高等数学---3.4函数单调性的判别法
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大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法全文
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值．
例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
函数的单调性与极值 最值
例8
判断函数 y = x − ln x 的单调性
解
函数的定义域为 (0,+∞ ) x −1 1 Q y′ = 1 − = x x 当 0 < x < 1 时数在 ( 0,1) 内单调减少。 单调减少。
内单调增加。 在 (1, +∞ ) 内单调增加。
x >1
时， y′ > 0,
y
f ( x1 )
( 2)
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
f ( x2 )
y = f ( x)
o
x1
x2
x
I
一、函数的单调性
y
2.判别方法 判别方法
y A y = f (x) B
y = f (x)
A
B
o
a
f ′( x ) ≥ 0
b
x
o a
f ′( x ) ≤ 0
b x
在区间(a,b)上单调上升 若 y = f (x)在区间 上单调上升 在区间(a,b)上单调下降 若 y = f (x)在区间 上单调下降
y
间断
∴ 单增区间为 (−∞, −2) , ( 2, +∞ ) 单减区间为 (−2, 0) , (0, 2)
x < ln(1 + x ) < x . 复习 证明当 x > 0 时, 1+ x 课本P124 课本 证法一设 f ( t ) = ln(1 + t ) t ∈ [0, x ]
足拉格朗日中值定理的条件. 则 f ( x ) 在 [0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件. 故
∴ 在(−∞ ,1]上单调增加； −∞ 上单调增加；
f ′( x ) < 0, ∴ 在[1,2]上单调减少； 上单调减少；
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
10
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
高等数学第三章 单调性及其判定
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
2 33 x
解 D : ( , ).
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
单调性及其判定
Lagrange定理 y f ( x0 x ) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率。
一、单调性的判别法
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
例5
证
证明 x 0时 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
高等数学《函数单调性与凸性的判别法》
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f (x)在区间I上连续,若对任意两点
x1, x2 I (x1 x2 ), 恒有 :
f
x1
2
x2
1
2
f
(x1)
f
(x2 )
则称曲线y=f (x)在I内是下凸的（或称凹弧）;如果恒有
f
x1
2
x2
1
2
f
(x1)
f
(x2 )
则称曲线y=f (x)在I内是上凸的（或称凸弧）。
在[a, b]上单调增加； （2）如果 x (a,b) , 有f ( x) 0 , 则函数 f ( x)
在[a, b]上单调减少 .
备注 如果 把区间[a,b] 换成其他各种类型的区间 (包括无穷区间) , 定理结论仍成立.
证 在 [a,b] 上任取两点 x1, x2 ,且 x1 x2 ,
在 [ x1, x2 ] 上应用拉格朗日中值定理 , 得
f ( x)
不存在
y f (x) 下凸
0
上凸
曲线在区间(,0]向下凸 , 在区间[0,]向上凸 , 点 (0,0) 为曲线的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
结论：
若曲线 y=f (x) 在点 x0 连续 ,
y 注意 拐点处若存在切线，
则必在拐点处穿过曲线. o
x
2) 拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
求拐点的方法:
高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
2019年9月14日星期六
9
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定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意
两点 x1, x2 （不妨设 x1 x2 ）及任意正数 (0 1) ，恒
有
f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解：已知 f (x0 ) 0 ，不妨设 f (x0 ) 0 ， 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续，
因此必存在 0 ，当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ，函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
2019年9月14日星期六
10
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苏教高等数学教材目录
