3.1.1直线的倾斜角与斜率(优质课比赛课件)
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3.1.1直线的倾斜角与斜率课件(新人教A版必修2)
0 k tan 0 0
0 90 k tan 0
90 tan (不 存 在) k不 存 在
90 180 k tan 0
4、斜率公式： k y2 y1 (或k y1 y2 )
A3 A1
O A2
lA44 l2
则：k y 0 1 y 1
1 0
x 所以过原点和A1 (1,1) 画直线即可
说明：也可设其它特殊点
应用与实践
例 3 从 M2, 2 射出一条光线 ,经过 x 轴反射
后过点 N( 8, 3 ) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
y
P1(x1, y1)
Q(x1, y2 )
P2 (x2, y2 )
o
x
(3)
y P1(x1, y1)
Q(x1, y2 )
P2 (x2 ,
y2 )
o (4)
x
3、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线斜率公式：
1
3．(填空题)已知三点 A(-2，3)，B(3，-4m)，C( 2 ，m) 在同一条直线上，则实数 m＝_____1____． 2
问题3：
如果知道直线上的两点，怎么样来求 直线的斜率(倾斜角)呢？
探究新知：由两点确定的直线的斜率
锐角
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
k tan
能不能构造
如图一个，直当角α为三锐角时，
角形去求？
倾斜角与斜率ppt课件
2．注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于x轴这种 情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决 问题.
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25
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解析 有两种情况： ①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直 线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直 线l的倾斜角为120°. 答案 60°或120° [规律方法] (1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图 形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况． (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜ 90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．
又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，
所以 α 的取值范围是 45°≤α≤135°.
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类型三 斜率公式的应用
【例 3】 已知实数 x，y 满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求xy的最 大值和最小值．
[思路探索] 化xy＝xy－－00利用斜率公式数形结合求解．
答案 D
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5．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜
角为60°.
解 ①当点 P 在 x 轴上时，设点 P(a，0)，
∵A(1，2)，∴k＝0a－ －21＝a－－21.
又∵直线 PA 的倾斜角为 60°， ∴tan 60°＝a－－21.解得 a＝1－233.
∴点
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新知导学
1．倾斜角的概念和范围
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解析 有两种情况： ①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直 线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直 线l的倾斜角为120°. 答案 60°或120° [规律方法] (1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图 形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况． (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜ 90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．
又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，
所以 α 的取值范围是 45°≤α≤135°.
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类型三 斜率公式的应用
【例 3】 已知实数 x，y 满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求xy的最 大值和最小值．
[思路探索] 化xy＝xy－－00利用斜率公式数形结合求解．
答案 D
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5．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜
角为60°.
解 ①当点 P 在 x 轴上时，设点 P(a，0)，
∵A(1，2)，∴k＝0a－ －21＝a－－21.
又∵直线 PA 的倾斜角为 60°， ∴tan 60°＝a－－21.解得 a＝1－233.
∴点
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1．倾斜角的概念和范围
3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件
l2的斜率k2 tan1200 tan(1800 600 ) tan600 3.
2019/10/31
26 26
知识小结
倾斜角
斜率 两点间斜率公式
作业：课本p89 A组1,2,3,4,5
2019/10/31
27 27
区别在哪里呢？
y
l
OP
x
2019/10/31
55
问题引入
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述 直线的倾斜程度呢？
y
l
OP
x
2019/10/31
66
直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
x1 o x2 x
答：成立，因为分 子为0，分母不为0，
K=0
2019/10/31
18 18
思考？
90, tan90(不存在)
k不存在
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾 斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜 率表示直线的倾斜程度．
2019/10/31
13 13
两点的斜率公式
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且
x1 ≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k．
20 20
直线倾斜角和斜率(优质课比赛)PPT教学课件
y2
斜率不存在，因为分母为0。
y1
P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x
