直线的倾斜角和斜率习题与答案
直线的倾斜角与斜率(含答案)
直线的倾斜角与斜率（含答案）一、单选题1．经过点A ( 3，－2)和B (0,1)的直线l 的倾斜角α为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 1: 3+m x +4y =5−3m ,l 2:2x + 5+m y =8平行，则实数m 的值为（）A ．−7B ．−1C ．−1或−7D ．1333．已知直线l 1:x +my +7=0和l 2:(m −2)x +3y +2m =0互相平行，则实数m =（ ）A ．m =−3B ．m =−1C ．m =−1或3D ．m =1或m =−3 4．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（）A ．1BC ．2D ．5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( )A ．3B ．0C ．－1D ．0或－16．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A ．2，13B ．－2，−13C ．−12，－3D ．－2，－3 7．已知两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行，则m 的值是（）A ．4-B ．1-C ．1D ．48．已知坐标平面内三点P(3，-1),M(6，2),N − ,直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围（）A ． 450,1500B ． 450,1350C ． 600,1200D ． 300,6009．直线1y =+的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒二、填空题10．设直线l 1:(a +1)x +3y +2−a =0，直线l 2:2x +(a +2)y +1=0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为______，若l 1∥l 2，则实数a 的值为_______．11．直线l 1:x +2y −4=0与l 2:mx + 2−m y −1=0平行，则实数m =________.12．线2cos α•x﹣y ﹣1=0，α∈[π6，23π]的倾斜角θ的取值范围是__________13．直线x + 3y +1=0的倾斜角的大小是_________.14．若直线l 1:ax +2y =8与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行,则a =__________.15．已知点P 2,−3 ,Q 3,2 ，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____；16．若x ，y 满足约束条件 x −y +2≥0,2x +y −3≤0,y ≥1,则y +1x +2的最小值为__________．17．直线ax +(a −1)y +1=0与直线4x +ay −2=0互相平行，则实数a =________．18．直线x +2y +2=0与直线ax −y +1=0互相垂直，则实数a 等于________．三、解答题19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,,BAD E F ∠=分别为,PA BD 的中点，2.PA PD AD ===（1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若PB =A DEF -的体积.20．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=．（1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值．21．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l平行，且过点()2,3的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点()2,3的直线方程．22．已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，P1,22在椭圆上，椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，△PAF1的面积是△POF2的面积的2−1倍．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C交于M，N，连接MF1，NF1并延长交椭圆C于D，E，连接DE，指出k DE与k之间的关系，并说明理由．23．已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)(1))若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．24．已知直线l1：x+my+6=0，l2：( m−2 ) x+3y+2m=0.求当m为何值时，l1，l2 (1) 平行；(2) 相交；(3) 垂直.25．已知直线l1：x−y+1=0，l2：(a−1)x+ay+12=0．(1)若l1//l2，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，设l1，l2与x轴的交点分别为点A与点B，平面内一动点P到点A 和点B的距离之比为P的轨迹方程E．26．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2，离心率为22，右顶点为A.（I）求该椭圆的方程；（II）过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P、Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.27．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,且椭圆C与圆M:(x−3)2+y2=34的公共弦长为(1)求椭圆C的方程(2)椭圆C的左右两个顶点分别为A1,A2,直线l:y=kx+1与椭圆C交于E,F两点,且满足k A1F =2k A2E,求k的值.参考答案1．C【解析】分析：先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围及倾斜角的正切值等于斜率，求得倾斜角的值．详解：由直线的斜率公式得，经过点A(，－2)和B(0,1)的直线l的斜率为0−3＝－，又倾斜角大于或等于0°小于180°，倾斜角的正切值等于－3，故倾斜角等于120°，故选C.点睛：本题考查直线的斜率公式以及倾斜角的范围、倾斜角与斜率的关系．2．A【解析】【分析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=−3+m4x+5−3m4，y=−25+mx+85+m，∵两条直线平行，∴−3+m4=−25+m，5−3m4≠85+m，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．3．C【解析】【分析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果.【详解】由题意得1m−2=m3≠72m∴m=−1或3,选C.【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题.4．D【解析】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ，12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212A F A F F F 、、上的切点分别为M N E 、、，易见1I E 、横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，，由122AF AF a -=， 即122AM MF AN NF a +-+=（），得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记1I 的横坐标为0x ，则00E x （，），于是002x c c x a +--=（），得0x a =，同理内心2I 的横坐标也为a ，则有12I I x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，，则211212221tan ,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭ ，222tan 12tan ,tan tan 22221tan 2θθθθθ∴==∴==- 故选D.5．D 【解析】A B ?⋂＝，即直线()212602320l x a y l a x ay a ：＋＋＝与：－＋＋＝平行， 令()2132a a a ⨯＝－，解得01a a ＝或＝－或3a ＝.0a ＝时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1∥l 2.a ＝－1时，l 1：x ＋y ＋6＝0，l 2：－3x －3y －2＝0.l 1∥l 2.a ＝3时，l 1：x ＋9y ＋6＝0，l 2：x ＋9y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不合题意．∴a ＝0或a ＝－1.答案：D.点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定： 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，（1）121221//0l l A B A B ⇔-=且12210AC A C -≠；（2））1212120l l A A B B ⊥⇔+=.6．B【解析】【分析】可分别令x =0,y =0，求出相应的y 和x 的值，即为相应坐标轴上的截距.【详解】令x =0，解得：y =−13，即为y 轴上截距； 令y =0，解得：x =−2，即为x 轴上截距.故选B.【点睛】本题考查截距的求法，即直线分别与x 轴、y 轴交点的横坐标和纵坐标，根据坐标轴上点的特点将0代入即可.7．A【解析】由两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行可得，斜率相等，截距不相等，即22m =-且132≠-，解得4m =-，故选A. 8．A【解析】【分析】先由P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），M （6，2），求得直线NP 和MP 的斜率，再根据直线l 的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l 绕P 点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l 斜率的范围，进而得到直线l 的倾斜角的取值范围．【详解】∵P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），∴直线NP 的斜率k 1= 3+1− 3−3=﹣ 33．同理可得直线MP 的斜率k 2=2+16−3=1．设直线l 与线段AB 交于Q 点，当直线的倾斜角为锐角时，随着Q 从M 向N 移动的过程中，l 的倾斜角变大，l 的斜率也变大，直到PQ 平行y 轴时l 的斜率不存在，此时l 的斜率k ≥1；当直线的倾斜角为钝角时，随着l 的倾斜角变大，l 的斜率从负无穷增大到直线NP 的斜率，此时l 的斜率k ≤﹣ 33．可得直线l 的斜率取值范围为：（﹣∞，﹣ 33]∪[1，+∞）．∴直线l 的倾斜角的取值范围 450,1500故选：A ．【点睛】本题给出经过定点P 的直线l 与线段MN 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．9．B【解析】设倾斜角为θ，直线1y =+tan θ=60θ=︒，故选B ．10．−85−4 【解析】分析：由题意得到关于a 的方程或方程组，据此求解方程即可求得最终结果. 详解：若l 1⊥l 2，则：2 a +1 +3 a +2 =0，整理可得：5a +8=0，求解关于实数a 的方程可得：a =−85. 若l 1∥l 2，则a +12=3a +2≠2−a 1，据此可得：a =−4.点睛：本题主要考查直线垂直、平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．23【解析】【分析】由直线的平行关系可得1× 2−m −2m =0，解之可得答案【详解】∵直线l1:x+2y−4=0与l2:mx+2−m y−1=0平行，∴1×2−m−2m=0，解得m=23故答案为23【点睛】本题主要考查的是直线的与直线的平行关系，继而求得斜率与斜率之间的关系，属于基础题。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.2.过点和的直线的斜率为 .【答案】【解析】根据求斜率的公式可知：.【考点】直线的斜率.3.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，倾斜角为，即，因为，所以【考点】直线的斜率公式和倾斜角的取值范围。
4.已知过点的直线的倾斜角为45°，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意可知：，即，故，解得，故选B【考点】直线的倾斜角．5.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．6.若三个点P(1，1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x＝( )A．－1B．3C．D．51【答案】B【解析】三点共线问题一般可由斜率相等列出方程求参数的值，由得，∴．【考点】三点共线问题．7.已知过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】根据倾角好斜率的关系可知，给定的过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的斜率为，故选A.【考点】本试题考查了直线的倾斜角的概念。
