高中数学 4-5反证法与放缩法课件分解
合集下载
高中数学 反证法与放缩法主课件 新人教A版选修4-5
放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明的需 要，可对有关式子适当进行放大或缩小， 实现证明。例如：
• 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) • 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
• 这种证明方法,我们称之为放缩法。
• 放缩法的依据就是传递性。
已知a, b, d∈R+，求证 1 a b c d 2
a b db c ac d bd a c 分析：
缩小法 a b c d
a b db c ac d bd a c a b c d
a b d cb c a dc d b ad a c b
abcd 1 abcd
放大法 a b c d
a b db c ac d bd a c abc d
放大法 a b c d
a b db c ac d bd a c abc d
ab ba cd dc
abcd112 ab cd
注意：放缩时应放缩适度
a bc d abcd
已知a, b 是实数，
求证 |ab| |a| |b| 1|ab| 1|a| 1|b|
法一
法二
已知a, b 是实数，
①如果a=0，则abc=0.这与已知abc>0矛盾， 所以a=0是不可能的。
②如果a<0，那么由abc>0得bc<0 因为a+b+c>0，所以b+c>-a, b+c>0, a(b+c)<0
a(b+c)+bc<0 所以ab+bc+ca<0 这与已知ab+bc+ca>0相矛盾。 所以，a<0也不可能。 综上所述，a>0
人教版高中数学选修4-5第2讲 证明不等式的基本方法2ppt课件
∴假设不成立，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
证法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋b＋c)＋(9＋3b＋c)－2(4＋2b＋c)＝2. 两式显然矛盾，∴原假设不成立． ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于21.
反证法
• 1．要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性 质，推出矛盾，从而肯定M>N成立．凡涉及证明不 等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、 “至少”等字句时，可考虑使用反证法．
• 2．反证法证明不等式的步骤是：反设(假设不等式 的结论不成立)→归谬(从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾)→断言(由矛盾得出反设不成立)．反证法
证法二：∵|x＋y|≤|x|＋|y|，∴|x|＋|y|－|x＋y|≥0. 由真分数性质ba<ab＋ ＋mm(0<a<b，m>0)知 1＋|x＋|x＋y|y|≤1＋|x＋|x＋y|＋y|＋|x||＋x|＋|y||－y|－|x＋|x＋y| y| ＝1＋|x||＋x|＋|y||y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|. 即1＋|x＋|x＋y| y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|成立．
(7)利用常用结论：
①1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k&g－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1(程度大)；
人教版高中数学选修4-5课件第二讲2.3反证法与放缩法精选ppt课件
所以 M＜1，选 B. 答案：B
4．用反证法证明“ 2， 3， 5不可能成等差数列” 时，正确的假设是________．
答案： 2， 3， 5成等差数列
5．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n(n∈N＋)的大小关系
是______________________．
解析：A＝
11＋
12＋
13＋…＋
[变式训练] (1)已知 x＞0，y＞0，z＞0，求证：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＞x＋y＋z； (2)求证：12＜n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1(n＞1，n∈N*)．
证明：(1)因为 x＞0，y＞0，z＞0，
所以 x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2＞x＋2y，①
[变式训练] 已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证明：法一：假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x) ＞1 均成立， 则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1，① 因为 0＜x＜2，
所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1. 所以三式相乘得 0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1② ②与①矛盾，故假设不成立． 所以 x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1.
归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存 在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比 较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不 止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．
3．当遇到命题的结论以“至多”“至少”等形式给 出时，一般多用反证法；应注意“至少有一个”“都是” 的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”．
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������) > 12.
������ ������ 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ������+1
+
������+1 2+…+21������<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
������+1
+
������+1 2+…+21������的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的 范围.
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
探究一
探究二
探究三
证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
又∵a、b、c成等差数列
∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋
5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证：
|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，
然后由 此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定
理、性质等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明 假设 不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立； 假设不成立 ，从
[例 1]
已知 f(x)＝x2＋px＋q
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 1 (2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
人教数学选修4-5全册精品课件：第二讲三反证法与放缩法
三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・ 回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】 如果两个非负数的和为1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。
人教版选修A4-5数学课件：2.3 反证法与放缩法(共21张PPT)
-5-
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
1 2
1 2
-6-
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
1 4
1
1 4
1 4
1
1
又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
-8-
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
1 4
∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
1 2
1 2
-6-
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
1 4
1
1 4
1 4
1
1
又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
-8-
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
1 4
∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.
高中数学人教A版选修4-5课件：2-3反证法与放缩法
否定 一个也 有两个或两 没有或有两 不 不都 是 有 假设 没有 个以上 个及以上 全 是
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1
2
对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时 在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾, 尤其在一些选择题中,更是如此.
