卷积
卷积计算(图解法)
(1) n<0
x(m) m 0 4 h(n-m) m n-6 n0
y(n) = x(n) ∗ h(n) = 0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
∴ y(n) = ∑ x(m)h(n − m) = ∑1⋅ a
m=0 n m=0
n
n
n−m
=a
n
m=0
∑a
−m
1− a =a −1 1− a
n
−( n+1)
1− a =1− a
1+n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m 0 4 h(n-m) m n-6 0
1+n
∴ y(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=0
4
= ∑1⋅ a
m=0 n
4
n−m
=a
n
m=0
∑a
n−4
4
−m
4 6 n
1− a a −a =a = −1 1− a 1− a
−(1+4)
x(m) m 0 4 h(n-m) m 0 n-6
7
(4)在6<n≤10区间上
∴ y(n) = =
m=n−6
∑x(m)h(n − m)
=a
n m=n−6 −( 4+1)
n
m=n−6
∑1⋅ a
n
n
n−m
∑a
=
4
−m
6
n
10
=a
a
−( n−6)
−a −1 1− a
a
n−4
−a 1− a
综合以上结果， 可归纳如下： 综合以上结果，y(n)可归纳如下： 可归纳如下
卷积的原理与应用
卷积的原理与应用1. 什么是卷积？卷积是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的数学运算。
它通过将一个函数与另一个函数进行叠加来产生一个新的函数。
在信号处理中，卷积可以用于信号的滤波、降噪、特征提取等。
2. 数学表示假设有两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积运算表示为：(f ∗ g)(t) = ∫f(τ)g(t−τ)dτ这个公式表示了函数f与函数g的卷积运算结果在时刻t的取值。
卷积运算可以理解为将函数f的一个部分与函数g进行叠加，然后将结果求和。
通过改变函数f和函数g可以得到不同的卷积结果。
3. 卷积的应用卷积在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景：•图像滤波：卷积可以用于图像的平滑和边缘检测。
通过选择合适的卷积核，可以对图像进行不同的滤波操作，例如平均滤波、高斯滤波和锐化等。
•语音识别：在语音信号处理中，卷积可以用于声纹识别、语音增强和语音合成等。
通过卷积运算可以提取语音信号的特征，从而实现语音识别的功能。
•深度学习：卷积神经网络是深度学习中广泛使用的一种模型。
卷积层是卷积神经网络的核心组成部分，它可以提取输入数据中的空间特征。
通过卷积运算，神经网络可以学习到图像、音频等数据的抽象特征，从而实现图像分类、目标检测等任务。
•医学影像处理：在医学影像处理中，卷积可以用于肿瘤检测、血管分割和图像配准等。
通过卷积运算可以提取医学影像中的关键特征，辅助医生进行诊断和治疗。
•时间序列分析：卷积可以用于时间序列数据的预测和分析。
通过卷积运算可以提取时间序列中的周期性和趋势等特征，帮助研究者理解时间序列数据的规律性。
4. 卷积的优势•局部感知能力：卷积操作可以在输入数据的局部区域提取特征，从而捕捉到局部细节，而忽略了整体信息。
这种局部感知能力使得卷积在图像和语音等领域具有很好的表现。
•参数共享：卷积层中的参数是可以共享的，这意味着不同的位置使用相同的卷积核，从而大大减少了需要训练的参数量。
卷积及其性质
f1()
f2(t
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
精选PPT
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
精选PPT
13
§2.7 卷积及其性质
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
精选PPT
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
精选PPT
12
§2.7 卷积及其性质
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
精选PPT
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
数字信号处理什么是卷积 卷积有什么用
什么是卷积卷积有什么用1.卷积的定义：在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
2.卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
卷积的原理(一)
卷积的原理(一)
卷积的原理与应用
什么是卷积？
•卷积是一种重要的数学运算，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
•卷积是将两个函数进行混合的一种数学运算，可以看作是两个函数之间的一种相似性度量。
卷积的基本原理
1. 离散卷积
•离散卷积是将两个离散信号进行混合的运算，可以用来处理离散信号的平滑、滤波和特征提取等问题。
•离散卷积的计算方法是将输入信号和滤波器进行逐个元素相乘，然后将结果相加得到输出信号。
2. 连续卷积
•连续卷积是将两个连续函数进行混合的运算，可以用来处理连续信号的平滑、滤波和特征提取等问题。
