第7章 采样离散控制
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自动控制原理第7章线性离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
自动控制原理第7章
3．数字计算机已经作为控制仪表成为控制系统的一个组成部 分 由于计算机技术的飞速发展，作为构成控制系统的控制设备， 数字计算机已经被广泛的用于工业生产过程自动化中，用数字 计算机替代常规仪表完成控制器及其校正装置的功能。图7-2 所示为数字控制系统原理框图。
r(t) e(t) A/D e*(t)
u*(t)
r r r e r r T r 脉冲控制器 r 保持器 r c r
图7-1
典型采样系统结构图
e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列e， 脉冲控制器对e进行某种运算，产生控制信号脉冲序列u， 保持器将采样信号u变成模拟信号u，作用于被控对象G(s)。
2．被控对象存在的大延迟大惯性
工业自动控制系统中，有一类被控对象的惯 性非常大并具有滞后特性。尤其是电站的电 力生产过程，这种延迟和惯性显得更为严重。 对于这类被控对象，采用简单的连续控制系 统的设计方法，容易出现过调现象，往往很 难得到高质量的控制效果。离散控制系统的 合理应用可以较好地解决这一问题。
|E (j )|
|E *(j )| 1/T
|H(j )| 1
- m
0
m
t
- m 0 - s/2
m s/2
t
- s/2
0
s/2
图7-5单一频谱
图 7-6多频谱之和
图 7-7 理想滤波器的频率特性
如果加大采样周期T,采样角频率ω相应能够 的减小，采样频谱中的补分量相互交叠，致 使采样器输出的信号发生畸变，这时即使采 用理想滤波器(理想滤波器的频率特性如图77所示），也无法恢复原来连续信号的频谱， 因此，对采样周期T的设定有一个约束条件， 用于保证附加频谱不覆盖主频谱。所以如何 选择采样周期时离散控制系统设计过程中的 一个重要问题 。
采样离散控制系统
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F (z) f (0) f (T )z1 f (2T )z2 ... f (nT )zn ...
结束
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10
【例1】求单位阶跃函数的z变换
自 解：对单位阶跃函数有 f(nT)=1
动 控
故
制
理 论
Z[1(t)]
f (0)
f (T )z1
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12
（二）部分分式法
自 若函数f(t)的拉氏变换可以展开位部分分式的形式
动
控 制 理 论
n
F(s)
Ai
8.1 绪言
一、连续系统与离散系统
自 连续系统：系统中各处的信号都是时间的连续函数。
动 控
离散系统：系统中有一处或多处的信号是离散信号。
制 连续信号：在时间上连续，在幅值上也连续的信号。
理 论
离散信号：信号在时间上是离散的脉冲系列。离散信号是通过
对连续信号采样得到的，故又称采样信号。
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3
采样器的输出信号 e*(t) 为：
自 动 控 制
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n
理 在实际的控制系统中，通常当t<0时，e(t)=0，因
论 此，上式改写为：
e*(t) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
理
论 f *(t) f (nT ) (t nT )
n0
自动控制原理第七章采样系统
n>m
pi— 极点
Ai— 待定系数
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
F (s)=
1 S(S+1)
解：
F (s)=
1 S(S+1)
=
1 S
–
1 S+1
F (z)=
z z–1
–
z z–e –T
=
z(1–e –T ) (z–1)(z–e–T
)
第二节 采样控制系统的数学基础
例 求F(s)的z变换F(z)。
+
=Σ k=0
8
f
(kT)∫0∞δ(t
–
kT
)e–stdt
+
=Σ f(kT)e –kTS k=0
第二节 采样控制系统的数学基础
二、求Z变换的方法
1．级数求和法
根据定义式展开
+
F (z)= Σ f (kT) k=0
= f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + ··· 利用级数求和法可求得常用函数
+(S+2)
S+3 (S+1)(S+2)
z z–eST S=-2
F (z)=
2z z–e –T
–
z–e
z
–2T
=
z2+z(e-T -2e-2T z2-(e-T +e-2T )z+e
)
-3T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二节 采样控制系统的数学基础
三、Z变换的基本定理
例 z变求换Z[的t –基T 本] 定理为z变换的运算 提供了方便。
离散控制系统中的采样与保持
离散控制系统中的采样与保持离散控制系统是一种常见的控制系统，其特点是信号是在离散的时间点上进行采样和处理。
