高三基础知识天天练 数学6-4人教版
高三基础知识天天练 数学选修4-1-1人教版
选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA， 即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ， 由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32， 所以符合条件的点P 有两个． 答案：两 三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°， 又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
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第7模块 第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→， 所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0， 所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2， 所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝121→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________． 解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →， 即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小． 解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →)＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。
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第7模块第4节[知能演练]一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．答案：C2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m⊥n，m⊥β，则n∥β；③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.A．①③B．②③C．③④D．④解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D3．下列命题正确的是() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案：C4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.答案：C 二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393.答案：23936．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 答案：223a三、解答题7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2－BE 2＝a 2－2a 23＝33a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，∴EP ＝BE 2EC ＝23a 233a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AFFB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB綊23CD ，∴EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形．∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .[高考·模拟·预测]1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.答案：B3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．答案：C4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角为45°D．二面角D－OB－A为45°解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.答案：B5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， 所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ， 故CQ ⊥平面ABE .由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形， 故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角． 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. [备选精题]6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，连接CH ，∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴AN NH ＝AMMC，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ， 则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。
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⾼三基础知识天天练2-11.数学数学doc⼈教版第2模块第11节[知能演练]⼀、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如右图所⽰，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0答案：C2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A. 答案：A 3．若a >3，则⽅程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：令f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23a (∵a >3，∴23a >2)．∴当04．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：y ′＝a ·e ax ＋3＝0，当a ＝0时，显然不合题意，∴a ≠0. ∴e ax ＝－3a .∴x ＝1a ln(－3a )．由题意，得1a ln(－3a )>0，∴a <0，0<－3a <1.∴a <－3. 故应选B. 答案：B ⼆、填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最⼤值与最⼩值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.∵f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，∴M －m ＝f (－2)－f (2)＝32. 答案：32 6．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，∴－1m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，∴－1答案：(－1,0] 三、解答题7．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]上的最⼤值和最⼩值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－32，＋∞)，f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3，令f ′(x )>0，∴x >－12或－32令f ′(x )<0，∴－12.∴f (x )在区间(－32，－1)和(－12，＋∞)上为增函数，在区间(－1，－12)上为减函数．(2)当x 在区间[－34，14]上变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：f (－34)＝916＋ln 32，f (－12)＝14＋ln2，f (14)＝116＋ln 72，由表知函数f (x )在x ＝－12处取最⼩值14＋ln2.f (－34)－f (14)＝12＋ln 37＝12(1－ln 499)<0.故函数f (x )在x ＝14处取最⼤值116＋ln 72.8．已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )≥0恒成⽴，∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明：设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，x .∴F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数．⼜F (x )在[1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成⽴．