点评：解决该试题的关键是利用倾斜角与斜率的关系，得到关于m的关系式，然后求解得到结论，这是高考中重要的一个知识点，属于基础题。
8.如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C.【解析】把直线方程化成斜截式方程为,因为AC＜0，BC＜0,所以,直线的斜率,所以直线经过一、二、四象限，不通过第三象限.【考点】直线方程的斜截式与一般式的互化.点评：判断直线经过哪些象限，不经过哪些象限，一般要把直线方程化成斜截式，然后根据斜率的值的正负，和在y轴上截距的正负，判断出直线经过哪些象限.9.若直线过点，则此直线的倾斜角是【答案】【解析】由两点间的斜率公式知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用和特殊角的三角函数值的应用.点评：直线倾斜角的正切值是该直线的斜率，还要注意到直线的倾斜角的取值范围为.10.直线y =" x" + b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是A．|b|=B．或C．D．以上都错【答案】B【解析】因为x=，化简得x2+y2=1注意到x≥0所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，-1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）．分别算出三个情况的B值是：-，-1，1．因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：-1＜b≤1或b=-,故选B11.根据下列条件求直线方程（1）过点（2，1）且倾斜角为的直线方程；（2）过点（-3，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.【答案】(1) (2);【解析】(1)由倾斜角为,可求出其斜率为,又因为过点（2，1），然后写出点斜式方程再化成一般式即可.（2）截距相等包括过原点，和斜率为-1两种情况，当过原点时直线方程为,当斜率为-1时，设直线方程为x+y=a,因为过点（-3，2），所以a=-1,所以直线方程为x+y+1=0.12.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】解：∵切线倾斜角小于∴斜率0＜k＜1．设切点为（x0，x3-8x），则k=y′|x=x=3x2-8，∴0＜3x20-8＜1，＜x02＜3．又∵x∈Z，∴x不存在．故选D13.直线x＝－1的倾斜角为（）A．135°B．90°C．45°D．0°【答案】B【解析】因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°.14.已知点，则直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为点，则直线的斜率为-，则其倾斜角，选C15.直线的斜率是（）A B C D【答案】A【解析】将方程化为斜截式，所以斜率为，所以选A16.．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合位置关系可知直线的斜率的取值范围是.故选C.17.已知直线过两点，且的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则实数的值为（▲）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题主要考查直线的斜率公式。
专题05 直线的倾斜角与斜率(解析版)
专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x ( )A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90.故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ）A ．0B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( )A ．-6B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-． 故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k = 即直线的倾斜角α满足tan α=又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==， 则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsin α+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sin α， ∵﹣1≤sin α≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π）故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．(,-∞)+∞C．33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞- ⎝⎦3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误； D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确．故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ， 又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°)故答案为[0°，45°)∪(135°，180°)17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53；当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos 2α的值. 【答案】（1）13-；（245 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=-（2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m.【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα= 当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）当,32ππα时，33,,0,3km m，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0km m，综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围； 【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数 3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=，∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。
高中数学 直线的倾斜角与斜率(常见例题 考题 练习)附答案
直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。
2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。
3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。
5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。
查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则．【考点】直线的倾斜角．2.已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.【考点】直线的斜率、倾斜角.3.已知若直线：与线段PQ的延长线相交，则的取值范围是 .【答案】【解析】直线的方程为，显然经过定点，过点M作直线，显然的斜率，过M、Q作直线的斜率为,依题意，应夹在直线与之间，即于是，即。
【考点】（1）斜率公式的应用；（2）数形结合思想的应用。
4.直线的倾斜角的大小为。
【答案】【解析】,所以倾斜角为.【考点】1.直线方程；2.倾斜角和斜率.5.经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意可知，性的判断与证得m=1，故选A.【考点】直线斜率公式.6.过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60D．120°【答案】D【解析】因为，，所以，直线的倾斜角是120°，选D。
【考点】直线的斜率、倾斜角点评：简单题，利用斜率的坐标计算公式求得倾斜角的正切。
7.若直线经过A(-2,9)、B(6,-15)两点,则直线AB的倾斜角是( )A．45°B．60°C．120°D．135°【答案】C【解析】设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k="tan" θ=，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小。
解：设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k=tanθ==又0≤θ＜π，θ=120°，故选 C．【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tanθ是解题的关键8.如图，若图中直线1,2,3的斜率分别为k1, k2, k3，则A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2【答案】B【解析】由于直线L2、L1的倾斜角都是锐角，且直线L2的倾斜角大于直线L1的倾斜角，可得 K2＞K1＞0．由于直线L3、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．k3<k1<k2,，故可知选B.【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．9.直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350【答案】C【解析】由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.【考点】直线的倾斜角和斜率的关系点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出tanθ=，是解题的关键10.已知点，，则直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线垂直于x轴，倾斜角为【考点】直线斜率与倾斜角点评：若则直线的斜率为，倾斜角满足11.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.【答案】【解析】由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为即………………6分【考点】本题考查了直线的位置关系及直线方程的求法点评：熟练运用直线的位置关系求直线方程是解题的关键12.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A13.．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【解析】由斜率公式可知,所以m=1.14.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .【答案】【解析】设直线l的方程为y=kx+b,由题意知平移后直线方程为y=k(x+3)+b+1,即y=kx+3k+b+1,由于直线平移后还回到原来的位置，所以3k+b+1=b,所以15.直线的倾斜角等于__________．【答案】【解析】直线的斜率为，则倾斜角满足即直线的倾斜角为.16.直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【答案】A【解析】17.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线斜率为所以直线方程为故选D18.直线的倾斜角是（）A B C D【答案】C【解析】略19.已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是_____________.【答案】[-2，2]【解析】略20.以下直线中，倾斜角是的是（）..【答案】C【解析】略21.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.当时，如果直线的倾斜角满足关系式，则此直线方程的斜率为；【答案】【解析】略23.直线的倾斜角为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略24.长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO依次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在直线斜率为【答案】【解析】如图：作关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，则的延长线过完点，因为，所以根据对称性得，所以【考点】点关于线对称的点25.对于直线x sin+y+1=0，其斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B．【考点】直线的一般方程与斜率26.如图所示，直线的斜率分别为，则的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．【答案】【解析】由图形可知，比的倾斜角大，所以【考点】斜率与倾斜角的关系27.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程28.若图，直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以【考点】直线倾斜角与斜率的关系29.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】直线倾斜角与斜率的关系30.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程。
