最新圆的标准方程(优质课比赛课件)
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
12.2(1)圆的标准方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
方程. 3.已知圆 C 的直径的两个端点是 A(1, 2) ， B(3, 4) ，求圆 C 的轨迹方程. 4.已知圆的直径的两个端点是 A(x1, y1) ， B(x2, y2) ，求圆的轨迹方程. 5.圆过点 (1, 2) ，且与两坐标轴相切，求圆的轨迹方程.
第8页
如图，求以 C 1,2 为圆心，且和直线 l : 2x 3y 5 0 相切的圆的方程.
第4页
例 3 ：(书 P38—例 3)
如图，已知 M x0, y0 O 为圆 C ：x2 y2 r2 上一点，求过点 M 的圆 C 的切线
l 的方程.
第5页
例 4：(书 P38—例 2) 造船时，在船体放样中， 要画出甲板圆弧线，由于 这条圆弧线的半径很大， 无法在钢板上用圆规画 出，因此需要先求出这条 圆弧线的方程，再用描点 法画出圆弧线，如图，已 知 圆 弧 AB 的 半 径 r 29 米，圆弧 AB 所对的弦长 l 12 米，以米为单位，建 立适当的坐标系，并求圆 弧 AB 的方程(答案中数据 精确到 0.001米)
第6页
(三)课堂练习 练 1：(书 P39/练习 12.2(1)). 练 2：若直线 x y r 和圆 x2 y2 r(r 0) 相切，求实数 r 的值.
(四)课堂小结
第7页Biblioteka 三、巩固练习 1.练习册 P21/习题 12.2( A 组)——1，2，3，4，5.
2. 求过点 A(2, 3) ，B(2, 5) 且圆心在直线 x 2y 3 0 上的圆的轨迹
____________________________________
2.圆 x2 y2 r2 上的点 x0, y0 处的切线方程： __________________________________________
第8页
如图，求以 C 1,2 为圆心，且和直线 l : 2x 3y 5 0 相切的圆的方程.
第4页
例 3 ：(书 P38—例 3)
如图，已知 M x0, y0 O 为圆 C ：x2 y2 r2 上一点，求过点 M 的圆 C 的切线
l 的方程.
第5页
例 4：(书 P38—例 2) 造船时，在船体放样中， 要画出甲板圆弧线，由于 这条圆弧线的半径很大， 无法在钢板上用圆规画 出，因此需要先求出这条 圆弧线的方程，再用描点 法画出圆弧线，如图，已 知 圆 弧 AB 的 半 径 r 29 米，圆弧 AB 所对的弦长 l 12 米，以米为单位，建 立适当的坐标系，并求圆 弧 AB 的方程(答案中数据 精确到 0.001米)
第6页
(三)课堂练习 练 1：(书 P39/练习 12.2(1)). 练 2：若直线 x y r 和圆 x2 y2 r(r 0) 相切，求实数 r 的值.
(四)课堂小结
第7页Biblioteka 三、巩固练习 1.练习册 P21/习题 12.2( A 组)——1，2，3，4，5.
2. 求过点 A(2, 3) ，B(2, 5) 且圆心在直线 x 2y 3 0 上的圆的轨迹
____________________________________
2.圆 x2 y2 r2 上的点 x0, y0 处的切线方程： __________________________________________
圆的标准方程-PPT课件
能力提高
1.已知A(-2,0),B(2,0),求过A,B两点的半径最小 的圆的方程.
2.求过A(2,0),半径为2的圆的圆心的轨迹方 程.
3.求过点A(-1,3),面积为49π的圆的圆心的轨 迹方程.
4.如果实数x、y满足方程(x 3)2 ( y 3)2 6,求：
(1) y 的最大值与最小值； x
(2)几何法． 通过研究已知条件，结合圆的几何性质，求得圆的基本量 (圆心坐标，半径长)，进而求得方程． 圆的常用的几何性质：①圆心到圆上的点的距离等于半径； ②圆心到圆的切线的距离等于半径；③圆的弦的垂直平分线过 圆心；④两条弦的垂直平分线的交点为圆心；⑤r2＝d2＋(2l )2， 其中 r 为圆的半径，d 为弦心距，l 为弦长．
(2)x y的最大值与最小值.
