3.2.1函数的单调性 (2)(1)
新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
3.2.1函数的单调性与最值(第2课时)
（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_； （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数最小值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足： 请同学们仿此给 （1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x出_)_≥函__M数_定；最义小值的 （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
解： 因为函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数，且
f(1-m)<f(m)，
- 2 1- m 2
所以， - 2 m 2
1- m m
解得 1 m 2
2
故实数m的取值范围是
( 1 ,2] .
2
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落， 经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单 调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让 我们来研究——函数的最大值与最小值.
对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M .并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
最大值M.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函
数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小
y
的函数值.
3.最值几何意义：f(x)的最大值 M
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线x=a,
①当a 5时，f (x)在[5,5]为增函数，
所以f (x)min f (5) 27 10a ②当- 5 a 5时，则f (x)min f (a) 2 a2
新教材：3.2.1函数的单调性
3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． （2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． （3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。
【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间． （1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是 ． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围 （ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是 （ ）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（ ） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（ ） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝ ．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >， 求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值； （2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值； （4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
3.2.1函数的性质-单调性课件(人教版)
在区间上单调递增.
()在区间上单调递减.
就叫做函数 () 的单调递增区间， 就叫做函数 () 的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
(2)用定义法证明函数的单调性
（1）取值；
课堂例题
例1 根据定义，研究函数() = + ( ≠ 0)的单调性。
追问1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？
追问2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较 (1 )和(2 ) 的大小？
那如何比较(��1 )和(2 )的大小呢？
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当1＜2时，(1)＜(2)还是
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.2函数的基本性质 (1)
单调性
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；会根
据单调定义证明函数单调性； 理解函数的最大（小）值
及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
(1)＞(2)．根据实数大小关系的基本事实，只要考察(1)－(2)与0
的大小关系．
解：函数()＝＋（ ≠ 0）的定义域是，∀1，2 ∈ ，且1＜2，
则(1)－(2)＝(1＋)－(2＋)＝(1－2).
由1＜2，得1－2＜0．所以
(2)任意取1 ,2 ∈ (−∞, 0],
当1 ＜2 时，有(1 ) < (2 ).
函数() = ||在区间(−∞, 0]上是单调递增的.
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第一课时 函数的单调性
二、应用性——强调学以致用
2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内
所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为
y＝f(t)，则以下函数图象中，可能是y＝f(t)的图象是
()
解析：向圆台形容器(下底比上底直径小)注水，由题意知是匀速注水，容 器内水面的高度y随时间t的增加而增加，但越往上直径越大，故高度升高 得越来越慢．故选D.
因为 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2， 所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a＝x1a－xa2－xx2－1 a. 因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0， 所以(x1－a)(x2－a)＞0 恒成立，所以 a≤1， 即 0＜a≤1，所以 a 的取值范围为(0,1]．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
【对点练清】
1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则
A．a＞b＞0
B．a－b＞0
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
解析：当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
3.2.1函数的单调性与最值课件高一上学期数学
17
(2, 8 ]
.
解析 因为
4
f(x)= 在(1,4]上单调递减,
2- < 0,
17
2-
+
3
≥
4,
故要求整个函数在 R 上都是单调递减的,则
解得 2<a≤ ,
8
1 ≥ 8-16,
≤ 4,
则实数 a
17
的取值范围为(2, 8 ].
4.利用函数的单调性求最值
【例6】 已知函数f(x)=x+
大小.
解 ∵a -a+1=
2
3
∴4与
1 2
- 2
3
4
+ ≥
3
,
4
a2-a+1 都是区间(0,+∞)上的值.
∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
∴f
3
4
≥f(a2-a+1).
f
3
4
的
规律方法
函数单调性的应用问题的解题策略
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调
性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单
4
.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
解 (1)∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,
则
4
f(x1)-f(x2)=x1-x2+
调区间上.