•连续卷积的计算方法是将输入函数和滤波器进行积分运算，然后将结果进行加权相加得到输出函数。
卷积的应用领域
1. 信号处理
•在信号处理中，卷积可以用来平滑信号、滤波噪声、提取信号特征等。
•例如，通过卷积可以将一段语音信号进行去噪处理，使得语音信号更加清晰。
2. 图像处理
•在图像处理中，卷积可以用来边缘检测、图像去噪、特征提取等。
•例如，通过卷积可以将一张图像进行边缘检测，突出图像中物体的边界。
3. 深度学习
•在深度学习中，卷积神经网络（CNN）是一种重要的模型，其中卷积层是其核心组成部分。
•通过卷积操作，CNN可以提取图像、语音等数据的局部特征，有效地进行图像分类、目标检测等任务。
总结
•卷积是一种重要的数学运算，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
•离散卷积和连续卷积是卷积的两种基本形式。
•卷积在信号处理、图像处理和深度学习等领域具有广泛的应用价值。
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲 得很详细。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简介
简介
卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷 积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten 等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应 用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它 专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 。
对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析 的Peter-Weyl定理。
应用
应用
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概 率密度函数的卷积。光学中，反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处 理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任 何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
卷积
数学算子
01 简介
目录
卷积的作用
卷积的作用卷积是一种在数学和信号处理中广泛应用的操作，它在图像处理、音频处理、自然语言处理等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍卷积的基本概念、作用和应用。
首先，我们来了解一下卷积的基本概念。
卷积是一种在两个函数之间进行操作的数学方法，通常用符号*表示。
在离散情况下，卷积可以表示为两个序列之间的乘积和。
在连续情况下，卷积可以表示为两个函数之间的积分。
卷积的基本公式如下所示：(f*g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ （连续情况）(f*g)(n) = Σf(k)g(n-k) （离散情况）在图像处理中，卷积可以应用于图像的滤波、边缘检测、模糊等操作。
通过卷积操作，我们可以将一个图像与一定的卷积核进行卷积运算，从而改变图像的特征。
例如，在进行边缘检测时，我们可以使用卷积核对图像进行卷积操作，从而突出图像中的边缘信息。
同样，在进行图像模糊时，我们可以使用不同的卷积核对图像进行卷积运算，从而实现不同程度的模糊效果。
在音频处理中，卷积可以应用于音频的滤波、声音增强等操作。
通过对音频信号与一定的卷积核进行卷积运算，我们可以改变音频信号的频域特性。
例如，在进行音频滤波时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积操作，从而实现不同频率范围的滤波效果。
同样，在进行音频增强时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积运算，从而增强特定频率范围的声音。
在自然语言处理中，卷积可以应用于文本的特征提取、情感分析等任务。
通过对文本进行卷积操作，我们可以提取文本的局部特征。
例如，在进行情感分析时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而识别文本中的情感倾向。
同样，在进行文本分类时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而实现文本的分类。
除了上述应用之外，卷积还被广泛应用于图像识别、语音识别、自动驾驶等领域。
在图像识别中，卷积神经网络（CNN）通过多层卷积操作实现对图像的特征提取和分类。
而在语音识别和自动驾驶中，卷积操作用于对音频和图像数据进行处理和分析，从而实现语音或图像的识别和控制。
各种卷积方式解析
卷积（Convolution）是信号处理和图像处理中常用的一种操作，用于处理信号、图像和数据。
下面是一些常见的卷积方式的解析：
1.线性卷积（Linear Convolution）：线性卷积是最基本的一种卷积方式。
它通过将两个函数（或信号）的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