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[⾼考·模拟·预测]1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)·e x ，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x >0解得：x >2.答案：D2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极⼩值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)解析：∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )图象如右图．∴ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，3－6b >0，得0答案：D3．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得，f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，求得－1x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：由于f ′(x )＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )·(x ＋1)′(x ＋1)2＝2x ·(x ＋1)－(x 2＋a )·1(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，⽽函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝12＋2×1－a (1＋1)2＝0，解得a ＝3，故填3.答案：35．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(Ⅱ)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a内是增函数，在函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼤值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼩值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼤值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼩值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.[备选精题]6．若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满⾜：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为函数f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为⾃然对数的底数)．(1)求F (x )＝h (x )－φ(x )的极值；(2)函数h (x )和φ(x )是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的⽅程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵F (x )＝h (x )－φ(x )＝x 2－2eln x (x >0)，∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2(x －e)(x ＋e)x .当x ＝e 时，F ′(x )＝0.∵当0e 时，F ′(x )>0，此时函数F (x )递增，∴当x ＝e 时，F (x )取极⼩值，其极⼩值为0.(2)由(1)可知函数h (x )和φ(x )的图象在x ＝e 处有公共点，因此若存在h (x )和φ(x )的隔离直线，则该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则直线⽅程为y －e ＝k (x －e)，即y ＝kx ＋e －k e.由h (x )≥kx ＋e －k e(x ∈R )，可得x 2－kx －e ＋k e ≥0，当x ∈R 时恒成⽴．∴Δ＝(k －2e)2，∴由Δ≤0，得k ＝2 e.下⾯证明φ(x )≤2e x －e ，当x >0时恒成⽴．令G (x )＝φ(x )－2e x ＋e ＝2eln x －2e x ＋e ，则G ′(x )＝2ex －2e ＝2e(e －x )x ，当x ＝e 时，G ′(x )＝0. ∵当00，此时函数G (x )递增；当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )递减，∴当x ＝e 时，G (x )取极⼤值，其极⼤值为0. 从⽽G (x )＝2eln x －2e x ＋e ≤0，即φ(x )≤2e x －e(x >0)恒成⽴，∴函数h (x )和φ(x )存在唯⼀的隔离直线y ＝2e x －e.。
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第5模块 第3节[知能演练]一、选择题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是( )A ．3B ．1C ．0D ．－1解析：可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1.答案：B2．设a 1，a 2，a 3，a 4 成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.12C.18D ．1解析：由题意得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，a 4＝8a 1. ∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.答案：A3．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25解析：a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的两项积为定值，可知T 17为定值．答案：C4．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6等于( )A ．240B ．±240C ．480D ．±480解析：∵{a n }为等比数列，∴数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列，∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)，∴a 5＋a 6＝120230＝480.答案：C 二、填空题5．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得 a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n .答案：a n ＝24－n6．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 7＝4，数列{b n }是等比数列，已知b 2＝a 3，b 3＝1a 2，则满足b n <1a 80的最小自然数n 是________．解析：{a n }为等差数列a 1＝1，a 7＝4,6d ＝3，d ＝12.∴a n ＝n ＋12，{b n }为等比数列，b 2＝2，b 3＝23，q ＝13.∴b n ＝6×(13)n －1，b n <1a 80＝281，∴81<26×⎝⎛⎭⎫13n －1，即3n －2>81＝34.∴n >6，从而可得n min ＝7. 答案：7 三、解答题7．设数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n . (1)求a 3，a 4；(2)证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列； (3)求{a n }的通项公式． (1)解：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，S 1＝2. 由2a n ＝S n ＋2n 知2a n ＋1＝S n ＋1＋2n ＋1＝a n ＋1＋S n ＋2n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋2n ＋1，①所以a 2＝S 1＋22＝2＋22＝6，S 2＝8， a 3＝S 2＋23＝8＋23＝16，S 3＝24. a 4＝S 3＋24＝40.(2)证明：由题设和①式知a n ＋1－2a n ＝(S n ＋2n ＋1)－(S n ＋2n )＝2n ＋1－2n ＝2n .所以{a n ＋1－2a n }是首项为2，公比为2的等比数列．(3)a n ＝(a n －2a n －1)＋2(a n －1－2a n －2)＋…＋2n －2(a 2－2a 1)＋2n －1a 1＝(n ＋1)·2n －1.8．设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列，lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求通项a n 、b n .解：∵5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列， ∴(5b n )2＝5a n ·5a n ＋1，即2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 又∵lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列， ∴2lg a n ＋1＝lg b n ＋lg b n ＋1，即a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1.