(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单
调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的
3.2.1 函数的单调性(原卷版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)
3．2.1 函数的单调性一、知识点归纳一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．(2)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．二、题型分析题型一用定义法证明(判断)函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．【规律方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤10 / 1010 / 10________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【变式1】试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数．题型二 求函数的单调区间【例2】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x ＜0，－3x ＋3，0≤x ＜1，－x 2＋6x －5，1≤x ≤6.(1)画出这个函数的图象； (2)求函数的单调区间．【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10 / 10【变式2】． 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.题型三 函数单调性的应用【例3】 (1)已知函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3.⊆若函数f (x )在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________； ⊆若函数f (x )的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a 的值为________．(2)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围为________． 【规律方法总结】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【变式3】已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．三、课堂达标检测10 / 101．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]⊆[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性2．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( ) A ．b ＝3 B ．b ≥3 C ．b ≤3D ．b ≠33.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋14.函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]⊆[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]5．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝x10 / 10C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x6．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)7．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．8.利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．四、课后提升作业10 / 10一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0在R 上( )A ．是减函数B ．是增函数C ．先减后增D ．先增后减2．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增D ．先增后减4．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1⊆(a ，b )，x 2⊆(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，则－1<f (x )<1的解集是( ) A ．(－3,0)B ．(0,3)C ．(－∞，－1]⊆[3，＋∞)D ．(－∞，0]⊆[1，＋∞)6．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)⊆(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]7.下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )10 / 10A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)28．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)9.下列函数中，满足“对任意x 1，x 2⊆(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x10．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增11．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2⊆R(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 12．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ⊆R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )二、填空题13.如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．10 / 1014．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．15．已知f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ⊆y ＝a ＋f (x )(a 为常数)； ⊆y ＝a －f (x )(a 为常数)； ⊆y ＝1f (x )；⊆y ＝[f (x )]2.16．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．17．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 18．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是________． 19．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 20．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ⊆对于任意的x ⊆R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ⊆函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ⊆对于任意的x 1，x 2⊆[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1＞0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“＜”连接)三、解答题21．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．10 / 1022.已知一次函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )(x ＋m )，且f (f (x ))＝16x ＋5. (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围．23．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．10 / 1024．已知函数f (x )对任意的a ，b ⊆R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2.。
2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3.2.1 第1课时 函数的单调性
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ 答案 不是 (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 答案 不能.
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具 有(严格的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 . 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定 义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的
任意子集上也是单调的.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围.
解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上， 对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示. 由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2， 从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).
解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).
12345
3.函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上
A.递减
√C.先减后增
B.递增 D.先增后减
解析 因为 y＝|x＋2|＝x－＋x2－，2x，≥x－<－2，2. 作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数.
3.2.1 单调性与最大(小)值2
所以函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)解:∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9)．由 f xx12＝f(x1)－f(x2)得， f 93＝f(9)－f(3)，而 f(3)＝－1，所以 f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
2 (4.9)
4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
例2.求函数
y
2 x 1
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
f
( x1 )
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] (x2 1)(x1 1)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(－∞,6]内递减，则a的取值 范围是( D ) A、a≥3 B、a≤3 C、a≥－3 D、a≤－3
那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在
x0∈I，使得f(x0) = M；
教学设计2：3.2.1 第1课时 函数的单调性
主要师生活动教师引导：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律．请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？师生活动：学生回答，师生共同得到结论：通过图象研究函数性质.问题1：请看下面的函数图象，从中能发现什么变化中的规律？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象并回答问题．学生的回答可能涉及很多方面（如升降变化，对称性，最高点或最低点等），教师引导学生关注图象从左到右升降变化的特点．追问：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质．你能回顾一下初中的知识，用定性的方法描述前两个图象从左到右的升降变化吗？即y随x的增大是如何变化的？-∞+∞上，y随x 预设：第一个图象从左到右是上升的，即在(,)-∞-及(0.21),两个区间上，从左的增大而增大；第二个函数在(,1)明，要让学生明确，应该是区间(,0]-∞上的所有数对1x ，2x ．预设反例：如图象所示函数，我们可以找到<a b 、()()>f a f b ，但很明显函数在区间[,]a b 上并不单调递减．追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格的表达出来吗？师生活动：教师引导学生说出用“任意”代替“所有”，帮助学生体会用“任意”处理“无限”的思想．预设：任取1x ，2x ，只要12<x x ，就有12()()>f x f x ．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取1x ，2x ，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．追问5：你能说出为什么12()()>f x f x 吗？教师引导：要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明，具体证明方法我们稍后会说明．追问6：对于函数2=y x ，你能模仿上述方法，给出“在区间[0,)+∞上，y 随x 的增大而增大”的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间D 上，当x 增大时，相应的()f x 随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”刻画“无限”的力量．练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数2=-y x 的单调性．2.单调性定义的抽象问题3：请你归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数()=y f x 在区间D 上单调性的符号表述．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调。
数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
3.2.1 第1课时 函数的单调性
错;
y=|x+2|在区间(0,+∞)内单调递增,D 正确.
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增.( × )
(2)如果f(x)为R上的减函数,那么f(0)>f(1).( √ )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)内都单调递增,则函数f(x)在
区间(1,3)内单调递增.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 证明函数的单调性
【例 1】 求证:函数 f(x)= 在区间(0,+∞)内单调递减.
证明:设∀x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,
-
讨论.
(4)下结论:根据函数单调递增(单调递减)的定义得出结论.
【变式训练 1】 试用函数单调性的定义证明:f(x)=+在区
间(-1,+∞)内单调递增.
