函数单调性的判断或证明方法

函数单调性的判断或证明方法.

（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．

解：设－1

则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝

∵－1

∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.

∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．

当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．

例2.证明函数在区间和上是增函数；在

上为减函数。（增两端，减中间）

证明：设，则

因为，所以,

所以，

所以

所以

设

则，

因为，

所以，

所以

所以

同理，可得

（2）运算性质法.

①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）

②若.

③当函数.

④函数二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单调区间。

解：

在同一坐标系下作出函数的图像得

所以函数的单调增区间为

减区间为.

（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数

的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在

上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

增增增

增减减

减增减

减减增

例4.求函数的单调区间

解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；

易知是外层函数的单调增区间；

令，解得的取值范围为；

由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；

根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。

例5求函数的单调区间.

解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；

易知和都是外层函数的单调减区间；

令，解得的取值范围为；

结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单调减区间，是其单调增区间；

于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

同理，令，可求得是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

综上可知，原函数的单调增区间是和，单调减区间是和.

（5）含参数函数的单调性问题.

例.设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）解：由题意得原函数的定义域为

，

当上为减函数；

当上为增函数。（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的

函数问题）

常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。

例１已知函数对任意实数，均有．且当＞０时，

＞０，试判断的单调性，并说明理由.

解析：设，且，则－＞０，故＞０．

∴－＝－

＝＋－

＝＞０．

∴＜．故在（－，＋）上为增函数．

例2. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有

，求证：在R上为增函数。

证明：

在中取，得

若，令，则，与矛盾

所以，即有

当时，；

当时，而所以

当时，

所以对任意，恒有

设，则

所以

所以在R上为增函数。