负矩阵分解（NMF）稀疏性改进的NMF 语义理解一、引言在实际中的许多数据都具有非负性，而现实中对数据的处理又要求数据的低秩性经典的数据处理方法一般不能够确保非负性的要求，如何找到一个非负的低秩矩阵来近似原数据矩阵成为一个关键问题。

在这样的背景下，NMF方法应运而生。

NMF方法思想最早可以追溯到由Paatero和Tapper在1994年提出的正矩阵分解（Positive Matrix Factorization,PMF）[1]；此后1999年，Lee和Seung提出了一个以广义KL散度为优化目标函数的基本NMF模型算法，并将其应用于人脸图像表示[2]；2001年，Lee和Seung通过对基本NMF算法进行深入研究，又提出了两个经典的NMF算法，即基于欧氏距离测度的乘性迭代算法和基于广义KL散度的乘性迭代算法，并给出了收敛性证明[3]，这两种算法称为NMF方法的基准算法，广泛应用于各个领域。

但是在实际应用中，由于经典的基准NMF算法存在收敛速度较慢，未利用统计特征，对光线、遮挡等敏感，以及无法进行增量学习等问题，各种改进的NMF算法被提出。

其中包括Lin提出的基于投影梯度（Projected Gradient，PG）的NMF方法[3]，该方法有着很高的分解精度；Berry提出的基于投影非负最小二乘（Projected Non-negative Least Square，PNLS）的NMF方法[5]，通过这种方法得到的基矩阵的稀疏性、正交性叫基准NMF方法都更好；此外还有牛顿类方法[6]和基于有效集[7]的NMF方法等。

非负矩阵分解算法概述之Lee

Q1:已知,如何求解
,使之满足上面的等式,其中具有初始值(就是我们设计的一堆东西。
如果我们让固定,这就是一个方程求解的过程。然而,当我们认为也可以缩减,即认为很少样本就足够表示我们真实取得的样本,那么问题进一步转化为:
Q2:如何同时求解和
,使之满足。
或者我们也可以只对因素矩阵进行分解,即直接对其进行消减:
图1 Lee和Seung的经典文献中所使用的NMF说明图【1】
上图为NMF对人脸图像的分解结果,可见每一个子图都是人脸的某个局部;下左图为VQ分解结果,每一个子图就是某个原始样本;右下图为PCA分解结果,子图由特征脸和各级误差脸组成
据说,据Lee&Seung说, NMF由于在分解过程中做了非负限制,得到的结果会像图3上一样,每个子图(类似于基是全图的一部分,这显然有别于我们往常所用的分解,并且更符合于人类直观视觉过程“局部组成整体”。
(2是什么因素影响了学生的最终选择?或者说,从统计上来看,每个因素占多大比重?
这时,用矩阵来表示可写为,
其中就表示那个因素矩阵,表示最终取向,代表我们要求的系数。我们把要求的用代替,写成矩阵形式为:
(1更进一步,如果我们不仅调查学生的去向,还想同时调查很多事情,那么就会有
,这样上面的式子改写为:
(2此时问题转化为:
(3其中,为消减后因素矩阵,为在基底下的表示系数,这里要求列数要大大低于的列数,否则就没有实际意义。
上面这个过程,就类似Paatero&Tapper于1994年提出的实矩阵分解(Positive Matrix Factorization, PMF模型,此模型后来被Lee&Seung提出的非负矩阵分解(Nonnegative Matrix Factorization, NMF/NNMF模型所取代。