14
典型例题
例1 如图 ，已知 A( 3,2), B( 4,1), C (0,1) ，求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角． 解：直线AB的斜率 1 2 1 k AB ; 43 7 直线BC的斜率 11 2 1 k BC ; 0 ( 4 ) 4 2 1 2 3 1; 直线CA的斜率 kCA 03 3 由 k AB 0 及 kCA 0 知，直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角；由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
x1 x2 , y1 y 2
| P2 Q | y 2 y1 t an |P x2 x1 1Q |
11
两点的斜率公式
y1 y2 . tan tan(180 ) tan
在直角 P1 P2Q 中
| QP2 | y2 y1 y2 y1 tan | P1Q | x1 x2 x2 x1
A4
l2
课堂小结:
１．直线倾斜角的定义：
X轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ２．直线倾斜角的取值范围：
0 180
３．直线斜率的定义：
0 0 90 90 90 180
k tan
k 0 k 0 没有斜率 k 0
设 x1 1 ，则 y1 1 ，于是 A1 的坐标是(1,1),过原 点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 ． l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线，l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线， l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线． 16
斜率不存在，因为分母为0。
y1
P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x
14
典型例题
例1 如图 ，已知 A( 3,2), B( 4,1), C (0,1) ，求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角． 解：直线AB的斜率 1 2 1 k AB ; 43 7 直线BC的斜率 11 2 1 k BC ; 0 ( 4 ) 4 2 1 2 3 1; 直线CA的斜率 kCA 03 3 由 k AB 0 及 kCA 0 知，直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角；由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
x1 x2 , y1 y 2
| P2 Q | y 2 y1 t an |P x2 x1 1Q |
11
两点的斜率公式
y1 y2 . tan tan(180 ) tan
在直角 P1 P2Q 中
| QP2 | y2 y1 y2 y1 tan | P1Q | x1 x2 x2 x1
A4
l2
课堂小结:
１．直线倾斜角的定义：
X轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ２．直线倾斜角的取值范围：
0 180
３．直线斜率的定义：
0 0 90 90 90 180
k tan
k 0 k 0 没有斜率 k 0
设 x1 1 ，则 y1 1 ，于是 A1 的坐标是(1,1),过原 点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 ． l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线，l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线， l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线． 16
3.1.1直线的倾斜角与斜率 公开课一等奖课件
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点： (1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的 o 斜率不存在，倾斜角= 90 ，直线与 x轴垂直； (2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换， 但分子与分母不能交换； (3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线 上两点的坐标求得； (4) 当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角 o =0 ，直线与x轴平行或重合.
o o o
l的斜率为
3或 3
.
练习 3．已知等边三角形ABC，若直线AB平 行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的 倾斜角为 ，斜率为 ，另两边AC、 BC所在的直线的倾斜角为 ， 斜率为 .
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位 置能确定吗? y l P
O
x
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位 置能确定吗? y l (1)它们都经过点P. P (2)它们的‘倾斜程度’不同.
O
x
怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如 何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
y2 y1 k x 2 x1
思考: (1)直线的倾斜角确定后，斜率k的值与点 P1 ，P2的顺序是否有关? (2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时，上 y y 2 1 还适用吗? 述公式 k x 2 x1
y P
l
O
x
讨论：倾斜角的取值范围是什么呢?
讨论：倾斜角的取值范围是什么呢? 0 ≤＜180
o o
高中数学3.1.1-1直线的倾斜角和斜率优秀课件
2、倾斜角取值范围是：001800 ,[00,1800)
3、倾斜角的作用是：表示直线倾斜程度. 7
1、直线的倾斜角
y
l
仅一点不能确定一条直线
仅倾斜角能不能确定一条直线? 不能！
ααααα
x O
确定一条直线的条件是一点和倾斜角,
二者缺一不可。
8
生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验， 常常说这个坡好陡。你能用我们所学的 知识来解释吗？
系为 k2 >k3 >k1
l2
l3
l
1
(2) 在图中的直线l1, l2, l3的倾斜角α1, α2, α3的大 小关系为 α1 >α2 >α3
13
设 P 1(x1,y1)P ,2(x2,y2)是直 l上线 的两(个 x1x不 2)
y
l
ly
(x2,y2) P 2
P 2 (x2,y2)
(x1,y1)P 1
引言：
• 在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何 图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质.
• 现在我们采用另一种研究方法——坐标法来研 究几何问题。
• 坐标法是在坐标系的根底上，把几何问题转化 为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质 的一种方法，
• 这门科学称为解析几何。
以代数 的方法 以平面直角坐标系为桥梁
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
12
练习
(1) 在图中的直线l1, l2, l3的斜率k1, k2, k3的大小关
3.1.1直线的倾斜角与斜率(优质课比赛课件)
解：由斜率公式得
7 x
5 3
2,
y5
1 3
2.
所以xy
4. 3.