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题一、选择题1．直线013=++y x 的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A ．所有的直线都有倾斜角和斜率B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角3．若直线经过(0,1),4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．30o B ．45o C ．60o D ．120o 4．直线0334=-+y x 的斜率为（ ） A.34 B.43 C.43- D.34- 5．在直角坐标系中，已知(1, 2)A -，(3, 0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ）. A.（2,2） B.（1,1） C.（-2，-2） D.（-1，-1） 6．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 7．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 8．一条直线经过点1(2,3)P -，倾斜角为45α=o，则这条直线的方程为( )A. 50x y ++=B.50x y --=C. 50x y -+=D. 50x y +-= 9．若直线l 经过原点和点A （2，2），则它的倾斜角为 A ．－45° B ．45° C ．135° D ．不存在 10．若直线的倾斜角为︒120，则直线的斜率为（ ） A. 3 B. 3- C. 33 D. 33-11．直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 灿上的截距相等，则a 的值是 A.1B .－1C .－2或－1D. －2或112．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y xA ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒14．过点(3,0),(2,3)的直线的倾斜角为（ ）A 、0120B 、030C 、060D 、0150 15．若直线1=x 的倾斜角为α，则α等于 A.︒0 B. ︒45 C. ︒90 D.不存在16．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 （A ）123k k k << （B ）312k k k << （C ）132k k k << （D ）321k k k <<17． 经过两点 (4,0)(0,3)A B -、的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B. 34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=18．将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为则（ ） A. 3131+-=x yB. 131+-=x y C. 33-=x y D. 131+=x y 19．直线x ＝－1的倾斜角为 （ ▲ ）（A ）135︒ （B ）90︒ （C ）45︒ （D ）0︒ 20． 直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的斜率为 A. -1 B. 1 C . 0 D . 221．已知直线l 经过)2,3(-A ，)3,2(-B 两点，那么直线l 的倾斜角为（ ） A.3π B.6π C.4π D.43π22．直线(2m 2－5m +2)x －(m 2－4)y +5m =0的倾斜角是4π，则m 的值为 A.2 B.3 C.－2D.－323．直线31y x =+的倾斜角是A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 24．下列四种说法中正确的是（ ）A ．一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角叫做这条直线的倾斜角B ．直线l 的倾斜角取值范围是第一象限角或第二象限角C ．已知直线l 经过),(),,(222111y x P y x P 两点，则直线l 的斜率1212x x y y k --=D ．与x 轴垂直的直线斜率为0 25．直线l 的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l 的方程是A x+y+1=0B x-y+1=0C x-y-1=0D x+y-1=0 26．直线l 过P （1，0）、Q （12,2+-），则直线l 的倾角α=A 、ο135B 、ο45C 、ο60D 、ο225 27．直线3410x y +-=的倾斜角为α，则cos α的值为( ) A ．45-B.45C.35D. 34- 28．过点P (-2,0),斜率为3的直线方程是( )A.y =3x -2B.y =3x +2C.y =3(x -2)D.y =3(x +2)29．已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A.(5，8) B.(8,+∞) C.(,8)D.(5,)30．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 31．已知直线l 的倾斜角为120o，则直线l 的斜率是（ ）． A ．3 B ．3- C ．33- D ． 3332．直线x tan7π+y =0的倾斜角是（ ） A.－7π B.7π C.7π5 D .7π633．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在34． ）A B C D 35．直线30x y -+=的倾斜角是（ ）A 、300B 、450C 、600D 、90036．已知直线l 过点()1,2P ，()5,7Q ，则直线l 的斜率为（ ） A ．45 B ．45- C ．54 D ．54- 37．直线0cos 40sin 4010x y -++=的倾斜角是（ ） A ．040 B ．050 C ．0130 D ．0140 二、填空题38．已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α . 39．已知点(3,8),(2,4)A B -，若y 轴上的点P 满足PA 的斜率是PB 斜率的2倍，则P 点的坐标为_________.40．经过两点A(-3,5),B(1,1 )的直线倾斜角为________.4110y ++=的倾斜角是 ．42．给定三点A(0,1)，B(a ,0)，C(3,2)，直线l 经过B 、C 两点，且l 垂直AB ，则a 的值为________．43．直线5x-2y-10=0在y 轴上的截距为 。
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)【答案】D【解析】∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2，又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3，令x＝0，即得P(0,3)．故选D．2.直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0【答案】A【解析】由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，∴直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.3. [2014·湖南郴州]若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)【答案】①⑤【解析】很明显直线l1∥l2，直线l1，l2间的距离为d＝＝，设直线m与直线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|＝2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|＝d＝，则在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.4. [2014·南宁模拟]直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．B．C．∪D．∪【答案】B【解析】将直线方程变形为y＝－x－，∴直线的斜率k＝－.∵a2＋1≥1，∴0<≤1.∴－1≤k<0，即－1≤tanα<0.∴π≤α<π.故选B.5.[2014·苏州调研]经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.【答案】[－1,1] ∪【解析】如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA ≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k<0时，≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈∪.6.在直角坐标系中，直线y＝－x＋1的倾斜角为____________．【答案】【解析】∵ tanα＝k＝－，又α∈[0，π)，∴ α＝.7.在△ABC中，A(1，－1)，B(1，1)，C(3，－1)，求三边所在直线的倾斜角和斜率．【答案】－1【解析】因为A、B两点的横坐标相同，所以边AB垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在；因为A、C两点纵坐标相同，所以边AC平行于x轴，即垂直于y轴，倾斜角和斜率均为0；B、C 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由tanα＝＝－1，所以BC边所在直线的倾斜角为，斜率为－1.8.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】∪【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.9.直线xtan＋y＝0的倾斜角是________．【答案】【解析】k＝－tan＝tan＝tan，且∈[0，π)．10.直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是()A．40°B．50°C．130°D．140°【答案】B【解析】选∵直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-=-=-==="tan" 50°,∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.11.已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于.【答案】-2【解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为.∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.又∵直线l2的斜率为-,l1∥l2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.12.已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan 2α的值为()．A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意知tan α＝，∴tan 2α＝13.直线的法向量是. 若，则直线的倾斜角为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的法向量为，方向向量为或，而其斜率为，因此本题中直线斜率为，(为直线的倾斜角)，由于，，所以，选B．【考点】直线方程与法向量，直线的倾斜角与斜率．14.直线的倾斜角为，则的值为_________。
【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：2.1.1直线的倾斜角和斜率（含答案解析）