苏教高等数学教材目录第一章函数与极限1.1 实数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 无穷小量与无穷大量1.5 极限运算法则1.6 函数的连续性第二章导数与微分2.1 函数的导数2.2 常用函数的导数2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分中值定理第三章微分中值定理与应用3.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理3.2 洛必达法则与柯西中值定理3.3 泰勒公式与应用3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性第四章不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分公式4.3 第一换元法4.4 第二换元法4.5 分部积分法4.6 有理函数的积分4.7 反常积分第五章定积分与应用5.1 定积分的概念5.2 定积分的性质5.3 牛顿-莱布尼兹公式5.4 平面图形的面积5.5 曲线的弧长5.6 物理应用题6.1 微分方程的概念6.2 一阶常微分方程6.3 可降阶的二阶常微分方程6.4 高阶线性常微分方程第七章多元函数及其极限7.1 二元函数的极限7.2 多元函数的连续性7.3 偏导数7.4 全微分7.5 隐函数及其导数第八章多元函数的微分学8.1 多元函数的导数8.2 链式求导法则8.3 方向导数与梯度8.4 多元函数的极值及其判别8.5 条件极值与拉格朗日乘数法9.1 二重积分的概念与性质9.2 二重积分的计算9.3 二重积分的应用9.4 三重积分的概念与计算9.5 三重积分的应用第十章曲线积分与曲面积分10.1 曲线积分的概念与性质10.2 第一类曲线积分10.3 第二类曲线积分10.4 曲面积分的概念与性质10.5 曲面积分的计算第十一章常微分方程与线性方程组11.1 高阶线性微分方程11.2 齐次线性微分方程11.3 非齐次线性微分方程11.4 常系数线性微分方程11.5 线性方程组与矩阵的运算第十二章向量代数与空间解析几何12.1 向量的概念与性质12.2 向量的点乘与叉乘12.3 平面方程及其相关问题12.4 空间直线及其相关问题12.5 空间曲线及其相关问题第十三章空间解析几何13.1 空间曲面及其相关问题13.2 球面坐标系13.3 柱面坐标系13.4 抛物面坐标系13.5 椭球面坐标系13.6 坐标系的转变第十四章多元函数积分学14.1 重积分的概念与性质14.2 重积分的计算14.3 曲线积分与曲面积分的概念与计算14.4 格林公式与高斯公式14.5 斯托克斯公式第十五章曲线积分与曲面积分15.1 曲线积分的概念与性质15.2 第一类曲线积分15.3 第二类曲线积分15.4 曲面积分的概念与性质15.5 曲面积分的计算第十六章常微分方程与线性方程组16.1 高阶线性微分方程16.2 齐次线性微分方程16.3 非齐次线性微分方程16.4 常系数线性微分方程16.5 线性方程组与矩阵的运算这是苏教高等数学教材的目录，按章节顺序给出了各个章节的内容概要。
3-4函数单调性与凹凸性(09)
f ''(0) 0
f ''( x) 0
f '(x)
f '(0) 0
f '(x) 0
f (x)
f (0) 0
f (x) 0
tan x x x3 (x 0, x k ,k N ).
3
2
2. 讨论方程根的个数问题 若 y = ƒ(x) 变号, 则方程 ƒ(x) = 0 一定有根, 若函数单调, 则曲线与 x 轴的只有一个交点, 就是方程的根唯一.
2
o x1 x1 x2 x2
x
2
将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为曲线的凹凸性.
向上凹（或 凸）的另一种定义： 定义2 设函数 y = ƒ(x) 在区间 I 内可导. y 若该函数曲线在 I 内总是位于其上任意一 点的切线上方 (即曲线向下弯曲), 则称该 曲线在 I 内是向上凹的; 区间 I 为该曲线的向 o 上凹区间.用符号∪表示 .称函数 y = ƒ(x) 为在 区间 I 内的凸函数.
利用定理1可以讨论函数的单调区间.
问题 一般地,函数在定义区间上不是单调的，如何判 断函数在各个部分区间上的单调性?
若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称 为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点是单调区间的分界点．
方法 用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断各区间内导 数的符号.
区间的单调性.
例2 求函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间. 解 函数 f(x) 定义域为(, )
f ( x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 由 f ( x) 0 解得 x1 1, x2 2
函数单调性的判别法
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曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x1, x2, 恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 如果恒有
x1 x2 > f (x1) f ( x2 ) , f( ) 2 2
x1 x2 < f (x1) f (x2 ) , f( ) 2 2
拐点
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拐点 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的 拐点. •讨论 如何确定曲线y=f(x)的拐点？ 如果(x0, f(x0))是拐点且f (x0)存在, 问f (x0)=？ 如何找可能的拐点？ •提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点. 在拐点(x0, f(x0))处f (x0)=0或f (x0)不存在. 只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点.
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•只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点. •如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点.
例9 求曲线y=(x1)4ex的拐点. 解 y=4(x1)3ex, y=12(x1)2ex . 因为在(, )内, y>0, 所以曲线y=(x1)4ex的在(, )内是凹的, 无拐点.
那么称f(x)在I上的图形是凸的.