课堂练习 P.86 T1,2,3,4.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分
别为1，-1，2及-3的直线 l1, l2 , l3 及 l4．
解：取 l1上某一点为 A1 的
坐标是 ( x1, y1)，根据斜率公式 有:
1.直线的倾斜角的定义 2.直线的斜率的定义 3.两点间斜率公式
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
一个点和直线的倾斜程度
用什么量来刻画直线 的倾斜程度？
y l3 l2
3
l1
2
1
O
P
x
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为 基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．
y
a
o
α2 x
yl
x O
ly
x
O
yl
x O
y
l
x O
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为
1 y1 0 , x1 0
即 x1 y1.
y
l3 A3
l1
A1
A2 l4
A4
x
l2
设 x1 1 ，则 y1 1 ，于是 A1的坐标是 (1,1) ．过 原点及 A1(1,1) 的直线即为 l1 ．
l2是过原点及 A2( x2, y2 ) 的直线，l3 是过原点及 A3( x3, y3 )的直线， l4 是过原点及 A4( x4, y4 ) 的直线．
斜率公式为： k y2 y1 . x2 x1
直线的倾斜角与斜率直线方程公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
第21页
求直线方程办法主要有下列两种：(1)直接法：依据已知条 件，选择适当直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系 数法：先设出直线方程，再依据已知条件求出待定系数，最 后代入求出直线方程．
第22页
[变式探究] (1)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂
直，则l方程是( )
A. 3x＋2y－1＝0
第29页
奇思妙想：本例条件不变，当|OA|＋|OB|取最小值时，求
直线l方程． 解：设 l
的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，
则由 P 在 l 上得2a＋1b＝1，|OA|＋|OB|＝a＋b，
∴a＋b＝(a＋b)2a＋1b＝3＋ab＋2ab≥3＋2 2.
当且仅当ab＝2ab即 a＝ 2b 时“＝”成立，此时 b＝ 2＋
第16页
(1)直线倾斜角α(α≠90°)，斜率k＝tanα，知其一范围可求另一 个范围． (2)与x轴垂直直线倾斜角α＝90°，斜率k不存在；当α＝0°时， k＝0；当0°<α<90°时，k>0；90°<α<180°时，k<0.
第17页
[变式探究] 已知直线l通过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点， 那么直线l倾斜角取值范围是________．
∴S△AOB＝12ab. 又点 P 在直线 l 上，∴2a＋1b＝1. ∵a>0，b>0，∴2a＋1b≥2 a2b， 即 2 a2b≤1，∴ab≥8.
第28页
即 S△AOB 最小值为 4，当且仅当2a＝1b＝12，即 a＝4，b＝2 时取“＝”，此时，直线方程为 x＋2y－4＝0.
[答案] x＋2y－4＝0
B. －7
C. 3
求直线方程办法主要有下列两种：(1)直接法：依据已知条 件，选择适当直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系 数法：先设出直线方程，再依据已知条件求出待定系数，最 后代入求出直线方程．
第22页
[变式探究] (1)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂
直，则l方程是( )
A. 3x＋2y－1＝0
第29页
奇思妙想：本例条件不变，当|OA|＋|OB|取最小值时，求
直线l方程． 解：设 l
的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，
则由 P 在 l 上得2a＋1b＝1，|OA|＋|OB|＝a＋b，
∴a＋b＝(a＋b)2a＋1b＝3＋ab＋2ab≥3＋2 2.
当且仅当ab＝2ab即 a＝ 2b 时“＝”成立，此时 b＝ 2＋
第16页
(1)直线倾斜角α(α≠90°)，斜率k＝tanα，知其一范围可求另一 个范围． (2)与x轴垂直直线倾斜角α＝90°，斜率k不存在；当α＝0°时， k＝0；当0°<α<90°时，k>0；90°<α<180°时，k<0.
第17页
[变式探究] 已知直线l通过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点， 那么直线l倾斜角取值范围是________．
∴S△AOB＝12ab. 又点 P 在直线 l 上，∴2a＋1b＝1. ∵a>0，b>0，∴2a＋1b≥2 a2b， 即 2 a2b≤1，∴ab≥8.
第28页
即 S△AOB 最小值为 4，当且仅当2a＝1b＝12，即 a＝4，b＝2 时取“＝”，此时，直线方程为 x＋2y－4＝0.