5.设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，则 x－12＋y－12的最大值为________．
因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此 x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离．
易知点(1,1)在圆 x2＋(y＋4)2＝4 外，结合右图易得 x－12＋y－12的最大值为 1－02＋1＋42＋2＝ 26＋2.
a 46 5 b 93 6
2
2
圆心坐标为（5，6）
P1(4, 9) C
P2 (6, 3)
r CP1 （4 5）2 （9 6）2 10
圆的方程为
CM 10 CN 13 10
（x 5）2 （y 6）2 10
CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
圆心：直径的中点
(5 a)2 (1 b)2 r 2
(7 a)2 (3 b)2 r 2
圆的标准方程公开课优质课比赛获奖课件ppt
对数学和方程感兴 趣的成年人
从事数学教育工作 者和研究者
对圆的标准方程有 基本了解的人群
课程特色
突出重点：围绕教学重点展开，帮助学生掌握核心知识点 注重实践：通过实例和练习，增强学生的实际操作能力 激发兴趣：采用生动有趣的方式，激发学生的学习兴趣和动力 拓展思维：引导学生思考和探索，培养学生的创新思维和解决问题的能力
05
课程亮点
知识点与实际应用结合紧密
数学知识点与实际应用紧 密结合
培养学生解决实际问题的 能力
增强学生的数学应用意识
帮助学生更好地理解和掌 握数学知识
注重学生思维能力培养
引导学生自主思考 培养创新思维 提倡开放式问题教学 鼓励学生发挥想象力
多种教学方法综合运用
讲授法：教师讲授理论知识，帮助学生理解概念和公式。 练习法：学生通过练习题目，巩固知识，提高解题能力。 案例分析法：通过分析典型案例，让学生深入了解问题的本质和解决方法。
02
课程大纲
圆的基本概念
圆的定义 圆的标准方程 圆的应用 圆的拓展知识
圆的标准方程
课程介绍
教学内容
教学目标 教学方法
圆的标准方程的求解方法
定义圆的标准方程 求解圆的标准方程 举例说明求解方法 与其他方程的求解方法进行比较
圆的性质及其应用
圆的基本性质 圆的位置关系 圆的度量关系 圆的作图问题
观察法：通过观察学生的表 现，了解学生的学习情况。
调查法：通过调查学生的反馈 意见，了解教师的教学情况。
考试法：通过考试检测学生的 学习成果，了解学生的学习情
况。
教学重难点及应对策略
教学重点：掌握圆的标准方程的形式及其求解方法
教学难点：理解圆的标准方程的实际应用及其意义
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
圆的标准方程PPT(修改好的优质课一等奖)
0)的圆心,半径是？
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5 ,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是：
( x 2) 2 ( y 3) 2 25
2 2 ( x 2 ) ( y 3 ) 25 把 M1 (5,7)的坐标代入方程 左右两边相等，点 M 1的坐标适合圆的方程，所以点
变式三、 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 解：设所求圆的方程是 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
)
B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？ 尝试高考（2012重庆高考题） 变式二 以点（2，-1）为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 （ ）
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3
圆心：两条直线的交点 半径：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
圆的标准方程获奖课件
已知圆心C(a，b)及圆的半径r, 如何确定圆的方程。
x a2 y b2 r2
活动三：抢答游戏
课堂检测：
• 1.圆心在点C（2,0），半径r= 10 的圆的标 准方程是 ____________。
• 2.圆 x2 y2 5 的圆心坐标是_____半径是
____。 • 3. 过点A(2，-5),圆心是点C(0，-3) ，圆的
中等职业教育改革国家规划新教材
圆的标准方程
**娟（13*********9）
活动一：欣赏和谐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ美
美 丽 的
圆
学习目标
1.掌握圆的标准方程 2.根据所给条件，求圆的标准方程
活动二：画圆
体会：
1.什么是圆？
到定点距离等于定长的点的轨迹。
2.圆的基本要素？ 圆心 半径
动画演示：
圆心坐标及半径的变化对方程的影响。
标准方程是 ____________。
恭喜你，"圆"你学会了！
2.4.1圆的标准方程课件(人教版)
[0,1) 范围是___________.