•观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹 凸性的关系. >>>
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判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法是通过观察函数的导数的正负性进行推断。
具体的步骤如下：
1. 对于给定函数 f(x)，首先求出它的导数 f'(x)。
2. 分析函数的导数 f'(x) 的正负性。
当 f'(x) > 0 时，函数的导数为正；当 f'(x) < 0 时，函数的导数为负。
3. 根据函数的导数的正负性来判断函数的单调性：
- 如果 f'(x) > 0，那么函数在该区间上是单调递增的；
- 如果 f'(x) < 0，那么函数在该区间上是单调递减的；
- 如果 f'(x) = 0，那么函数在该点可能是极大值点或极小值点，需要进一步分析。
需要注意的是，如果函数在一个区间上的导数恒大于（或恒小于）0，则函数在该区间上是严格递增（或严格递减）的。
此外，也可以通过二阶导数的正负性来判断函数的单调性。
当函数的二阶导数大于0时，函数是凸的，即是严格单调递增的；当二阶导数小于0时，函数是凹的，即是严格单调递减的。
3-4函数的单调性与凹凸性
2
函数单调性的判别法： 设函数y = f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导 （）若在 1 (a, b)内f '( x) > 0，则f ( x)在[a, b]上单调增加
lijuan
（2）若在(a, b)内f '( x) < 0，则f ( x)在[a, b]上单调减少 （3）若在(a, b)内f '( x) ≡ 0，则f ( x)在[a, b]上为常数， 即f ( x) = c, (c为常数）
若f ( x )在I 上具有二阶导数，则可利用二阶 导数的符号来判定其凹凸性
25
定理： 设函数f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内具有一阶、 二阶导数，则： （） 1 若在( a, b)内f ''( x) > 0，则f ( x)在[a, b]上的图
形是凹的。记为： ∪
lijuan
（2）若在(a, b)内f ''( x ) < 0，则f ( x )在[a, b]上的图 形是凸的。记为： ∩
4
说 1、上述定理对下列区间同样适用， 明 (-∞,+∞),(-∞,a ),[a, +∞), (a, b)ect.
lijuan
（所谓个别点 2、定理允许在个别点导数为0， 也可为有限个点）但这些点不构成区间
例、讨论函数f ( x) = x − sin x的单调性
解：f '( x) = 1 − cos x ≥ 0
f '( x ) > f '(ξ ) = 0
lijuan
∴ f '( x) > 0 ⇒ f ( x)递增
y ξ
a
⇒ f ( x) < f (b) = A ⇒ f ( x) < A
函数单调性的判别法： 设函数y = f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导 （）若在 1 (a, b)内f '( x) > 0，则f ( x)在[a, b]上单调增加
lijuan
（2）若在(a, b)内f '( x) < 0，则f ( x)在[a, b]上单调减少 （3）若在(a, b)内f '( x) ≡ 0，则f ( x)在[a, b]上为常数， 即f ( x) = c, (c为常数）
若f ( x )在I 上具有二阶导数，则可利用二阶 导数的符号来判定其凹凸性
25
定理： 设函数f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内具有一阶、 二阶导数，则： （） 1 若在( a, b)内f ''( x) > 0，则f ( x)在[a, b]上的图
形是凹的。记为： ∪
lijuan
（2）若在(a, b)内f ''( x ) < 0，则f ( x )在[a, b]上的图 形是凸的。记为： ∩
4
说 1、上述定理对下列区间同样适用， 明 (-∞,+∞),(-∞,a ),[a, +∞), (a, b)ect.
lijuan
（所谓个别点 2、定理允许在个别点导数为0， 也可为有限个点）但这些点不构成区间
例、讨论函数f ( x) = x − sin x的单调性
解：f '( x) = 1 − cos x ≥ 0
f '( x ) > f '(ξ ) = 0
lijuan
∴ f '( x) > 0 ⇒ f ( x)递增
y ξ
a
⇒ f ( x) < f (b) = A ⇒ f ( x) < A
大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法
一、函数单调性的判别法
y
y
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导（1） . 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x 3 , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
3 2
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
例9 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
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解 (1)建立敌我相距函数关系 设 t 为我军从B处发起
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
y
y
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导（1） . 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x 3 , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
3 2
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
例9 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
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解 (1)建立敌我相距函数关系 设 t 为我军从B处发起
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
函数的单调性与凹凸性判别
那末 f ( x ) 在 称 ( a , b ) 内的图 . 是 凹 (凸形 )的
22
y
yf( x )
y
yf( x )
O
x
O
x
定义2 曲线弧上每一点的切线 都在曲线的下(上) 方,称为凹 (凸)弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f ( x ) 的切线斜率是单增的,即 而 f ( x)是单增的,
凸弧的切线斜率是单减的,即 f ( x)是单减的. 利用二阶导数判断曲线的凹凸性
23
2. 凹凸性的判别法yBiblioteka yf( x )Ay
B
A
yf( x )
B
O a
bx
O a
bx
(x f )0 f(x )递增
(x f )0 f(x )递减
定理2 如 果 (a, b) 内具有 f(x ) 在 [ a ,b ] 上连 ,在 续 (x f )0( 0), 则f ( x) (a,b)内 ,若 二阶导数, 在
0 x 1 , f ( x ) 0 ,f( x ) C [ 0 , 1 ].
