直线的倾斜角和斜率
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
解:设A1(x1,y1)是l1上任一点,根据斜率公式
有������ = ������������������������−−������������,即������������ = ������������. 设x1=1,则y1=1,于是A1的坐标是(1,1). 过原点及点A1(1,1)的直线即为l1. 同理l2是过原点及点A2(1,-1)的直线, l3是过原点及点A3(1,2)的直线, l4是过原点及点A4(1,-3)的直线.
y
若α为钝角,������ = ������������������° − ������,(设∠������������������������������ = ������)
且������������ > ������������, ������������ < ������������,
y2
P2 (x2 , y2 )
新课讲授
如何刻画直线的倾斜程度
问题1 在直角坐标系中,过点 P 的一条直线绕点 P 旋转, 不管旋转多少周,它对x轴的相对位置有几种情形? 答 它与x轴的相对位置关系有三种:相交、垂直、平行.
问题2 已知直线 l 经过点P,直线l 的位置能够确定吗? 答 不确定.过一个点有无数条直线. 问题3 这些直线之间有什么位置上的区别? 它们相对于x轴的倾斜程度不同.
由������������������ > ������及������������������ > ������知,直线AB和CA的倾斜角均为锐角;
由������������������ < ������知,直线BC的倾斜角为钝角.
跟踪训练
斜率公式的应用
练习1 已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x 等于 ( C ) (A)-1(B)1(C)-3(D)3
������−������ ������
=
������,解得:x=-3.故选C.
小结:斜率相等可以作为判断三点是否共线的依据
典例精析
斜率公式的应用
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4.
分析:找出直线异于原点的点与原点相连接即可画出这些直线.
结论:当������������° < ������ < ������������������°时,k<0.
新课讲授
直线的斜率公式的推导
问题7 已知一条直线上的两点坐标P1(x1, y1),P2(x2, y2),x1≠x2,如何计算斜率 k?
同样,当������������������������的方向向上时,也有������������������������=������������������������−−������������������������成立.
<
������������.
坡度(比)的本质就是倾斜角的正切值.
2m 3m
3m 4m
新课讲授
直线的斜率的定义
直线的斜率的定义: 当直线 l 的倾斜角 α 不等于90°时, 我们把倾斜角 α 的正切值叫做直线 l 的斜率. 斜率通常用小写的字母 k 表示,
即k=tan α(α≠90°). 当倾斜角α=90°时,直线 l 的斜率不存在.
解析
解析几何
几何 解析几何 解析几何
1.1直线的倾斜角与斜率
学习目标
三维目标及重难点分析
1.知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率 的概念. (2)理解直线倾斜角的唯一性. (3)理解直线斜率的存在性. (4)斜率公式的推导过程,掌握过 两点的直线的斜率公式.
2.过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题 (几何问题)转化为倾斜角问题, 进而转化为倾斜角的正切,即斜 率问题(代数问题)进行解决,使 学生不断体会“数形结合”的思想 方法.
y
l
α
o
x
注意:①倾斜角α=90°的直线没有斜率,α≠90°的直线才有斜率,斜率是唯一确定的实 数,而且倾斜角不同,直线的斜率不同,因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.
②如果直线的斜率是否存在不明确,要分斜率是否存在进行讨论.
新课讲授
Baidu Nhomakorabea
直线的斜率公式的推导
问题7 已知一条直线上的两点坐标P1(x1, y1),P2(x2, y2),x1≠x2,如何计算斜率k?
解:因为������������������
=
������−������ ������−������
=
������, ������������������
=
������−������ −������−������
=
−
������−������,
������
又A、B、C三点共线,
所以kAB=kAC,即−
如何描述直线相对于x轴的不 同的倾斜程度呢?
新课讲授
直线倾斜角的定义
直线的倾斜角 当直线与x轴相交时, 我们取x轴为基准,x轴的正方向与 直线 l向上的方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角. 并规定:直线 l与 x 轴平行或重合时, 它的倾斜角为0°。 从而可得直线的倾斜角的范围是 0°≤α<180°.
典例精析
例1 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判 断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
典例精析
斜率公式的应用
例1 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断
这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
分析:直接利用斜率公式求解,再利用斜率的符号判断角. y
学习目标
三维目标及重难点分析
3.情感、态度与价值观 (1)通过直线倾斜角的概念的引入学习 直线倾斜角与斜率的关系,培养学生 观察、探索能力,运用数学语言表达 能力,数学交流与评价能力. (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的 推导,帮助学生进一步理解数形结合 的思想,培养学生树立辩证统一的
观点,培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神. [重点] 直线的倾斜角和斜率概念以及 过两点的直线的斜率公式. [难点] 过两点的直线斜率公式的推导.