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
高二数学圆的标准方程精品获奖课件 公开课比赛优质课件
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。
建系、设点
条件立式
代换 化简方程 查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的O 条件可表示为：
二圆
2 .5 圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并能 根据条件写出圆的标准方程。
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上 任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (x-3)2+(y-4)2=5
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习：
写出圆的圆心坐标和半径：
(1) (x+1)2+(y-2)2=9
(-1,2) 3
(2)(x+a)2+y2=a2
r2=14.52
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
建系、设点
条件立式
代换 化简方程 查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的O 条件可表示为：
二圆
2 .5 圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并能 根据条件写出圆的标准方程。
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上 任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (x-3)2+(y-4)2=5
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习：
写出圆的圆心坐标和半径：
(1) (x+1)2+(y-2)2=9
(-1,2) 3
(2)(x+a)2+y2=a2
r2=14.52
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
圆的标准方程(优质课比赛)课件
圆的标准方程(优质课比赛)课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材六年级下册的“圆”章节。
具体内容为：圆的标准方程。
通过本节课的学习，让学生掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的含义，并能运用圆的标准方程解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的含义。
2. 培养学生运用圆的标准方程解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：圆的标准方程的推导过程，圆的标准方程的含义。
难点：圆的标准方程在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、文具。
五、教学过程1. 情景引入：利用多媒体课件展示生活中的圆形物体，如硬币、篮球等，引导学生观察这些圆形物体的共同特点。
2. 知识讲解：讲解圆的定义，引导学生理解圆的概念。
然后，通过推导，讲解圆的标准方程的得出过程，让学生理解圆的标准方程的含义。
3. 例题讲解：出示例题，如“已知一个圆的半径为5cm，求该圆的标准方程。
”引导学生运用所学的知识解决实际问题。
4. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，检测学生对圆的标准方程的掌握情况。
5. 课堂小结：六、板书设计板书内容：圆的标准方程板书设计：圆的标准方程：(x a)² + (y b)² = r²其中，a为圆心的横坐标，b为圆心的纵坐标，r为圆的半径。
七、作业设计1. 题目：已知一个圆的圆心坐标为(2,3)，半径为4cm，求该圆的标准方程。
答案：(x 2)² + (y 3)² = 162. 题目：已知一个圆的圆心坐标为(3,1)，半径为5cm，求该圆的标准方程。
答案：(x + 3)² + (y 1)² = 25八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的圆形物体引入圆的概念，引导学生理解圆的标准方程的含义，并通过例题讲解和随堂练习，让学生掌握圆的标准方程的运用。
第四章 4.1 4.1.1 圆的标准方程(优秀经典公开课比赛课件)
－ 2－ 5 直线 AB 的斜率 kAB＝ ＝－ 7，因此线段 AB 的垂直平分线的方程 1－ 0 3 1 1 是 y－ ＝ x－ ，即 x－ 7y＋ 10＝ 0.同理可得线段 BC 的垂直平分线的 2 7 2 方程是 2x＋ y＋ 5＝ 0. x－ 7y＋ 10＝ 0， 由 得圆心的坐标为 (－ 3,1)， 2 x ＋ y ＋ 5 ＝ 0
又圆的半径长 r＝ － 3－ 02＋ 1－ 52＝ 5， 故所求圆的标准方程是 (x＋ 3)2＋ (y－ 1)2＝ 25.
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探究二 点与圆的位置关系 [典例 2] 已知圆 C 的圆心为 C(－3，－4)，且过原点 O，求圆 C 的标准
方程，并判断点 M1(－1,0)，M2(1，－1)，M3(3，－4)与圆 C 的位置关系．
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01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
ห้องสมุดไป่ตู้
课时作业
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[自主梳理] 一、圆的定义及标准方程 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于 定长 的点的轨迹是圆， 定点 是 圆心， 定长 是圆的半径． 2．圆的标准方程
2 2 2 (1)以 C(a，b)为圆心，r(r＞ 0)为半径的圆的标准方程为 (x－a) ＋(y－b) ＝r .
(2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
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二、点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置有如表所示 的对应关系：
4.1.2 圆的一般方程(优秀经典公开课比赛课件)
x
课堂小结
圆的标准方程
圆的一般方程
展开
x a2 y b2 r2
配方
x2 y 2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0
作业：
O
. .B(4,3)
M(x,y) x
练习:过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0
的割线，交圆C于A、B两点.求线段AB的中
点P的轨迹.
注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.
例3.已知x2 y2 4x 6 y 12 0, x, y R，求
1x2 y2的最值；2 y 的最值.
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
ห้องสมุดไป่ตู้
0表示以点(
D 2
,
E )为圆心， 2
1 D2 E2 4F为半径的圆. 2
(2)当D2 E 2 4F 0时,
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E) 2
(3)当D2 E 2 4F 0时,
方程x2 y 2 Dx Ey F 0不表示任何图形.
圆的一般方程：
x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0
特点 ：（1）x2和 y 2的系数相同，都不为0．
（2）没有形如 xy 的二次项．
结论: 二元方程Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表
示圆 A B 0,C 0, D2 E2 4F 0.
x2 y 2 Dx Ey F 0
课堂小结
圆的标准方程
圆的一般方程
展开
x a2 y b2 r2
配方
x2 y 2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0
作业：
O
. .B(4,3)
M(x,y) x
练习:过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0
的割线，交圆C于A、B两点.求线段AB的中
点P的轨迹.
注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.
例3.已知x2 y2 4x 6 y 12 0, x, y R，求
1x2 y2的最值；2 y 的最值.
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
ห้องสมุดไป่ตู้
0表示以点(
D 2
,
E )为圆心， 2
1 D2 E2 4F为半径的圆. 2
(2)当D2 E 2 4F 0时,
方程x 2
y2
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E) 2
(3)当D2 E 2 4F 0时,
方程x2 y 2 Dx Ey F 0不表示任何图形.