在离散控制系统中，采样与保持是一项关键技术，它能够保证信号的准确性和稳定性。
本文将深入探讨离散控制系统中的采样与保持技术。
一、采样在离散控制系统中，采样是指将连续时间域的信号转换为离散时间域的过程。
采样的目的是为了将连续时间的信号转换为数字信号，在数字控制器中进行处理。
采样的频率是决定离散控制系统性能的重要指标之一。
1. 采样定理根据采样定理，为了正确地还原连续时间信号，采样频率必须至少是信号频率的两倍。
如果采样频率低于信号频率的两倍，会出现混叠现象，导致信号失真。
因此，在进行采样时，需要根据信号频率合理选择采样频率，以保证信号的准确性。
2. 采样方式常见的采样方式有脉冲采样和保持采样。
脉冲采样是指在固定时间间隔内对信号进行采样，采样值即为该时刻的信号值。
保持采样则是指在采样时，将采样值保存并保持一段时间，以确保连续时间段内采样值的一致性。
二、保持保持是指在离散控制系统中，将采样得到的信号值保持不变的过程。
保持的目的是为了在离散时间域内，保证信号的稳定性和延续性。
1. 保持电路保持电路是用来保持信号值的电路，在离散控制系统中被广泛应用。
常见的保持电路有电容保持电路和运放保持电路。
电容保持电路通过将信号值存储在电容中，实现信号值的保持。
运放保持电路则通过运放的放大和缓冲特性，保证信号值的稳定性。
2. 保持时间保持时间是指信号值在保持电路中保持不变的时间长度。
保持时间的选择需要综合考虑信号的变化速率以及系统的响应要求。
如果保持时间过长，会导致信号延迟；而保持时间过短，则可能会引入噪声和失真。
三、应用案例采样与保持技术在离散控制系统中有广泛的应用，下面以电力系统的稳压控制为例，介绍采样与保持技术的具体应用。
电力系统中，稳压控制是保证电网稳定运行的重要控制任务之一。
在稳压控制中，需要对电网电压进行采样，并在数字控制器中进行处理。
第7章 离散系统控制理论 ppt课件
77..89
线性离散系统设计方法 MATLAB在离散系统分析中的应
用 21
7.3.1 Z变换的定义
离散序列{f(k)}，k=0,1,2, …的Z变换
Z{f(k)}F(z) f(k)zk k0
f*(t)f(kT)(tkT)
F(z)F*(s)|S1lnz
T
n0
F*(s) f(kT)ekTs k0
22
24
7.3.2 Z变换的基本定理
(1) 线性定理
Z[a(ft)]a(F z)
Z [f 1 ( t) f2 ( t) ] Z [f 1 ( t) ] Z [f2 ( t) ]
(2) 滞后定理
1
Z[f(tm)T ]zm[F(z) f(k)T zk] km
Z[f(tm T)]zm F(z) f(t)0,t0
y (4 ) 2 y (3 ) 2 4 1 17
…...
19
7.2.4 差分方程的经典解法 1.奇次解 2.特解 3.全解
20
第7章 离散系统控制理论
7.1 信号的采样与保持
7.2 差分方程
7.3 Z 变换
7.4 Z传递函数
7.5 线性离散系统的稳定性分析
7.6 线性离散系统的暂态分析
7.7 线性离散系统稳态性能分析
Lf(t)ejkst
Tk
F*(s)T1kF(sjks)
8
3、采样定理
采样信号的频谱，及与连续信号频谱的关系
F * (j) T 1 F (j Fj*2 (js ) )T 1 T1F ( k j Fj (js ) T 1 jkF ( sj ) )T1F(jjs)
9
从采样信号中不失真地恢复出原来的连续信号
自动控制第七章 采样控制系统
2、部分分式法
0.5 z 【例7-9】求 F ( z ) 的z反变换 ( z 1)( z 0.5)
解 将 F（z）/z 展开成部分分式为
F ( z) 1 1 z z 1 z 0.5
所以
z z F ( z) z 1 z 0.5
则对应函数为
f (kT ) 1 0.5
n 0
令
ze
Ts
L[ f * (t )] F ( z )＝ f (nT ) z n
n 0
将F *(s)记作F ( z )
和差 乘常数
Z r1 (kT ) r2 (kT ) R1 ( z ) R2 ( z )
变换 相 关 定 理
Z ar (kT ) aZ r (kT ) aR( z )
各阶差分的变换函数
n 1 n k Z r ( k n) z R ( z ) r ( k ) z k 0
例如
Z y (k 1) zY z 3 zy 0
Z y (k 2) z 2Y z z 2 y 0 zy 1
解 将F（s）展开成部分分式形式
1 1 1 1 F (s) ( ) s( s a) a s s a
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
1 f (t ) [1 e at ] a
1 z z z (1 e aT ) F ( z) [ ] aT 2 aT aT a z 1 z e a[ z (1 e ) z e ]
Z (e
) F ( z)＝ 1 e aT z 1 2、部分分式法
n
e aT z 1 1
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
R(s)
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
自动控制系统—— 第7章-1 离散系统的基本概念
自控原理
第7章 线性离散系统的 分析与校正
7.1离散系统的基本概念
1
7.1离散系统的基本概念 7.1.1 信号分类 7.1.2 采样控制系统 7.1.3 离散控制系统的特点 7.1.4 信号采样与保持
