高考数学压轴专题最新备战高考《数列》难题汇编及解析

高中数学《数列》复习知识点

一、选择题

1．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90

C ．72

D ．24

【答案】B 【解析】

由于152436a a a a +=+=，所以1555()536

9022

a a S +⨯=

==，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．

2．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．

3

4

B ．

23

C ．

12

D ．

13

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】

∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2

S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551

2

S S S -=-， ∴()151010551

1 24

S S S S S -=--=， ∴15510513 44

S S S S =+=， ∴1553:4

S S =． 故选A ． 【点睛】

在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提

高解题的效率．

3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则9S =（ ） A ．993 B ．766 C ．1013 D ．885

【答案】C 【解析】 【分析】

计算11a =，()1121n n a a -+=+，得到21n

n a =-，代入计算得到答案.

【详解】

当1n =时，11a =；

当2n ≥时，1121n n n n a S S a --=-=+，∴()1121n n a a -+=+，

所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，即21n

n a =-，∴

1222n n n S a n n +=-=--，

∴10

92111013S =-=．

故选：C . 【点睛】

本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022

C ．1007

D ．1037

【答案】C 【解析】 【分析】

首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】

将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-

当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>，

故1,2,n =……，135数列共有135项．

因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ． 【点睛】

本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

5．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223

S π

=，则6tan()a 的值为（ ） A

B

．C

．

3 D

．3

-

【答案】B 【解析】 【分析】

由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】 ∵()11111611221123

a a S a π

+===

，∴623a π=，(

)62tan tan 3a π⎛⎫

== ⎪⎝⎭

故选B. 【点睛】

本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.

6．数列{}n a 满足12a =，对于任意的*n N ∈，11

1n n

a a +=-，则2018a =（ ） A ．-1 B ．

12

C ．2

D ．3

【答案】A 【解析】 【分析】

先通过递推公式11

1n n

a a +=-，找出此周期数列的周期，再计算2018a 的值. 【详解】

111n n

a a +=-Q ，

21111

11111n n n n

a a a a ++∴===-

---， 32

1

11111n n

n n a a a a ++∴=

=

=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，故有3n n a a +=，