② 由②及a i >0，b j >0(i 、j ∈N *)可得 a n ＋1＝b n b n ＋1.③ ∴a n ＝b n －1b n (n ≥2)．④将③④代入①可得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1(n ≥2)， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)． ∴数列{b n }为等差数列．∵b 1＝2，a 2＝3，a 22＝b 1b 2，∴b 2＝92. ∴b n ＝2＋(n －1)( 92－2) ＝12(n ＋1)(n ＝1也成立)． ∴b n ＝(n ＋1)22.∴a n ＝b n －1·b n ＝n 22·(n ＋1)22＝n (n ＋1)2(n ≥2)． 又当n ＝1时，a 1＝1也成立．∴a n ＝n (n ＋1)2.[高考·模拟·预测]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2，因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设等比数列{a n }的首项为a 1公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n ，即a 21·q 2n －2＝22n ⇒(a 1·q n －1)2＝22n ⇒(a n )2＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2，故选C.答案：C3．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )．若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n <m 时，a n 等于( )A ．－12n －2B.12n －2 C ．－12n －1D.12n －1 解析：∵n <m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1.答案：C4．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.解析：由a n ＝b n －1，且数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．经分析判断知{a n }的四项应为－24,36，－54,81.又|q |>1，所以数列{a n }的公比为q ＝－32，则6q ＝－9.答案：－95．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(Ⅰ)求r 的值；(Ⅱ)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(Ⅰ)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1，当b ＝2时，a n ＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1.12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1. [备选精题]6．已知数列{a n }满足a 1＝a (a ≠0且a ≠1)，前n 项和为S n ，且S n ＝a1－a (1－a n )．(1)求证：{a n }是等比数列；(2)记b n ＝a n lg|a n |(n ∈N *)，当a ＝－73时，是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有b n ≥b m ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．解：(1)当n ≥2时，S n ＝a 1－a (1－a n )，S n －1＝a 1－a(1－a n －1)， a n ＝S n －S n －1＝a 1－a [(1－a n )－(1－a n －1)]＝a1－a (a n －1－a n )，即a n ＝aa n －1.又a 1＝a ≠0，所以a na n －1＝a ，所以{a n }是首项和公比都为a 的等比数列． (2)由(1)知，a n ＝a n ，则b n ＝a n lg|a n |＝na n lg|a |. 又a ＝－73∈(－1,0)，则lg|a |<0. 所以当n 为偶数时，b n ＝na n lg|a |<0；当n 为奇数时，b n >0. 可见，若存在满足条件的正整数m ，则m 为偶数． b 2k ＋2－b 2k ＝[(2k ＋2)a 2k＋2－2ka 2k ]lg|a |＝2a 2k [(k ＋1)a 2－k ]lg|a |＝2a 2k [k (a 2－1)＋a 2·a 2－1a 2－1]lg|a |＝2a 2k (a 2－1)(k －a 21－a2)lg|a |(k ∈N *)． 当a ＝－73时，a 2－1＝－29，∴2a 2k (a 2－1)lg|a |>0.又a 21－a 2＝72， 当k >72时，b 2k ＋2>b 2k ，即b 8<b 10<b 12<…；当k <72时，b 2k ＋2<b 2k ，即b 8<b 6<b 4<b 2.故存在正整数m ＝8使得对于任意正整数n ，都有b n ≥b m .。
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第6模块 第2节[知能演练]一、选择题1．设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集，如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2≤x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：∵M ＝{x |x 2>4}＝{x |x <－2或x >2}， N ＝{x |2x －1≥1}＝{x |1<x ≤3}，∴∁I M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ∩(∁I M )＝{x |1<x ≤2}． 即阴影部分所表示的集合为{x |1<x ≤2}．故选D. 答案：D2．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：二次函数y ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，当m >2时，m －1，m ，m ＋1都在对称轴的右边，在对称轴的右边二次函数y ＝x 2－2x 为增函数，故y 1<y 2<y 3，故选A.答案：A3．不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2或x ≥3}C ．{x |x <－2}D ．{x |x >3}解析：不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0，所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.答案：A4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：不等式3x －2－x 2<0化为x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <1，由不等式x －a <0，得x <a .要使B A ，则a ≤1.答案：A 二、填空题5．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：－12x 2＋2x >mx 可化为x 2＋(2m －4)x <0，由于其解集为{x |0<x <2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1.故填1.答案：16．关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.∵f (1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，Δ＝24＋4b ，当b ≤－6时，Δ≤0，∴f (1)>0的解集为Ø；当b >－6时，3－b ＋6<a <3＋b ＋6.∴f (1)>0的解集为{a |3－b ＋6<a <3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0的解集为(－1,3)，∴f (x )>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )33＝b3，解之得⎩⎨⎧a ＝3±3b ＝9.8．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)判断f (x )在(a ，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)设f (x )＝log a u (x )，u (x )＝1－ax.∵0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在定义域内是减函数，u (x )＝1－ax在(a ，＋∞)上是增函数，故f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．(2)由f (x )>1得log a (1－a x )>1.∵0<a <1，∴不等式可化为0<1－a x <a ，解得a <x <a1－a .故不等式的解集为{x |a <x <a1－a}． [高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x >0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x >02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，当x <1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x <1，所以－3≤x <1； 当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立． 