2019学年数学人教A版选修4-5优化复习：第二讲 三 反证法与放缩法

[课时作业]

[A组基础巩固]

1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()

A．两个都是偶数

B．一个是奇数，一个是偶数

C．至少一个是偶数

D．恰有一个是偶数

解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．

答案：C

2．设x>0，y>0，A＝

x＋y

1＋x＋y

，B＝

x

1＋x

＋

y

1＋y

，则A与B的大小关系为()

A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A

解析：A＝

x

1＋x＋y

＋

y

1＋x＋y

<

x

1＋x

＋

y

1＋y

＝B.

答案：D

3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1

y，b＝y＋

1

z，c＝z＋

1

x，则a、b、c三个数()

A．至少有一个不大于2

B．都小于2

C．至少有一个不小于2

D．都大于2

解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，这与

a＋b＋c＝x＋1

y＋y＋

1

z＋z＋

1

x≥6矛盾．故选C.

答案：C

4．设M＝

1

210＋

1

210＋1

＋

1

210＋2

＋…＋

1

211－1

，则()

A．M＝1B．M<1

C．M >1 D．M与1大小关系不定

解析：M是210项求和，M＝

1

210＋

1

210＋1

＋

1

210＋2

＋…＋

1

211－1

<

1

210＋

1

210＋

1

210＋…＋

1

210＝

1，故选B.

答案：B

5．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H

B ．A ≤H ≤G

C ．G ≤H ≤A

D ．H ≤G ≤A

解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2

＝2ab a ＋b

， 又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 为单调减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H .

答案：A

6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：

|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________．

答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥12

7．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |

，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |

＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |

＝1. 答案：m ≤n

8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2

，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a >0，b >0，

∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2

＝M . ∴M

答案：M

9．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．

证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．

由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．

从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2.

∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d 2

＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．

10．求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n

<3(n ∈N ＋)． 证明：由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝12

k －1(k 是大于2的自然数)， 得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12

n －1＝ 1＋1－12n 1－12

＝3－12n －1<3.

∴原不等式成立．

[B 组 能力提升]

1．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1

(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )

A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1

B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1

C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1

D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0

解析：“x n x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．

答案：B

2．若α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，