证明:设∀x1,x2∈(-1,+∞),且 x1<x2,
则 f(x1)-f(x2)=
−
+
=
+
(
( - )
1.(多选题)下列说法正确的是(
)
A.若存在x1,x2∈R,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则f(x)在R上单调递
增
B.函数 f(x)= 在区间(0,+∞)内单调递减
C.若函数f(x)=x2-mx的单调递减区间是(-∞,1],则m=2
D.若g(x)在R上单调递增,则g(-1)<g(1)
《3.2.1函数的单调性》教学设计
《 3.2.1 函数的单调性》教学设计一、内容和内容解析内容：函数的单调性.内容解析：在客观世界的变化过程中，增减性是很重要的变化规律之一，而函数的单调性可以刻画这一变化规律.我们可以利用函数的单调性求解方程、不等式、函数的最值等问题。
所以，学习函数的单调性非常有必要.在前一课，学生刚学习了函数的概念，体会到高中阶段函数的概念与初中函数的概念的联系与区别，本节课在此基础上进一步研究函数的性质之一——函数的单调性，让学生经历从图象直观到自然语言再到符号语言的刻画过程，感受数学的符号语言的作用和数学的严谨性，体验概念形成过程，也为后面进一步学习函数的其他性质打下铺垫.学习函数的单调性，不仅可以让学生加深对函数基本性质的认识，而且可以让学生体会研究函数性质的过程与方法，培养学生的直观想象，数学抽象等数学素养，提升学生的思维水平.基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数单调性的定义，单调性的判断以及证明.二、目标和目标解析教学目标：(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解单调性的作用和实际意义；（2）会用定义证明函数的单调性；(3)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.目标解析：达成目标（1）的标志是：能从函数图象观察求得函数的单调区间，能理解函数单调性定义中的“任意”“都有”等关键词的含义，明白函数的单调性能反映客观世界中事物的变化规律.达成目标（2）的标志是：能利用函数单调性的定义证明函数的单调性，掌握证明的步骤.达成目标（3）的标志是：让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，学生能对函数单调性进行精确符号语言刻画，并能应用到实际的问题中去.三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习了一些基本初等函数，并且对函数图象的上升与下降的变化趋势能用自然语言“y随着x的增大而增大（减小）”进行描述.现在在高中阶段，要学会用符号语言“x1,x2∈D, 当x12时，都有f(x1)< f (x2)（f(x1)> f(x2)）”来刻画.形成函数单调性概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，这对学生而言，是一个大的挑战。
高中数学人教A版必修第一册第三章3.2.1《函数的单调性》课件(21张PPT)
的单调性证明.
数学抽象
数学建模
证明:定义域为(0,+∞)，V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2
p1
p2
k
V1
k V2
kV2 kV1 V1V2
k V2 V1
V1V2
数学运算
取值 作差
∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0, ∵V1<V2 ，∴V2-V1>0，
又k>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.
在( ,0)上单调递减
证明:x ,x ∈R且x <x 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
1 2 1 [x1-x2 ][f(x1)-f(x2)]<0 D.
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,
2
x1, x2∈[0,+∞),当x1< x2时,都有
f(x )-f(x )=(kx +b)-(kx +b)=k(x -x ) 函数f(x)在(1,2)上单调递减的是( )
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
2.数学思想：转化化归、数形结合、分类讨论 类比思想、函数与方程(不等式)思想
3.学科核心 数学抽象、逻辑推理、数学建模 素养： 直观想象、数学运算、数据分析
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作业布置：
1.课本第79页练习的第2、3题；
y
yn
任意性
y3 yy21
0 x1 x2 x3 xn x
二、深度学习——精确刻画“性质”
图形语言:
y
3.2.1函数单调性与最值教案
13.2.1函数单调性与最大（小）值学习目标: (1) 借助函数的图像加深对函数概念的理解；(2) 能够用定义判断或证明函数的单调性，会求一些简单函数的单调区间；(3) 理解函数最大（小）值的含义，会利用函数单调性求最值.学习重点: 函数单调性.学习难点: 增（减）函数的定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性. 预习案新知预习:请同学们自己预习课本76-80页内容,有困难或疑问请用红笔标注,并独立完成下面的问题1、增函数与减函数一般的，设函数(x)f 的定义域为I ，区间如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数(x)f 在 上单调递增。
特别地，当函数(x)f 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。
如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数(x)f 在 上单调递减。
特别地，当函数(x)f 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是减函数。
2、单调性与单调区间如果函数()=y f x 在区间D 上是 或 ，那么就说函数在这一()=y f x 区间上具有 ，区间D 叫做()=y f x 的注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质思考：下图是定义在区间[]5,5-上的函数)(x f y =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？3、函数的最值一般地，设函数()=y f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）∀∈x I ，都有()≤f x M ;（2）0∃∈x I ,使得()0=f x M那么，我们称M 是函数()=y f x 的最大值。
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数()=y f x 的最小值的定义吗？探究案探究点1: 判断及证明函数单调性例一、 证明函数()21=+f x x 是增函数。
例二、思考并画出反比例函数1=y x 的图象．则（1）这个函数的定义域是什么？ （2）它在定义域上的单调性怎样？证明这个函数在区间()+∞,0上单调递减．总结: 利用定义证明函数f(x)在给定的区间M 上的单调性的一般步骤：小试身手：根据定义证明函数1=+y x x在区间()1,+∞上单调递增。