线性卷积在时域上执行，通常使用离散时间卷积（Discrete Time Convolution）或连续时间卷积（Continuous Time Convolution）来计算。
2.离散卷积（Discrete Convolution）：离散卷积是一种用于离散信号处理的卷积方式。
与线性卷积类似，离散卷积是将两个离散信号序列的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
常见的应用包括数字滤波、信号降噪、图像处理和语音识别等。
3.快速卷积（Fast Convolution）：快速卷积是通过使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速卷积计算的一种方法。
通过将卷积操作转换为频域上的乘法操作，使用FFT可以显著减少计算复杂度，尤其适用于长序列的卷积计算。
4.卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）：卷积神经网络是一类特殊的神经网络结构，广泛应用于图像和语音识别、计算机视觉和自然语言处理等领域。
CNN利用局部连接和权重共享的卷积操作来提取输入数据中的特征，通过卷积层、池化层和全连接层等组件搭建深层网络模型。
以上是一些常见的卷积方式的解析。
每种卷积方式都有其特定的应用场景和计算方法，具体使用哪种方式取决于所处理的数据类型和具体任务的要求。
卷积的定义和概念
卷积的定义和概念 简单定义：卷积是分析数学中⼀种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于⼏乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了⼀个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是⼀个代数，甚⾄是巴拿赫代数。
卷积与傅⾥叶变换有着密切的关系。
利⽤⼀点性质，即两函数的傅⾥叶变换的乘积等于它们卷积后的傅⾥叶变换，能使傅⾥叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g⼀般要⽐f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利⽤这⼀性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出⼀列逼近于f的光滑函数列fs，这种⽅法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推⼴到数列、测度以及⼴义函数上去。
定义：卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果，其中星号*表⽰卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中⼼翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表⽰卷积。
参考《数字信号处理》杨毅明著，p.55、p.188、p.264，机械⼯业出版社2012年发⾏。
卷积
g (t) * g (t)
=
o t o
=
t
o
t
第四节 卷积
4 常用信号的卷积公式
常 用 信 号 的 卷 积 公 式
第四节 卷积
1 F f x 2
f ( x )e i x d x,
5 卷积定理
则 证：
若
F [ f1 ( x )] F1 ( ) 和 F [ f 2 ( x )] F2 ( )
第四节 卷积
2、卷积的图解法(特别适用于求某时刻点上的卷积值)
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
卷积过程可分解为四步：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
F [ f1 ( x ) f 2 ( x )] 2 F1 ( ) F2 ( )
0
0
f 2 (t ) f1 (t ) t t t
0
f 2 ( ) f1 (t t0 )d f1 (t t0 )* f 2 (t )
推论： 若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
f1 (t t1 ) f 2 (t t2 ) y(t t1 t2 )
( 1) t t g (t ) 2 2
0 ( 1) ( 1) g t g t t 2 2 t
常见的卷积公式
常见的卷积公式一、卷积公式的基本概念与原理在数字信号处理中，卷积公式是一种常见且重要的数学工具，用于描述信号之间的运算关系。
它可以用于图像处理、音频处理、信号滤波等多个领域。
本文将介绍常见的卷积公式及其应用。
卷积的定义是一种数学运算符，表示两个函数之间的运算。
在离散领域中，常用的卷积公式可以表示为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)是输入信号，\(h[n]\)是卷积核或滤波器，\(y[n]\)是输出信号。
该公式实质上是对输入信号和卷积核进行长度为无穷的求和运算，得到输出信号的每个采样值。
二、一维离散卷积常见的一维离散卷积公式可以简化为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)和\(h[n]\)都是长度为N的一维离散信号。
对于每个输出采样点，需要将输入信号和卷积核进行相应位置的乘积运算，然后再将乘积结果相加得到输出值。
