函数03函数的单调性

第3课时函数的单调性【高考目标导航】一、考纲点击1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。

二、热点、难点提示1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点；2．利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点；3．题型以选择题和填空题为主，与导数知识点交汇时则以解答题的形式出现。

【考纲知识梳理】一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，改变量⊿x= x2- x1>0当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。

注：①单调区间是定义域的子区间②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。

二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M②存在x∈I，使得f(x)=M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M②存在x∈I，使得f(x)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。

相关提示：①函数的单调区间与该函数定义域间的关系函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。

②一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数③相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。

④奇函数在对称区间上的单调性奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。

因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。

⑤求函数单调性解题策略第一，看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；第二，如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；第三，如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。

【要点名师透析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值，且x 1< x 2.（2）作差：即f(x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。

（3）定号：根据给定的区间和x 2- x 1符号，确定差f(x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))的符号。

当符号不确定时，可以进行分类讨论。

（4）判断：根据定义得出结论。

2、利用导数的基本步骤是：2、求函数的单调性或单调区间的方法（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间； （2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义；（3）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。

（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。

注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。

例如函数y=1/x 在(,0)(0,)-∞+∞和内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即()(),00,-∞+∞ 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(,0)(0,)-∞+∞和，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗已知函数2()||(,0)f x x ax b x R b =--∈≠，给出以下三个条件: (1) 存在0R x ∈，使得00()()f x f x -≠； (2) (3)(0)f f =成立；(3) ()f x 在区间[,)a -+∞上是增函数.若()f x 同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则()f x 的一个可能的解析式为()f x = .解析：满足条件(1)(2)时,231y x x =-+等；满足条件(1)(3)时,221y x x =++等；满足条件(2)(3)时,239y x x =+-等〖例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解析：设y=u ，u=x2+x-6 ． 由x 2+x-6≥0，得x ≤-3或x ≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x 2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．又∵函数y=u 是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．〖例3〗设，(1) 试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2) 若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n ≥3)，都有;解析: 1) ∵>0且2－x ≠0 ∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之： (1)分 设任………………………………………2分∵∴ (3)分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分用数学归纳法易证证略. …… 12分二、复合函数的单调性1．求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x).（3）分别确定这两个函数的单调区间；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间。

注：求函数单调区间时，易忽略函数的定义域。

2．例题解析 〖例1〗判断函数的单调区间.思路分析：利用复合函数单调性的判断方法求解 解答：∵y=21x -，(][)[)(][)(][)22222,11,.110,1,101,0.,111,1y x y u u x y u u u x u u x y x x y x ∴-∞-+∞=-==-=∈+∞=-∈-∞-≥+∞≥∴∈-∞-=-∈+∞=- 该函数的定义域为又可看作是由与两个函数复合而成的，且在上为增函数，而上为减函数且，在上为增函数且当时，为减函数，当时，为增函数.〖例2〗（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性。

解：（1）函数的定义域为),2()1,(+∞⋃-∞， 分解基本函数为t y 7.0log =、232+-=x x t显然t y 7.0log =在),0(+∞上是单调递减的，而232+-=x x t 在),2(),1,(+∞-∞上分别是单调递减和单调递增的。

根据复合函数的单调性的规则：所以函数20.7log (32)y x x =-+在),2(),1,(+∞-∞上分别单调递增、单调递减。

（2）解法一：函数的定义域为R ，分解基本函数为82)(2++-==x t t f g 和22t t -=。

显然82)(2++-==x t t f g 在),1(+∞上是单调递减的，)1,(-∞上单调递增； 而22xt -=在),0(),0,(+∞-∞上分别是单调递增和单调递减的。

且1122±=⇒=-x x ，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-。

解法二：222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+，令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<， 令 ()0g x '<，1x >或10x -<<∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-。

注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值〖例1〗已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。

在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)= f (x 1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1， ∴当x <10时0< f (x )<1, 而当x >10时f (x )>1； ① 若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1， ② ∴0< f (x 1)f (x 2)<1， ∴)()(1121x f x f -<0，∴F (x 2)< F (x 1)；②若x 2 >x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1 ，∴f (x 1)f (x 2)>1 ∴)()(1121x f x f ->0 ∴ F (x 2)> F (x 1)综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x 1、x 2在所给区间内比较f(x 2)-f(x 1)与0的大小，或f(x 1)/ f(x 2)与大小。

有时根据需要，需作适当的变形：如〖例2〗已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x ＞0时，f(x)＜0,f(1)=23-. (1)求证：f(x)在R 上是减函数；(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值．思路分析：用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。