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题一、选择题1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2的倾斜角为θ，若l 1与l 2关于y 轴对称，则θ的值为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180° 【解析】【解析】 由对称性知θ＝180°－45°＝135°135°.. 【答案】【答案】 C2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．135°或225°D ．0°【解析】【解析】 由k ＝－1－0－1－0＝1，知tan α＝1，α＝45°45°. . 【答案】【答案】 A3．过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则a 等于( ) A ．－8 B ．10 C ．2 D ．4 【解析】【解析】 ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.【答案】【答案】 B4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)及C èæøö5，k 2在同一条直线上，则k 的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．12 【解析】【解析】 若A 、B 、C 三点在同一条直线上，则k AB ＝k AC ，即3＋34－2＝k2＋35－2，解得k ＝12. 【答案】【答案】 D5．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C.ëéûù0，12D.ëéøö0，12 【解析】【解析】 如图，当k ＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，∴由k OA ＝2－01－0＝2，知k ∈[0,2]． 【答案】【答案】 A 二、填空题二、填空题6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是________．【解析】【解析】 k ＝2a －＋a 3－－a＝a －12＋a ，因为倾斜角为钝角，，因为倾斜角为钝角， 所以k <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.【答案】【答案】 (－2,1)7．已知点M 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点N ，若k MN ＝2，则N 点的坐标为________. 【导学号：10690041】【解析】【解析】 设N (x,0)或(0，y )，k MN ＝43－x 或4－y 3，∴43－x ＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1或y ＝－2，∴N 点的坐标为(1,0)或(0，－2)．【答案】【答案】 (1,0)或(0，－2)8．已知直线l 的倾斜角为60°，将直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转80°到l ′，则l ′的倾斜角为________．【解析】【解析】 如图，如图，顺时针旋转顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l ′的倾斜角为60°＋100°＝160°160°..【答案】【答案】 160° 三、解答题三、解答题9．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a 、b 的值．的值．【解】【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1＝6a －1， k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.10．已知P (3，－1)，M (5,1)，N (1,1)，直线l 过P 点且与线段MN 相交，求：相交，求： (1)直线l 的倾斜角α的取值范围；的取值范围； (2)直线l 的斜率k 的取值范围．的取值范围． 【解】【解】k PM ＝1＋15－3＝1，∴直线PM 的倾斜角为45°45°.. 又k PN ＝1＋11－3＝－1，∴直线PN 的倾斜角为135°135°.. (1)由图可知，直线l 过P 点且与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.(2)当l 垂直于x 轴时，直线l 的斜率不存在，∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若图2-2-1-1-1-44中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )图2-2-1-1-1-4 4 A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【解析】 由图可知，l 1的倾斜角α1>90°，所以k 1<0，l 2，l 3的倾斜角满足0°0°<<α3<α2<90°，所以k 3<k 2，于是可得k 1<k 3<k 2，故选D.【答案】【答案】 D2．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A.54B.45 C ．－54 D ．－45【解析】【解析】 设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.【答案】【答案】 C3．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________． 【解析】【解析】 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°180°))， 当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°90°<<α<180°，∴α∈[0°，45°45°]]∪(90°，180°180°))． 【答案】【答案】 [0°，45°45°]]∪(90°，180°180°) ) 4．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．的最大值和最小值．【解】【解】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，的斜率， 且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.。
直线的倾斜角与斜率——解答(基础题)
直线的倾斜角与斜率——解答（基础题）一．解答题（共50小题）1．已知两直线L1：（m+3）x+5y=5﹣3m，L2：2x+（m+6）y=8，当m为何值时，L1与L2，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直．2．已知直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，求AB线段垂直平分线的方程．3．已知射线l1：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．4．已知空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，E是BC的中点．求证：BC⊥AD．5．判断点P（﹣2，3）、Q（4，2）是否为直线y=x上的点．6．已知直线过点P（3，2），且倾斜角为45°，求其与x，y轴相交的三角形面积．7．已知一次函数y=（2a+4）x+b﹣3（1）当a为何值时，函数随着x的增大而减小？（2）当a，b为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？8．已知a，b，c是互不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角（1）A（a，c），B（b，c）；（2）A（a，b），B（a，c）；（3）A（b，b+c），B（a，a+c）9．求经过两点A，B的直线的斜率和倾斜角，并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角．（1）A（2，3），B（4，7）；（2）A（﹣2，﹣2），B（1，﹣3）；（3）A（m，2m+），B（2m﹣1，3m），其中m∈R．10．已知直线过点（1，﹣2），且它的倾斜角等于y=x+4倾斜角的2倍，求该直线的方程．11．已知点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）（m≠0）直线AB的倾斜角为α．（1）当45°＜α＜60°时，求m的取值范围；（2）当120°＜α＜135°时，求m的取值范围．12．设点A（﹣2，3），B（2，4），直线l过点P（﹣1，1），且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．13．已知3x+5y+14=0，其中x∈[﹣3，2]，求：||的最小值．14．已知点A（3，﹣1）、B（﹣2，1）、C（x，0）在一条直线上，求x的值．15．已知A（0，4），B（﹣1，2），C（1，6），求证：A，B，C三点共线．16．如果A（1，﹣2）、B（4，a）、C（﹣2，a﹣1）在同一条直线上，求a的值．17．若A（7，a），B（b，﹣1），C（2，5）三点都在倾斜角为45°的直线上，求a、b的值．18．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM=CD，延长BE至N使BE=EN．求证：M，A，N三点共线．19．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对角线A′C与平面BC′D交于点O，AC、BD 交于M，求证：C′、O、M共线．20．若点P（x，1）在过A（2，4）B（5，11）两点的直线上，求x的值．21．判断下列各小题中的直线l1与l2是平行还是垂直：（1）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（﹣1，3），N（2，0）；（2）l1经过点A（﹣1，﹣2），B（1，2），l2经过点M（﹣2，﹣1），（0，﹣2）；（3）l1经过点A（1，3），B（1，﹣4），l2经过点M（2，1），N（2，3）；（4）l1经过点A（3，2），B（3，﹣1），l2经过M（1，1），N（2，1）22．已知A（﹣4，3）、B（2，5）、C（6，3）、D（﹣3，0）四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．23．已知两条直线l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，分别求出满足下列条件的实数m的取值范围．（1）l1与l2相交；（2）l1∥l2；（3）l1与l2重合．24．已知：A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1），求证：AB⊥BC．25．已知三条直线的方程分别为：2x﹣y+4=0，x﹣y+5=0与2mx﹣3y+12=0，若三条直线能围成直角三角形，求实数m的值．26．已知直线l：2ax+ty+3a=0（t≠0，a∈R）经过点（1，﹣1），求直线l的倾斜角α（结果精确到1°）27．经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．（1）求直线l斜率k的范围；（2）直线l倾斜角α的范围．28．已知直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1．（1）求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；（2）a取何值时，直线l不过第二象限？29．求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．30．已知平面上三点A、B、C，向量，．（Ⅰ）若A、B、C三点共线，求k的值；（Ⅱ）若在△ABC中，∠B=90°，求k的值．31．已知A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若=2，求点C的坐标．32．直线x﹣y+1=0的倾斜角为．33．已知A（1，2）、B（4，a），且直线AB的倾斜角为135°，求a的值．34．已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1）．（1）求BC边上的高线所在的直线方程；（2）求BC边上的中线所在的直线方程．35．已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）求直线l的倾斜角的范围．36．过定点A（8，6）的四条直线，其倾斜角之比为1：2：3：4，第二条直线方程是3x﹣4y=0，求其余三条直线的方程．37．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）P1（1，3），P2（4，6）；（2）Q1（﹣1，6），Q2（﹣1，3）．38．已知两点A（2，﹣3），B（3，0），过点P（﹣1，2）的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l斜率k的取值范围．39．求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．40．如图，直线l1，l2，l3，都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（﹣2，﹣1），Q2（4，﹣2），Q3（﹣3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率．41．过两点A（3﹣m﹣m2，﹣2m），B（m2+2，3﹣m2）的直线的倾斜角为135°，求m的值．42．分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过点A（0，2），且直线l的倾斜角的正弦值是0.5；（2）过点A（2，1），且直线l的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半．43．已知直线l1：ax+y+a﹣1=0不经过第一象限，且l1⊥l2（1）求证：直线l1恒过定点；（2）求直线l2倾斜角的取值范围．44．