2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
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2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
与两坐标轴都相切 (|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·
(x1，y1)，(x2，y2)
(y－y2)＝0
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的 方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)( x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的 直角坐标系，如 右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP=r
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程 设P(x,y)是圆上任意一点， y
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式 有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝ 1 |P1P2|＝ 2 3＋12＋6－22＝2 2. 1 2
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
2.2.1《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)
5 . 则圆关于原点对称的圆的圆心为（-2，1），
半径为r=
5,
故所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.
答案：(x+2)2+(y-1)2=5
6.设动点P（x,y)在圆x2+y2=4上运动，则 (x-1)2 +(y+3)2 的最大值为，最小值为_______. 【解析】由两点间的距离公式可知：
【解析】选B.由题意可知圆心到x轴的距离等于半径r,又圆心
为(-3,4)， ∴r=4,∴圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=16.
2.(2009·重庆高考）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）
的圆的方程为（
(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1
）
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1
一、选择题（每题4分，共16分） 1.以点（-3，4）为圆心，且与x轴相切 的圆的方程是（ ）
(A)(x-3)2+(y+4)2=16
(B)(x+3)2+(y-4)2=16
(C)(x-3)2+(y+4)2=9 (D)(x+3)2+(y-4)2=9
【解析】选A.
Hale Waihona Puke 方法一（直接法）：设圆心坐标为(0,b),
则由题意知
(0-1)2 +(b-2)2 =1, 解得b=2,
故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 方法二（数形结合法）：由作图，根据点（1，2）到圆心的 距离为1易知圆心为（0，2），
故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式 有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1
根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。
练习：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。
y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
本题出错原因在于没有理解题意，错将圆心到 x、y 轴的距离直接当成圆心(a，b)中 a、b 的值，这是错误的．而事 实上，圆心到 x、y 轴距离应该是|a|、|b|，从而圆心在直线 y＝ 2|x|上． [正解] 由圆心到 x 轴的距离是它到 y 轴的距离的 2 倍可知，圆 心必在直线 y＝2x 或 y＝－2x 上． 又∵圆过点 A(1,0)，B(3,0)， ∴圆心必在线段 AB 的垂直平分线 x＝2 上． 从而可知圆心 C 为(2,4)或(2，－4)． 又 r2＝|AC|2＝17， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17 或(x－2)2＋(y＋4)2＝17.
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)
误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(3)
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
y 1
2
25
练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
【数学】2.2.1《圆的标准方程》课件(北师版必修2)
x y r
2 2
2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
半径为r。
例题讲解 1、求圆心为（2，-1），半径为3的圆 的方程。
解：以圆的标准方程有： 2、求圆心为（2，-3），且过原点的圆 2 2 2 C的方程。 所求圆的方程为： x 2 y 1 3 解：因为圆C过原点，故圆C的半径
补充练习：写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
r 2 3 13
2 2
因此，所求圆C的方程为： 2 2 x 2 y 3 13
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 (2) 经过点P(5,1),圆心在C(8,-3)
5 (x-3)2+(y-4)2=5 (x-8)2+(y+3)2=25
下列方程分别表示什么 图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)(x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
1 2 5 2 圆( x ) ( y 1) 关于直线 y x对称的圆的方程是什么 ? 2 4
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[悟一法] 直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐
标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
[通一类]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)， B(0，－2)．
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
a＋b＝0， 或 5a－3b＝8，
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径 r＝|a|＝4 或 r＝|a|＝1. ∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋ (y＋1)2＝1.
解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
或者利用几何法找出圆的圆心和半径．
[精解详析]
法一：∵圆心在直线y＝x＋2上，
∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方 程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2. ∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，
0－a2＋0－a－22＝r2， ∴ 1－a2＋3－a－22＝r2，
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
1．确定圆的标准方程的方法 (1)直接法：直接确定圆和半径，适合易确定圆心和半 径的圆； (2)待定系数法：大部分求圆方程的题目均可以使用； (3)几何法：充分利用平面几何的知识，结合交点问 题和距离公式求解．
提示： (y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
2x＋y＋4＝0， 由方程组 x－2y－3＝0， x＝－1， 得 y＝－2.
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0，
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
5．若点(3， a )在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围 是________．
解析：∵(3， a)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋( a)2>16， ∴a>7.
答案：(7，＋∞)
6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同一个 圆上．
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0，
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
5．若点(3， a )在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围 是________．
解析：∵(3， a)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋( a)2>16， ∴a>7.