综上可知不等式的解集为{x |x ≥－3}． 答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2－2x －6(x <0)，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：当x ≥0时，解不等式x 2－2x －1>2得x >3，当x <0时，解不等式x 2－2x －6>2得x <－2，故t 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．故选D.答案：D4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2>(ax )2⇒(x －b )2－(ax )2>0⇒[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]>0. 若－1<a <0，则x >b 1＋a 或x <b1－a ，可知不止三个整数解；若0<a <1，则x >b 1－a 或x <b1＋a ，可知不止三个整数解；若a >1，有(x －b )2>(ax )2⇒[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]<0，则－b a －1<x <b1＋a. 又0<b <1＋a ，∴不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－ba －1<－2，则有2a －2<b ≤3a －3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<b <a ＋1，3a －3≥b >0，解得1<a <3.答案：C5．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x－1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0,0<x <1.∴原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0，f (x )－f (－x )＝2ax ≠0，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．[备选精题]6．已知集合A ＝{x ||x －a |<ax ，a >0}，若f (x )＝sin πx －cos πx 在A 上是单调增函数，求a 的取值范围．解：由|x －a |<ax 得－ax <x －a <ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1＋a )x >a(1－a )x <a .当0<a <1时，A ＝(a 1＋a ，a1－a )；当a ≥1时，A ＝(a1＋a，＋∞)．又f (x )＝sin πx －cos πx ＝2sin(πx －π4)的单调递增区间为[2k －14，2k ＋34]，(k ∈Z )，显然，当a ≥1时，f (x )在A 上不可能是单调增函数，因此，当0<a <1，要使f (x )在A ＝(a 1＋a ，a1－a )上是增函数，只有(a 1＋a ，a 1－a )⊂[－14，34]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤34，解得0<a ≤37，故a 的取值范围为0<a ≤37.。
基础知识天天练 数学6-4
第6模块 第4节[知能演练]一、选择题1．“a ＝1”是“对任意正数x,2x ＋ax≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：当a ＝1时，2x ＋a x ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)所以a ＝1⇒2x ＋ax ≥1(x >0)．a ＝1为2x ＋a x ≥1(x >0)的充分条件．反过来，对任意正数x ，当a ＝2时，2x ＋ax ≥1恒成立，所以2x ＋ax≥1a ＝1.故为非必要条件．故选A.答案：A2．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值解析：x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立． 答案：B3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( )A ．(－∞，－1]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝1＋(log 2x ＋log x 2)，如果x >1，则log 2x ＋log x 2≥2， 如果0<x <1，则log 2x ＋log x 2≤－2，∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D4．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 22<bB ．b <a 2＋b 22<aC ．a <b <a 2＋b 22D ．b <a <a 2＋b 22解析：a ＝2sin60°＝62>1，b ＝2sin62°，于是b >a ，淘汰B 、D ，又a 2＋b 22>ab >b ，从而a 2＋b 22>b >a .故选C.答案：D 二、填空题5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值为____________，此时x 的值为________．解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2≤129＝16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时取等号．答案：16±36．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d 千米处， 由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d5＝8， 当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．答案：5 三、解答题7．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值；(2)设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值；解：(1)∵x >0，a >2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝z >0，则x ＝z －1∴y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5≥2z ·4z＋5＝9 当且仅当z ＝2即x ＝1时上式取等号 ∴x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值．8．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)不等式f (x )>ax －5当0<x <2时恒成立，求a 的取值范围．解：(1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f (0)＝f (1)－2＝－2. (2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5， ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x ∈(0,2)时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时取等号，由3∈(0,2)，得(1＋x ＋3x )min ＝1＋23，∴a <1＋2 3.[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74B ．f (x )有最小值－1C ．f (x )有最大值1D ．f (x )有最小值1解析：∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)， ∴(x －1)2∈[0,4)， ∴f (x )＝(x －1)2＋1(x －1)2－1≥2(x －1)2·1(x －1)2－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1(x －1)2，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1. 答案：D2．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：由题意有3a ·3b ＝3a ＋b ＝(3)2＝3，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，等号当且仅当a ＝b ＝12时成立，故选B.答案：B3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥4.等号当且仅当a ＝b 且1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时成立．故选C.答案：C4．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下图四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为( )A ．τ1>τ4>τ3B ．τ3>τ1>τ2C ．τ4>τ2>τ3D ．τ3>τ4>τ1解析：第1个区域：先补成一个长方形，设长为a ，宽为b ，则周率为2a ＋2b a 2＋b2＝2(a ＋b )a 2＋b 2≤2 2.