已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．45．已知四边形MNPQ的顶点M（1，1），N（3，﹣1），P（4，0），Q（2，2），（1）求斜率k MN与斜率k PQ；（2）求证：四边形MNPQ为矩形．46．求m为何值时，这三条直线l1：4x+y=4，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my=4，不能构成三角形．47．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．48．已知A（2，1），B（0，2）且过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．49．已知点A（﹣2，3），B（3，2），过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围．50．已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．直线的倾斜角与斜率——解答（基础题）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2010•广东模拟）已知两直线L1：（m+3）x+5y=5﹣3m，L2：2x+（m+6）y=8，当m为何值时，L1与L2，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直．【解答】解：（1）当m=﹣6时，直线L1方程为﹣3x+5y=23，L2方程为x=4，显然两直线相交；当m≠﹣6时，由解得m≠﹣1，m≠﹣8，所以m≠﹣1，m≠﹣8时直线L1与L2相交．（2）由（1）知当m=﹣6时，直线L1与L2相交；当m≠﹣6时，由得m=﹣1（舍去），或m=﹣8，所以m=﹣8时直线L1与L2平行．（3）由得m=﹣1，所以m=﹣1时直线L1与L2重合．（4）由2（m+3）+5（m+6）=0得m=﹣，所以m=﹣时直线L1与L2垂直．2．（2010秋•嘉峪关校级期末）已知直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，求AB线段垂直平分线的方程．【解答】解：∵直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，∴A（6，0）、B（0，3），∴AB的中点为C（3，），且AB的斜率等于=﹣，故AB线段垂直平分线的斜率等于2，故AB线段垂直平分线的方程为y﹣=2（x﹣3），即4x﹣2y﹣9=0，故AB线段垂直平分线的方程为4x﹣2y﹣9=0．3．（2013春•青羊区校级月考）已知射线l1：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．【解答】解：设点Q坐标为（a，4a），PQ与x轴正半轴相交于M点．由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形．PQ所在的直线方程为：，令，∵a＞1，∴，则=，当且仅当（a﹣1）2=1取等号．所以a=2时，Q点坐标为（2，8）；PQ直线方程为：x+y﹣10=0．4．（2014秋•秦州区校级期末）已知空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，E是BC 的中点．求证：BC⊥AD．【解答】解：取BC的中点为E，∵AB=AC，∴AE⊥BC．∵DB=DC，∴DE⊥BC．这样，BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE 垂直，∴BC⊥面ADE，∴BC⊥AD．5．判断点P（﹣2，3）、Q（4，2）是否为直线y=x上的点．【解答】解：当x=﹣2时，y=×（﹣2）=﹣1，则点P（﹣2，3）不是直线y= x上的点，当x=4时，y=×4=2，则点Q（4，2）是直线y=x上的点．6．已知直线过点P（3，2），且倾斜角为45°，求其与x，y轴相交的三角形面积．【解答】解：直线过点P（3，2），且倾斜角为45°，可得直线方程为：y﹣2=x﹣3，直线与坐标轴的交点为：（0，﹣1），（1，0）．直线与x，y轴相交的三角形面积：．7．已知一次函数y=（2a+4）x+b﹣3（1）当a为何值时，函数随着x的增大而减小？（2）当a，b为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？【解答】解：（1）由题意，2a+4＜0，∴a＜﹣2；（2）∵函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴a＞﹣2，b＜3．8．已知a，b，c是互不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角（1）A（a，c），B（b，c）；（2）A（a，b），B（a，c）；（3）A（b，b+c），B（a，a+c）【解答】解：（1）设直线的斜率为k，倾斜角为θ，则k==0，即tanθ=0，又0°≤θ＜180°，∴θ=0°；（2）设直线的斜率为k，倾斜角为θ，则k=不存在，即tanθ不存在，又0°≤θ＜180°，∴θ=90°；（3）设直线的斜率为k，倾斜角为θ，则k==1，即tanθ=1，又0°≤θ＜180°，∴θ=45°．9．求经过两点A，B的直线的斜率和倾斜角，并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角．（1）A（2，3），B（4，7）；（2）A（﹣2，﹣2），B（1，﹣3）；（3）A（m，2m+），B（2m﹣1，3m），其中m∈R．【解答】解：（1）∵A（2，3），B（4，7），∴k AB==2，∴直线AB的斜率为2，倾斜角为arctan2，是锐角；（2）∵A（﹣2，﹣2），B（1，﹣3），∴k AB==﹣，∴直线AB的斜率为﹣，倾斜角为π﹣arctan，是钝角；（3）∵A（m，2m+），B（2m﹣1，3m），∴k AB==，m=1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为，既不是锐角也不是钝角；m≠1时，直线AB的斜率为，倾斜角为，是锐角．10．已知直线过点（1，﹣2），且它的倾斜角等于y=x+4倾斜角的2倍，求该直线的方程．【解答】解：设直线y=x+4的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=1，∴α=45°，∴所求直线的倾斜角为90°，又所求直线过点（1，﹣2），则直线方程为x=1．11．已知点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）（m≠0）直线AB的倾斜角为α．（1）当45°＜α＜60°时，求m的取值范围；（2）当120°＜α＜135°时，求m的取值范围．【解答】解：∵点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）（m≠0），直线AB的倾斜角为α，∴斜率k=tanα==﹣；（1）当45°＜α＜60°时，1＜tanα＜，即1＜﹣＜，化简得2＜＜1+，解得＜m＜；（2）当120°＜α＜135°时，﹣＜tanα＜﹣1，即﹣＜﹣＜﹣1，化简得1﹣＜＜0，解得﹣（+1）＜m＜0．12．设点A（﹣2，3），B（2，4），直线l过点P（﹣1，1），且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．【解答】解：直线AP的斜率k==﹣2，直线BP的斜率k==1．设L与线段AB交于M点，M由B出发向A移动，斜率越来越大，在某点处会AM平行y轴，此时无斜率．即k≥1，过了这点，斜率由﹣∞增大到直线BP的斜率﹣2．即k≤﹣2，直线l斜率取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．13．已知3x+5y+14=0，其中x∈[﹣3，2]，求：||的最小值．【解答】解：设k=，则k的几何意义为线段BC上的点与点A（﹣1，2）的斜率，当x=﹣3时，y=﹣1，即B（﹣3，﹣1），当x=2时，y=﹣4，即C（2，﹣4），则k AB==，k AC==﹣2，即k≥或k≤﹣2，当k＞0时，|k|≥，当k＜0时，|k|≥2，即||的最小值为．14．已知点A（3，﹣1）、B（﹣2，1）、C（x，0）在一条直线上，求x的值．【解答】解：若点A（3，﹣1）、B（﹣2，1）、C（x，0）在一条直线上，则=，解得：x=．15．已知A（0，4），B（﹣1，2），C（1，6），求证：A，B，C三点共线．【解答】证明：∵A（0，4），B（﹣1，2），C（1，6），∴=（﹣1，﹣2），=（1，2），∴=﹣，∴向量与共线；又、有公共点A，∴A，B，C三点共线．16．如果A（1，﹣2）、B（4，a）、C（﹣2，a﹣1）在同一条直线上，求a的值．【解答】解：k AB=，k AC=，∵三点A，B，C共线，∴k AB=k AC，∴=，解得a=﹣．17．若A（7，a），B（b，﹣1），C（2，5）三点都在倾斜角为45°的直线上，求a、b的值．【解答】解：由题意可得k AC==tan45°=1，解得a=10；同理可得k BC==tan45°=1，解得b=﹣4．∴a、b的值分别为10，﹣4．18．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM=CD，延长BE至N使BE=EN．求证：M，A，N三点共线．【解答】证明：由题意可得AE=EC，BE=EN，∠AEN=∠BEC，∴△AEN≌△CEB，∴∠EAN=∠ACB；同理可证△ADM≌△BDC，∴∠DAM=∠ABC，由三角形的内角和可得∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°∴∠EAN+∠DAM+∠BAC=180°∴M，A，N三点共线．19．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对角线A′C与平面BC′D交于点O，AC、BD 交于M，求证：C′、O、M共线．【解答】证明：如图，∵C′∈平面A1ACC′，且C′∈平面DBC′，∴C′是平面A1ACC′与平面DBC′的公共点，又∵M∈AC，∴M∈平面A′ACC′，∵M∈BD，∴M∈平面DBC′，∴M也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，∴C′M是平面A′ACC′与平面DBC′交线，∵O是A′C与平面DBC′的交点，∴O∈平面A′ACC′，O∈平面DBC1，∴O也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，∴O∈直线C′M，即C′，O，M三点共线．20．若点P（x，1）在过A（2，4）B（5，11）两点的直线上，求x的值．【解答】解：点P（x，1）在过A（2，4）B（5，11）两点的直线上，∴k AB=k AP即：=解得x=，故答案为：．21．判断下列各小题中的直线l1与l2是平行还是垂直：（1）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（﹣1，3），N（2，0）；（2）l1经过点A（﹣1，﹣2），B（1，2），l2经过点M（﹣2，﹣1），（0，﹣2）；（3）l1经过点A（1，3），B（1，﹣4），l2经过点M（2，1），N（2，3）；（4）l1经过点A（3，2），B（3，﹣1），l2经过M（1，1），N（2，1）【解答】解：（1）由题意和斜率公式可得l1的斜率k1==﹣1，l2斜率k2==﹣1，故两直线平行；（2）由题意和斜率公式可得l1的斜率k1==2，l2斜率k2==﹣，故两直线垂直；（3）由题意可得l1的无斜率，l2无斜率，故两直线平行；（4）由题意可得l1的无斜率，l2斜率为0，故两直线垂直．22．已知A（﹣4，3）、B（2，5）、C（6，3）、D（﹣3，0）四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．【解答】解：∵=（6，2），=（9，3），∴，∴四边形ABCD是梯形．23．已知两条直线l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，分别求出满足下列条件的实数m的取值范围．（1）l1与l2相交；（2）l1∥l2；（3）l1与l2重合．【解答】解：（1）∵直线l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，∴令m2﹣1≠0，解得m≠±1，∴当m≠±1时，l1与l2相交；（2）令m2﹣1=0，解得m=±1；当m=1时，l1的方程为：x+y=2，l2的方程为x+y=2，l1与l2重合；当m=﹣1时，l1的方程为x﹣y=0，l2的方程为x﹣y=﹣2，此时l1∥l2；∴m=1时，l1与l2重合，m=﹣1时，l1∥l2．24．已知：A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1），求证：AB⊥BC．【解答】证明：∵A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1），∴=（4，﹣6），=（3，2），∴•=4×3+（﹣6）×2=0，∴⊥，∴AB⊥BC．25．已知三条直线的方程分别为：2x﹣y+4=0，x﹣y+5=0与2mx﹣3y+12=0，若三条直线能围成直角三角形，求实数m的值．【解答】解：∵直线a：2x﹣y+4=0，b：x﹣y+5=0与c：2mx﹣3y+12=0的斜率分别为k1=2，k2=1，k3=，∴若三条直线能围成直角三角形，则a⊥c，或b⊥c，即k1k3=2×=﹣1或k2k3==﹣1，解得m=或m=．26．（2006秋•卢湾区期末）已知直线l：2ax+ty+3a=0（t≠0，a∈R）经过点（1，﹣1），求直线l的倾斜角α（结果精确到1°）【解答】解：由直线l：2ax+ty+3a=0（t≠0，a∈R）经过点（1，﹣1），得2a﹣t+3a=0，所以t=5a，则l：2ax+5ay+3a=0，显然a≠0，所以直线l的斜率，即tanα=，得α=158°．27．（2010春•孝南区校级期末）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A （1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．