2
7.1离散系统的基本概念
7.1.1 信号分类 1）连续时间，连续幅度信号（CT signal），又称 为模拟信号（Analog Signal）
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
2）A/D转换器：将连续信号转换为离散信号
采样间隔： T
采样频率：Leabharlann fs1 TT 2
fs 2
是采样角频率
8
r(t) e(t)
e(kT) 数字 u(kT)
u1(t) 被控 c(t)
A/ D
计算机
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
3）D/A转换器：将离散信号转换为连续信号
采样脉冲序列
采样的离散信号
1.5 e*(t) e(t)T (t)
13
采样信号为
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n0
e(t) 只在 t nT时取值，所以
e*(t) e(nT ) (t nT ) n0
采样定理： 若采样器的采样频率ωs大于或等于其输入
连续信号f(t)的频谱中最高频率ωmax的两倍,即 ωs≥ωmax，则能够从采样信号 f(t)中完全复现
离散信号中存在高频信号，一般在D/A转换 后需要加滤波器虑除高频噪声
4）计算机实现数字控制器
9
数字控制系统的典型结构
r (t )
e(t )
e* (t)
u (t )
第7章 线性离散系统的 分析与校正
7.1离散系统的基本概念
1
7.1离散系统的基本概念 7.1.1 信号分类 7.1.2 采样控制系统 7.1.3 离散控制系统的特点 7.1.4 信号采样与保持
2
7.1离散系统的基本概念
7.1.1 信号分类 1）连续时间，连续幅度信号（CT signal），又称 为模拟信号（Analog Signal）
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
2）A/D转换器：将连续信号转换为离散信号
采样间隔： T
采样频率：Leabharlann fs1 TT 2
fs 2
是采样角频率
8
r(t) e(t)
e(kT) 数字 u(kT)
u1(t) 被控 c(t)
A/ D
计算机
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
3）D/A转换器：将离散信号转换为连续信号
采样脉冲序列
采样的离散信号
1.5 e*(t) e(t)T (t)
13
采样信号为
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n0
e(t) 只在 t nT时取值，所以
e*(t) e(nT ) (t nT ) n0
采样定理： 若采样器的采样频率ωs大于或等于其输入
连续信号f(t)的频谱中最高频率ωmax的两倍,即 ωs≥ωmax，则能够从采样信号 f(t)中完全复现
离散信号中存在高频信号，一般在D/A转换 后需要加滤波器虑除高频噪声
4）计算机实现数字控制器
9
数字控制系统的典型结构
r (t )
e(t )
e* (t)
u (t )
《自动控制原理》第七章 离散控制系统
k 0
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
石群自动控制原理(第7章)
结论： 数字控制系统中，普遍采用零阶保持器，很少采用一 阶保持器，基本不用更高阶保持器。 工程实践中，可用输出寄存器实现零阶保持器，还应 附加模拟滤波器，有效去除采样频率及其谐波频率附近 的高频分量。
7-3 z变换理论
①z变换的思想源于连续系统。 ②线性离散系统的性能，可用z变换的方法获得。 ③z变换是采样函数拉氏变换的变形，称为采样拉氏 变换。 1. z变换定义
e(nT ) e[(n 1)T ] t T
0 t T
1 eTs 2 Gh ( s) T (1 Ts)( ) Ts 2 sin(T 2) 2 j (T arctan T ) Gh ( j ) T 1 (T ) [ ]e T 2
一阶保持器与零阶保持器相比较： ①复现原信号的准确度更高。 ②幅频特性普遍较大，允许通过高频分量较多，更易造 成纹波。 ③相角滞后更严重，s 处滞后可达 280 ，对稳定性更 加不利。
连接阶梯信号中点， 可得到与e(t)形状一 致，但时间落后T/2 的响应e[t-(T/2)]。
零阶保持过程是理想脉冲 e(nT ) (t nT ) 的结果。
(t )
零阶保持器
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器传递函数(脉冲响应的拉氏变换)： Ts Ts 1 e 1 e Gh ( s) s s s 零阶保持器频率特性：
的
z变换可以把离散系统的s超越方程变换为z的代数方程。
⑵采样信号的频谱 采样信号不包含采样间隔之间的信息，所以采样信号 的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。 研究采样信号的频谱，是为了找出 和 之间的 联系。
3. 香农采样定理 如果采样器的输入信号 具有有限带宽，并且有直 到 的频率分量，则使信号 圆满地从采样信号 中恢复过来的采样周期T，满足以下条件：
第7章 采样离散控制
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( 1 ) 采样保持器
8
机电控制理论及应用
