大学物理力学部分复习

(v)t
v
(dv )t dv at at dt dt
v v
( v)n
v
加速度 a 加速度 a 的大小 a ：
v
at
a
a a
2 t
2 n
a a

at
n
加速度 a 的方向：
an
o a
an t an at
平均加速度
单位时间内的速度增 量即平均加速度：
y
A
O
vA
B
vB
v a t
（瞬时）加速度
x
vA
v
vB
v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻 的速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度、位矢及其运动方程 .
利用其它的约束条件列补充方程；
5）求解方程，分析结果（先用符号表示，后带入数 据计算结果）.
第三章 动量和角动量
3-1 质点的动量定理
力的累积效应 1、冲量 动量定理 力对时间的累积冲量，动量 力对空间的累积功，能
dp 质点的动量定理 由牛顿第二定律 F （微分形式） dt 质点的动量定理 将上式改写为： Fdt dp （微分形式） 其中左边 Fdt 表示力在dt时间内的积累，称为力的冲量 dI Fdt dp
统动量守恒 . 例如碰撞, 打击, 爆炸等问题. 3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
F外x 0 , F外y 0 , F外z 0 ,
px mi vix C x pz mi viz C z p y mi viy C y
4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然界 最普遍、最基本的定律之一 .
Fk k FN FS ,max S FN
0 FS FS ,max
2-4 牛顿定律的应用举例
两类题型（1）已知物体的运动状态求物体所受的力； （2）已知物体的受力情况，求物体的运动状态.
解题的基本思路
1）隔离物体，受力分析； 2）对研究对象的运动状况作定性分析； 3）建立适当的坐标系(直角坐标系，自然坐标系)； 4）列方程组（一般用各个方向的分量式）；
x x0
dv a(t ) dv a(t )dt dt
两边同时积分: dv a(t )dt
v0 0
v
t
v v0 a(t )dt
0
t
dx v dt
dx vdt
x t
两边同时积分： dx vdt
x0 0
x x0 vdt
0
t
1-2 切向加速度和法向加速度 自然坐标系
x
二 速度：描述质点运动的快慢和运动的方向，位移和时 间的比值
t 时间内, 质点的平均速度
r x y z v i j+ k t t t t
y
B
r (t t)
s r
A
瞬时速度
r dr v lim t 0 t dt
dx dy dz i j k dt dt dt
几种常见的力
1 引力、重力
m1m2 F G 2 r
F m g,
2 弹性力
引力常量
G 6.67 1011 N m2 kg2 Gm E -2 g 2 9.80m s R
（压力 FN ，张力 FT ，弹簧弹性力等） 弹簧弹性力 F kx
3
摩擦力
滑动摩擦力 静摩擦力
r2
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由始点 A 指 向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的位移矢量 r，位移 矢量也简称位移.
r r2 r 1
4 路程 s
质点实际运动轨迹的长度.
y
r (t1 )
P 1 r
r Hale Waihona Puke Baidut 2 )
s
P2
z
O
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 )
则：p pi 恒矢量
i
动量守恒定律
封闭系统的动 量保持不变
应用动量守恒定律时注意事项： 1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内 任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同一惯 性参考系 .
2）守恒条件：合外力为零 F外 0
当 F外 F 内 时，可略去外力的作用, 近似地认为系
dv adt
v0 0
v
t

x
x0
dx vdt
0 t 0
t
x x0 (v0 at) dt 1 2 x x0 v0t at 2
v v0 at
2、加速度与时间相关：a a(t ) 初始条件为：t o v v0 求：任意时刻的速度和位置。
1 2 0 0 t t 2
角量和线量的关系 角量：极坐标中的角位置、角速度、角加速度
线量：自然坐标中的路程、速率、切向加速度、法向加速度
s 由于： 2R 2
s R 路程 得：
R
B
ds d R 两边对时间t求导：v dt dt （速率） R dv d R 速率两边对时间t求导：at dt dt （切向加速度） R v2 法向加速度： an R 2 R
x x(t ) y y (t )
分量式
y (t )
2 运动方程
y
r (t )
z z (t )
从中消去参数 t ，可得轨迹方程
z (t )
z
o
x (t )
x
f ( x, y, z) 0
3 位移
y
A
r
A( x1 , y1 , z1 )
B
B( x2 , y2 , z2 )
r1
o
§ 3-4
角动量 质点的角动量定理
一、质点的角动量
z
1. 定义：某一质点，动量 p 对固定点O的径矢为 r
则质点对 O 点的角动量为：
L
p si n
O
r sin
x
注意： （1）大小： L rp sin m vrsin
动量的横向分量 动量臂
r m