（1）求直线l斜率k的范围；（2）直线l倾斜角α的范围．【解答】解：（1）…（2分）…（4分）∵l与线段AB相交，∴k pA≤k≤k pB∴﹣1≤k≤1．…（8分）（2）由（1）知0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0由于及均为增函数∴…（12分）28．（2010秋•瑞安市校级期中）已知直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1．（1）求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；（2）a取何值时，直线l不过第二象限？【解答】解：（1）证明：由直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1，得a（3x﹣y）+（﹣x﹣1）=0，…（2分）由，得，所以直线l过定点（﹣1，﹣3），因此直线总过第三象限…（5分）．（2）直线l不过第二象限，应有斜率满足：k=≥0．∴a≥时直线l不过第二象限．…..（9分）29．（2011秋•路南区校级月考）求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【解答】解：当m=1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α=90°．当m≠1时，由斜率公式可得k==．①当m＞1时，斜率k=＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°．②当m＜1时，斜率k=＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°．30．（2011秋•临川区校级月考）已知平面上三点A、B、C，向量，．（Ⅰ）若A、B、C三点共线，求k的值；（Ⅱ）若在△ABC中，∠B=90°，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，即有（2﹣k）×4﹣3×2=0，得；（6分）（Ⅱ），由已知，即有，得k（2﹣k）+3=0，k=﹣1或3．（12分）31．（2012秋•潮南区校级期末）已知A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若=2，求点C的坐标．【解答】解：（1）∵A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）∴=（2，﹣2），=（a﹣1，b﹣1）∵A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）三点共线∴∥∴﹣2（a﹣1）=2（b﹣1）即a=2﹣b．（2）若=2，即（a﹣1，b﹣1）=2（2，﹣2）所以a﹣1=4，b﹣1=﹣4，得a=5，b=﹣3点C的坐标（5，﹣3）．32．（2013秋•金阊区校级月考）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．33．（2013春•广州校级月考）已知A（1，2）、B（4，a），且直线AB的倾斜角为135°，求a的值．【解答】解：由斜率的定义可知，k AB=tan135°=﹣tan45°=﹣1，由斜率公式可得k AB=，即=﹣1，解得a=﹣1．故a的值为：﹣1．34．（2013秋•小店区校级月考）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B （3，1），C（﹣1，﹣1）．（1）求BC边上的高线所在的直线方程；（2）求BC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：（1）由题意可得直线BC的斜率k BC==，∴BC边上的高线所在的直线的斜率为﹣2，∴所求直线的方程为：y﹣2=﹣2（x﹣1），化为一般式可得：2x+y﹣4=0（2）∵B（3，1），C（﹣1，﹣1），∴BC的中点D的坐标为（1，0），∴BC边上的中线所在的直线方程为：x=135．（2014•江北区校级模拟）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）求直线l的倾斜角的范围．【解答】解：（1）∵=﹣1，=3，过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点．∴k l≥3或k≤﹣1．（2）设直线l的倾斜角为θ，则tanθ≤﹣1或tanθ≥3．∴arctan3≤θ≤．36．（2014•江北区校级模拟）过定点A（8，6）的四条直线，其倾斜角之比为1：2：3：4，第二条直线方程是3x﹣4y=0，求其余三条直线的方程．【解答】解：∵四条直线的倾斜角之比为1：2：3：4，∴可设倾斜角分别为θ，2θ，3θ，4θ．∵tan2θ==，解得tanθ=．∴tan3θ===．tan4θ===．∴其余三条直线的方程分别为：y﹣6=（x﹣8），y﹣6=（x﹣8），y﹣6=（x ﹣8）．37．（2014秋•红花岗区校级期中）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）P1（1，3），P2（4，6）；（2）Q1（﹣1，6），Q2（﹣1，3）．【解答】解：（1）∵P1（1，3），P2（4，6）；∴，则其倾斜角是45°，为锐角；（2）∵Q1（﹣1，6），Q2（﹣1，3）∴直线Q1Q2的斜率不存在，其倾斜角为90°，是直角．38．（2014春•深圳校级期中）已知两点A（2，﹣3），B（3，0），过点P（﹣1，2）的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l斜率k的取值范围．【解答】解：∵直线PA的斜率是，直线PB的斜率是．如图，∵直线l与线段AB始终有公共点，∴斜率k的取值范围是．39．（2014秋•渝中区校级期中）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．【解答】解：∵直线3x﹣2y+24=0化成斜截式，得y=x+12∴直线的斜率k=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵对直线3x﹣2y+24=0令y=0，得x=﹣8∴直线交x轴于点（﹣8，0），可得直线在x轴上截距是﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵对直线3x﹣2y+24=0令x=0，得y=12∴直线交y轴于点（0，12），可得直线在y轴上的截距为12．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）40．（2014秋•沭阳县校级月考）如图，直线l1，l2，l3，都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（﹣2，﹣1），Q2（4，﹣2），Q3（﹣3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率．【解答】解：（1）∵直线l1经过点P和Q1∴k1==（2）∵直线l3经过点P和Q2∴k2==﹣4（2）∵直线l3经过点P和Q3∴k3=041．（2015秋•曲沃县校级期末）过两点A（3﹣m﹣m2，﹣2m），B（m2+2，3﹣m2）的直线的倾斜角为135°，求m的值．【解答】解：依题意可得：直线的斜率为﹣1又直线过两点A（3﹣m﹣m2，﹣2m），B（m2+2，3﹣m2）即：整理的可求得m=﹣2 或m=﹣1经检验m=﹣1不合题意，故m=﹣2．42．（2015秋•贵溪市校级期中）分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过点A（0，2），且直线l的倾斜角的正弦值是0.5；（2）过点A（2，1），且直线l的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半．【解答】解：、（1）设直线l的倾斜角为α，由题意知：，得α=30°，故得，所求的直线方程为，即：（2）设直线l和l1的倾斜角分别为α，β，由题意知：又，解得：tanα=3或（舍去）由点斜式得：y﹣1=3（x﹣2），故所求的直线方程为3x﹣y﹣5=0．43．（2015秋•遂宁校级月考）已知直线l1：ax+y+a﹣1=0不经过第一象限，且l1⊥l2（1）求证：直线l1恒过定点；（2）求直线l2倾斜角的取值范围．【解答】（1）证明：由ax+y+a﹣1=0，得a（x+1）+y﹣1=0，联立，解得．∴直线l1恒过定点（﹣1，1）；（2）解：如图，要使直线l1：ax+y+a﹣1=0不经过第一象限，则l1的倾斜角的范围为[90°，135°]，∵l1⊥l2，∴l2倾斜角的取值范围是[0°，45°]．44．（2015秋•徐汇区校级期中）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为；当m≠﹣1时，，若m＞﹣1，则；若m＜﹣1，则（2）当m=﹣1时，直线AB的倾斜角为；当m≠﹣1时，，，综合得直线AB 的倾斜角α的取值范围为．45．（2015秋•湄潭县校级期中）已知四边形MNPQ的顶点M（1，1），N（3，﹣1），P（4，0），Q（2，2），（1）求斜率k MN与斜率k PQ；（2）求证：四边形MNPQ为矩形．【解答】解：（1）四边形MNPQ的顶点M（1，1），N（3，﹣1），P（4，0），Q （2，2），斜率k MN==﹣1斜率k PQ==﹣1．（2）证明：由（1）可知：k MN=k PQ；即有MN∥PQ，斜率k MQ==1斜率k PN==1．可知PN∥MQ，并且PQ⊥PN，所以，四边形MNPQ为矩形．46．（2015春•大竹县校级期中）求m为何值时，这三条直线l1：4x+y=4，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my=4，不能构成三角形．【解答】解：①当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l2：mx+y=0时，m=4．②当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，m=﹣，③当l2：mx+y=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，﹣m=，m 无解．④当三条直线经过同一个点时，把直线l1 与l2的交点（，）代入l3：2x﹣3my﹣4=0得﹣3m×﹣4=0，解得m=﹣1或，综上，满足条件的m为4、或﹣、或﹣1、或．47．（2016春•徐州期末）设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．【解答】解：（1）由4x﹣3y+12=0，得：k=，则tanA=，∴tan2A==﹣；（2）由，以及0＜A＜π，得：sinA=，cosA=，cos（﹣A）=cos cosA+sin sinA=×+×=．48．（2016秋•枣阳市校级月考）已知A（2，1），B（0，2）且过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：由已知，，．由图可知，过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k的取值范围是：k≤﹣3，或k≥2．49．（2016秋•双鸭山校级月考）已知点A（﹣2，3），B（3，2），过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围．【解答】解：k PA==﹣，k PB==，∵过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，∴或k．∴直线L的斜率k的取值范围是∪．50．（2016秋•秀山县校级期中）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．【解答】解：（1）由两直线垂直的充要条件可得：1•（m﹣2）+m•3=0，解得，故当l1⊥l2时，m=；（2）由平行的条件可得：，由解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=﹣1．。
直线的倾斜角和斜率(经典练习及答案详解)