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( 2 ) 模 — 数转换与量化 把离散模拟信号 r( t ) 转换成时间和幅值上均为离 散的数字量 r ( k) 。转换的分辨率取决于 A / D 转换器 的位数 n , 当位数足够多时 , 转换可以达到足够高的分 辨率。 转换器末位 ( 最低位 ) 代表的数值称为量化单位 q,
机电控制理论及应用
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7.1.3 离散控制系统数学描述的类型 对于图 7.1.4 ( a) 所示的线性连续控制系统 , 输入 和输出信号之间通常用常微分方程描述 :
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7.2 信号采样与保持
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( 1 ) D / A 与计算机的接口电路 D / A 与计算机的接口电路如图 7.2.5 所示 ( 以 DAC0832 为例 ) 。图中 D /A 转换器的 8 位输入数据线 可直接与计算机的数据总线相连 , DAC0832 的片选CS 信号是由地址线 AD 经译码器译码控制的 , 该电路中 , DAC0832 工作在单缓冲寄存器方式 , 即当计算机选中 该片 DAC0832 ,使 CS有效 , 并在计算机写 ( WR) 周期 的有效时间内 , D0 ～D7 数据线送来的数据被写入片内 输入寄存器 , 并直接进行 D / A 转换 , 当 WR 或CS 信号 无效时 , 其数据被锁存在片内输入寄存器中 , 因此 D /A 转换的输出将保持不变 , 相当于零阶保持器的作用。
第七章采样控制系统
例 已知如图所示的开环系统
1 G( s) s( s 1)
求：相应的脉冲传递函数。
开环采样系统
解：方法一：先求系统的脉冲响应：
1 1 1 1 g (t ) L [G(s)] L L 1 e t s(s 1) s s 1
本章重点
学习本章，需要掌握离 散系统的相关基本概念， 特别是采样过程和采样 定理、z变换和z反变换 及其性质、脉冲传递函 数等概念。在此基础上 了解离散系统稳定性分 析方法等内容。
第一节
概
述
模拟信号
离散信号
数字信号 采样 量化
自动控制系统按信号形式划分可分为以 下三种类型：
（2）连续环节串联之间无采样开关： 设：系统如图 7-15所示，在两个串联环节 G (s) 和G2 (s) 之 间没有采样开关分隔。根据图7-15，有：
1
Y (s) G1 (s) G2 (s) Y *(s)
对Y (s) 进行离散化有：
Y *(s) [G1 (s) G2 (s) R *(s)]* [G1 (s)G2 (s)]* R *(s)
n 0
(1 e aT ) z E ( z ) 为： E ( z ) 例已知 aT ( z 1)( z e ) 用长除法求Z反变换。
解：
(1 e aT ) z (1 e aT ) z E( z) 2 aT ( z 1)( z e ) z z (1 e aT ) e aT
zan za1 za2 E( z) z 1 z 2 z n
然后查表，求出采样瞬时相应的脉冲序列表达式：
自动控制原理：第7章 离散控制系统
式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强 度的理想脉冲。
2020/12/17
12
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。
动作
随机采样:采样开关动作是随机的
本章仅限于讨论等速同步采样过程。
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采样过程如图7.6所示。连续信号x(t)经过采 样开关转换成离散信号x*(t)。如果x*(t)的幅值经 整量化用数字(或数码)来表示，则x*(t)在幅值上 也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采 样周期T和系统连续部分的最大时间常数，可认为 采样时间τ=0，x(t)在τ内变化很小，因此x*(t) 可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似表示。
可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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8
7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行描述。
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一
些优点：
自动控制原理 第七章 采样系统理论
2. 幂级数法（综合除法) n -1 -2 由Z变换的定义 E ( z ) e(nT )z e (0) e (T)z e (2T)z
b0 b1 z b2 z bm z m 而 E( z) (m n) c0 c1z-1 c2z-2 1 a 1 z 1 a 2 z 2 a n z n
t 0 z
(7) 终值定理 若e (t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,…)， 且极限 lim e ( nT ) 存在，则