2 x x f(x ) 在 [0 , 1 ] 上 单 调. 增 加 f( x ) 1 e s ix n 2 当 0 x 1 时 , 有 f ( x ) f ( 0 ) 0. 2 x x 1 e s ix n 0 2 2 x x 即 e s ix n 1 2
19
b ln a a ln b
四、曲线凹凸性的判别法
(concave and convex)
前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 y 曲方向。 B L1 如右图所示L1 ，L2 ，L3 L2 L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 A o x L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有 凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 20
同济大学的高等数学讲义 (9)
4Байду номын сангаас − 1 x
2 3
,
1 当 x = 时，f ′( x) = 0 ，当x=0时，导数不存在，用 4
1 x=0, 即 x = 4
将定义域区间划分成三个部分小区间：
1 1 (−∞,0), (0, ), ( , +∞), 4 4
现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如
x + ( 1( 1)⎞ 0′ x 1 ⎛f−∞,0) ⎞ ⎜ 0, ,+∞ ⎟ ⎟ 4 ⎝4 4⎠ ⎠
y
y y= f (x) y= f (x)
θ
o a
θ
b x o a b x
单调上升
单调下降
上述关于函数单调性的图象性质，可以得到一般的结 论，即有 定理(可导函数单调的必要条件) 设函数f ∈C[a ,b]，并且 f ∈D(a, b)，若在区间[a ,b]上单调增加(减少)，则对任意 的x∈(a , b) ，有 f ′( x) ≥ 0 ( ≤ 0 )． 反之，可以通过导数的符号来判定函数的单调性，即 有下面的判定定理：
2.函数图形凹凸性及其判别法 ⑴定义 设I 是一个区间，若对任意的x1,x2∈I (x1≠x2)成
立不等式
⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1) + f ( x2 ) ⎛ ⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1) + f ( x2 ) ⎞ f⎜ ⎜f⎜ ⎟, ⎟< ⎟> 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
ADB 是向上凹的弧．
定义
设I 是一个区间，若对任意的x1,x2∈I (x1≠x2)成立
不等式
⎛ x1 + x2 ⎞ f ( x1) + f ( x2 ) , f⎜ ⎟< 2 ⎝ 2 ⎠
3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
B
o a f ( x) 0 b x
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
说明： 1、定理中的区间换成其它有限或无限区 间，结论仍然成立.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凹的;
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的;
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
y f (x)
y
y f (x)
f x1 x2 2
o x1
x1 x2 2
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
函数的单调性与曲线的凹凸性
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
证
x1,x2I,
记
x
0
x1x2 2
,利用一阶泰勒公式将
f ( x ) 在点 x 0 展开 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) f2 (!)(x x 0 )2
分别取 x x1, x2 可得
由拉格朗日中值定理得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) 0
(x1,x2)I
故 f(x 1)f(x2).这说明 f (x) 在 I 内单调递增.
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
y1
6 3 25
5,
y2
0
令 y 0 得 x1
1 5
,
且x2
0
为二阶不可导的点.
3) 列表判别
x (,1/5) 1 / 5 (1/5, 0) 0
y
0
(0, )
y
凸
6 35 25
凹
0
凹
故该曲线在 (,1/5) 上是凸的, 在(1/5,)上是凹的 ,
点
(
1 5
,
6 25
3
5)
为拐点,
而
(
0
,
0
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
说明：
1）如上例，函数在定义区间上不是单调的，但 在各个部分区间上单调．
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
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单调区间为 ( ,0]， [0, ).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内可 导（ . 1） 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y ； 3 2 4x 9x 6x 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 2
( a 0 )；
三、 证明下列不等式： 1、 当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； 1 2、 若 x 0，则 sin x x x 3 . 6 （圆扇形面积＝1/2 半径 2×角度）
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
三、小结
定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性证明不等式.
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
练习题
一、 填空题： 1、 函 数 y 2 x 3 6 x 2 18 x 7 单 调 区 间 为 ________ _____________. 2x 2、 函数 y 在区间________上单调增， 2 1 x 在_________上单调减.
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
f ( x) 0( f ( x) 0)
是判断函数单调增加的充分条 件，而不是必要条件。如：
Y=x3,D=R.为单调增加函数，但y’|x=0 =0
二、单调区间求法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
3 y x , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内可 导（ . 1） 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y ； 3 2 4x 9x 6x 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 2
( a 0 )；
三、 证明下列不等式： 1、 当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； 1 2、 若 x 0，则 sin x x x 3 . 6 （圆扇形面积＝1/2 半径 2×角度）
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
三、小结
定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性证明不等式.
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
练习题
一、 填空题： 1、 函 数 y 2 x 3 6 x 2 18 x 7 单 调 区 间 为 ________ _____________. 2x 2、 函数 y 在区间________上单调增， 2 1 x 在_________上单调减.
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
f ( x) 0( f ( x) 0)
是判断函数单调增加的充分条 件，而不是必要条件。如：
Y=x3,D=R.为单调增加函数，但y’|x=0 =0
二、单调区间求法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．