直线的倾斜角和斜率1．若直线过点(1,2)，(2,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【解析】利用斜率公式k ＝3＝tan α，可求倾斜角为60°.2．(2021年合肥月考)若直线l 经过原点和点A (－2，－2)，则它的斜率为( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．0【答案】B 【解析】根据两点表示的斜率公式得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－2－0－2－0＝1. 3．(2021年中山月考)若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2【答案】A 【解析】因为A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，三点共线，所以k AB ＝k BC ，所以－2－33－(－2)＝m ＋212－3，解得m ＝12. 4．若三点A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )在同一条直线上，则实数x 的值为( )A ．10B ．－10C ．5D ．－5【答案】A 【解析】由三点在同一直线上，则可得k AB ＝k BC ，由斜率计算公式可知8－(－2)4－(－1)＝x －85－4，解得x ＝10. 5．(2021年清远模拟)已知A (3,5)，B (5,7)，直线l 的斜率是直线AB 斜率的3倍，则直线l 的倾斜角为________．【答案】60° 【解析】设直线l 的斜率为k ，则k ＝3k AB ＝3×7－55－3＝ 3.所以直线l 的倾斜角为60°.6．设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)，B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P 的坐标为________．【答案】(－5,0) 【解析】设P (x,0)为满足题意的点，则k P A ＝8－3－x ，k PB ＝142－x ，于是8－3－x ＝2×142－x，解得x ＝－5. 7．直线l 的一个方向向量d ＝(3，3)，则直线l 的倾斜角是________，直线l 斜率是________．【答案】π6 33 【解析】由d ＝(3，3)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，设c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则d ∥c .由向量d ＝(3，3)是直线l 的一个方向向量，则c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，33也为直线l 的一个方向向量．故直线l 的斜率为33，所以倾斜角为π6.8．以下叙述中：(1)任何一条直线都有倾斜角，也有斜率；(2)平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°；(3)直线的斜率范围是(－∞，＋∞)；(4)过原点的直线，斜率越大越靠近x 轴；(5)两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；(6)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等．其中正确的序号是________．【答案】(3)(5) 【解析】(1)倾斜角为90°的直线没有斜率；(2)直线的倾斜角取值范围是0°≤α<180°；(4)过原点的直线斜率的绝对值越大，其对应的直线越靠近y 轴；(6)倾斜角为90°的直线没有斜率．9．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线P A 的倾斜角为60°. 解：(1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，因为A (1,2)，所以k P A ＝0－2a －1＝－2a －1. 又因为直线P A 的倾斜角为60°，所以tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )． 同理可得b ＝2－3， 所以点P 的坐标为(0,2－3)．10．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角．解：因为k 2＝k MN ＝6－38－5＝1， 所以l 2的倾斜角为45°.又l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°.B 级——能力提升练11．直线l 过点M (－1,2)，且与以P (－2，－3)，Q (4,0)为端点的线段PQ 相交，则l 的斜率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25，5B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，0∪(0,5] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－25∪[5，＋∞) 【答案】D 【解析】当l 的斜率为正时，因为其倾斜角均大于或等于直线MP 的倾斜角，故其斜率不小于k MP ＝5；当l 的斜率为负时，因为其倾斜角均小于或等于直线MQ 的倾斜角，故其斜率不大于k MQ＝－25.12．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)C ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α【答案】ACD 【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，A 错误；对于B ，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，B 正确；对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y ＝x 的斜率为tan 5π4，它的倾斜角为π4，C 错误；对于D ，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D 错误．故选ACD ．13．已知三点A (1－a ，－5)，B (a,2a )，C (0，－a )共线，则a ＝________.【答案】2 【解析】①当过A ，B ，C 三点的直线斜率不存在时，即1－a ＝a ＝0，无解．②当过A ，B ，C 三点的直线斜率存在时，即k AB＝2a－(－5)a－(1－a)＝k BC＝－a－2a0－a，即2a＋52a－1＝3，解得a＝2.综上可知，当A，B，C三点共线时，a的值为2.14．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．【答案】0【解析】由于正三角形的内角都为60°，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为60°，则斜率为tan 60°＝3，则边AC所在直线的倾斜角为120°，斜率为tan 120°＝－3，所以AC，AB所在直线的斜率之和为3＋(－3)＝0.15．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点C(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解：如图，依题意，直线l由直线CB开始按逆时针方向旋转至直线CA止，其间直线l与线段AB都有公共点．直线CB的斜率为k CB＝－1－22－3＝3，直线CA的斜率k CA＝－1－42－(－3)＝－1.直线l由直线CB开始按逆时针方向旋转时，直线l的斜率逐渐增大，直至当直线l与x轴垂直时，倾斜角为90°，此时斜率不存在．继续旋转直线l，其斜率由负无穷大开始增大，直至直线CA终止，所以直线l的斜率取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求l的斜率k的取值范围．解：如图，当k 变化时，直线l 绕点P 旋转，当l 由P A 旋转到PB 时，l 与线段AB 有公共点，即k 由k P A 增加到k PB ，∵k P A ＝4－03－(－1)＝1，k PB ＝4－13－2＝3， ∴要使l 与线段AB 有公共点，斜率k 的取值范围为[1,3]．C 级——探究创新练17．已知直线AB 过点A (3，－5)，B (0，－9)，倾斜角为α.(1)若直线CD 的倾斜角为2α，则斜率k CD ＝________；(2)若直线EF 的倾斜角为α2，则斜率k EF ＝________.【答案】－247 12 【解析】由题意，得tan α＝－5＋93－0＝43. (1)若直线CD 的倾斜角为2α，则斜率k CD ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－169＝－247.(2)由α∈[0，π)，α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，故设k EF ＝k (k >0)， 则2k 1－k 2＝43，∴k ＝12. 18．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t 的取值范围．解：因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t＝2t，得t＝1；当α＝90°时，1－t＝3，得t＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，即2t－(1＋t)3－(1－t)<0，得t－1t＋2<0，解得－2<t<1.综上所述，实数t的取值范围为[－2,1]．。
直线的倾斜角与斜率练习题
直线的倾斜角与斜率练习题一．选择题（共16小题）1．直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直2．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．3．若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为α，则α的值是（）A．B．C．D．4．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣96．直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A．[0°，90°）B．[0°，180°）C．[90°，180°）D．（90°，180°）8．若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．9．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．11．若直线l1：ax+2y+a+3=0与l2：：x+（a+1）y+4=0平行，则实数a的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或212．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣213．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．314．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．1 D．﹣215．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④16．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关二．填空题（共1小题）17．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则实数a的值是．三．解答题（共1小题）18．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．直线的倾斜角与斜率练习题参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：D．2．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，∴tanθ=﹣，∵θ∈[0，π），∴θ=．故选：C．3．若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为α，则α的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，直线的斜率为k=直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角α为°故选：A．4．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α=120°，故选：C．5．若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣9【解答】解：∵三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，∴kAC =kAB，即，解得b=﹣9．故选：D．6．直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：设直线y=x+2的倾斜角是α，则tanα=，又0°≤α＜180°，∴α=60°．故选：C．7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A．[0°，90°）B．[0°，180°）C．[90°，180°）D．（90°，180°）【解答】解：若直线l经过第二、四象限，则直线l的斜率小于零，故直线的倾斜角为钝角，故选：D．8．若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：根据题意，直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则其斜率kAB==﹣；故选：A．9．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵直线过点M（1，2），N（4，2+），∴该直线的斜率为k==，即tanα=，α∈[0°，180°）；∴该直线的倾斜角为α=30°．故选：A．10．若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1，故选：A．11．若直线l1：ax+2y+a+3=0与l2：：x+（a+1）y+4=0平行，则实数a的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或2【解答】解：∵直线l1：ax+2y+a+3=0，l2：x+（a+1）y+4=0，l1∥l2，∴=≠，解得a=1或a=﹣2．∵当a=1时，两直线重合，∴a≠1．∴a=﹣2．故选：B．12．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．13．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【解答】解：因为两条直线平行，所以：解得 m=1故选：B．14．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．1 D．﹣2【解答】解：直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，∴a•1+2（a﹣1）=0；解得：a=．故选：B．15．