(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线学案

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§9.6双曲线

1.双曲线定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.

(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;

(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;

(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

知识拓展 巧设双曲线方程

(1)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2-y 2

b 2=t (t ≠0).

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m +y 2

n

=1(mn <0).

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )

(2)方程x 2m -y 2

n

=1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )

(3)双曲线方程x 2m 2-y 2n 2=λ(m >0,n >0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2-y 2n 2=0,即x m ±y

n

=0.( √ )

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ )

(5)若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)与x 2b 2-y 2a 2=1(a >0,b >0)的离心率分别是e 1,e 2,则1e 21+1

e 22

1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二 教材改编

2.[P61T1]若双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线

的离心率为( ) A. 5 B .5 C. 2 D .2

答案 A

解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为x a ±y b

=0,即

bx ±ay =0,

∴2a =

bc a 2+b

2

=b .又a 2+b 2=c 2,∴5a 2=c 2

. ∴e 2

=c 2

a

2=5,∴e = 5.

3.[P62A 组T6]经过点A (3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案

x 28

-y 2

8

=1 解析 设双曲线的方程为x 2a 2-y 2

a

2=±1(a >0),

把点A (3,-1)代入,得a 2

=8(舍负), 故所求方程为x 28-y 2

8=1.

题组三 易错自纠

4.(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2

m 2+n -y 2

3m 2-n

=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,

则n 的取值范围是( ) A .(-1,3) B .(-1,3) C .(0,3) D .(0,3)

答案 A

解析 ∵方程x 2

m 2+n -y 2

3m 2-n

=1表示双曲线,

∴(m 2

+n )·(3m 2

-n )>0,解得-m 2

由双曲线性质,知c 2

=(m 2

+n )+(3m 2

-n )=4m 2

(其中c 是半焦距),∴焦距2c =2×2|m |=4,解得|m |=1, ∴-1

5.若双曲线x 2a -y 2

b

=1(a >0,b >0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )

A.

73 B.54 C.43 D.53

答案 D

解析 由条件知y =-b a

x 过点(3,-4),∴3b

a

=4,

即3b =4a ,∴9b 2

=16a 2

,∴9c 2

-9a 2

=16a 2

, ∴25a 2=9c 2

,∴e =53

.故选D.

6.已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y =±1

2

x ,则该双曲线的标准方程为_______.

答案

x 2

4

-y 2

=1

解析 由双曲线的渐近线方程为y =±12x ,可设该双曲线的标准方程为x 2

4-y 2

=λ(λ≠0),

已知该双曲线过点(4,3),所以42

4-(3)2

=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为x 2

4

y 2=1.

题型一 双曲线的定义及标准方程

命题点1 利用定义求轨迹方程

典例 (2018·大连调研)已知圆C 1:(x +3)2

+y 2

=1和圆C 2:(x -3)2

+y 2

=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________. 答案 x 2

-y 2

8

=1(x ≤-1)

解析 如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .

根据两圆外切的条件, 得|MC 1|-|AC 1|=|MA |, |MC 2|-|BC 2|=|MB |, 因为|MA |=|MB |,

所以|MC 1|-|AC 1|=|MC 2|-|BC 2|, 即|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=2,

所以点M 到两定点C 2,C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|=6.

又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大,与C 1的距离小), 其中a =1,c =3,则b 2

=8.

故点M 的轨迹方程为x 2-y 2

8

=1(x ≤-1).

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