稀疏矩阵存储和操作稀疏矩阵的数据结构与算法

稀疏矩阵存储和操作稀疏矩阵的数据结构与算法稀疏矩阵是指具有大量零元素和少量非零元素的矩阵。

在实际场景中，由于矩阵中大部分元素为零，传统的矩阵存储方式会造成大量的存储空间的浪费以及数据操作的低效性。

因此，为了节省存储空间和提高数据操作的效率，稀疏矩阵的存储和操作需要借助于特定的数据结构和算法。

一、稀疏矩阵存储的数据结构1.1. 压缩存储方法压缩存储方法是一种常用的稀疏矩阵存储方法。

常见的压缩存储方法有三种：行压缩法（CSR）、列压缩法（CSC）和十字链表法。

1.1.1. 行压缩法（CSR）行压缩法是通过两个数组来存储稀疏矩阵的非零元素。

第一个数组存储非零元素的值，第二个数组存储非零元素在矩阵中的位置信息。

1.1.2. 列压缩法（CSC）列压缩法与行压缩法相似，只是存储方式不同。

列压缩法是通过两个数组来存储稀疏矩阵的非零元素。

第一个数组存储非零元素的值，第二个数组存储非零元素在矩阵中的位置信息。

1.1.3. 十字链表法十字链表法是一种更加灵活的稀疏矩阵存储方法。

通过使用链表的方式，将非零元素存储在链表中，并且每个非零元素还具有行和列的指针，方便进行数据操作。

1.2. 坐标存储法坐标存储法是一种简单直观的稀疏矩阵存储方法。

每个非零元素包括行列坐标和元素值，通过三元组的方式进行存储。

二、稀疏矩阵的操作算法2.1. 矩阵转置矩阵转置是指将原矩阵的行变为列，列变为行的操作。

对于稀疏矩阵，常用的转置算法为快速转置算法。

该算法通过统计每列非零元素的个数，并根据列的非零元素个数确定每个非零元素转置后的位置。

2.2. 矩阵相加矩阵相加是指将两个矩阵对应位置上的元素相加得到一个新的矩阵。

对于稀疏矩阵的相加，可以遍历两个矩阵的非零元素，对相同位置上的元素进行相加。

2.3. 矩阵相乘矩阵相乘是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

对于稀疏矩阵的相乘，常用的算法为稀疏矩阵乘法算法。

该算法通过遍历两个矩阵的非零元素，按照矩阵乘法的规则计算得到新矩阵的非零元素。

非负矩阵分解_1

从以上分析可以看到，当考虑不同的噪声类型时，可以得到不同的目标函数用来实现矩阵分解。下面看下泊松噪声和高斯噪声的对比
三、假设噪声服从拉普拉斯分布
同理得到拉普拉斯噪声的迭代公式：
Bik Bik j C kj X ij ( BC) ij Bik Bik l Blk
C kj C kj i Bik X ij ( BC) ij
j
Ckj Ckj kj [ Bik
i
Bik ]
i
设置
Ckj 得到乘性迭代规则： Bik ik , kj Ckj Bik
j i
Bik Bik C kj C kj
j C kj X ij ( BC ) ij j C kj i Bik X ij ( BC) ij i Bik
NNSC η, λ = 0.001
SNMF β = 0.001
NNSC η, λ =0.001误差 Error_NNSC_0001 = 4.751*10^3 SNMF β = 0.001误差 Error_SNMF_0001 = 2.092*10^3
七、非负因子提取法（NFE）
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，与目前为止效果最好的LNMF对比如下：
拉普拉斯分布
局部非负矩阵分解
拉普拉斯分布误差 Error_LPLS = 2.071*10*3 局部非负矩阵分解误差 Error_LNMF = 2.040*10^3 返回
五、非负稀疏编码（NNSC）
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，特别地，由于使用加性迭代，迭式子中出现η和λ常量，现取η, λ =0.001和0.0001，效果对比如下r=100时，与高斯分布的效果图对比如下：

非奇异矩阵分解算法综述

2、NMF 概念和性质
定义：对一个M维的随机向量x进行了N次的观测,记这些观测为xj,j=1,2,„, N,取观测数据矩阵为X=[x1,x2,„xn]∈IR>=0 2,„ul]
MxN
=0
MxN
,NMF旨在寻找X的基矩阵U=[u1,u
MxN
Mxl
>=0和非负系数L*N矩阵V=[源自1,v2,„vn] ∈IR>=0
附加在数据成分矩阵上的基于不同数据统计模型的约束条件和算法的底层结构两方面的不同。然而,它们的共同点在于对因式分解后的矩阵元素特征标识没有约束条件。换句话来说，它们允许负的分解量存在 (允许有减性的描述),并且能实现线性的维数约减。区别于它们的，一种新的变换方法 ———非负矩阵分解(Nonnegative Matrix Factor ,NMF)，它包含有非负的约束从而部分、局部的特征表征以及加强了相应问题的可解释性，是由 Paatero 和 Tapper 联合 Lee 和 Seung 在《Nature》上提出的。事实上，NMF 的概念在很久以前用作为化学计量学中的“自我建模曲线分辨率”，表明向量是连续曲线而不是离散向量的。NMF 起初被 Paatero 和 Tapper 介绍过来时使用的是正数矩阵分解的称号，注重于通过复杂的算法的实现使用到一项专门的应用中。其中表现出来的缺陷限制了相关理论（例如算法的收敛性、解决方案的特性）和算法之于其他应用方向的一般化的发展。所幸的是， NMF 理念因为 Lee 和 Seung 他们所做的研究工作---更为简单有效的算法和对其局部特征表征的潜在价值的着重强调而变得越来越流行。远超过了数学领域的探究范围，尝试为表征对象的各个部分特征提供可行算法模型的 NMF 理论中蕴含着近似于感知机制的哲学理念，局部表征的概念看起来很直观，但它确实是生理学和心理学案例---对整体的感知由对组成整体的部分的感知构成的(纯加性的)的解释基础，是电脑计算对象识别问题的核心理念之一。事实上，NMF 包含有两个互补的内涵---非负成分和纯加性。一方面，负的成分在真实世界的数据中观测数据和潜在数据（比如影像、光谱和基因数据、实际问题分析数据）中在物理上毫无意义，同时，现有的对象原型通常用特定的语义进行阐述，例如在脸部识别中，其所基于的图像区域是局部的（像是脸的局部特征，眼睛、鼻子、嘴和脸颊等）而并非是整体的。另一方面，感兴趣对象一般通过它的对其局部特征的详细属性目录和专属附加特性进行描述识别，有了上述两项便可以对对象进行重建就像是通过拼图辨认嫌疑犯一样。正是由于上述特点，NMF 在实际场景任务应用中取得了巨大的成功，在文本聚类算法中,NMF 不仅在精度改进方面也在潜在语义识别方面均超越了经典的聚类方法, 如光谱聚类。除此之外，非负约束在某种程度上会自然而然导致稀疏性，稀疏性的表述已被证明是介于完全分布式的描述和单一活跃分量的描述间的一种有效数据描述