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，满足直线与平面垂直的条件，成立；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面，如果两点在平面两侧，不成立；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线，如果两条相交直线所在平面与已知平面垂直，射影则是一条直线，不正确；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．正确．故选：D．16．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关【解答】解：当cosθ=0或sinθ=0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ，显然，斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选：B．二．填空题（共1小题）17．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则实数a的值是0或1 ．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0与直线l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a×（2a﹣1）+（﹣1）×a=0，解之得a=0或1故答案为：0或1三．解答题（共1小题）18．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.过点P和Q的直线斜率为1，那么的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】【解析】根据,有,可得.【考点】斜率计算.3.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.5.已知直线经过点，求分别满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角的正弦为；（2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为直线过定点，故只需求其斜率即可，由已知，根据同角三角函数基本关系式，求，再用直线点斜式方程；（2）直线与与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积与直线在坐标轴的截距有关，所以可设直线的截距式方程，由面积为4，可得关于的方程，又直线过定点，代入得关于，联立可求.试题解析：（1）设直线的倾斜角为，，由得，，当时，由点斜式方程得：即；当时，由点斜式方程得：即，综上：直线方程为或；（2）设直线在轴上的截距为，可设直线方程为，由题意得得，，即：.【考点】1、直线的点斜式方程；2、直线的截距式方程.6.若直线经过、两点,则直线的倾斜角是（）A．135°B．120°C．60°D．45°【答案】C【解析】因为，所以直线的倾斜角是60°。
直线的倾斜角与斜率练习及答案
直线的倾斜角与斜率练习及答案1.设点A(2,-3)和B(-3,-2)，直线l与线段AB相交且过点P(11,3)，则l的斜率k的取值范围是什么？答案：B。
-4≤k≤3或k≤-42.直线l经过原点和点(-1,1)，则它的倾斜角是多少？答案：C。
π/43.斜率为2的直线过(3,5),(a,7),(-1,b)三点，则a，b的值是什么？答案：A。
a=4，b=-34.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是什么？答案：C。
(-∞,1) U (1,∞)5.若直线x+5y+C=0的倾斜角为α，则α等于多少？答案：D。
不存在6.直线答案：B。
B=-B'且C=-5BB'7.满足以下条件的l1与l2，其中l1∥l2的是什么？1）l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)；2）l1经过点P(3,3)，Q(-5,3)，l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；3）l1经过点M(-1,5)，N(-5,-2)，l2经过点R(-4,3)，S(0,-3)；答案：C。
(1) (3)8.已知三点(2,-2)，(4,3)和(5,k)在同一条直线上，则k的值是多少？答案：k=79.已知两点A(x,-2)和B(3,1)，并且直线AB的斜率为1/2，则x等于多少？答案：x=7/210.若直线答案：a=-211.在y轴上有一点m，它与点(-3,1)连成的直线的倾斜角为120°，则点m的坐标为多少？答案：m的坐标为(-3,-3)12.已知：直线l1斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(-1,y)，若l1∥l2，则x，y的值分别为多少？答案：x=4，y=113.直线l1经过点A(a,2)和B(-5,6)，l2经过点C(3,5)和D(-1,1)，若l1∥l2，则a的值为多少？答案：a=11/2经过点(2，3)，且垂直于x轴，若存在，求m的值．第14题：证明四边形MNPQ是矩形，已知其顶点为M(1,1)，N(3,0)，P(4,-1)，Q(2,2)。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的大小是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线设直线的倾斜角为，则又故答案选A.【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角2.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设已知直线的倾科角为，由已知得故选Ｄ．【考点】直线倾斜角．3.过两点A，B(，的直线倾斜角是，则的值是（）A．B．3C．1D．【答案】C【解析】根据直线斜率的计算式有,解得．【考点】直线斜率的计算式．4.直线的倾斜角和斜率分别是（）A．，不存在B．C．D．，不存在【答案】A【解析】是垂直于x轴的一条直线，故斜率不存在，倾斜角为【考点】直线的倾斜角与斜率的概念5.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】【解析】【考点】利用倾斜角求斜率.6.已知直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,由直线逆时针旋转到的过程中，斜率的变化由2开始变大，直线的倾斜角过，由增大到-3，故选A.【考点】直线的斜率7.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知斜率，根据直线方程的点斜式可写出直线方程：即，故选A.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.直线的方程.8.已知直线上两点的坐标分别为,且直线与直线垂直，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线的斜率为，直线的斜率为，由这两条直线垂直可得即，解得，故选B.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.两直线垂直的判定与性质.9.若,,三点共线，则．【答案】【解析】直线BC方程为，将点A的坐标代入得，所以，也可以用求解.【考点】直线的斜率.10.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于直线的方程可知，该直线的斜率为，因此可知该直线的倾斜角为=60°，选B.【考点】直线的倾斜角点评：主要是考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题。
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直线的倾斜角和斜率习
题与答案
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
直线的倾斜角和斜率
基础卷
一．选择题：
1．下列命题中，正确的命题是
（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
（B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
（C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率
（D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π
2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为
（A ）3 （B ）－3 （C ）
33 （D ）－3
3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是
（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4
3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为
（A ）4π （B ）54π （C ）4π或54
π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5
4，则直线l 的斜率为 （A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－3
4 二．填空题：
7．经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .
9．已知点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 .
10．若经过点A (1－t , 1+t )和点B (3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .
提高卷
一．选择题：
1．已知，A (－3, 1)、B (2, －4)，则直线AB 上方向向量AB 的坐标是
（A ）(－5, 5) （B ）(－1, －3) （C ）(5, －5) （D ）(－3, －1)
二．填空题：
6．若直线k 的斜率满足－3<k <
3
3，则该直线的倾斜角α的范围是 . 7．若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 . 8．已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的斜率为 ；倾斜角为 .
9．已知M (2, －3), N (－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .
三．解答题：
三．解答题：
11．求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的倾斜角。
12．已知{a n }是等差数列，d 是公差且不为零，它的前n 项和为S n ，设集合
A ={(a n , n S n
)| n ∈N }，若以A 中的元素作为点的坐标，这些点都在同一直线上，求这条直线的斜率。
综合练习卷 一．选择题： 1．下列命题正确的是 （A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应
（B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应
（C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k
（D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α
2．过点M (－2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为－2
1，则a 等于 （A ）－8 （B ）10 （C ）2 （D ）4
3．过点A (2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为4
3π，则b 的值是 （A ）－1 （B ）1 （C ）－5 （D ）5
4．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2,
k 3，则
（A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2
（C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 2
5．已知点M (cos α, sin α), N (cos β, sin β)，若直线MN
的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于
（A ）21(π+α+β) （B ）2
1(α+β) （C ）21(α+β－π) （D ）2
1(β－α) 二．填空题：
7．已知三点A (2, －3), B (4, 3), C (5, 2
m )在同一直线上，则m 的值为 . 8．已知y 轴上的点B 与点A (－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .
9．若α为直线的倾斜角，则sin(4
π－α)的取值范围是 10．已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .
三．解答题：
11．求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的倾斜角。
12．已知{a n }是等差数列，d 是公差且不为零，它的前n 项和为S n ，设集合
A ={(a n , n S n
)| n ∈N }，若以A 中的元素作为点的坐标，这些点都在同一直线上，求这条直线的斜率。
参考答案。