答案：(7，＋∞)
6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同一个 圆上．
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、
Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)， B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方
程，求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
5．若点(3， a )在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围 是________．
解析：∵(3， a)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋( a)2>16， ∴a>7.
答案：(7，＋∞)
6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同 一个
圆上． 解：∵BC的中点为(4,1)，kBC＝－1，
解：(1)代入圆的标准方程得 (x＋3)2＋(y－4)2＝5. (2)∵半径r＝ 8－52＋－3－12＝5. 所以圆的标准方程为： (x－8)2＋(y＋3)2＝25.
[例2]
一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝
x＋2上，求此圆的标准方程．
[思路点拨] 利用代数法，构造方程求解a、b、r，
1．确定圆的标准方程的方法 (1)直接法：直接确定圆和半径，适合易确定圆心 和半径的圆； (2)待定系数法：大部分求圆方程的题目均可以使 用； (3)几何法：充分利用平面几何的知识，结合交点
问题和距离公式求解．
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
2.2.1《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)
(a-1)2 +(2-a+1)2 = (a+1)2 +(2-a-1)2 .
解得a=1,即圆心为(1,1), 半径 r= (1-1)2 +(1+1)2 =2. 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二：由圆的性质可知，AB的中垂线与直线
x+y-2=0的交点为圆心，
又AB的中垂线为：x-y=0,
【解析】选B.由题意可知圆心到x轴的距离等于半径r,又圆心
为(-3,4)， ∴r=4,∴圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=16.
2.(2009·重庆高考）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）
的圆的方程为（
(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1
）
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1
(x-1)2 +(y+3)2 的几何意义是动点 P（x,y)到定点A（1，-3）的距离，
如图所示，当P点运动到P1处时取得 最小值，当P点运动到P2处时取得 最大值.
2 又 |OA|= （ 1-0）+(-3-0)2 = 10,
|AP|= 10-2,|AP|= 10+2. 1 2
答案： 10+2
10-2
）
【解析】选B.由方程形式可知y≤0, 原方程可化为(x-1)2+y2=4,且y≤0, 故已知方程表示以（1，0）为圆心，半径为2的圆在x轴及x轴 下方的部分.
二、填空题
5.（2010·北京模拟）圆(x-2)2+(y+1)2=5关于原点对称的圆 的方程为____. 【解析】圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心为（2，-1）， 半径r=
解得a=1,即圆心为(1,1), 半径 r= (1-1)2 +(1+1)2 =2. 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二：由圆的性质可知，AB的中垂线与直线
x+y-2=0的交点为圆心，
又AB的中垂线为：x-y=0,
【解析】选B.由题意可知圆心到x轴的距离等于半径r,又圆心
为(-3,4)， ∴r=4,∴圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=16.
2.(2009·重庆高考）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）
的圆的方程为（
(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1
）
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1
(x-1)2 +(y+3)2 的几何意义是动点 P（x,y)到定点A（1，-3）的距离，
如图所示，当P点运动到P1处时取得 最小值，当P点运动到P2处时取得 最大值.
2 又 |OA|= （ 1-0）+(-3-0)2 = 10,
|AP|= 10-2,|AP|= 10+2. 1 2
答案： 10+2
10-2
）
【解析】选B.由方程形式可知y≤0, 原方程可化为(x-1)2+y2=4,且y≤0, 故已知方程表示以（1，0）为圆心，半径为2的圆在x轴及x轴 下方的部分.
二、填空题
5.（2010·北京模拟）圆(x-2)2+(y+1)2=5关于原点对称的圆 的方程为____. 【解析】圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心为（2，-1）， 半径r=
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[读教材·填要点]
1．圆的定义
平面内与 定点 距离等于 定长 的点的集合(轨迹)是 圆， 定点 就是圆心， 定长 就是半径． 2．圆的标准方程 (1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是 (x－a) ＋(y－b)2＝r2 . (2)当圆心在原点时，圆的方程为
3．中点坐标 x1＋x2 y1＋y2 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为( ， )． 2 2
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
a＋b＝0， 或 5a－3b＝8，
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径 r＝|a|＝4 或 r＝|a|＝1. ∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋ (y＋1)2＝1.
