8第八章 抽样推断

2、计算方法（定义公式） 平均指标的抽 样平均误差 抽样成数 平均误差
x
x
M
X

2
p
2 p P
M
3、平均指标抽样平均误差的计算公式：
x

n
x

n 1 n N
2
重复抽样
不重复抽样
随机抽选某校学生 100 人，调查他们的体 例 题一： 重。得到他们的平均体重为58公斤，标 准差为10公斤。问抽样推断的平均误差 是多少？
t Np1 p n 2 2 N p t p1 p
2
例 题 一： 某农场进行小麦产量抽样调查，小麦播种总 面积为1万亩，采用不重复简单随机抽样， 从中抽选了100亩作为样本进行实割实测， 测得样本平均亩产400斤，方差144。 要求： （1）以95.45%的可靠性推断该农场小 麦平均亩产可能在多少斤之间？ （2）若概率保证程度不变，要求抽样 允许误差不超过1斤，问至少应 抽多少亩作为样本？
参数估计
假设检验
（一）调查具有破坏性的场合 （二）对无限总体或总体规模非常大的场合进行调 查 （三）不必要进行全面调查但又需要知道总体的全 面情况时
（四）对全面调查的结果进行核查和修正 （五）对资料时效性要求很强的场合
三、有关抽样的基本概念
（一）总 体 和 样 本
总体----也称全及总体,指所要认识的研究对象全体 ,总体单位总数用“N”表示。 样 本----又称子样,是从全及总体中随机抽取出来， 作为代表这一总体的那部分单位组成的集合体,样 本单位总数用“n”表示,N大于30为大样本. 例如，从10000个商业网点中随机抽取50个进行 观察，样本容量即为50。样本容量是决定样本 数目和抽样误差的主要因素之一。
x 1斤
2 2
t N 则样本单位数： n 2 2 2 xN t
2 2 10000 144 2 544.6亩 2 1 10000 2 144
时, 即：当 x 1斤 F t 为0.9545
至少应抽544.6亩作为样本。
n 可能组成的样本数目M： N
不重复抽样： 又称不回置抽样。 可能组成的样本数目M：
N! n!( N n )!
第二节 抽 样 误 差
一、抽样误差的含义(x-X, p-P)
由于随机抽样的偶然因素使样本各 单位的结构不足以代表总体各单位的结 构，而引起抽样指标和全及指标之间的 绝对离差。
二、影响抽样误差大小的因素 1、总体各单位标志值的差异程度: 在其他条件不变的情况下，总体各单位标 志值的变异程度愈大，抽样误差也愈大， 反之则愈小。 2、样本的单位数 在其他条件不变的情况下，样本单位数 愈多，抽样误差就愈小，反之则愈大。
x
X
x

抽样误差范围 ( 抽样极限误差）△，是用一 定倍数的抽样平均误差来表示的，这个倍数 一般用 t 表示，它是以抽样平均误差为尺度 来衡量的相对误差范围，我们称之为概率度 t。
六、抽样误差的概率度
含义： 抽样误差的概率度是测量抽样估计可靠
程度的一个参数。用符号“ t ”表示。
公式表示： t= Δ μ

p(1 p) n p(1 p) (1 p) n
t
4、计算被估计值的上、下限，对总体参数作 出区间估计。
上限 x 下限 x
t n 2 x
2
2 x
t N n 2 2 2 xN t
2 2
t p1 p n 2 p
2
（t 是极限误差与抽样平均误差的比值）
上式可变形为： Δ = t×μ
（极限误差是 t 倍的抽样平均误差）
说明了在一定的抽样平均误差条件下， 概率度t越大，误差允许的范围就越大，
总体参数落在误差范围内的概率（可能
性）就越大，，则抽样估计的可靠程度
就越大，反之相反。概率度和概率（置
信度、置信概率）成正比，在概率表中
某厂生产一种新型灯泡共2000只，随机 例 题二： 抽出400只作耐用时间试验，测试结果 平均使用寿命为4800小时，样本标准差 为300小时，求抽样推断的平均误差？
例题一 解:
已 知： 则： x
n 100, x 58, 10