第2个区域：设大圆半径为2，则 周率为2π＋2π4＝π.第3个区域：将原图补成一个正三角形，设边长为a ，则周率为3aa＝3.第4个区域：设此区域的外接圆半径为R ，则其中大的正△ABC 的边长为3R ， ∴周率为33R ＋3R2R＝23，故选C.答案：C5．某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S ， 则半圆的周长为πy2，因为操场周长为400， 所以2x ＋2×πy2＝400，即2x ＋πy ＝400(0<x <200,0<y <400π)，∴S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·(2x ＋πy 2)2＝20000π， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝πy2x ＋πy ＝400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝200.∴当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝200π时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大．[备选精题]6．已知：x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0， (1)求xy 的最小值． (2)求x ＋y 的最小值．解：(1)由x ＋y －3xy ＋5＝0得x ＋y ＋5＝3xy . ∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy . ∴3xy －2xy －5≥0， ∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0，∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y .此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259.(2)解法一：由x ＋y ＋5＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2＝34(x ＋y )2， ∴34(x ＋y )2－(x ＋y )－5≥0， 即3(x ＋y )2－4(x ＋y )－20≥0， 即[(x ＋y )＋2][3(x ＋y )－10]≥0， ∴x ＋y ≥103，等号成立的条件是x ＝y ，即x ＝y ＝53时取得．故x ＋y 的最小值为103.解法二：由(1)知x ＋y ＋5＝3xy ，且(xy )min ＝259， ∴3(xy )min ＝253，∴(x ＋y )min ＝253－5＝103，5 3.此时x＝y＝。
高三基础知识天天练 数学选修4-1-2人教版
选修4-1 第2节[知能演练]一、填空题1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．答案：圆 圆或椭圆2．如下图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC ＝________.解析：由弦切角定理，可知∠DCA ＝∠B ＝60°，又AD ⊥l ，故∠DAC ＝30°. 答案：30°3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k (k >0)， 由相交弦定理，得3k ·8k ＝12×18，解得k ＝3， 故所求弦长为3k ＋8k ＝11k ＝33 cm. 答案：33 cm4．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R 的长为________．解析：如右图，连接AB ，∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AB ＝∠C ， 又∵∠APB ＝∠CP A ， ∴△P AB ∽△PCA ， ∴P A AC ＝PB AB ，即P A 2R ＝PBAB， ∴R ＝P A ·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3.答案： 35．已知如下图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析：∵AC 、AD 分别是两圆的切线，∴∠C ＝∠2，，1＝∠D ， ∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝ABBD， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)． 答案：2 26．如右图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ， 连接OD ，得OD ⊥AC ，故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r 6，故x ＝43r . 又由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ， 即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由射影定理知DF ＝3. 答案：3 二、解答题7．如下图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆；(2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．(1)证明：连结OP ，OM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ， 所以OP ⊥AP .因为M 是⊙O 中弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)解：由(1)，得A ，P ，O ，M 四点共圆， 所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)，得OP ⊥AP .由圆心O 在∠P AC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 8．如右图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC .(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明：因为BE 切⊙O 于B ， 所以∠ABE ＝∠ACB .由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC . 所以AE AB ＝ABBC .故AB 2＝AE ·BC .(2)解：由(1)，知△EAB ∽△ABC ， 所以BE AC ＝AB BC .又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BE AC .所以AB BC ＝EFAF .又AD ∥BC ，所以AB ＝CD .所以AB ＝CD .所以58＝EF6.所以EF ＝308＝154.[高考·模拟·预测]1．如右图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析：连结OA 、OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P 、A 、O 、B 四点共圆，故∠APB ＝60°.答案：60°2．如右图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3.答案： 33．如下图，圆O 和圆O ′相交于A 、B 两点，AC 是圆O ′的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则BD ＝________.解析：易证△CBA ∽△ABD ， 所以BC AB ＝ABBD ，BD ＝8.答案：84．如右图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，在Rt △OAB 中，得OA ＝22，即r ＝22，∴S ＝πr 2＝8π.答案：8π5．如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 到E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的面积．解：(1)如右图，设F 为AD 延长线上一点． ∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， 且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF . 对顶角∠EDF ＝∠ADB ， 故∠EDF ＝∠CDF ，即AD的延长线平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC. 连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.。