三、二维离散卷积对于二维离散信号，卷积公式可以表示为：\[y[m,n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty} x[k,l]h[m-k,n-l]\]其中，\(x[k,l]\)和\(h[k,l]\)分别表示输入信号和卷积核的二维离散采样值。
在计算输出信号的每个采样点时，需要将输入信号和卷积核进行逐点乘积运算，再将所有乘积结果相加得到输出值。
四、卷积核的选择与应用在实际应用中，卷积核的选择对于信号处理结果具有重要影响。
不同的卷积核可以实现不同的信号处理效果，如平滑、锐化、边缘检测等。
常见的卷积核包括高斯核、均值核、边缘检测核等。
高斯核常用于图像平滑操作，能够减小图像中的噪声。
均值核可以实现简单的平均滤波，用于去除图像中的噪声。
边缘检测核常用于图像边缘提取，可以突出图像中的边缘部分。
卷积及其性质
∫
+∞
−∞
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
§2.7 卷积及其性质
（）分配律：f1(t) ∗[ f2 (t) + f3(t)] = f1(t） f2 (t) + f1(t) ∗ f3(t) 1 ∗ 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应 h(t) = h1(t) + h2 (t) （ ）结合律： [ f1(t) ∗ f2 (t)]∗ f3(t) = f1(t) ∗[ f2 (t) ∗ f3(t)] 2 物理意义：若冲击响应为h1(t)，h2 (t)的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应 h(t) = h1(t) ∗h2 (t)的系统。
§2.7 卷积及其性质
（4）用序列阵表格求卷积和 由 y ( n) = x ( n) * h( n ) =
m =−∞ n +∞
∑ x ( n) h( n − m)
（对于双边序列）
= ∑ x ( n) h( n − m)
m =0
（对于因果序列）
得到 y (0) = x(0)h(0) y (1) = x(0)h(1) + x(1)h(0) y (2) = x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h(0) ...... y (n) = { y (0), y (1), y (2)......}
t −7
S4 = ∫ u (t − τ − 7)u (τ − 5)dτ = ∫ 1 ⋅1dτ = (t − 12) ⋅ u (t − 12)
−∞ 5
+∞
t −7
§2.7 卷积及其性质
于是 S (t ) = (t − 3)u(t − 3) − (t − 6)u(t − 6) − (t − 9)u(t − 9) + (t −12)u(t −12) 0, t − 3, = 3, 12 − t, 0, t <3 3<t < 6 6<t <9 9 < t < 12 t > 12
卷积及其性质
利用图形处理器（GPU）的并行计算能力进行卷积运算加速。GPU具 有大量的计算核心和高速内存访问能力，适用于大规模并行计算。
03
FPGA加速
利用现场可编程门阵列（FPGA）的可编程性和并行处理能力进行卷积
运算加速。FPGA可以根据具体需求进行定制化的硬件设计，实现高效
的卷积运算加速。
THANK YOU
利用卷积核检测图像的边缘信息，可以实现基于 边缘的图像分割。
3
目标检测与识别
卷积神经网络（CNN）在目标检测和识别领域 取得了显著成果，通过训练CNN模型可以实现 对图像中特定目标的检测和识别。
05
卷积在深度学习中的应用
卷积神经网络（CNN）基本原理
局部连接
01
卷积神经网络通过卷积核实现局部连接，每个神经元仅与输入
数据并行
将输入数据划分为多个子集，每 个处理单元负责一个子集的卷积 运算，最后合并各子集的结果得 到最终输出。
任务并行
将卷积运算划分为多个子任务， 每个处理单元负责一个子任务的 计算，最后合并各子任务的结果 得到最终输出。
硬件加速技术在卷积中的应用
01 02
硬件加速技术
利用专用硬件加速器（如GPU、FPGA等）提高卷积运算速度。这些加 速器具有高度的并行处理能力和优化的数据存储方式，能够显著提高卷 积运算的效率。
模式识别
卷积运算还可以应用于模式识别领域。通过将输入信号与一组预定义的卷积核进行卷积运算，可以得 到一组特征图。这些特征图可以作为模式识别的输入，用于训练分类器或进行相似度匹配等操作。
04
卷积在图像处理中的应用
图像滤波与去噪
滤波器的设计
卷积在图像处理中常被用于设计 各种滤波器，如均值滤波器、高 斯滤波器等，用于去除图像中的
计算卷积的方法
详细描述了系统传递函数的计算过程，包括系统传递 函数的定义、系统函数的表示、系统传递函数的计算 步骤以及计算实例。
详细描述
系统传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模 型，可以通过系统的输入输出关系来计算。具体来说， 假设有一个线性时不变系统，其输入为x(t)，输出为y(t)， 系统的传递函数可以通过以下步骤得到：首先根据系统 的输入输出关系列出微分方程，然后通过拉普拉斯变换 求解微分方程，得到传递函数H(s)。
04
卷积的特性
时移性
总结词
卷积的结果可以通过将其中一个信号进 行时间平移来获得。
VS
详细描述
卷积运算具有时移性，即当一个信号在时 间上平移时，其与另一个信号的卷积结果 也会相应地发生平移。这种特性在信号处 理和控制系统等领域中非常重要，因为它 允许我们通过改变输入信号的时间位置来 控制输出信号的时间响应。
滤波器
滤波器