稀疏矩阵的相关操作

稀疏矩阵的相关操作稀疏矩阵是指在一个矩阵中，大部分元素为0的矩阵。

由于大部分元素为0，而非零元素相对较少，稀疏矩阵的存储和处理具有一定的特殊性。

在实际应用中，经常需要对稀疏矩阵进行各种操作，如创建、存储、加法操作等。

本文将从这些方面详细介绍稀疏矩阵的相关操作。

首先，创建稀疏矩阵需要考虑两个关键因素：矩阵的大小和矩阵的稀疏性。

对于稀疏矩阵的大小，一般可以使用行数和列数来描述。

而对于稀疏矩阵的稀疏性，可以使用一个矩阵的非零元素个数与总元素个数的比值来衡量，一般使用稀疏度来表示，即非零元素个数与总元素个数的比值。

创建稀疏矩阵的方法有多种，下面介绍两种常见的方法。

1.压缩矩阵存储法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在一个矩阵中。

其中，矩阵的每一行存储一个非零元素的值、行和列坐标。

这种方法虽然节约了存储空间，但是在进行矩阵操作时，需要通过遍历矩阵找到对应的非零元素，因此操作效率较低。

2.链表存储法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在一个链表中。

链表的每个节点包含一个非零元素的值、行和列坐标，以及下一个非零元素的指针。

这种方法在插入和删除操作时比较方便，并且节约了存储空间。

但是，链表存储法在进行矩阵操作时，也需要通过遍历链表找到对应的非零元素，因此操作效率较低。

除了创建稀疏矩阵，还需要进行其他各种操作，如稀疏矩阵的加法、乘法、转置等。

稀疏矩阵的乘法操作较为复杂。

对于两个稀疏矩阵相乘，需要根据矩阵乘法的定义，将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行乘法运算，然后将结果相加得到最终的乘积矩阵。

由于稀疏矩阵的特殊性，可以采用稀疏矩阵乘法算法进行计算，提高乘法操作的效率。

1.三元组转置法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在三个数组中，分别是非零元素数组、行坐标数组和列坐标数组。