n
lim[e( nT )] lim( z 1) E ( z )
n z 1
离散系统的数学模型
脉冲传递函数 脉冲传函定义
第七章
采样系统理论
离散系统的相关概念 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性分析 离散系统的稳态误差计算
离散系统的校正
信号的采样与保持
采样过程与采样定理
采样过程
e(t) S e*(t) T e(t) e*(t)
0
t
0
T 2T
t
(a)
(b)
(c)
基本概念：
1）采样周期：采样开关经一定时间T，重复闭合，每次闭合时间为τ， τ<T，T称为采样周期。f=1/T为采样频率。 2）采样角频率：ωs=2π/T rad/s。 3）采样脉冲序列：连续时间函数经采样开关采样后变成重复周期T的时 间序列，称为采样脉冲序列。 4）采样过程：将连续时间函数经过采样开关的采样而变成脉冲序列的 过程，称为采样过程。
R(s) ＋ － T
K s(s 4)
C(s)
K K 1 1 Z G(z) Z s( s 4) 4 s s 4 K z z K 1 e 4T 4T 4 z 1 z e 4 ( z 1)(z e 4T )
b0 b1 z b2 z bm z m 而 E( z) (m n) c0 c1z-1 c2z-2 1 a 1 z 1 a 2 z 2 a n z n
t 0 z
(7) 终值定理 若e (t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,…)， 且极限 lim e ( nT ) 存在，则
n
lim[e( nT )] lim( z 1) E ( z )
n z 1
离散系统的数学模型
脉冲传递函数 脉冲传函定义
第七章
采样系统理论
离散系统的相关概念 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性分析 离散系统的稳态误差计算
离散系统的校正
信号的采样与保持
采样过程与采样定理
采样过程
e(t) S e*(t) T e(t) e*(t)
0
t
0
T 2T
t
(a)
(b)
(c)
基本概念：
1）采样周期：采样开关经一定时间T，重复闭合，每次闭合时间为τ， τ<T，T称为采样周期。f=1/T为采样频率。 2）采样角频率：ωs=2π/T rad/s。 3）采样脉冲序列：连续时间函数经采样开关采样后变成重复周期T的时 间序列，称为采样脉冲序列。 4）采样过程：将连续时间函数经过采样开关的采样而变成脉冲序列的 过程，称为采样过程。
R(s) ＋ － T
K s(s 4)
C(s)
K K 1 1 Z G(z) Z s( s 4) 4 s s 4 K z z K 1 e 4T 4T 4 z 1 z e 4 ( z 1)(z e 4T )
采样数据控制系统分析
由于处在每个采样区间内的信号值为常
数，其导数为零，故称为零阶保持器。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
e*(t)
零阶保持器
eh(t)
e*(t)
eh(t)
eh(t)
e(t)
e(t-T/2)
eh(t)
5T
5T
5T
O T 2T 3T 4T
t O T 2T 3T 4T
t O T 2T 3T 4T
t
(a)
即为加权理想脉冲序列。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
采样过程的物理意义：
采样过程可以看作是单位理想脉冲串
T(t) 被输入信号e(t) 进行幅值调制的过程， 其中 T(t) 为载波信号， e(t) 为调制信号，
采样开关为幅值调制器,其输出为理想脉冲 序列 e*(t) 。
e(t) T e*(t)
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
第七章 采样数据控制系统分析
7.1 概 述
一、采样控制系统 采样控制系统，又称断续控制系统、离散
控制系统，它是建立在采样信号基础上的。 如果控制系统中有一处或几处信号是断续
的脉冲或数码，则这样的系统称为离散系统。 通常，把系统中的离散信号是脉冲序列形
式的离散系统，称为采样控制系统； 而把数字序列形式的离散系统，称为数字
第七章 采样数据控制系统分析
|E*(j )|
1 T
3s 2
- s
s 2
-
max
O
max s
2
s
3s
2
自动控制原理
(c) s 2max
第七章 采样数据控制系统分析 |E*(j )|
数，其导数为零，故称为零阶保持器。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
e*(t)
零阶保持器
eh(t)
e*(t)
eh(t)
eh(t)
e(t)
e(t-T/2)
eh(t)
5T
5T
5T
O T 2T 3T 4T
t O T 2T 3T 4T
t O T 2T 3T 4T
t
(a)
即为加权理想脉冲序列。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
采样过程的物理意义：
采样过程可以看作是单位理想脉冲串
T(t) 被输入信号e(t) 进行幅值调制的过程， 其中 T(t) 为载波信号， e(t) 为调制信号，
采样开关为幅值调制器,其输出为理想脉冲 序列 e*(t) 。
e(t) T e*(t)
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