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第4模块 第2节[知能演练]一、选择题1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn等于( )A ．－12B ．2 C.12D ．－2解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 则有2m －n 4＝3m ＋2n－1∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.答案：A2．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)，则12MN →等于( )A ．(8,1)B ．(－8,1)C ．(4，－12D ．(－4，12)解析：∵OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)， ∴12MN →＝12(ON →－OM →) ＝12[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12×(－8,1)＝(－4，12)． 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形解析：∵AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ，∴AD →＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|，故四边形是梯形． 答案：A4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C (x ，y )满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则x ，y 满足的关系式为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由OC →＝αOA →＋βOB →， ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β.∴⎩⎨⎧α＝3x ＋y10，β＝－x ＋3y10.∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 答案：D 二、填空题5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝ (－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：由题意得λa ＋b ＝(2＋λ，2λ＋3)， 又λa ＋b 与c 共线，因此有(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0， ∴λ＝2. 答案：26．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________． 解析：∵向量AB →与a 同向， ∴设AB →＝(2t,3t )(t >0)．由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)． 设B 为(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5,4) 三、解答题7．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－1. 8．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹． 解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)， 又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，∵|AB →|＝|AD →|，∴▱ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . ∴AC →⊥BP →，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．[高考·模拟·预测]1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线解析：a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．故选C. 答案：C2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析：在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)． 答案：B3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，则DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ，∴CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋13b －13a＝23a ＋13b . 答案：B4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：3－k 1＝－63⇒k ＝5.故填5.答案：55．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t b ，问是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1＋2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t (－2,1)＝(－1k －2t ，－2k ＋1t，假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则 (－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2t )＝0，化简得t 2＋1k ＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0，∵k ，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在． ∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .[备选精题]6．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.。
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第4模块 第4节[知能演练]一、选择题1．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i (a ∈R )对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0解析：由题意知a 2－2a ＝0，∴a ＝2或a ＝0. 答案：C2．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，z ＝x －yi . 由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yi ＋x －yi ＝4(x ＋yi )(x －yi )＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 2＋y 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，∴zz ＝x －yi x ＋yi ＝x 2－y 2－2xyi x 2＋y 2＝±i . 答案：D3．如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2－i )z ＝4－bi (其中i 为虚数单位)，那么b 等于( )A ．8B ．－8C ．2D ．－2解析：设z ＝ai (a ≠0)，由(2－i )z ＝4－bi ，得(2－i )×ai ＝4－bi ， 即a ＋2ai ＝4－bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－8. 答案：B4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，∵CA →＝CB →＋BA →. ∴CA →对应的复数为(－1－3i )＋(－2－i )＝－3－4i . 答案：D 二、填空题5．已知z ＝(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )，则|z |＝________.解析：|z |＝|(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )|＝|2＋2i |2|4＋5i ||5－4i ||1－i |＝22×4141×2＝2 2.答案：2 26．若复数z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i ，(a ∈R )为纯虚数，则a ＋i 20073－3i＝________.解析：∵z ＝(a 2－3)－(a ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－3＝0a ＋3≠0，解得a ＝3， ∴a ＋i 20073－3i ＝3－i 3－3i ＝3－i 3(3－i )＝33. 答案：33三、解答题7．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，|z 1|＝2，求z 1.解：设z 1＝a ＋bi ，则z 2＝－a ＋bi ，∵z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，且|z 1|＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋bi )(3－i )＝(－a ＋bi )(1＋3i )a 2＋b 2＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1， 则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i .8．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i . 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i .∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，已知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．[高考·模拟·预测]1． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋3i ，所以a ＝－1，b ＝3，故选B.答案：B2．复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i )(2＋3i )－(2－3i )(3－2i )(2＋3i )(2－3i )＝26i13＝2i ，答案为D.答案：D3．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝ ( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：依题意得z ＝(1＋i )(2＋i )＝1＋3i ，故z ＝1－3i .选B. 答案：B4．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i )表示满足i n ＝1的最小正整数n ，∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i )＝4.答案：C5．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )A ．0B ．－5C ．0或－5D ．0或5解析：由已知条件可得z 1z 2＝(a ＋2i )·[a ＋(a ＋3)i ]＝a 2－2(a ＋3)＋(a 2＋5a )i ，又z 1z 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2(a ＋3)>0a 2＋5a ＝0，解得a ＝－5，故选B.答案：B6．若z ＝sin θ－35＋i (cos θ－45)是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．±34B ．±43C ．－34D.34解析：由纯虚数定义知，sin θ＝35，cos θ≠45，∴cos θ＝－45，∴tan θ＝－34.答案：C7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 解析：因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i )i ＝－20－2i ，所以可知复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 答案：－208．若21－i＝a ＋bi (i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 解析：∵21－i＝a ＋bi ，∴1＋i ＝a ＋bi ，∴a ＝b ＝1，∴a ＋b ＝2. 答案：29．若复数m ＋2i1－i (m ∈R ，i 是虚数单位)为纯虚数，则m ＝________.解析：因为m ＋2i 1－i ＝(m ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －2＋(m ＋2)i2为纯虚数，所以m ＝2.答案：2 10．复数1－3i2＋i－(1＋i )2在复平面内的对应点位于第________象限． 解析：1－3i 2＋i －(1＋i )2＝(1－3i )(2－i )5－2i ＝－1－7i 5－2i ＝－1－17i5，所以其对应点位于第三象限．答案：三。
2011高三数学二轮复习天天练 数学天天练习46 新人教版
高三数学天天练461．对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为：_________．2．复数13i z =+，21i z =-，则12z z 在复平面内对应的点位于第___象限． 3．“1x >”是“2x x >”的 条件．4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =7．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于_________．8．给出下列命题：①变量 y 与x 之间的相关系数0.9568r =-，查表到相关系数的临界值为0.050.8016r =，则变量 y 与x 之间具有线性关系；② 0,0a b >>则不等式3323a b ab +≥恒成立；③ 对于函数()22.f x x mx n =++若()()0.0,f a f b >>则函数在(),a b 内至多有一个零点；④ ()2y f x =-与()2y f x =-的图象关于2x =对称．其中所有正确命题的序号是__________．9．若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则∆ABC 的面积S ＝12r (a +b +c ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2 、S 3 、S 4，则四面体的体积V ＝ ．10．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=________．11．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．12、已知02≠=b a ，且关于x 的函数f(x)=x b a x a x ⋅++232131在R 上有极值，求a与b的夹角范围填空题答案纸：1、______________2、_____________3、______________4、______________5、_____________6、______________7、______________8、_____________9、______________ 10、_____________ 11、_____________。
基础知识天天练 数学6-1
第6模块 第1节[知能演练]一、选择题1．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0解析：a －|b |>0⇒a >|b |，⎩⎪⎨⎪⎧－a <b <aa >0⇒a ＋b >0.故选C.答案：C2．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：由已知3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0. ∴x >0，z <0.由⎩⎨⎧x >0y >z得：xy >xz . 答案：C3．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解法一：a ，b 为非零实数，∴a 2b 2>0， 于是a <b 两边同除以a 2b 2得1ab 2<1a 2b.解法二：排除法：若a ＝－2，b ＝1，排除A ； 若a <0，b <0，排除B ；若a ＝－2，b ＝1，则b a ＝－12，ab ＝－2，排除D. 答案：C4．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s2b ＝s ×a ＋b 2ab， ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2sa ＋b ，∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b＝s ×(a ＋b )2－4ab2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0， 故T >2t . 答案：B 二、填空题5．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4. ∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3. 答案：(－3,3)6．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是______________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④ 三、解答题7．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．解：f (x )＝mx x －1＝m (1＋1x －1)，所以f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)．由a >b >1，知a －1>b －1>0，所以1＋1a －1<1＋1b －1.①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，即f (a )<f (b )； ②当m ＝0时，m (1＋1a －1)＝m (1＋1b －1)，即f (a )＝f (b )；③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，即f (a )>f (b )． 8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c . (1)求ca的取值范围；(2)设该函数图象交x 轴于A 、B 两点，求|AB |的取值范围． 解：(1)f (1)＝0⇒a ＋b ＋c ＝0.∵a >b >c ，∴a >－(a ＋c )>c 且a >0，c <0，解得 －2<c a <－12.(2)设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则|AB |＝|x 1－x 2|＝b 2－4ac a ＝(a ＋c )2－4ac a ＝(a －c )2a ＝a －c a ＝1－c a .由(1)知，－2<c a <－12，∴32<1－ca<3， 即|AB |的取值范围是(32，3)．[高考·模拟·预测]1．使不等式a >b 成立的充要条件是( )A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．