卷积在信号处理中常常用于实现滤波器功能。通过设计特定 的滤波器系数（相当于冲激响应），可以对输入信号进行滤 波处理，提取出需要的信号成分或者抑制不需要的噪声干扰 。
IIR滤波器和FIR滤波器
在数字信号处理中，滤波器可以分为无限冲激响应（IIR）滤波 器和有限冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器具有反馈结构，可 以实现对信号的递归处理；而FIR滤波器没有反馈结构，只能实 现线性相位响应。
计算卷积的方法
• 卷积的定义 • 卷积的物理意义 • 计算卷积的方法 • 卷积的特性 • 卷积的计算实例
01
卷积的定义
数学定义
数学上，卷积是一种二元运算，表示为 *。 对于两个函数 f 和 g，它们的卷积定义为
(f * g)[n] = sum_{k=-infty}^{+infty} f[k] g[n-k])
卷积名词解释
卷积名词解释
卷积是一种在信号处理、图像处理和机器学习中常用的数学运算。
在数学上，卷积是指两个函数之间的一种操作，它将两个函数的一部分叠加在一起，计算它们交叉覆盖的面积，得到一个新的函数。
在信号处理领域，卷积是一种将输入信号与卷积核进行卷积计算的过程。
这个过程可以用来提取信号中的特征，比如图像中的边缘、纹理等。
在图像处理中，卷积被广泛应用于图像模糊、锐化、边缘检测等领域。
通过对图像进行卷积操作，可以改变图像的特征，使其更符合人类视觉习惯。
在机器学习中，卷积神经网络(CNN)是一种广泛应用的模型，它
利用卷积在图像分类、目标检测、语音识别等领域取得了显著的效果。
通过卷积操作，CNN可以从输入数据中提取出重要的特征，从而在分类、识别等任务中取得更好的效果。
总之，卷积是一种重要的数学运算，在信号处理、图像处理和机器学习等领域都具有广泛的应用。
熟练掌握卷积操作和卷积神经网络等技术，对于从事相关领域的人员来说是必不可少的技能。
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卷积通俗易懂理解
卷积通俗易懂理解
嘿，朋友们！今天咱来聊聊卷积，这可真是个超有意思的东西啊！咱就说，卷积就好比是一场神奇的变身魔法！比如说，你有一堆数字，就像一群小珠子。
然后呢，通过卷积这个魔法，这些小珠子就会被重新排列组合，变成一个全新的模样。
你想想看啊，这是不是很神奇？就好像你把一堆积木随便堆在一起，然后用卷积这个魔法棒一挥，哇，瞬间就变成了一座漂亮的城堡！来，再举个例子，音频处理里不就常用到卷积嘛。
声音就像一条河流，本来是弯弯曲曲、乱七八糟的。
但通过卷积，就可以把那些不想要的杂音过滤掉，让声音变得清澈动听，就好像河流经过净化变得纯净无比一样。
你可能会问了，这卷积到底有啥用呢？哎呀，那用处可大了去了！图像识别里，卷积可以帮我们找出图像中的特征呀。
比如说识别一个人的脸，卷积就像是一个超级侦探，能从一堆图像信息中精准地找出属于人脸的那部分特征。
这不就厉害啦！
还有啊，在信号处理中，卷积能让信号变得更清晰、更准确。
就好像是在迷雾中找到了一条清晰的道路，让我们能准确地知道信号所传达的信息。
卷积啊，真的是太神奇了，太有趣了！它就像是一个隐藏在数字世界里的奇妙秘密，等待着我们去发现和探索。
所以啊，大家一定要好好去了解和学习卷积，说不定哪天你就会发现，哇，原来卷积能帮我解决这么多问题呢！这可绝对不是吹牛哦，去试试就知道啦！。
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卷积运算图在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f 与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
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基本内涵
虽然很多情况下由于算子的对称性卷积和相关运算是相同的，但你应该能够辨别哪些情况下进行的是卷积，那些情况下进行的是相关。例如进行低通滤波时做的是卷积运算；进行模板匹配时进行的是相关运算。
邻域运算是指当输出图象中每个象素是由对应的输入象素及其一个邻域内的象素共同决定时的图象运算，通常邻域是远比图象尺寸小的一规则形状，如正方形2x2、3x3、4x4或用来近似表示圆及椭圆等形状的多边形。信号与系统分析中的基本运算相关与卷积，在实际的图象处理中都表现为邻域运算。邻域运算与点运算一起形成了最基本、最重要的图象处理工具。
[编辑本段]应用
卷积在工程和数学上都有很多应用： 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。 物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。 卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。 高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到： for(i=0; i<N; i++) { for(j=0; j<N; j++) { g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2)); sum += g[i*N+j]; } } 再除以 sum 得到归一化算子 N是滤波器的大小，delta自选 首先，再提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。 信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入 输出 和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。 因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。 卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理 中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。