第七章 采样数据控制系统分析
7.1 概 述
一、采样控制系统 采样控制系统，又称断续控制系统、离散
控制系统，它是建立在采样信号基础上的。 如果控制系统中有一处或几处信号是断续
的脉冲或数码，则这样的系统称为离散系统。 通常，把系统中的离散信号是脉冲序列形
式的离散系统，称为采样控制系统； 而把数字序列形式的离散系统，称为数字
第七章 采样数据控制系统分析
|E*(j )|
1 T
3s 2
- s
s 2
-
max
O
max s
2
s
3s
2
自动控制原理
(c) s 2max
第七章 采样数据控制系统分析 |E*(j )|
自动控制原理--第七章-采样控制系统方案
的闭合形式为:
1
z
(级数求和法)
E( z) 1 eaT z 1 z eaT
举例
设 E(s) 1
, 求e*(t)的Z变换。
s(s 1)
解：
E(s) 1 1 s s 1
e(t) L1[E(s)] 1(t) et
E(z)
Z[1(t) et ]
z z 1
z
z eT
注意：不可将 s 1 ln Z 直接代入E(s)求E(z)，因为E(s)是连续信号e(t)
e*(t) 0 10 (t T ) 30 (t 2T ) 70 (t 3T )
用Z 变换法求解差分方程
用Z 变换法解差分方程的实质和用拉氏变换解微分方程 类似，对差分方程两端取 Z 变换，并利用Z 变换的实数位 移定理，得到以 Z 为变量的代数方程，然后对代数方程的 解C(z)取 Z 反变换，求得输出序列c(k)。
τ非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。
e*(t) = e(t) δT(t）
其中:
T (t ) (t nT )
δ(t-nT)是时刻t=nT时强度为1的单位脉冲
n 0
e* (t) e(t) (t nT )
n0
e* (t) e(nT ) (t nT )
n0
e(t)只有在采样瞬间才有意义.
Gh (s) L[gh (t)]
1 S
1 eTS S
1 e TS S
频率特性:
G0
(
j
)
1
e jT
j
2
sin(T
jT
/ 2) e 2
幅频特性：
G0 ( j )
T
sin( /s ) ( /s )
第七章 采样控制系统
（7-1-10） ）
综上所述， 的条件下， 综上所述，只有在 ω s ≥ 2ω m 的条件下，才能将采 样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号。 样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号。 这就是香农 香农（ 这就是香农（Shannon）采样定理。 ）采样定理。
7-2 保持器
零阶保持器
零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。 将前一采样时刻nT的采样值 的采样值e(nT)保持到下一 将前一采样时刻 的采样值 保持到下一 采样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信号的关 采样时刻 ， 系如图7-2-1所示。 所示。 系如图 所示
1 1 G h (s ) ≈ 1 − s T 2s2 1 + Ts + 2 Ts 1+ 2 =T T 2s2 1 + Ts + 2
这可用图7-2-4所示的无源网络实现。 这可用图7-2-4所示的无源网络实现。 所示的无源网络实现
图7-2-4
无源网络
7-3 差分方程
c(t ) = c(kT ) + e(kT )(t − kT )
kT ≤ t ≤ (k + 1)T
式中
图7-3-1 采样控制系统
由此可得
c[(k +1)T ] = c(kT ) + Te(kT )
或简写为
c(k +1) = c(k ) + Te(k )
c (k + 1) + (T − 1)c (k ) = Tr (k )
图7-1-2 采样信号的调制过程
采样定理
理想单位脉冲序列δ 是一个以 为周期的函数， 是一个以T为周期的函数 理想单位脉冲序列 T(t)是一个以 为周期的函数， 展开成傅立叶级数， 展开成傅立叶级数，复数形式为
第21讲第7章 采样控制系统
根据复数位移定理，有
T(zeaT) X (zeaT ) = Z[te−at ] = (zeaT −1)2 Tze = (z − e−aT )2
2011-5-14 第6章 采样控制系统分析 20
−aT
4）复数微分定理 ）
dX (z) 若 Z[x(t)]=X(z)，则 Z[tx(t)] = −Tz dz 5）初值定理 ）
2011-5-14
第6章 采样控制系统分析
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6.2.3 Z 变换的基本定理
若 Z[x1 (t)] = X1(z), Z[x2 (t)] = X2 (z) 对于任何常数a和 b，则有 Z[ax1 (t) + bx2 (t)] = aX1 (z) + bX 2 (z) 证明：由Z变换定义
Z[ax1 (t) + bx2 (t)] = ∑[ax1 (kT) + bx2 (kT)]z −k
试用终值定理确定
0.792z 2 举例：设Z变换函数为 E(z) = , 2 (z −1)(z − 0.416z + 0.208)
解：由终值定理得