目标导航
知识梳理
重难聚焦
>
2 ������+ ������+1
(������ ∈ R,k>1)
等.
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型一 利用反证法证明不等式
【例1】 若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 证法二：假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6. 故ab(a+b)>2. ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能,故a+b≤2.
=
n n
=
答案： A≥ ������
人教B版高中数学选修4-5课件 1.5.3 反证法与放缩法 课件 2
3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本 不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当 的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目 标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握． 常见放缩有以下几种类型：
第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩．
(2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后 得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设 不成立，故原命题成立．
2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐 一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件 进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法．
【变式训练 2】 证明：若函数 f(x)在区间[a，b]上是增函 数，那么方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实根， 设 α，β 为其中的两个实根．
∵α≠β，不妨设 α>β. ∵函数 f(x)在区间[a，b]上是增函数， ∴f(α)>f(β)．这与 f(α)＝f(β)＝0 矛盾． 所以方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实数根．
【例 3】
求证：2(
n＋1－1)<1＋
1＋ 2
1 …＋ 3
1 n<2
n(n
∈N＋)．
【分析】 观察所证不等式，中间有 n 项需裂项相消．当
k∈N＋时，∵
k＋
k＋1>2
k，∴22 k>
人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法 课件(15张)
知识点二 放缩法证明不等式
4．已知 S＝1＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n(n 是
大于 2 的自然数)，则有( )
A．S<1
B．2<S<3
C．1<S<2
D．3<S<4
解析：S＝11＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n<1＋12 ＋212＋213＋…＋2n1－1＝11－－2112n＝2－2n1－1<2.
又因为 S＝1＋1×1 2＋…＋1×2×31×…×n>1.故选 C. 答案：C
5．令
P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n，Q＝
n，则 P 与 Q 的大小
关系是________．
解析：P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
1＋ n
1 ＋…＋ n
1＝ n
n＝ n
n，当且仅当 n＝1 时取等号，∴P≥Q.
综上所述，正确的命题有 2 个，故选 B. 答案：B
பைடு நூலகம்
3．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列．
求证： a， b， c不成等差数列．
证明：假设 a， b， c成等差数列，则有 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b.
又∵三个正数 a，b，c 成等比数列． ∴b2＝ac，即 b＝ ac. ∴a＋c＋2 ac＝4 ac，即( a－ c)2＝0， ∴ a＝ c，即 a＝c.从而得 a＝b＝c. ∴a，b，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴ a， b， c不成等差数列．
命题的结论．
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③
解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条
人教课标版高中数学选修4-5《反证法与放缩法》参考课件2
log
n (n
1) log n
(n
1)
log n (n
1)
2
log
n (n
1)
2logn Nhomakorabea(
n 2
2
1) 2
log n 2
n
2
2
1
∴n > 2时, log n (n 1) log n (n 1) 1
课堂小结
证明不等式的特殊方法: （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行适当的 放缩实现证明的方法。 （2）反证法：先假设结论的否命题成立,再寻求矛 盾，推翻假设，从而证明结论成立的方法。
∴1<m<2 即原式成立
例2已知a,b是实数，求证:
a+b
a
b
.
1 a b 1 a 1 b
法１： a b a b 1 a b 1 a 1 b
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0 时，左边
1 1 1
ab
1 1
ab 1 1 a b
|a| b 1 a b 1 a b
1 x 与 1 y 中至少有一个小于2
y
x
例2 已知a,b,c为实数,a b c 0,ab bc ca 0, abc 0,求证: a 0,b 0,c 0.
证明: 假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数, 不妨先设a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾, a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0,于是ab bc ca a(b c) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0,同理可证b 0,c 0, 所以原命题成立.
2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)
[悟一法] (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等 词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形
式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相
矛盾．
[通一类] 1．已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a) ＋f(b)．求证：a＜b. 证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
[精讲详析]
本题考查放缩法在证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2， ∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，
∴原假设不成立．
人教A版高中数学选修4-5课件第二讲三反证法与放缩法
证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac. 又∵a、b、c成等差数列 ∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋ f(－a)，求证：a<b.
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的 特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施， 进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利 用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项 或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或 者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而 达到证明不等式的目的．
5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证： |f(a)－f(b)|<|a－b|. 证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a) 于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( ) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”． 答案：D
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋ f(－a)，求证：a<b.