以围绕模板（filter mask, template）的相关与卷积运算为例，给定图象f(x,y)大小N×N，模板T(i, j)大小m×m（m为奇数），常用的相关运算定义为: 使模板中心T((m-1)/2,(m-1)/2)与f(x,y)对应：
当m=3时，
相关运算实际上就是将模板的中心与相应图象区域的中心对应起来，彼此重叠后，相同位置上的点相乘之后再累加起来。
多元函数卷积
按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：
[编辑本段]性质
各种卷积算子都满足下列性质： 交换律 结合律 分配律 数乘结合律 其中a为任意实数（或复数）。 微分定理 其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种： 前向差分： 后向差分：
[编辑本段]卷积定理
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。 其中表示f 的傅里叶变换。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
[编辑本段]在群上的卷积
若G 是有某m测度的群（例如豪斯多夫空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G 上m-勒贝格可积的实数或复数函数f 和g，可定义它们的卷积： 对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的Peter-Weyl定理。
科技名词定义
中文名称：卷积 英文名称：convolution 定义：数学中关于两个函数的一种无穷积分运算。对于函数f1(t)和f2(t)，其卷积表示为：式中：“”为卷积运算符号。 所属学科： 电力(一级学科) ；通论(二级学科)
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
[编辑本段]定义
函数f 与g 的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。 积分区间取决于f 与g 的定义域。 对于定义在离散域的函数，卷积定义为
快速卷积算法
当 是有限长度 N ，需要约 N 次运算。藉由一些快速算法可以降到 O(N log N) 复杂度。 最常见的快速卷积算法是藉由圆周摺积利用快速傅里叶变换。也可藉由其它不包含 FFT 的做法，如数论转换。
卷积（convolution）是一种像素过滤器，用像素本身以及邻近像素的加权平均值来替换这个像素。卷积的应用例子包括模糊和锐化图像、查找图像边缘以及调整图像的对比度。
图8-15显示了像素P00以及相关的像素是如何由一个3×3的卷积过滤器进行处理并产生像素P'11的。
卷积是像素权值的数组，并且只能对RGBA像素进行操作。卷积过滤器（又称卷积核）就是二维的像素权值的数组。在经过卷积处理的输出图像中，每个像素是通过把输入图像的一组像素与卷积核中的像素权值相乘后并把结果相加而创建的。例如，在图8-15中，像素P'11是通过把输入图像的9个像素与卷积过滤器的9个权值相乘，然后再把各个乘积相加而得的。
卷积运算定义为:
当m=3时，
卷积运算与相关运算不同仅在于：需要事先将模板沿次对角线翻转后，再进行相关运算。
可见，相关运算是将模板当权重矩阵作加权平均，而卷积与相关不同的只是在于需要将模板沿中心反叠（先沿纵轴翻转，再沿横轴翻转；即沿次对角线翻转）后再加权平均。如果模板是对称的，那么相关与卷积运算结果完全相同。实际上常用的模板如平滑模板、边缘检测模板等都是对称的，因而这种邻域运算实际上就是卷积运算，用信号系统分析的观点来说，就是滤波，对应于平滑滤波或称低通滤波、高通滤波等情况。
定义快速卷积算法
多元函数卷积
性质
卷积定理
在群上的卷积
应用基本内涵
定义 快速卷积算法
多元函数卷积
性质
卷积定理
在群上的卷积
应用
[编辑本段]基本内ຫໍສະໝຸດ 简单介绍 卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分： 可以证明，关于几乎所有的 ，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x)＝(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) ＝ (g * f)(x)，并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。 卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。 由卷积得到的函数f*g 一般要比f 和g 都光滑。特别当g 为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。 卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。