0.792z 2 e(∞) = lim (z −1) z→ 1 (z −1)(z 2 − 0.416z + 0.208) 0.792z 2 = lim 2 z→ z − 0.416z + 0.208 1 =1
2011-5-14 第6章 采样控制系统分析 8
2) 部分分式法 设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以 展开成部分分式的形式，即
F(s) = ∑
i=1
n
Ai s − pi
式中pi为F（s）的极点， Ai为常系数。
Ai pit 对应的时间函数为Ai e 其Z变换为 s − pi
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7.1.2 采样离散控制系统的结构 图 7.1.3 表示了采样离散控制系统的基本结构。图 中被控对象可以是机电设备 , 也可以是其他对象。执行 机构和传感器可以是模拟式的 , 也可以是数字式的。模 拟式前向通道由 D / A 转换器、驱动器和执行部件等组 成 ; 反馈环节由传感器、信号调理放大器、保持器和 A /D 转换器等组成。数字式前向通道是数字驱动器 , 反 馈环节是数字信号处理器。 3
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7.1.3 离散控制系统数学描述的类型 对于图 7.1.4 ( a) 所示的线性连续控制系统 , 输入 和输出信号之间通常用常微分方程描述 :
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7.2 信号采样与保持
离散控制
近几十年 , 数字技术 ( 特别是计算机控制技术 ) 在 自动化领域得到越来越广泛的应用 , 采样离散控制理 论是它的重要理论基础。因此 , 本章用一定的篇幅来 介绍采样离散控制系统( 计算机控制系统 ) 的结构、信 号采样与保持、差分方程、离散拉氏变换 ( Z 变换 ) 、 z 传递函数、离散系统分析、校正与设计等基本内容 。
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7.2.2 D / A 接口与信号保持 D / A 转换器的功能主要是将计算机输出的数字控 制信号转换成为离散模拟量信号 u( t ) ,它在幅值上是连 续的, 但在时间上是离散的 , 不能直接控制被控对象 , 需经过保持器作时间外推变换成模拟控制量 u( t) , 如图 7.2.4 所示。因此 , D / A 转换器中通常包含了零阶保持 器。
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7.1 概 述
7.1.1 连续系统的数字控制 对图 7.1.1 所示的连续控制系统 , 如果在被控对象 G( s) 只接受连续控制信号的情况下要实现数字控制 , 首先需要对误差模拟信号 e( t) 进行采样和量化 ( A / D 转换 ) , 以变换成数字误差信号 e( k) ; 然后用数字控制 器 D( z) 对 e( k) 进行处理 , 产生数字控制信号 u ( k) ; 再用 D / A 将其转换成模拟量的执行信号 u ( t) , 以控制 其被控对象 , 如图 7.1.2 所示。
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( 2 ) 差分方程 如果方程的变量除了含有 x( k) 之外 , 还有 x( k) 的 各阶差分 , 则称为差分方程。因为常系数线性差分方程 比较简单 , 又最基本 , 而一般采样离散控制系统都可以 简化为常系数线性差分方程来描述 , 所以这里只讨论常 系数线性差分方程。 ( 3 ) 差分方程的解法 差分方程的解法有两种方法 , 一种是迭代法 , 另一 种是 Z 变换法。
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( 1 ) D / A 与计算机的接口电路 D / A 与计算机的接口电路如图 7.2.5 所示 ( 以 DAC0832 为例 ) 。图中 D /A 转换器的 8 位输入数据线 可直接与计算机的数据总线相连 , DAC0832 的片选CS 信号是由地址线 AD 经译码器译码控制的 , 该电路中 , DAC0832 工作在单缓冲寄存器方式 , 即当计算机选中 该片 DAC0832 ,使 CS有效 , 并在计算机写 ( WR) 周期 的有效时间内 , D0 ～D7 数据线送来的数据被写入片内 输入寄存器 , 并直接进行 D / A 转换 , 当 WR 或CS 信号 无效时 , 其数据被锁存在片内输入寄存器中 , 因此 D /A 转换的输出将保持不变 , 相当于零阶保持器的作用。
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( 4 ) 采样过程的分析 实现采样离散控制首先遇到的问题 , 是如何将连 续信号变换为离散信号。 按照一定的时间间隔对连续信号进行采样 , 将其 变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称为采样过程。 用来实现采样过程的器件称为采样器或采样开关。它 可以用一个按一定周期闭合的开关来表示 , 其采样周期 为 T。
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7.3.3 Z 变换基本定理 Z 变换的几个基本定理非常有用 , 它与拉普拉斯变 换的基本定理相类似。下面介绍这些基本定理 , 熟悉了 这些定理 , 可以更加简便地应用 Z 变换。 ( 1 ) 线性定理