n

10 1(公斤) 100
即: 当根据样本学生的平均体重估计全部 学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。
x x
≤
X ≤Leabharlann x xΔ p = │p - P│ p
置信区间 置信区间
抽样成数极限误差：
p －Δ p ≤P≤ p＋Δ
公式： △=∣ x ∣ ∣pP X △=∣ 将上式经过变换，可以得到不等式： -△≤ ≤x +△ P-△≤p≤P+△ X X 将不等式改写成为： -△≤ ≤ +△ △≤P≤p+△
可以查表
t
这一允许误差是以一定的可靠程度 （概率）来保证的。
t＝1时， F（t）＝68.27％ t＝2时， F（t）＝95.45％ t＝3时， F（t）＝99.73％
第三节 抽样估计的方法
一、总体参数的点估计 （优良点估计的标准）
1、无偏性 ：要求所有的可能样本指标的平均 值（样本指标的期望值）与被估计的总体的参 数之间没有偏差 2、一致性 ：随着样本单位数的无限增加， 统计量和未知的总体参数之差的绝对数小于 任意小的数 3、有效性：以统计量估计总体参数时，优良 估计量的方差应该比其他估计量的方差小。
问题一解：
已知：N=10000 n=100 x 400 , 2 144, F t 0.9545 1、计算抽样平均误差
x 2
n 144 100 1 1 1.19斤 n N 100 10000
2、计算抽样极限误差
x t x 2 1.19 2.38斤
结果表明:不重复抽样的平均误差小于重复抽样， 但是“N”的数值越大，则两种方法计算的 抽样平均误差就越接近。
五、抽 样 极 限 误 差
样本指标与总体指标之间可允许的最大误差范围。 计算方法：它等于样本指标可允许变动的上限 或下限与总体指标之差的绝对值。 抽样平均数极限误差： x x X
二、总体参数的区间估计
总体参数区间估计的特点： 估计值 x, p 区间估计三要素 抽样误差范围 x , p
概率保证程度 F t
x , p
三、总体参数区间估计的方法（类型）
（一）根据给定的抽样误差范围,求概率 保证程度
分析步骤： 1、抽取样本，计算抽样指标。
2、根据给定的极限误差范围估计总体 参数的上限和下限。 3、计算概率度。 4、查表求出概率F（t），并对总体参数 作出区间估计。
3、抽样方法 抽样方法不同，抽样误差也不同。一般说
来，重复抽样的误差比不重复抽样的误差
要大。 4、抽样调查的组织形式 选择不同的抽样组织形式，也会有不同 的抽样误差。
三.抽样调查的组织形式
(一)简单随机抽样 按随机原则直接从总体N个单位中抽 取 n 个单位作为样本。 (二)类型抽样（分类抽样） 先对总体各单位按主要标志加以分 组，然后再从各组中按随机的原则抽选 一定单位构成样本。
X
P
Q
x
（二）参 数 和 统 计 量
参数： 指反映总体数量特征的综合指标。
Xf 总体平均数 X f
2 ( X X ) f
研究总体中 的数量标志
总体标准差 研究总体中 的品质标志 总体成数

f
N1 p N
成数标准差 p P(1 P

将总体N个单位分成性质相反的两组，其中， 具有某特征的组的单位数为N1，成数为，不 具有该特征的组的单数为N0，N0=N-N1，成数 为,
4, 成数抽样平均误差的计算公式
采用重复抽样：
p
p 1 p n
采用不重复抽样： p
例 题三：
p 1 p n 1 n N
某校随机抽选400名学生，发现戴眼镜的学 生有80人。根据样本资料推断全部学生中戴 眼镜的学生所占比重时，抽样误差为多大？
例题四：
(三)等距抽样 先按某一标志对总体各单位进行排 队，然后依一定顺序和间隔来抽取样本 单位的一种组织形式。 (四)、整群抽样 将总体各单位划分成许多群，然后 从其中随机抽取部分群，对中选群的所 有单位进行全面调查的抽样组织形式。
四、抽样平均误差
1、概念：
抽样平均误差是抽样平均数或抽 样成数的标准差。反映了抽样平均数 与总体平均数抽样成数与总体成数的 平均误差程度。
例题二解:
已知： N 2000 , n 400, x 4800 , 300 则： x
x
2

300 15(小时) n 400
3002 400 1 13.42(小时) 400 2000
n 1 n N
计算结果表明：根据部分产品推断全部产品的 平均使用寿命 时，采用不重复抽样比重复抽样 的平均误差要小。
第六章 抽样推断 教学目的与要求
掌握抽样推断的意义和特点，了 解抽样推断的组织形式，掌握抽样推断的 几个基本概念、样本指标和总体参数指 标，了解抽样推断的应用场合，学会抽样 的点估计和区间估计的方法和应用.
教学目的与要求
本章主要内容
•抽样推断的一般问题
•抽样误差 •抽样估计的方法
•抽样组织设计
第一节抽样推断的一般问题
一批食品罐头共60000桶，随机抽查300桶 ，发现有6桶不合格，求合格品率的抽样平 均误差？
例 题 三 解：
已知：
n 400
n1 80
则：样本成数
n1 80 p 20 % n 400