九年级数学下册24.6第1课时正多边形的概念及正多边与圆的关系习题课件(新版)沪科版
沪教版九年级数学下册24.6 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系(优秀教学设计)
24.6 正多边形与圆第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系1．理解并掌握正多边形和圆的有关概念，并能进行相关计算(重点，难点)；2．学会通过等分圆周的方法作正多边形．一、情境导入生日宴会上，佳乐等6位同学一起过生日，他想把如图所示的蛋糕平均分成6份，你能帮他做到吗？二、合作探究探究点：正多边形与圆【类型一】圆的内接多边形与外切多边形的有关计算如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切．(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．解：(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r∶a＝1∶1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得到以⊙O的半径为高的正三角形，所以r∶b＝3∶2；(2)正六边形T1与T2相似，且T1∶T2的边长比是3∶2，所以S1∶S2＝3∶4.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】圆的内接正多边形的探究题如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．解：(1)取B 与M 重合，N 与C 重合，利用O 是正三角形的中心，可知∠MON 的度数是120°；(2)取B 与M 重合，N 与C 重合，此时三角形MON 是直角三角形，∠MON ＝360°4 ＝90°；取B 与M 重合，N 与C 重合，此时∠MON 的对应角度是整个圆周的15，∠MON ＝360°5＝72°；(3)360°n. 方法总结：解决此类问题时可取极限(特殊)位置进行分析，本题中可对三个图都取B 与M 重合，N 与C 重合，可得出∠MON 为定值且与正多边形边数相关．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】 作正多边形如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120°的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°；(2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法和尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型四】 与正多边形相关的证明如图，直线AC 切⊙O 于点A ，点B 在⊙O 上，且AB ＝AC ＝AO ，OC 、BC 分别交⊙O 于点E 、F .求证：EF 是圆内接正二十四边形的一边．证明：∵AC 切⊙O 于点A ，∴∠CAO ＝90°.∵AC ＝OA ，∴∠AOC ＝45°.∵AB ＝OA ，OB ＝OA ，∴∠BAO ＝60°，∠BAC ＝60°＋90°＝150°.∵AC ＝AB ，∴∠ABC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠AOF 是弧AF 所对圆心角，∠ABF 是弧AF 所对圆周角，∴∠AOF ＝30°，∴∠EOF ＝15°，∵360°15°＝24，∴EF 是圆内接正二十四边形的一边． 方法总结：此题主要考查了正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出∠EOF 的度数是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．2．利用等分圆周作正多边形．教学过程中，以学生自主探索和合作交流为主，以练习强化学生对所学知识的理解，灵活运用，提高其独立思考和解决问题的能力.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
沪科版九年级数学下2正多边形与圆(第1课时圆与正多边形)课件
∴ ∠PAB= ∠ PBA= ∠ QBC= ∠ QCB
P
A
T
∵ A B= B C
B Q
C
E
·O
R
D S
∴ AB=BC
△ ∴ PAB≌△QBC ∴ ∠P= ∠ Q,PQ=2PA
同理∴ ∠P= ∠ Q = ∠S =∠R=∠T, PQ==QS=SR=RT=TP=2PA
∵五边形PTRSQ的各边都与⊙O相切
∴ 五边形PTRSQ是⊙O的外切正五边形,
正多边形与圆的关系定理1
把一个圆分成n等份(n≥3),
* 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
* 过等分点做圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是
这个圆的外切正n边形
例、求证：正五边形的对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形。
求证：DB=CE
A
证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。
A
F
仔细考虑如何利用 画正六边形的方法 得到正十二边形
B
·O
E
C
D
把圆六等分，取其中一段弧平 分，以此平分点再把圆六等分 ，顺次连接各点
作出正六边形后，则可作正三角形， 正十二边形，正二十四边形……
用尺规作图法画正四边形
用圆规和直尺作两条互相垂 直的直径，就可以把圆4等分， 从而作出正方形．
A
D
O·
我国民间相传有正五边形的近似画法
A
画法口诀： 九五顶五九,八五两边分
画法口诀意义：
(以边长10的正五边形为例)
5.9
B
E
8F
8
正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系
∠ADE的度数是
（）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
C
D
典例精析
例2：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求 地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
E
O
D
PC
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
BC MB＝2
4 2
2，
内角
60 ° 90 ° 120 °
n
(n 2) 180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的 外角=中心角
A
F
中心
B中心角 O半径R E 边心问距r题1
C
D
四 正多边形的有关计算
探究归纳
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
利用勾股定理,可得边心距
A
F
O
4m
E D
r
r 42 22 2 3.
