28届决赛答案

第28届北京市高中力学竞赛决赛试题答案
（景山学校杯）
一、填空题
1．甲拉绳做的功是乙拉绳做的功的2倍.
2．有功夫的人能根据鸟对手掌的轻微作用调节手掌的起伏，使鸟腿不能蹬手，无力起飞.
3．起跳到离开高台的阶段，人蹲高台使人体质心加速上升；加速下蹲阶段和离开高台上升到下降落水阶段，下蹲过程人体质心加速下降，离开高台后加速度为重力加速度.
4.
图1
5. 2.7mg ，0.6R
6. 不能；如果A端能滑到桌边，这过程一开始阶段绳的水平动量增大，后来一阶段水平动量减小，但绳所受重力和桌面的作用力没有沿水平向左的力使动量减小.
二.计算题
7.解： 出射前对空间站与发射物体运用牛顿第二定律：
空间站与发射物体出射前后动量守恒：
空间站与月球组成的系统，以月球中心为参考点， 角动量守恒：R v m m r v m m Q ⋅-=⋅-)1)1((空
机械能守恒：
m
m Q m R m m m v m m r m m m v m m )12
)1)12)1(G (21(G (21---=---空 联立得：
8. 解：(1) 两球连线与钉相碰后，因球1所受径向力大于球2所受径向力，所以球1与钉的距离增大，球2与钉的距离减小.直到两球在线方向分速度均为零时，小球1与钉的距离最大.
(2)设小球1与钉的距离最大时两球速度分别为v 1、v 2.两球分别对钉所在点角动量守恒，且两球总机械能守恒.
对球1角动量守恒： (1)
对球2角动量守恒： (2)
对于整个系统角动量守恒：
2
02m m m v G m
r r =()空
v m m v m mv 1
110-+
=111(1m v m =
--1mv a mv x ⋅=⋅234mv a mv a x ⋅=⋅-（）
()x a mv x mv a mv mva --=⋅-4321 (3)
系统机械能守恒： (4) 由(1)(2)式得：
或由(1)(4)或(2)(4)或(3)(4)式得：
9. 解：设小球B 的质量m =0.2kg ，原来与固定点A 的距离r 0=0.4m ，当速率为v 时，与A 点距r =0.8m ，弹性绳自由伸展的长度为d =0.6m . 小球B 的速率由v 0→v 的过程中，作用在小球B 上的力对过A 点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A 点的角动量守恒，有
r 0mv 0sin30º= rmv (最大距离时， (1)
另外，在此过程中，只有保守内力（绳的弹力）做功，因而能
量守恒，
为求解方便，将(1)(2)化简，并代入已知数据可得：
解此方程组，求得：v 0 ≈1.3 m/s v ≈0.33 m/s
10.605v v
=2 1.278v v
=222121112222
mv mv mv ⋅=+)'
2(6.1)'
1(42
2
00v v v v +==)v r
⊥(2)
)(22
1
221202
1
mv d r k mv +-=10.605v v
=2 1.278v v
=
10. 解法一： 如图2所示
()
ϕα--==090OACOS AC x
ϕα+-=∠090OBA
αϕ--=∠090OAB
α
2=∠∴AOB
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+-=
∴αϕϕαϕαα2sin 2sin 12sin cos 2sin l l x ()ϕαα+-=090sin 2sin OA l
()ϕαα
-*=
∴cos 2sin l
OA
解法二：以三力交汇点为轴
()()()ϕαϕα--=+--0090tan 90tan x x l
(
)(
)ϕ
ααϕ----++=
0090tan 90cot 1l
x
解法三：由力平衡和力矩平衡
水平：()()ϕαϕα+=-sin sin 12合合F F 竖直：()()mg F F =-++ϕαϕαcos cos 21合合
图2
对C ： ()()()x l F x F --=⋅+ϕαϕαcos cos 21合合 或对左侧接触点
()ϕα+-⋅=090sin l F mgx 合
解法四： 分别用支持力和摩擦力列平衡方程（参照解法三）
如: ()0sin 90sin 0=-+-mgx fl Nl αα
()()()
l x ϕαϕαϕα-+++=
tan tan tan ()()()
l x l x ϕαϕαϕα-++-=-=tan tan tan ' 讨论：
（1）⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-αϕαϕ2sin 2sin 122sin 2sin 12l x l ；
（2）ϕαϕα-900≥≤，或若，任何情况都平衡。

11.解法一：设绳拉紧的瞬时，A 的速度为1v ，B 的速度为2v ，取如图3所示的坐标系，在y 方向系统不受外力，动量守恒：
210mv mv mv y += (1) A 对B 原所在的位置角动量守恒：
θθcos sin 2
110l mv l mv l
mv y x += (2)
图3
或把A 、B 看成质点系，整个质点系受外力矩为零，系统角动量守恒，质点系对O 点角动量守恒：
02
3212=-l mv v l m x (2/) 图中 60=θ 代入(2)得 y x mv mv mv 1103+= (3)
由约束条件得：
(4)
或绳拉紧时以B 为参照系，A 相对于B 的运动为以B 中心的圆，A 相对B 的速度为'v
θs i n '1v v x = (5) 2'1c o s v v v y +=θ (6)
'
12
3v v x =
2'12
1
v v v y +=
联立(1)(2)(3)(4)方程求解得，
027
3
v v = 方向沿y 轴。

或联立(1) (2/
)(3)(4)方程求解得，
027
3
v v = 方向沿y 轴。

或联立(1) (2/)(3)(5)(6)方程求解得，
027
3
v v = 方向沿y 轴。

或联立(1) (2)(3)(5)(6)方程求解得，
θθθsin cos sin 112y x v v v -=
027
3
v v = 方向沿y 轴。

解法二：
设绳张紧瞬间速度如图4所示:
060=θ
沿绳方向速度相等：y v v =θsin 2 (1)
垂直之于绳方向：x v v =cos 0 (2) 沿竖直方向动量守恒：
()θθs i n
c o s 20y x v v m mv mv ++= (3) 由(1)(2)(3)得： 027
3
v v =
解法三：张紧瞬间，绳的冲量为I
则对B 球沿y 方向（如图3所示）：2sin mv I =θ (1) 对A 球沿绳方向： ()y v v m I -=θc o s 0 (2) 沿绳方向v 相等： y v v =θs i n 2 (3) 垂直于绳方向速度不变 02
1
v v x = (4) (1)(2)(3)(4)得： 027
3v v =
解法四：依据质心在竖直方向上的速度不变
2
200v
m mv v c ==
末态如图4所示：末态系统质心的速度仍为2
0v
，有：
图4
m
mv mv mv v y x 2sin cos 220θθ++= (1) 其中 2
0v v v x x =
= (2) y v v =θs i n 2 (2)
(1)(2)(3)得： 027
3
v v =。