(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线学案
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§9.6双曲线
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;
(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
知识拓展 巧设双曲线方程
(1)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2-y 2
b 2=t (t ≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m +y 2
n
=1(mn <0).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程x 2m -y 2
n
=1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程x 2m 2-y 2n 2=λ(m >0,n >0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2-y 2n 2=0,即x m ±y
n
=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ )
(5)若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)与x 2b 2-y 2a 2=1(a >0,b >0)的离心率分别是e 1,e 2,则1e 21+1
e 22
=
1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二 教材改编
2.[P61T1]若双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线
的离心率为( ) A. 5 B .5 C. 2 D .2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为x a ±y b
=0,即
bx ±ay =0,
∴2a =
bc a 2+b
2
=b .又a 2+b 2=c 2,∴5a 2=c 2
. ∴e 2
=c 2
a
2=5,∴e = 5.
3.[P62A 组T6]经过点A (3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案
x 28
-y 2
8
=1 解析 设双曲线的方程为x 2a 2-y 2
a
2=±1(a >0),
把点A (3,-1)代入,得a 2
=8(舍负), 故所求方程为x 28-y 2
8=1.
题组三 易错自纠
4.(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2
m 2+n -y 2
3m 2-n
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,
则n 的取值范围是( ) A .(-1,3) B .(-1,3) C .(0,3) D .(0,3)
答案 A
解析 ∵方程x 2
m 2+n -y 2
3m 2-n
=1表示双曲线,
∴(m 2
+n )·(3m 2
-n )>0,解得-m 2
,
由双曲线性质,知c 2
=(m 2
+n )+(3m 2
-n )=4m 2
(其中c 是半焦距),∴焦距2c =2×2|m |=4,解得|m |=1, ∴-1
5.若双曲线x 2a -y 2
b
=1(a >0,b >0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A.
73 B.54 C.43 D.53
答案 D
解析 由条件知y =-b a
x 过点(3,-4),∴3b
a
=4,
即3b =4a ,∴9b 2
=16a 2
,∴9c 2
-9a 2
=16a 2
, ∴25a 2=9c 2
,∴e =53
.故选D.
6.已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y =±1
2
x ,则该双曲线的标准方程为_______.
答案
x 2
4
-y 2
=1
解析 由双曲线的渐近线方程为y =±12x ,可设该双曲线的标准方程为x 2
4-y 2
=λ(λ≠0),
已知该双曲线过点(4,3),所以42
4-(3)2
=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为x 2
4
-
y 2=1.
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹方程
典例 (2018·大连调研)已知圆C 1:(x +3)2
+y 2
=1和圆C 2:(x -3)2
+y 2
=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________. 答案 x 2
-y 2
8
=1(x ≤-1)
解析 如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .
根据两圆外切的条件, 得|MC 1|-|AC 1|=|MA |, |MC 2|-|BC 2|=|MB |, 因为|MA |=|MB |,
所以|MC 1|-|AC 1|=|MC 2|-|BC 2|, 即|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=2,
所以点M 到两定点C 2,C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大,与C 1的距离小), 其中a =1,c =3,则b 2
=8.
故点M 的轨迹方程为x 2-y 2
8
=1(x ≤-1).