B MC
亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
O·
D
rR
MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.连半径，得中心角；
问题3 刚才把一个圆进行四等分，依次连接各等分点， 得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？
① 直径所对圆周角等于90° ② 等弧所对圆周角相等
《正多边形与圆》PPT优质课件(第1课时)
正多边形的有关概念
1.正多边形的中心:外接圆的圆心.
2.正多边形的半径:外接圆的半径 3.正多边形的中心角: 每一条边所对的圆心角. 4.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
E
D
. 半径R
F 中心角O
C
A B 边心距r
E
D
正多边形的内角:
. 内角 (n 2)180
半径R
n
正多边形的半径:外接圆的半径
F
O
中心角
边心距r
C
正多边形的中心角:
中心角 360
n
A
B
正多边形的面积：S n(1 ar) 1 Lr
2
2
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
实际问题转化成数学问题
1.正八边形的中心角是 度;它的外角是
度.
2.圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3.正多边形的边心距与边长之比为 3 :2,则此多边形的边数
是
.
4.已知圆内接正方形的边长为2，则该圆的内接正六边形边长
为
．
5.圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为 ________；边心距为________．
1.正多边和圆的有关概念： 正多边形的中心，正多边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2.正多边形的半径、中心角、边长、 E
正多边的边心距之间的等量关系．
3.运用所学知识解决实际问题． F
..O
R
《正多边形和圆》圆PPT教学课件
E
课堂小结
正多边形的定义与对称性
正多边形
正多边形的有
关概念及性质
正多边形的
有关计算
①正多边形的内角和= (n 2) 180
②中心角=
360
n
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
n
.
（2）正n边形的每个中心角
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
60
①它的中心角等于
度 ；
F
=
② OC BC (填＞、＜或＝）；
A
③△OBC是 等边 三角形；
B
都等于
E
（3）正n边形的每个外角都
O
D
360°
等于
.
C
P
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
6
倍.
1
周长 边心距
2
A
A
F
D
E
B
E
O
O
O
·
90°
72°
·
A
D
·
60°
C
B
C
D
B
C
3.你能尺规作出正方形、正八边形吗？
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即
得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂
线与⊙O相交，或作各中心角的角平分
线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，
照此方法依次可作正十六边形、正三十
二边形、正六十四边形……
D
A
O
·
心对称图形吗？
新知讲解
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称
图形吗？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是
《正多边形与圆》PPT课件(湘教版)
为 60°，所以正六边形的边长与圆的
半径相等. 因此在半径为 r 的圆上依次
O
截取等于 r 的弦， 就可以将圆六等分.
已知 ⊙O 的半径为 r， 求作 ⊙O 的内接正六边形.
作法：（1）作⊙O 的任意直径 BE，分别 以 B，E 为圆心，以 r 为半径作弧，与⊙O
A
F
分别相交于点 A，C 和 F，D.
O
C
（2） 依次连接 AB，BC，CD，DA，则四边
形 ABCD 就是所求作的 ⊙O 的内接正方形.
B
在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题. 例如 设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆而得到的.
观察图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图
形？如果是轴对称图形，画出其对称轴； 如果是中心对称图形，
D
A
F
A O B
CB
E
O
C
D
2. 许多图案设计都和圆有关，观察下图，请利用等分圆 的方法设计一幅图案.【教材P86页】
1. 对于一个正多边形,下列四个命题中, 错误的是（ B ）
A. 正多边形是轴对称图形, 每条边的垂直平分线是它的对称轴 B. 正多边形是中心对称图形, 正多边形的中心是它的对称中心 C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
找出其对称中心.