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的 特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施， 进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利 用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项 或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或 者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而 达到证明不等式的目的．
5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证： |f(a)－f(b)|<|a－b|. 证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a) 于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( ) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”． 答案：D
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当.例如上 述过程中,如果把和式的4 项分母依次缩为a,b, c, d , 那 么 和 放 大 为4, 显 然 太 大 了.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
例4
已知a,
b是 实 数, 求 证
|a 1 |
a
b
| b
|
|a| 1 | a
|
|b| 1 | b
|
.
a
a a
abcd abd ab
b
b b,
abcd bca ba
c
c c,
abcd cdb cd
d
d d,
abcd dac dc
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
把以上四个不等式相加, 得
abcd a b abcd abd bca
c
c d
b
d
d ac
ab ab
cd cd
,
即
1 a b c d 2. abd bca cdb dac
2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当 放大 (或 缩小 )
使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不 等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值 放大 ，反之，把分母缩小，则分式的值 缩小 ．
试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？
提示 ①添加或舍去一些项； ②将分子或分母放大(或缩小)； ③真分数的性质：若 0＜a＜b，m＞0，则ab＜ab＋ ＋mm； ④利用基本不等式； ⑤利用函数的单调性； ⑥绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. ⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；x2－x≥14(x∈R)； 2x＞0(x∈R)．
课堂讲练互动
知能达标演练
在上述过程中, 我们证明了
|a 1 |
[思维启迪] 利用反证法求证．
证明 假设a、b、c不全是正数，
即至少有一个小于或等于0.
又abc>0，不妨假设a<0，则bc<0. ∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0. ∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0. 即ab＋bc＋ca<0. 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾．
基础自测
1．实数a，b，c不全为0等价于
( )．
A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析 a，b，c不全为0，等价于“a，b，c中至少
有一个不为0”． 答案 D
2．已知 a，b，c，d 都是正数，S＝a＋ab＋c＋a＋bb＋d＋c＋dc＋a
∴假设不成立．
故a>0，b>0，c>0成立．
规律方法 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论
出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾 的结论，从而肯定原命题成立．
【变式 1】 已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证：1＋x y与1＋y x中
至少有一个小于 2. 证明 假设1＋x y≥2 且1＋y x≥2.
第三节 反证法与放缩法
【课标要求】
1．理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证 法证明不等式的方法．
2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不 等式．
【核心扫描】
1．利用反证法、放缩法证明不等式或常规问题是本 节的热点．
2．在不等式的证明中，常与数列、三角结合，将放 缩法渗透其中进行考查．(难点)
分析
将不等式左边用 | a b 1 | a |
| |
b
|
替代,
得到
|a 1 |
| a|
|b |
| b
|
|a 1 |
| a
|
|b 1 |
| b
|
,
这 个 不 等 式 是 很 容 易 证明 的 , 所 以, 如 果 能 证 明
|a 1 |
a
b
| b
|
|a 1 |
| a|
|b |
| b
|
,
那么原不等式就可以得
∵x>0，y>0，
∴1＋y≥2x
①
1＋x≥2y
②
①＋②得 2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
即 x＋y≤2 与 x＋y>2 矛盾．
∴假设不成立，故1＋x y与1＋y x中至少有一个小于 2.
类型二：证明不等式时,通过把不等式中的某 些部分放大 或缩小, 简化不等式, 从而达到证明的目的.我们把
这种方法称为 放缩法. 例3 已知a,b, c, d R ,求证 1 a b c d 2. abd bca cdb dac
分析 若把 a b c d abd bca cdb dac
直 接 通 分 相 加 则 会 使 运算 非 常 复 杂, 不 易 达 到 证 明 的目的,分析此式的形式特点,可以通过适当放缩, 使 不 等 式 简 化, 从 而 得 出 证 明.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
证明 因为a,b, c, d 都是正数,所以
到证明.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
证明 因为0 | a b || a | | b |, 所以
|a 1 |
a
b
| b
|
1
1
|
1 a
b
|
1
1
|
1 a|
|
b
|
|a 1 |
||b| a||b
|
1
|
|a| a|
|
b
|
b
|
|a 1 |
| a
|
|b 1 |
| b
|
.
课前探究学习
自学导引
1．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已
知条件，应用公理、定义、定理，性质等进行正确 的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性 质，明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明
假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为 反证法．
想一想：哪些命题或不等式适合用反证法证明？
提示 存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论 中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题 或不等式．
＋c＋dd＋b，则有
( )．
A．S＜1
B．S＞1
C．S＞2
D．以上都不对
解析
S
＞
a a＋b＋c＋d
＋
b a＋b＋c＋d
＋
c a＋b＋c＋d
＋
a＋b＋d c＋d＝1.
答案 B
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确
的反设
为 ( )．
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
解析 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、
二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中
恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故 反面的情况有3种，只有D项符合． 答案 D
题型一 反证法证明不等式
【 例 1】 已 知 ： a ＋ b ＋ c>0 ， ab ＋ bc ＋ ca>0 ， abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.