将这三个数组的元素进行转置，并重新组合成转置后的稀疏矩阵。

2.链表转置法：该方法将稀疏矩阵的非零元素和对应的行列坐标存储在链表中。

非负矩阵分解算法在推荐系统中的应用

非负矩阵分解算法在推荐系统中的应用随着互联网飞速发展, 推荐系统已经成为了人们信息获取和购买习惯调整的重要方式之一。

而推荐算法也成为了推荐系统中的重要组成部分。

从最早的基于词频统计的分析算法到后来的协同过滤算法，推荐算法一直在不断改进，以期提高推荐系统的精度和效率。

近年来，非负矩阵分解算法(NMF)被引入到推荐系统中，成为了一种新的推荐算法，并且在一些领域中已经取得了很好的效果。

一、什么是非负矩阵分解算法？非负矩阵分解算法在2001年由Lee和Seung提出，也称为NMF算法。

它是一种在推荐系统中非常有用的算法，可以方便地推断出用户对物品的偏好。

简单来说，就是将一个原始的矩阵分解成两个非负的矩阵，一个是用户矩阵，另外一个是物品矩阵，并通过计算它们的积，可以预测用户之前没有评价过的物品。

NMF算法在推荐系统中的一个优势是它可以解决“数据稀疏”问题。

在推荐系统中，一个用户可能只对很少的几个物品进行了评价，这就导致了大部分的元素都是空值。

NMF算法通过矩阵分解，可以填充空间，并预测用户对新的物品的偏好，提高推荐的准确度。

因此，NMF算法被广泛应用在社交网络推荐、电影和音乐推荐、商品推荐等。

二、NMF算法在推荐系统中的优势除了可以解决数据稀疏的问题，NMF算法在推荐系统中有许多其他的优势。

1. 预测准确度高在很多情况下，NMF算法的预测准确度比传统的推荐算法更高。

这是因为它能够抽象出更多的特征，并用这些特征来更好地描述用户的偏好，从而提高预测的准确度。

2. 模型可解释性强NMF算法中的用户矩阵和物品矩阵都只包含非负值，这意味着它们都有一个自然的物理解释。

例如，在一个用户矩阵中，每一行都代表该用户对不同特征的偏好评分，如“音乐”、“体育”、“电影”等。

同样地，在一个物品矩阵中，每一列代表该物品各个特征的分值。

这种解释性强的模型可以让我们更好地观察用户和物品之间的关系，并更好地解释预测结果。

3. 算法参数少NMF算法的参数相对较少，只有两个矩阵需要分解，因此实现过程会更加简单，运算速度更快，这对于大规模的推荐系统来说尤其重要。

非负矩阵分解在图像分析中的应用

量)中包含大部分为0的系数，因此基图像矩阵牙和编码图像矩阵H是稀疏的(sParse)。

基图像的稀疏是因为它是非整体的而且包含多个版本的嘴、鼻子和其它面部元件，在这里各种版本的嘴、鼻子和其它面部元件是在不同的位置和处于不同的形式。

整张脸的多样性就是通过组合这些不同的部件所生成的。

尽管所有的部件至少被一张脸使用，但对于给定的脸并不一定同时使用所有的可用的部件。

这就导致了一个稀疏地分散的图像编码，与v Q的一元编码和P C A的全部分散的编码形成鲜明的对比。

N M F口」二叫叫l111l ll口L」乞_」卜尸叫叫卜一卜扁洲洲...l l习「二]]]l‘蓄日.l ll.l ll...「「]]]至习}}州州I11卜州卜了--.!!!...l一~门门一门门r一，「一几几鱼鱼匕列列「「」.!!!「翌r~~~~呈呈_」月匡匡{{{李一{{{江习l二月一一l r一-，厂气飞一1一T丁一疡一}}牲大1__里f户_」~__l l..!!里哩到「「工二)))钾一:片.r l‘r r一1:阅一宁一卞一二，二，户l l，、百..11.气馨。

书一各.本.4本4一一··1一f+于+卡一··上址全士上上福福~备牛4半4--p C A辍蟒矍黔鬓辍卜卜玺玺铆铆~呀，.曰卜，44r尹石畏‘‘‘气丁习巨蒸蒸俘砚勺勺爵自自酬酬爵圃令令麒圃麒麒肠肠翻嚷寥娜娜氢氢翩翩{密令润瞬绝翻眯眯之麟爵观胰爵广截截彝啊!!!版{{{嗽叫解解遗、髯摹!!!瓮髯酬111·惑一履图2.1N M F、V Q、P C A对人脸的表示N M F是对人脸的的基于部分的表达，而V Q和P C A是对人脸的基于整体的表达。

这三种分析方法都被应用到一个m=2429的人脸图像数据库中，每个图像由n=19xl9像素组成，最终形成一个n x m矩阵V。

这三种方法都是设法找到一种V的近似分解V二不朽叮，但是牙和H规定不同的约束条件。

基因组学数据分析中稀疏矩阵分解的使用方法

基因组学数据分析中稀疏矩阵分解的使用方法基因组学数据分析是研究基因组中的基因及其功能和相互作用的一个领域。

随着高通量测序技术的不断发展，我们可以快速获取大量的基因组学数据。

然而，对于这些大规模数据的处理和分析提出了新的挑战。

在基因组学数据分析中，往往需要处理具有大量特征和样本的高维数据。

而且，由于测序技术的限制以及生物学实验的复杂性，这些数据经常呈现出高度稀疏的特点。

稀疏矩阵分解（sparse matrix factorization）是一种常用的方法，可以用来进行基因组学数据的降维和特征提取。

稀疏矩阵分解是一种将高维稀疏矩阵分解为低维稠密矩阵的技术。

通过这种方式，我们可以将原始的高维数据转化为更加紧凑和易于处理的形式，同时保留数据的主要特征。

下面将介绍基于稀疏矩阵分解的基因组学数据分析的具体使用方法。

首先，我们需要将基因组学数据转化为稀疏矩阵的形式。

常见的基因组学数据包括基因表达数据、DNA甲基化数据和染色质亲和层析-测序（ChIP-seq）数据等。

这些数据通常以样本为行、基因（或基因组区域）为列，元素为基因表达值、甲基化水平或染色质结合强度等。

我们可以使用适当的方法将这些数据转化为稀疏矩阵，例如使用基因表达数据中的负二项分布模型或者使用染色质亲和层析-测序数据中的读取计数。

接下来，我们可以使用各种稀疏矩阵分解方法对基因组学数据进行处理和分析。

这些方法包括主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）、独立成分分析（Independent Component Analysis, ICA）、非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization, NMF）等。

主成分分析是一种广泛应用的降维方法，可以将高维数据投射到较低维的空间中。

在基因组学数据分析中，我们可以使用主成分分析来寻找基因表达数据中的主要模式或基因组区域的主要甲基化模式。

通过选择适当数量的主成分，我们可以将数据的维度降低，并且保留主要的方差。

非负矩阵分解的基本原理和研究现状分析

非负矩阵分解的基本原理和研究现状分析摘要:阐述了非负矩阵分解的基本原理、实现方法及其改进,分析了非负矩阵分解当前研究现状和热点,指出了进一步研究方向。

关键词:非负矩阵分解约束优化PCA SVD非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,简记为NMF)是由Lee和Seung在著名的《Nature》杂志上提出的一种新的矩阵分析方法[1],其起源可以追溯到Paatero等人的研究工作。

随着计算机和信息技术的发展,矩阵分解成为处理大规模数据的一种有效手段。

传统的矩阵分解工具,例如PCA(Principal Component Analysis)和SVD等,分解的结果常常含有负值,而负元素在实际问题中往往没有合理的物理解释。