[悟一法] 直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐
标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
[通一类]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)， B(0，－2)．
[研一题]
[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
x
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
根据定义，点P到圆心C的 距离等于r，由两点间的距离公 式，点P适合的条件可表示为：
∣PC∣=r 即 (x-a) 2 + (y-b) 2 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 =r
O 说明：
P
r
C x
特点：明确给出了圆心坐标 和半径。
于是我们得到：方程
x a y b
y 1
2径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x
2
2
r r 0
2
叫做以（ɑ，b）为圆心， r为半径的 圆的标准方程。
如果圆的方程为： 若圆心为（0，0）时，此方程变为：
x y r
2 2 2
r 0
此圆的圆心在原点（0，0），
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为
直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，
C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，
求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB
B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
提示： (y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]Байду номын сангаас
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
2x＋y＋4＝0， 由方程组 x－2y－3＝0， x＝－1， 得 y＝－2.
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0，
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是根据
题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几 何要素，然后代入标准方程．
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝a2(a≠0)． 所以圆心为(0,2)，半径r＝|a|.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[悟一法] 直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐
标与半径，结合圆的几何性质可方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)， B(0，－2)．
解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[悟一法] 直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐
标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
[通一类]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)， B(0，－2)．
§
[读教材·填要点]
1．圆的定义
平面内与 定点 距离等于 定长 的点的集合(轨迹)是 圆， 定点 就是圆心， 定长 就是半径． 2．圆的标准方程 (1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是 (x－a) ＋(y－b)2＝r2 . (2)当圆心在原点时，圆的方程为
3．中点坐标 x1＋x2 y1＋y2 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为( ， )． 2 2
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8， (5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．
[悟一法]
判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位
置关系，即比较|MC|与r的关系：
[研一题] [例3] 求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5，
2)和点B(3，－2)的圆的方程．
[自主解答] 法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 2a－b－3＝0， 2 2 2 5－a ＋2－b ＝r ， 3－a2＋－2－b2＝r2， a＝2， 解得b＝1， r＝ 10.
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
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写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径就可
以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定 该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点 坐标代入圆的方程判断．
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
地总高120m的摩天轮．
中国最高的摩天轮“南昌之星”位于江西省南昌市红谷 滩新区红角洲赣江边上的赣江市人民公园，是南昌市标志 性建筑．该摩天轮总高度为160m，转盘直径为153m，比 位于英国泰晤士河边的135m高的“伦敦之眼”摩天轮还要 高，成为世界上较高的摩天轮之一．如何写出圆的方程呢？
问题1：在平面直角坐标系中，确定圆的几何要素是 什么？ 提示：圆心和半径． 问题2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，到 点(1,2)的距离等于1的点(x，y)的集合怎样用方程表示？
2x＋y＋4＝0， 由方程组 x－2y－3＝0， x＝－1， 得 y＝－2.
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0，
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
1．确定圆的标准方程的方法 (1)直接法：直接确定圆和半径，适合易确定圆心和半 径的圆； (2)待定系数法：大部分求圆方程的题目均可以使用； (3)几何法：充分利用平面几何的知识，结合交点问 题和距离公式求解．
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为
直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，
C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，
求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
提示： (y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是根据
题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几 何要素，然后代入标准方程．
5．若点(3， a )在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围 是________．
解析：∵(3， a)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋( a)2>16， ∴a>7.
答案：(7，＋∞)
6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同一个 圆上．
解：∵BC的中点为(4,1)，kBC＝－1， ∴BC的垂直平分线方程为y＝x－3. CD的垂直平分线方程为y＝4.
或者利用几何法找出圆的圆心和半径．
[精解详析]
法一：∵圆心在直线y＝x＋2上，
∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方 程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2. ∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，
0－a2＋0－a－22＝r2， ∴ 1－a2＋3－a－22＝r2，
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝a2(a≠0)． 所以圆心为(0,2)，半径r＝|a|.
解：(1)代入圆的标准方程得 (x＋3)2＋(y－4)2＝5. (2)∵半径r＝ 8－52＋－3－12＝5. 所以圆的标准方程为： (x－8)2＋(y＋3)2＝25.
[例2]
一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝x＋2
上，求此圆的标准方程． [思路点拨] 利用代数法，构造方程求解a、b、r，
a＝2， 解此方程组，得b＝－3， r2＝25， ∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x－
2y－3＝0上的圆的方程．
解：法一：因为A(2，－3)，B(－2，－5)， 1 所以AB中点D(0，－4)，kAB＝2， AB的垂直平分线方程为y－(－4)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋4＝0.
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
与两坐标轴都相切 (|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·