[答案] x＋2y－4＝0
B. －7
C. 3
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1.直线的倾斜角的定义 2.直线的斜率的定义 3.两点间斜率公式
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
| P1Q | x1 x2
x2 x1
tan y2 y1 .
x2 x1
x1 x2 ,
两点的斜率公式
同样，当 P2P1的方向向上时，也有
k tan a y2 y1 . x2 x1
两点的斜率公式
k tan a y2 y1 x2 x1
1．已知直线上两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，运用 上述公式计算直线 AB•斜率时，与 P1, P2两点坐标的顺
22
k (,)
k
π O
2
ππ
2
a
3
2
a0
k 0
0a π 2
k 0
π aπ 2
k 0
a π 时，kk不存在 2
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是(,)
（）
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有斜率. （）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
一个点和直线的倾斜程度
用什么量来刻画直线 的倾斜程度？
y l3 l2
3
l1
2
1
O
P
x
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为 基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．
y
a
o
α2 x
yl
x O
ly
x
O
yl
x O
y
l
x O
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是0或π ( )
k tan
给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1
≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k？
l
y
P2（x2，y2）
P1（x1，y1） Q （x2，y1）
O
x
两点的斜率公式
当 为锐角时， QP1P2, x1 x2, y1 y2.
解：由斜率公式得
7 x
5 3
2,
y5
1 3
2.
所以xy
4. 3.
课堂练习 P.86 T1,2,3,4.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分
别为1，-1，2及-3的直线 l1, l2 , l3 及 l4．
解：取 l1上某一点为 A1 的
坐标是 ( x1, y1)，根据斜率公式 有:
在有平没面有直其角他坐方标法系确中定，一如条何直确线定的一位条置直？ 线的位置？ y
l
Q
O
P
x
1.经过原点的直线有多少条 ？彼此间的位置关系？
2.与x轴正方向所成的角 为300的直线有多少条？ 彼此间的位置关系？
3.经过原点的直线并与x轴正方向所成的角为 300的直线有多少条？
你发现怎样确定一条直线？
基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α
叫做直线 l 的倾斜角．
y
规定：当直线l与y轴垂直时， a 它的倾斜角为 00.
0
o
α2 x
思考
直线倾斜角的范围？
0o,180o
如果两条直线平行，它们的倾 斜角具有怎样的关系？反之呢？
y l2 l1
l1 // l2
O
α2
α1 x
1 2
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
在直角 △ P1P2Q 中
tan
tan QP1P2
| QP2 | | P1Q |
y2 x2
y1 . x1
两点的斜率公式
当 为钝角时， 180 ,
y1 y2 . tan tan(180 ) tan.
在直角△ P1P2Q 中
tan | QP2 | y2 y1 y2 y1 ，
1 y1 0 , x1 0
即 x1 y1.
y
l3 A3
l1
A1
A2 l4
A4
x
l2
设 x1 1 ，则 y1 1 ，于是 A1的坐标是 (1,1) ．过 原点及 A1(1,1) 的直线即为 l1 ．
l2是过原点及 A2( x2, y2 ) 的直线，l3 是过原点及 A3( x3, y3 )的直线， l4 是过原点及 A4( x4, y4 ) 的直线．
坡度（比）
升高量 前进量
升
高
量
前进量
例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更
陡一些，因为坡度（比） 3 2 . 22
升 高
坡度（比）
升高量 前进量
前进
直线的斜率
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条
直线的斜率.
k tan
([a0, 2π2))
( 2
,
)
a0
k tan
[0, π) ( π , π)
2 4
1; 2
直线CA的斜率
kCA
1 2 03
3 3
1;
由 kAB 0 及 kCA 0 知，直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角；由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
练习1
已知直线 l经过三点 p1(3,5), p2 (x,7), p3 (1, y),若直线 l
的斜率为 k 2,求.x, y.的值.
斜率公式为： k y2 y1 . x2 x1
k y2 y1 x2 x1
例1 如图 ，已知 A(3,2), B(4,1), C(0,1)，求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
k AB
1 2 43
1; 7
直线BC的斜率kBC Nhomakorabea11 0 (4)
序有关吗？
无关
2．当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜 率公式还适用吗？为什么？
不适用
两点的斜率公式
k tan a y2 y1 x2 x1
当直线 P2P1 与 x轴平行或重合时，上述式子还成
立吗？为什么？
成立
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )( x1 x2 ) 的直线的