y P
方向：
第一章 质点运动学
§1-1 质点运动的描述
一 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量 定义：在选定的坐标系中由坐 标原点指向质点的矢量叫位置 矢量，简称为位矢。用 r 表示
y
y
z
r xi yj zk
r
o
x
*
P
x
z
任意t时刻的位矢 r称为质点的运动方程
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
运动的变换即为动量为 dp F , p mv dt
当
p 的变换，即：
m 为常量 v c 时，
2 dv dr F m m 2 ma dt dt
m为物体的惯性质量
瞬时关系 F (t ) ma(t )
牛顿定律的研究对象是单个物体（质点）
A
D
1 P1
m
v1
m
2
B P2
v v2
r sin
r1 r2
L1 L2 方向也相同，角动量守恒
O
当动量的方向正好指向或背离参考点时，质点的角动量为零。
二 质点的角动量定理
1、力矩 dr dp dL d v p r F pr (r P ) dt dt dt dt
r (t)
o
x
速率
s 平均速率： v t
瞬时速率：简称速率
y
B
r (t t)
s r
ds v dt
当 t
o
A r (t)
x
0 时,
dr ds ，所以
dr ds v = v dt dt
速率等于速度矢量的大小。
四
加速度 ：反映速度大小和方向变化快慢的物理量
d 由角加速度定义式 dt
得：d dt d dt
0
0

t
d 由角速度定义式 dt
0 dt
0
t
角速度公式
得：d dt
d dt
0
0

t
0 dt 角位移公式
0
t
若恒定，则： 0 t
力的叠加原理
a a1 a2 a3
F Fx i Fy j Fz k a ax i a y j az k
Fx max
F F1 F2 F3
Fy may Fz maz
牛顿定律适用的范围是质点、宏观低速物体和惯性系。
r (t )
求导 积分
v(t )
求导 积分
a (t )
第二类运动学问题的求解方法 1、加速度为常数的直线运动
设质点作直线运动时的加速度为a，初始时刻 （t=0）速度为v0、位置在x0处。
dv \ dv adt Qa dt
两端同时积分可得：
dx Qv \ dx vdt dt
两端同时积分可得：
用右手螺旋定则确定。
L
2、作圆周运动质点的角动量
L r mv
大小: L mvr mr
2
O
r
方向：右手法则（垂直于运动平面）
3、作直线运动的质点的角动量
m
A : L1 mv 1r 1 sin 1 B : L2 mv2 r2 sin 2
作匀速直线运动
p2 质点系的动量定理 持续一段时间： F外dt dp p2 p1
I 外 p2 p1
p1
（积分形式）
3-3 动量守恒定律
质点系动量定理 I 外 F外dt p2 p1 t 若质点系所受的合外力为零: F外 0
当力持续一段时间，从 t1到 t 2 ，这时有：
t1 p1
t2 p2 I Fdt dp p2 p1
质点的动量定理 （积分形式）
2、冲量的方向
由动量定理： I p2 p1
冲量的方向与动量增量的方向一致 3、平均冲力
p2
I
p1
an
s
o
为曲率半径
1-3
圆周运动的角量描述 平面极坐标
圆周运动的角量描述 角位置： (t ) 角位移： (t t ) (t ) 平均角速度：
d 角速度： dt t
B
R

A
o

x
平均角加速度： t
d d 2 角加速度： dt dt 2
F
平均冲力：真实力在一个作用过程中的时间平均值
F

t2
t1
Fdt
t 2 t1
Fm I p p2 p1 t t t 2 t1 F
平均冲力等于质点动量的增量与作用时间之比。
o
t1
t2
t
3-2 质点系的动量定理
dp F外 dt
t
质点系的动量定理 （微分形式）
为锐角 a t 与 v 同向， 当质点速率增加， 为钝角 a 当质点速率减小， t 与 v 反向，
v
二、一般曲线运动的切向加速度和法向加速度 从O到P的路程s随时间变化的方程为：
v
s s(t )
质点速度的大小，即速率为：
a
o
at

P
ds v dt
质点速度的方向为轨道的切向
x x0 x 解：由平面几何 H Hx h
即
H
h
x
0
dx0 将此式对时间求导，注意 v0 dt 为人的速度，即得到影子P的速度
Hv0 dx H dx0 v dt H h dt H h
H h
x0
x
x
第二章 牛顿运动定律
牛顿第二定律 运动的变化和所加的力成正比，并且发生在所加的力的 那个直线方向上。

A
o

s
x
1-4 相对运动
简洁表达式 位置变换： 速度变换： 加速度变换：
y
y'
P
r r ' rk v v 'vk a a'ak
r' O' rk z ' O
r
x'
x
z
例：如图，高为H的路灯下有一高为h的人走向远方，若人走 到x0处时速度为v0，求此时人头部影子P的运动速度
一、圆周运动的切向加速度和法向加速度 ( dv ) n ( d v ) t dv dt dt dt 即：a an at o r an称为法向加速度； at 称为切向加速度
v v
v
( dv ) n v2 an dt R