A
A
D
E
FEAFra bibliotekDAD
B
CB
C
B
C
B
C
A
A
D
E
F
E
A
DA
D
B
CB
C
B
新编【沪科版】九年级数学下册《24.6.1 正多边形与圆的关系》课件
R2＝r2＋
1 a2 4
周长 面积
C＝na
1 S＝ 2 Cr
知2－讲
例4 已知：⊙O的半径R＝6 cm. (1)如图(1)，求⊙O的内接正三角形ABC的边心距、 边长、周长、面积； (2)如图(2)，求⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心 距、边长、周长、面积．
知2－讲
找准解题时所需要的基本图形，由中心到正多边形 导引： 一边的垂线段、半径、边的一半构成直角三角形(这
样很自然就产生了本题的辅助线)，根据关系式R2＝ 2 a 2 r ＋ (R为外接圆半径，r为边心距，a为边长)解 2 题．
基本特征，边数 n＞3的多边形必须同时满足，二者缺一
不可，否则多边形就不是正多边形．例如，菱形的各边 相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不
一定相等，所以它们都不是正多边形．
知1－讲
2. 圆内接正n边形： 把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多 边形就是圆内接正n边形，而这个圆是正 n 边形的外接 圆． 拓展：把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线， 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
知1－讲
总 结
解答本题运用了定义法，即各选项中提到的多边形
是否具备各边和各角相等，这两个条件缺一不可．
知1－讲
例2 已知一个正多边形有一个内角是150°，那么它是 正几边形？ 由正多边形的一个内角的度数求其边数，可以用n 导引： 边形的内角和公式(n－2)· 180°＝150°n，求出n
的值；也可以先求每个外角的度数为30°，再求
边数．
知1－讲
方法一：∵n边形的内角和为(n－2)· 180°n＝12.
∴此多边形为正十二边形． 方法二：∵正多边形的每个内角相等，则每个外角也 相等，∴每个外角为180°－150°＝30°. 又∵多边形的外角和是360°，
沪科初中数学九年级下册《24.6 正多边形与圆》精品课件 (4)
1.我们已学过哪些正多边形? 2.这些正多边形的边与角有什么特点?
各边相等,各角也相等 日常生活中你还看到哪些 具有这两个性质的多边形?
最新初中数学精品课件设计
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1.正多边形的概念
能否省去各边相等或各角相等？ 举例说明！
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形
2.正多边形与圆的关系
⑴我们可以借助量角器将一个圆 n(n≥3)等分,依次连接各等分点所 得的多边形是这个圆的内接正多边 形.
⑵这个圆是这个正多边形的外接 圆.正多边形的外接圆的圆心叫做 正多边形的中心
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正多边形是否是轴对称或中心 对称图形？ 正多边形的性质: 1.正多边形的各边相等,各角相等. 2.正n边形是轴对称图形,有n对称轴;但不一定是中心对称, 除非n是偶数 3.边数相同的正多边形相似
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5.正多边形一定是-中---心------对称图形,一个正n边形共有--轴---------条对称轴,每条对称轴都通过---n-------;如果一个正n边形是中 心对称图形,n一定是偶---数-------. 6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转-7--2----度,才能与 原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18,则它们的周长 之比为-4--﹕---9-,面积之比为---2--﹕---3----.
请你画一画
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1.正四边形 2正六边形
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3
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的 __中__心__．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形 ABCD的_边__心__距_．
《正多边形和圆》PPT课件
B
O
O
B
CB
C
O C
A
F
E
B
E
O
D
C
D
每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么 样的三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
A
A
EO D
F
B
F
CB
E
D
A
G
F
A GF
H
PHBOHOGC
E
B
O
N M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
F
O C
A GB
学以致用：有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到 0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等 于360 60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长
6
等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OBC2C=424, 2P，C= F
正多边形的中心角等于 360 。 正多边形的中心角与外角度数相等
３.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比 1:2
４.已知正方形的内切圆半径r＝1，则这个正方形
的外接圆面积S= 2
.
５.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为1200，其
内切圆半径为 2 3 .
1.如图：圆内接正五边形ABCD中，对角线AC与BD相
正多边形的性质及对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。