NMF强制分解过程以及最终结果的矩阵中所有元素均为非负,是一种更加自然的对象的表达方法,所以具有广泛的应用前景,目前还存在许多富有挑战性的问题需要研究。

1 非负矩阵分解的基本原理和实现算法2 非负矩阵分解研究现状分析以Lee和Seung提出的NMF算法为基础,发展了NMF的很多变体以提高算法性能。

为了说话方便,不妨把Lee和Seung提出的算法称为基本NMF算法。

NMF产生的矩阵和具有一定程度上的稀疏性,减少了数据冗余。

这是NMF技术的最重要特点之一,但是基本的NMF算法产生的稀疏程度并不能满足某些应用的需要,例如稀疏编码,于是给目标函数中增加稀疏限制项构成了一大类改进的NMF算法。

NMF 分解的结果中没有原始数据的任何类别信息和内部结构信息,当把NMF应用于分类或者查询时就成为该技术的一个明显缺陷,因此,在目标函数中加入鉴别信息项或者把NMF与能够找出数据内在结构的技术相结合,从而达到改进算法性能的目的,成为NMF技术研究的又一个分支。

加权是NMF算法的又一类改进,加权可以使数据中的重要区域被更好地描述。

NMF基本算法及其绝大多数改进的算法中,矩阵和的初始值都是取作非负的随机值。

非负矩阵分解算法的发展与应用

非负矩阵分解算法的发展与应用第一章：引言1.1 背景介绍：矩阵分解在数据分析领域得到广泛使用，非负矩阵分解是一种特殊的矩阵分解方法，其可以将原始矩阵分解为非负的低秩矩阵乘积，具有较好的可解释性和适用性。

1.2 研究意义：非负矩阵分解在图像处理、文本挖掘、推荐系统等方面的应用都取得了显著的成果，因此有必要对其发展和应用进行深入研究。

1.3 研究目的：本文旨在系统地介绍非负矩阵分解算法的发展与应用，为相关领域的研究人员提供参考。

第二章：非负矩阵分解算法的基本原理2.1 矩阵分解方法概述：介绍矩阵分解作为一种常用的数据分析方法，包括主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等。

2.2 非负矩阵分解原理：阐述非负矩阵分解的基本原理，包括非负性约束、低秩近似等概念。

第三章：非负矩阵分解的优化方法3.1 乘法更新规则：介绍常见的乘法更新规则，包括Lee and Seung的规则、Kullback-Leibler散度等。

3.2 正则化方法：介绍在非负矩阵分解中常用的正则化方法，如L1范数、L2范数等。

3.3 收敛性分析：分析非负矩阵分解算法的收敛性和稳定性，包括收敛速度和停止准则等。

第四章：非负矩阵分解的应用领域4.1 图像处理：介绍非负矩阵分解在图像处理中的应用，包括图像压缩、图像分割等。

4.2 文本挖掘：介绍非负矩阵分解在文本挖掘中的应用，包括主题模型、情感分析等。

4.3 推荐系统：介绍非负矩阵分解在推荐系统中的应用，包括基于用户的推荐、基于物品的推荐等。

4.4 其他领域的应用：介绍非负矩阵分解在其他领域的应用，如生物信息学、社交网络分析等。

第五章：非负矩阵分解算法的改进方法5.1 稀疏性约束：介绍在非负矩阵分解中引入稀疏性约束的方法，如NMF with sparse coding、L1正则化等。

5.2 多目标优化：介绍在非负矩阵分解中考虑多个目标的优化方法，如多目标规划、多目标遗传算法等。

5.3 随机算法：介绍非负矩阵分解中的随机算法，如随机梯度下降、随机投影等。

稀疏非负矩阵分解

稀疏非负矩阵分解稀疏非负矩阵分解是一种用于处理稀疏数据集的矩阵分解方法。

在现实生活中，我们经常会遇到稀疏数据集，即大部分元素都是零的数据集。

稀疏非负矩阵分解可以将这样的数据集分解为两个非负矩阵的乘积，从而能够更好地理解和利用这些数据。

稀疏非负矩阵分解在很多领域都有广泛的应用，比如推荐系统、图像处理、文本挖掘等。

在推荐系统中，我们常常需要根据用户的历史行为数据来预测其可能感兴趣的物品。

而这些行为数据往往是稀疏的，即大部分用户与物品之间并没有交互。

通过对这些稀疏数据进行非负矩阵分解，我们可以得到用户和物品的潜在特征向量，从而能够更准确地预测用户对物品的喜好程度。

在图像处理领域，稀疏非负矩阵分解可以用于图像压缩和图像去噪。

图像是由像素点组成的矩阵，而稀疏非负矩阵分解可以将图像分解为两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵表示图像的结构信息，另一个矩阵表示图像的纹理信息。

通过对这两个矩阵的调整和组合，我们可以实现图像的压缩和去噪，从而减小图像的存储空间和提高图像的质量。

在文本挖掘领域，稀疏非负矩阵分解可以用于主题建模和文本分类。

主题建模是指从大量文本数据中挖掘出隐藏的主题信息，而稀疏非负矩阵分解可以将文本数据分解为两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵表示文本和主题之间的关系，另一个矩阵表示主题和词语之间的关系。