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( 3 ) A / D 转换器与计算机的接口 A / D转换器不但完成采样和量化的功能 , 而且还 要完成与计算机的接口 , 其接口电路如图7.2.2 所示 , 其 中有 8 路模拟量输入 ( IN0 ～ IN7 ) , 并通过 3 条地址线 ( A、B、C) 编码予以选通 ,其地址线直接与系统地址总 线连接 , 每次转换只能选通一路模拟量输入。输出 8 根 数据线 ( D0～D7 ) , 直接与计算机的地址总线相连。转 换启动信号 ( START) 是由计算机向 A /D 转换器发出开 始进行模 / 数转换的信号 , 此时 A /D 转换器将把地址 线所选通的模拟量输入口的信号转换成数字信号。
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( 2 ) 滞后定理 ( 负偏移定理 ) 设在 t < 0 时连续函数 x( t) 为零 , 其 Z 变换为 X( z) , 则
( 3 ) 初值定理 设函数 x( t) 的 Z 变换为 X( z) , 并且 存在 , 则
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(4) 终值定理 设函数 x(t) 的 Z变换为 X(z),且(1 - z- 1)X(z) 在以原 点为圆心的单位圆上和圆外均无极点,则
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7.4.3 串、并联和反馈连接的 z传递函数 ( 1 ) 串联连接的 z传递函数 分析图 7.4.1 所示串联环节的两种形式。
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例 7.10 若图 7.4.1 ( a) 和 ( b) 中两环节的传递函 数为 分别求出它们的脉 冲传递函数 G( z) 。 解 对于无采样器隔开的串联形式 ( b)
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( 1 ) 采样保持器
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( 2 ) 模 — 数转换与量化 把离散模拟信号 r( t ) 转换成时间和幅值上均为离 散的数字量 r ( k) 。转换的分辨率取决于 A / D 转换器 的位数 n , 当位数足够多时 , 转换可以达到足够高的分 辨率。 转换器末位 ( 最低位 ) 代表的数值称为量化单位 q,
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7.4 数 学 模 型
7.4.1 差分方程 连续系统用微分方程来描述 , 采样离散系统则用 差分方程来描述。 ( 1 ) 差分的定义 设 x( k) 为数字序列 , 或连续函数 x( t) 经采样后的 离散函数 x( kT) , 其 T = 1s。一阶前向差分定义为
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7.4.2 z传递函数及其物理性质 采样离散系统的 z传递函数 ( 或称脉冲传递函数 ) 被定义为 : 线性离散控制系统 , 在零初始条件下 ( 即 k = 0 , 1 , 2 , … , n - 1 时 , 输入序列和输出序列均为零 ) , 输出序列的 Z 变换与输入序 对式 ( 7.1.2 ) 和式 ( 7.1.3 ) 取 Z 变换 , 并假设初始 条件为零 , 则均可得到 z传递函数
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2 ) 一阶保持器 一阶保持器是利用 kT 和 kT - T 时刻的值作斜线外 推 , 其外推公式 :
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7.3 Z 变换和 Z 反变换
Z 变换对采样离散系统的作用 , 与 Lap lace 变换对 连续系统的作用相当。 7.3.1 离散 Lap lace 变换 ——— Z 变换 在线性采样离散系统中 , 将采样信号的拉氏变换 表达式即 Z 变换定义式展开
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例 7.8 已知一个数字系统的差分方程是 :
继续令 k = 3 , 4 , 5 , … 就可求出 k为任意值时的输 出 y( k) 。
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2 ) Z 变换法 Z 变换法可将线性常系数差分方程变换成以 z为变 量的代数方程 , 这就简化了差分方程的求解。利用 Z 变 换的超前定理 , 考虑以下的 Z 变换
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1 ) 迭代法 迭代法解差分方程与用计算机解差分方程的方法 是一致的 , 即根据差分方程的初始条件或边界条件 , 用 前面的已知项 , 逐步求出后面的未知项 , 求出的未知项 又成为新的已知项 , 用来求后面的未知项 , 这样逐次地 把后面各项的值求出来。