解答：(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)+f(y)=f(x+y)， 令x=y=0，得f(0)=0．再令y=-x ，得f(-x)=-f(x)．在R 上任取x 1＞x 2，则Δx=x 1-x 2＞0，Δy=f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2)=f(Δx), 又∵x ＞0时，f(x)＜0．而Δx ＞0， ∴f(Δx)＜0，即Δy<0． 因此f(x)在R 上是减函数． 方法二：在R 上任取x 1，x 2， 不妨设x 1＞x 2，则Δx=x 1-x 2>0,Δy=f(x 1)-f(x 2) =f(x 1-x 2+x 2)-f(x 2) =f(x 1-x 2)+f(x 2)-f(x 2) =f(x 1-x 2)=f(Δx)又∵x ＞0时，f(x)＜0，而Δx ＞0， ∴f(Δx)＜0，即Δy<0． 因此f(x)在R 上是减函数. (2)∵f(x)在R 上为减函数，∴f(x)在［-3，3］上也为减函数，∴f(x)在［-3，3］上的最大值为f(-3)、最小值为f(3)， 而f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)= 3f(1)=-2，∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), ∴f(-3)=-f(3)=2,因此，f(x)在［-3，3］上的最大值为2，最小值为-2. 【方法指导】求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转 化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．例1. 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 证明 方法一 任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, 12x x a -＞1且1x a ＞0,∴0)1(12112>-=--x xx x x a a a a ，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0,∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0, 于是f(x 2)-f(x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x ＞0, 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f(x)=a x+1-13+x (a ＞1), 求导数得)(x f '=a x lna+2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a xlna ＞0,2)1(3+x ＞0, )(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a ＞1,∴y=a x为增函数， 又y=13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴y=a x+12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数. 变式训练1：讨论函数f （x ）=x+xa（a ＞0）的单调性. 解：方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，典型例题设x 1＞x 2＞0,则 f(x 1)-f(x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)·（1-21x x a ）.∴当0＜x 2＜x 1≤a 时，21x x a＞1, 则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f(x 1)＜f(x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数. 当x 1＞x 2≥a 时，0＜21x x a＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f(x 1)＞f(x 2), 故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数， ∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+∞）上为增函数； f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数. 方法二 由)(x f '=1-2x a=0可得x=±a 当x ＞a 或x ＜-a 时，)(x f '＞0∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数. 同理0＜x ＜a 或-a ＜x ＜0时，)(x f '＜0 即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数.例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1}, 则f(x)= 12-x , 可分解成两个简单函数.f(x)=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u(x)为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x)为减函数，)(x u 为减函数， ∴f(x)=12-x 在（-∞,-1］上为减函数.变式训练2：求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.解： 由4x-x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x 2，则y=21log t.∵t=4x-x 2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y=21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=21log （4x-x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例3. 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223x x -+; (2)y=x+x 4;(3)y=4)2(122+-++x x . 解：（1）由3+2x-x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x 2=4-(x-1)2.∴t ∈［0，4］，t ∈［0，2］，从而，当x=1时，y min =2，当x=-1或x=3时，y max =4.故值域为［2，4］.(2)方法一 函数y=x+x4是定义域为{x|x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论 x ＞0时,即可知x ＜0时的最值.∴当x ＞0时,y=x+x 4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x=2时取得.当x ＜0时，y ≤-4, 等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.方法二 任取x 1,x 2,且x 1＜x 2,因为f(x 1)-f(x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x -- 所以当x ≤-2或x ≥2时，f(x)递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f(x)递减.故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.（3）将函数式变形为 y=2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.y min =|AB|=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13. 显然无最大值.故值域为［13，+∞）.变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 000x-20x 2(单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？解：（1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x-20x 2）-（500x+4 000）=-20x 2+2 500x-4 000（x ∈［1，100］且x ∈N,）MP （x ）=P （x+1）-P （x ）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x 2+2 500x-4 000）=2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）.（2）P （x ）=-20(x-)21252+74 125，当x=62或63时，P(x)max =74 120（元）. 因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x=1时，MP(x)max =2 440(元）.因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值.例4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.解：（1）令x 1=x 2＞0,代入得f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0.（2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f(x)＜0, 所以f )(21x x ＜0,即f(x 1)-f(x 2)＜0,因此f(x 1)＜f(x 2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.（3）由f(21x x )=f(x 1)-f(x 2)得f()39=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x|x ＞9或x ＜-9}.变式训练4：函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.解：（1）设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＞1.f(x 2)-f(x 1)=f((x 2-x 1)+x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1＞0.∴f （x 2）＞f(x 1).即f(x)是R 上的增函数.（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3，∴原不等式可化为f(3m 2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R 上的增函数，∴3m 2-m-2＜2,解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）. 1．证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.小结归纳。