通过对这两个矩阵的分析和调整，我们可以得到文本的主题分布，从而更好地理解和组织文本数据。

而在文本分类中，稀疏非负矩阵分解可以用于特征选择和特征降维，从而提高分类的准确性和效率。

除了上述应用领域，稀疏非负矩阵分解还可以用于图像识别、音频处理、网络分析等多个领域。

无论在哪个领域，稀疏非负矩阵分解都能够帮助我们从稀疏数据中提取有用的信息，从而更好地理解和利用这些数据。

总结来说，稀疏非负矩阵分解是一种用于处理稀疏数据集的矩阵分解方法，具有广泛的应用前景。

通过将稀疏数据分解为两个非负矩阵的乘积，我们可以更好地理解和利用这些数据，从而在推荐系统、图像处理、文本挖掘等领域中取得更好的效果。

非负矩阵分解下的稀疏基构建

第１３卷
第４期
２０１３年２月
科
学
技
术
与
工
程
ＶｏＩ＿１３Ｎｏ．４Ｆｅｂ．２０１３
１６７１ —１８１５（２０１３）０４ — ０８３５ — ０６
ＳｃｉｅｎｃｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
小冗余度后，压缩感知研究已经起步，吸引了越来越多的人加入到研究队伍。
压缩感知理论主要包括稀疏字典、测量矩阵和
个方阵，信号在该矩阵上的投影得到的是信号的压缩表示Ｙ。通常这个投影过程是不可逆的，即由Ｙ求解是一个解欠定方程的过程。但如果Ｙ是稀疏
２０１２年９月４１３收到，１０月１０日修改国家自然基金项目
１压缩感知基本理论
对于信号 ∈Ｒ刈找到一个线性测量矩阵 ∈ Ｒ（Ｍ＜Ｎ），进行投影运算。
Ｙ１＝中Ｍ Ⅳ Ⅳ １，（１）
的绝对值很小，比如对信号进行傅里叶变换、小波变换、离散余弦变换等得到的数个分量表示长度为 Ⅳ 的信
配追踪对信号进行恢复，并进一步从相干度，采样
稀疏度，以及信号还原能力方面进行了分析。
号。可以将变换后的数据看作原始信号的一种简洁表达，这是压缩感知的前提。测量矩阵是为了确保信号的线性投影能保持信号的原始结构，这是压缩感知的关键。通常测量矩阵（＜ｍ）不是一

MATLAB中的非负矩阵分解方法详解

MATLAB中的非负矩阵分解方法详解介绍非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）是一种常用的数据分析和特征提取方法。

相比于传统的矩阵分解方法，NMF具有许多独特的优势，尤其适用于处理非负数据或稀疏数据。

NMF的基本思想是将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵表示特征的组合权重，另一个矩阵表示特征的表示方式。

这种分解方法可以被看作是一种特征选择和降维的手段，能够提取原始数据中的主要特征信息。

NMF的应用NMF广泛应用于多个领域，包括图像处理、文本挖掘、生物信息学等。

在图像处理领域，通过NMF可以将图像数据分解为基础形状和颜色分布，实现图像的压缩和图像特征的提取。

在文本挖掘领域，NMF可以用于对文本进行主题建模和情感分析。

NMF的算法原理NMF的目标是找到两个非负矩阵W和H，使得原始矩阵V与它们的乘积WH 的近似误差最小。

这个优化问题可以通过迭代算法来求解。

常见的NMF算法有HALS、MU和Lee-Seung算法。

算法1：HALS算法HALS算法是一种基于交替最小二乘法的NMF算法。

它通过固定一个矩阵，求解另一个矩阵的更新值，然后交替迭代，最终找到近似解。

该算法的迭代过程中对更新值进行非负性约束，确保输出的矩阵非负。

HALS算法的具体流程如下：1. 初始化矩阵W和H为非负随机数；2. 固定H，通过最小二乘法求解W的更新值；3. 固定W，通过最小二乘法求解H的更新值；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则。