圆的一般方程：
x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0
特点 ：（1）x2和 y 2的系数相同，都不为0．
（2）没有形如 xy 的二次项．
结论: 二元方程Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表
示圆 A B 0,C 0, D2 E2 4F 0.
x2 y 2 Dx Ey F 0
圆的标准方程公开课PPT课件
系呢？
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M在圆A内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆A上 点M在圆A外
第10页/共25页
例2 △ ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
(x 3)2 ( y 2)2 25
第15页/共25页
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
解:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
第8页/共25页
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关
系？
M M
M
A
A
A
|MA|<r 点在圆内
|MA|=r 点在圆上
第9页/共25页
|MA|>r 点在圆外
知识点二：点与圆的位置关系
在平面直角坐标系中,已知点 M (x与0, y圆0 )
A：x a2 y 如b2何 判r2 断点M与圆A的位置关
第22页/共25页
课后作业
课本第124页A组 第2,3,4题。
第23页/共25页
下课了!
第24页/共25页
感谢您的欣赏
第25页/共25页
Y
解：∵ A（4,0），B（0,3），O（0,0）
B3
AB 5, AOB 90
3
3
C(2, ) 2
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M在圆A内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆A上 点M在圆A外
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例2 △ ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
(x 3)2 ( y 2)2 25
第15页/共25页
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
解:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
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知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关
系？
M M
M
A
A
A
|MA|<r 点在圆内
|MA|=r 点在圆上
第9页/共25页
|MA|>r 点在圆外
知识点二：点与圆的位置关系
在平面直角坐标系中,已知点 M (x与0, y圆0 )
A：x a2 y 如b2何 判r2 断点M与圆A的位置关
第22页/共25页
课后作业
课本第124页A组 第2,3,4题。
第23页/共25页
下课了!
第24页/共25页
感谢您的欣赏
第25页/共25页
Y
解：∵ A（4,0），B（0,3），O（0,0）
B3
AB 5, AOB 90
3
3
C(2, ) 2
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何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述
以点A为圆心，r为半径的圆？
rM
P={M||MA|=r}
A
平面上到一个定点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆.
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
求方程的一般步骤： y
圆的标准方程(优质课比赛 课件)
新课引入
1.在平面直角坐标系中，两点确定一条直 线,一点和倾斜角也确定一条直线,那么 在什么条件下可以确定一个圆呢？
圆心和半径
2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用 一个方程来表示，怎样建立圆的方程是 我们需要探究的问题.
新知探究
探究一：圆的标准方程
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几
建系设点
rM
A
找关系式列方程
O
x
化简方程
思考4:对于以点A(a，b)为圆心,,r为半径的圆,由上
可知，若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方
程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点M(x，y)的坐标
适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这
个圆上吗？
y
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
题型一、求圆的标准方程
例1、已知两点A(4，9)、B(6，3),求以AB为
直径的圆的方程.
y
(x-5)2+(y-6)2=10
A(4、9)
B(6、3)
0
x
例2.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C( 2, －8)，求它的外接圆的 方程.
y A
o C
x B
例3.已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B
(2，-2),且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，
求圆C的标准方程.
yl
A
Co
x
B
探究二：点与圆的位置关系
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置 关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位
置关系？
A
A
A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和 圆C：(xa)2(yb)2r2，如何判断点M 在圆外、圆上、圆内？
M r
A
(xa)2(yb)2 r O
x
思考7:方程 (xa)2(yb)2r2 ， (xa)2(yb)2r2 ，
(xa)2(yb)2m
是圆方程吗？
思考8:方程y 4(x1)2与 y4(x1)2 表示的曲线分别是什么？
圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
思考5:确定圆的标准方程需要几个独立条件？ 圆的方程形式有什么特点？ 当圆心在原点时，圆的方程是什么？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
思考4:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
y
r A
o
x
题型二、点与圆的位置关系
例1.写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的 圆的方程，并判断点M(5,-7),N( 5 ,-1) 是否在这个圆上？
课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆 心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)根据条件直接确定a，b，r ； (2)待定系数法确定a，b，r.
4.点与圆的位置关系的判定.
x2+y2=r2
练习
1 (口答) 求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
y
-2
0 2x
C(0、0) r=2
-1 0
x
C(-1、0) r=1
2、写出下列圆的方程: （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 .
(1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5 x,y满 数足方(x程 3)2(y3)2 6,求：
(1) y的最大值与最小 2）值 y 的 ；最 （大值与最小
x
x3
(3)x2 y2的最大值和最小 4）x值 y； 的（ 最大值与最
题型三、动点的轨迹问题
例 1、已A 知 (4,0点 ),P是x圆 2y21上的动 求AP 的终 M的 点轨迹 . 方程