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.2.1函数的单调性 教案
3.2.1 函数的单调性教学目标：1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。
2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣。
教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：归纳函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学过程：一、创设情境，引入课题归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由旧知情境引入新课，激发兴趣．对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容.1．借助图象，直观感知问题1：函数2)(x x f =的定义域是什么？问题2：函数2)(x x f =的升降趋势是什么？在 y 轴左侧呈“下降”趋势在 y 轴右侧呈“上升”趋势问题3：随着自变量x 的变化，函数值f (x )大小有什么变化? 函数2)(x x f =在区间0+∞（，）上，()f x 的值随x 的增大而增大函数2)(x x f =在区间-0∞（，） 上，()f x 的值随x 的增大而减小 2()0,)()f x x x f x =+∞问题4：怎么用准确的数学符号语言描述函数在区间[上随着的增大，增大?任意的x 1，x 2∈（0+∞，），当x 1<x 2时,都有()()21x f x f <。
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．学生由数迁移到形较为困难，教师直接给出2()0,)f x x =+∞在区间[上的符号语言。
函数()f x ⊆的定义域为I ，区间D I单调递增：∀x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时,则()()12f x f x <增函数：特别地，函数()f x 在I 上单调递增，我们称它为增函数。
3.2.1 第1课时 函数的单调性
1+4
212 +42 −22 1 －41
1 2 1 −2 −4 1 −2
＝
21+4 22+4
21+4 22+4
＝
1 2 −4 1 −2
21+4 22+4
，又1 2 − 4 < 0，1 −
2 < 0，( 21+4)(22 ＋4)>0，故f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
1
函数f(x)＝ 在区间(－∞，0)上是减少的，在区间(0，＋∞)上也是减少的，
但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减少的．(3)对于单独的
一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单
调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点．
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【即时练习】
若定义在R上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则其单调递增区间
是________，单调递减区间是________．
答案：(－∞，－3]，[1，3]
[－3，1]，[3，＋∞)
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02.课堂导学案
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【课标要求】
(1)借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或单调递减)和增函
数、减函数的概念．
的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对
应的函数值逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，意味着函数值随着自变量
的增大而增大．
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例1
x
用定义证明函数f(x)＝ 2 在(－2，2)上单调递增．
x +4
2
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邹平一中2020级高一数学导学案018 主备人：刘学兰审核人：贾新日期：10.12
3.2.1 函数的单调性
【学习目标】
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．
3．会求一些具体函数的单调区间．
【自主学习】
一、设计问题，创设情境
问题1：观察上面几个函数的图象，说说它们各自有什么样的特点？
问题2：以上三个函数图象，它们分别反映了相应函数的什么性质？
二、学生探索、尝试解决
问题3;再去观察二次函数图象，在y轴左侧，函数值随着自变量的增大有怎样的变化趋势, y轴的右侧呢？
问题4;你能用符号语言来描述这种变化趋势吗？
问题5：尝试总结出单调递增和增函数的定义.
问题6;类比于单调递增和增函数的定义，写出单调递减和减函数的定义.
问题7：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？
问题8：函数y ＝－1x
在定义域上是减函数吗？
问题9：学习了增函数和减函数的定义后，你能给出函数单调性的定义吗?
三、运用规律，解决问题
例1 根据定义，判断函数f (x )＝3x+2在区间R 上的单调性并给出证明.
例2 根据定义,研究函数f (x )＝kx+b (k ≠0)的单调性.
例3 物理学中的玻意耳定律p= k V (k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试对此用函数的单调性证明.
例4 证明函数f (x )＝x ＋1x
在(0,1)上是减函数．
四、变练演练，深化提高
1. 证明函数f (x )＝x ＋1x
在(1,+∞)上是增函数
2.. 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；
五、信息交流，教学相长
你能总结出用定义去证明函数单调性的步骤吗？
当堂检测
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是
( )
A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B ．函数在区间[1,4]上单调递增
C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A ．y ＝－1x
B ．y ＝x
C ．y ＝x 2
D ．y ＝1－x
3．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )
A ．f (x 1)＜f (x 2)
B ．f (x 1)＞f (x 2)
C ．f (x 1)＝f (x 2)
D ．不能确定
分层练习
课时分层作业（十七）
必做部分：A B 组
选作部分：C 组。