算法2：MU算法MU算法是一种基于乘法更新规则的NMF算法。

与HALS算法不同，MU算法采用两个非负矩阵的元素逐个更新的方式。

该算法的迭代过程中同样对更新值进行非负性约束。

MU算法的具体流程如下：1. 初始化矩阵W和H为非负随机数；2. 根据乘法更新规则，更新矩阵W和H的元素；3. 重复步骤2，直到满足停止准则。

算法3：Lee-Seung算法Lee-Seung算法是最早提出的NMF算法之一，也是一种基于乘法更新规则的方法。

非负矩阵分解算法

应用于寻找局部最小值。
4
梯度下降法4可能是实现起来最简单的技术，但其收敛速度可能很慢。其他方法如共轭梯度具有更快的收敛（至少在局部最小值附近），但是比梯度下降更复杂[8]。并且，基于梯度的方法的收敛具有对步长选择非常敏感的缺点，这对于大型应用非常不方便。
四．乘法矫正规则
我们发现，以下“乘法矫正规则”是解决问题 1 和 2 的速度和
1
3(��3 −
T ��3TℎT)1
(15)
证明：因为显然�� ℎ, ℎ ≥ �� ℎ ，我们只需要证明�� ℎ, ℎd ≥ �� ℎ ，
为了证明需要，我们对比
�� ℎ = �� ℎe + ℎ − ℎe X∇�� ℎe + g ℎ − ℎe X ��X�� ℎ − ℎe
��TU
=
Z[\ (]^]Z)[\
(7)
那么我们获得在定理 1 中给出的 H 的矫正规则。注意，该重新
调整会得出乘子因子（分母中的梯度的正分量和因子的分子中的负
分量的绝对值）。
对于散度，对角线重新调整梯度下降采取以下显示：
��TU ← ��TU + ��TU[ 3 ��3T��3U/(��)3U − 3 ��3T] (8)
非负矩阵分解算法1
摘要:非负矩阵分解（NMF）是一种处理多变量数据分解极为有效的方
法。这里分析了两种不同的 NMF 多重算法。它们只在矫正规则2中使用的乘法因子上略有不同。一种算法可以最小化传统的最小二乘误差，而另一种算法则能将广义的 Kullback-Leibler 发散度最小化。两种算法的单调收敛性均可使用类似于用于证明期望最大化算法收敛的辅助函数来证明。这些算法采用对角比例梯度下降的方式，重新调整因子被最优选择以确保收敛。

非负矩阵分解算法综述

非负矩阵分解算法综述非负矩阵分解（Non-Negative Matrix Factorization, NMF）是一种常用的非线性降维和特征提取技术，广泛应用于图像处理、文本挖掘、推荐系统等领域。

本文将对非负矩阵分解算法进行综述。

一、基本原理V≈WH其中，W的每一列可以看作是数据的一个潜在特征，H是通过组合这些特征得到的原始数据的表示。

NMF的目标是找到合适的W和H，使得V 和WH的差异最小化。

二、经典NMF算法1. Multiplicative Update（MU）Multiplicative Update算法是最早的NMF方法之一，通过迭代更新W和H的元素来最小化目标函数。

该方法简单易懂，但可能陷入局部最优解。

2. Alternating Nonnegative Least Squares（ANLS）ANLS算法通过最小二乘法对每一轮更新W和H的元素，得到更好的分解结果。

相比于MU算法，ANLS算法更稳定，但计算复杂度较高。

3. Projected Gradient Descent（PGD）PGD方法通过梯度下降法对W和H更新的过程进行限制，使得其始终保持非负。

该方法在稀疏矩阵分解问题中表现较好。

4. Sparse NMFSparse NMF算法是对NMF进行改进，引入了稀疏性约束。

通过加入稀疏性约束，该算法能够产生更加稀疏的特征表示，提高了特征提取的效果。

三、进展和拓展1.随机NMF随机NMF方法通过随机选择分解结果的初始化值，然后在迭代过程中进行更新，可以避免陷入局部最优解。

2.多尺度NMF多尺度NMF方法对输入矩阵进行多尺度分解，可以从不同尺度上捕捉到更丰富的特征信息。

3.核NMF核NMF方法利用核技巧将非负矩阵分解扩展到非线性情况，可以更好地处理非线性特征提取问题。

4.基于深度学习的NMF基于深度学习的NMF算法将NMF与深度学习模型结合，利用深度神经网络进行特征提取和分解，可以处理更加复杂的数据。

基于非负矩阵分解的递归稀疏表示的心肺音分离方法

非负矩阵分解（non-negative matrix factorization， NMF）是一种常用盲分离方法[7]，通过抽取随时间变化的心肺音幅模，能捕捉变换域重复出现的模式，适于心肺音分离。然而，基于监督 NMF 的心肺音分离方法[8]忽略了肺音频域模式复杂多样的特点，分离效果欠佳。基于字典学习的稀疏表示的单通道盲分离方法克服了以上的不足，并已广泛用于信号处理，如无线通讯[9-10]和生物医学[11]等领域。但是，以上方法都忽略了心肺音信号时序上的递归特性。
通过小波变换方法12滤除白噪声后可认为心肺音混合信号只含有心音和肺音其数学模型为crststst??2对??st进行短时傅立叶变换shorttermfouriertransformstft得到复时频谱??stf其中12
应用技术
基于非负矩阵分解的递归稀疏表示的心肺音分离方法
邹振城刘厶元
（广东工业大学）摘要：针对心肺音的时序结构特性，提出一种基于非负矩阵分解的递归稀疏表示的心肺音分离方法。通过
X X% WH
(3)
其中， X 为 N T 原矩阵：W 为 N K 基矩阵； H 为 K T 系数矩阵。
对 X 的近似分解,首先需要定义一个代价函数来
衡量分解的近似程度。使用两个非负矩阵的距离程度
构建一个代价函数来衡量两个矩阵的近似程度。其中
度量公式为测量矩阵 X 和WH 的欧氏距离的平方，即
非负矩阵分解构建能有效描述心肺音的递归特征心肺音字典；基于该字典，获得心音和肺音的稀疏表示，实现心肺音分离。实验结果表明：本文设计的心肺音分离方法取得的效果优于基于非负矩阵分解的稀疏表示的心肺音分离方法、监督非负矩阵分解方法的心肺音分离和带通滤波。
关键词：心肺音分离；t. H DT D