新课讲授
坡度(比)与倾斜程度的关系
问题6 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?
用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度” (倾斜程度),即坡度(比)=升 前高 进量 量 .
如右图所示的两个楼梯,“进3m升2m”比“进4m 升3m”的坡相比,哪个更陡呢?
显然后者陡一些,因为������
������
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°,斜率k不存在.
新课讲授
直线的斜率与倾斜角的关系
问题10 直线的斜率与直线的倾斜角有怎样的关系呢?
二者从不同角度刻画了直线的倾斜程度, 倾斜角用角表示,斜率用实数表示. 斜率k随着倾斜角α的变化规律为: 当α=0°时,k=0; 当0°<α<90°时,0<k<+∞, 且k随着α的增大而增大; 当α=90°时,k不存在; 当90°<α<180°时,-∞<k<0, 且k也是随着α的增大而增大.
y
y
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
O
x
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
O
x
说明:此公式与两点坐标的顺序无关.
新课讲授
直线的斜率公式的推导
问题8 当直线P1P2平行于x轴,或与x轴重合 时,该公式还适用吗?为什么?
������������ ������������,������������
=
������������−������������ ������������−������������
<
������,
所以k=tan������=−
������������−������������ ������������−������������
=
������������������������−−������������������������.
− −
������������ ������������
>
������.
结论:当������° ≤ ������ < ������������°时,斜率������ ≥ ������.
新课讲授
直线的斜率公式的推导
问题7 已知一条直线上的两点坐标P1(x1, y1),P2(x2, y2),x1≠x2,如何计算斜率 k?
������
=
������������ ������������
− −
������������ ������������
ሺ������������≠
������������ሻ
公式特点:
(1)与两点坐标的顺序无关;
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意不同的两点的坐标来表示,
而不需要求出直线的倾斜角;
������ = ������������������ ������ = ������������������∠������������������������������
=
|������������������| |������������������|
=
������������ ������������
y
������2 ������2,������2
答:适合.因为此时y1=y2,
O
x
斜率
k
=
������������−������������ ������������−������������
=
������.
问题9 当直线平行于y轴,或与y轴重合
时,公式还适用吗?
������������ሺ������������, ������������ሻ
y ������������ ������������
l1
������������
O
������������ x
������������
������������ ������������
典例精析
倾斜角与斜率之间的关系的应用
例3 已知点P(-1,2),A(-2,-3),B(3,0),经过点P的直线 l与线段AB有公共点时,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
y
y2
P2 (x2 , y2 )
y1
P1(x1, y1) Q(x2 , y1)
o x1
x
x2
如图,若α为锐角,������ = ∠������������������������������, 且������������ < ������������,������������ < ������������. 在������������ △ ������������������������������中,
=
− ������
������
.
直线CA的斜率������������������
=
−������−������ ������−������
=
−������ −������
=
������.
小结: 斜率B为正,倾斜角为锐A角; 斜率为负,倾O斜角为钝角; 斜率为0,倾斜角C为0°; x
斜率不存在时,倾斜角为直角.
y x
答:不适用,因为此时x1=x2,分母为0, ������2 ������2,������2
O
斜率k不存在.
新课讲授
直线的斜率公式的推导
直线斜率公式
经过两点������������ ������������,������������ , ������������ ������������,������������ (������������≠������������)的直线的斜率公式
新课讲授
平面直角坐标系中确定直线的条件探究
问题4 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? ①每一条直线都有确定的倾斜角; ②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角; ③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.
问题5:一个点能确定一条直线的位置吗? 已知直线的倾斜角能确定一条直线的位置吗? 要确定一条直线位置,需要哪些几何要素呢? 答 均不能.要确定直角坐标系中一条直线 的位置的几何要素是:直线上一点以及它的倾斜角,二者缺一不可.
解:直线AB的斜率������������������
=
������−������ −������−������
=
−������ −������
=
������ ������
.
直线BC的斜率������������������
=
−������−������ ������−ሺ−������ሻ
=
−������ ������
tan������=tan(180°−������)= −tan������.
x y1
P1(x1, y1)
Q(x2 , y1)
o x2 x1
在������������
△
������������������������������中,tan������
=
|������������������| |������������������|