非负矩阵分解算法综述

L
E U W#iHij . i= 1 此外, BNMF 常被有盲信号分离背景的学者解释为
含噪声项的产生式模型: V= WH+ E[10] , E 是 M @N 的噪声矩阵. 不同的 BNMF 算法也常可被解释为遵循了不同的 E分布假设下的最大似然算法.
根据需要, 可给上述模型中的 W和 H 施加更多的限制, 构成 INMF.
2 NMF 简介
定义对一个 M 维的随机向量 v 进行了 N 次的观测, 记这些观测为 vj , j = 1, 2, , , N , 取 V= [ V#1, V#2, , , V#N ] , 其中 V#j = vj, j = 1, 2, , , N, BNMF 要求发现非负的 M @L 的基矩阵 W= [ W#1, W#2, , , W#N ] 和 L @N 的系数矩阵 H = [ H#1, H#2, , , H#N ] , 使 V U WH[1] , 这也可以用向量标量积的形式更为直观地表示为 V#j
Ke y words: non2negative matrix factorization; multivariate data representation; feature extraction
1 引言
在信号处理、神经网络、模式识别、计算机视觉和图象工程的研究中, 如何构造一个能使多维观测数据被更好描述的变换方法始终是一个非常重要的问题. 通常, 一个好的变换方法应具备两个基本的特性: ( 1) 可使数据的某种潜在结构变得清晰; ( 2) 能使数据的维数得到一定程度的约减.
主分量分析、线性鉴别分析、投影寻踪、因子分析、
冗余归约和独立分量分析是一些最常用的变换方法. 它们因被施加的限制不同而有着本质的区别, 然而, 它们有两个共同的特点: ( 1) 允许负的分解量存在 ( 允许有减性的描述) ; ( 2) 实现线性的维数约减. 区别于它们, 一种新的变换方法 ) ) ) 非负矩阵分解( Nonnegative Matrix Factor, NMF) [1]由 Lee 和 Seung 在5Nature6 上提出, 它使分解后的所有分量均为非负值(要求纯加性的描述) , 并且同时实现非线性的维数约减. NMF 的心理学和生理学构造依据是对整体的感知由对组成整体的部分的感知构成的( 纯加性的 ) [2~ 6], 这也符合直观的理解: 整体是由部分组成的[1], 因此它在某种意义上抓住了智能数据描述的本质. 此外, 这种非负性的限制导致了相应描述在一定程度上的稀疏性[1], 稀疏性的表述已被证明是介于完全分布式的描述和单一活跃分量的描述 3 间的一

非负矩阵分解聚类

非负矩阵分解聚类1. 简介非负矩阵分解聚类（Non-negative Matrix Factorization Clustering，NMF）是一种常用的无监督学习算法，用于发现数据集中的潜在模式和隐藏结构。

与其他聚类算法相比，NMF具有以下优点：•可解释性强：NMF将数据矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，这两个矩阵分别代表了数据的特征和权重，可以直观地解释聚类结果。

•适用于高维稀疏数据：NMF在处理高维稀疏数据时表现出色，能够提取出有意义的特征。

•可扩展性好：NMF的计算复杂度较低，可以处理大规模数据集。

在本文中，我们将详细介绍NMF算法的原理、应用场景、算法流程以及相关实现和评估指标。

2. 算法原理NMF的核心思想是将一个非负数据矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，即将数据矩阵X近似表示为WH，其中W和H是非负的。

给定一个非负数据矩阵X，NMF的目标是找到两个非负矩阵W和H，使得它们的乘积WH能够尽可能地接近原始数据矩阵X。

具体而言，NMF的优化目标可以定义为以下损失函数的最小化：其中，|X-WH|表示原始数据矩阵X与近似矩阵WH的差异，||·||_F表示Frobenius范数，(WH)ij表示矩阵WH的第i行第j列元素。

NMF的求解过程可以通过交替更新W和H来实现，具体步骤如下：1.初始化矩阵W和H为非负随机数。

2.交替更新矩阵W和H，使得损失函数逐步减小，直到收敛：–固定矩阵H，更新矩阵W：–固定矩阵W，更新矩阵H：3.重复步骤2，直到达到指定的迭代次数或损失函数收敛。

3. 应用场景NMF在许多领域都有广泛的应用，包括图像处理、文本挖掘、社交网络分析等。

以下是一些常见的应用场景：•图像分析：NMF可以用于图像分解、图像压缩、图像去噪等任务。

通过将图像矩阵分解为特征矩阵和权重矩阵，可以提取出图像的基础特征。

•文本挖掘：NMF可以用于主题建模、文本分类、关键词提取等任务。

通过将文档-词频矩阵分解为文档-主题矩阵和主题-词矩阵，可以发现文本数据中的主题结构。