lg a >lg bD.12a <12b 解析：取a ＝1，b ＝－2，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D. 答案：D2．已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析：由0<x <y <a ，得0<xy <a 2，又0<a <1，故m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2，故选D.答案：D3．给出下列四个命题： ①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；③若正整数m 和n 满足：m <n ，则m (n －m )≤n2；④若x >0，且x ≠1，则ln x ＋1ln x≥2.其中真命题的序号是________．(请把真命题的序号都填上) 解析：对于①，a ＝－2<b ＝－1，a 2>b 2，故①错． 对于④，ln x 不一定为正数， 故0<x <1时，ln x ＋1ln x≤－2. x >1时，ln x ＋1ln x ≥2，故④错．答案：②③4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <12，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即为a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .[备选精题]5．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12000元预订15张下表中球类比赛的门票：门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，得⎩⎪⎨⎪⎧800n ＋500n ＋1000(15－2n )≤12000800n ≤1000(15－2n )， 解得427≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订男篮比赛门票5张．。
高三基础知识天天练3-6. 数学 数学doc人教版
第3模块 第6节[知能演练]一、选择题1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是 ( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝⎪⎪sinα2. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.答案：A3．等式|sin αcos α|＋122α－cos 2α|＝12成立的充要条件是( )A ．α＝kπ(k ∈Z )B ．α＝kπ2(k ∈Z ) C ．α＝kπ4(k ∈Z )D ．α＝kπ8(k ∈Z )解析：由题意知：原式＝12|sin2α|＋12|cos2α|＝12∴|sin2α|＋|cos2α|＝1，∴1＋2|sin2αcos2α|＝1. |sin4α|＝0，α＝kπ4(k ∈Z )． 答案：C4．设M (cos πx 3＋cos πx 5sin πx 3＋sin πx5)(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是( )A ．30πB ．15πC ．30D ．15解析：f (x )＝|OM | ＝2＋2(cos π3x cos π5x ＋sin π3x sin π5x )＝2＋2cos(π3x －π5x )＝2(1＋cos 215πx )＝2(1＋2cos 2π15x －1)＝4cos 2π15x＝2|cos π15x |.所以其最小正周期T ＝ππ15＝15.答案：D 二、填空题5．求值：cos 4π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8＝________.解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋cos 43π8＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋sin 4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π8cos 2π8 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2π4＝32. 答案：326．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π3三、解答题7．用tan α表示sin2α，cos2α. 解：sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.8．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π.因a·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ， 故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2.由于0<α<π4，所以2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝4＋2m .[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域为( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x＝sin x －13－22sin(x ＋π4)，此函数的最大值必为0，当x ＝0时，分子为－1，分母为1，此时函数值最小，最小值为－1，故选B.答案：B2．函数f (x )＝(sin 2x ＋12009sin 2x )(cos 2x ＋12009cos 2x)的最小值是 ( )A.42009 B.22009(2010－1) C.22009D.22009(2009－1) 解析：f (x )＝(2009sin 4x ＋1)(2009cos 4x ＋1)20092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009(sin 4x ＋cos 4x )＋120092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009[(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ]＋120092sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201020092sin 2x cos 2x －22009≥22009(2010－1)． 答案：B3．若sin θ22cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2－2cos θ2＝0得tan θ2＝2，代入二倍角公式可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：－434．俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t 秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1＝sin t 和y 2＝sin(t ＋2π3)来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式：________________.解析：因为y 1＋y 2＋y 3＝sin t ＋sin(t ＋2π3)＋y 3＝sin t －12t ＋32cos t ＋y 3＝0，所以y 3＝sin(t ＋4π3)时符合题意．本题也可为y 3＝sin(t －2π3)(答案不唯一)． 答案：y 3＝sin(t ＋4π3)(答案不唯一)． 5．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(Ⅰ)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(Ⅱ)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13f (C 2)＝－14C 为锐角，求sin A .解：(Ⅰ)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x . 所以当2x ＝－π2＋2kπ，即x ＝－π4＋kπ(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，[f (x )]最大值＝1＋32，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(Ⅱ)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. [备选精题]6．已知A ，B 是△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ＋B 2，sin A －B 2)，若|a |＝62.(1)证明：tan A tan B 为定值；(2)当tan C 取最大值时，求△ABC 的三个内角的大小．解：(1)由条件可知32＝(62)2＝|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝1＋cos(A ＋B )＋1－cos(A －B )2，∴cos(A ＋B )＝12cos(A －B )，∴3sin A sin B ＝cos A cos B ，∵A ，B 是△ABC 的两个内角，∴tan A tan B ＝13为定值．(2)tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B由(1)知tan A tan B ＝13，∴tan A >0，tan B >0，从而tan C ＝－32(tan A ＋tan B )≤－32·2·tan A tan B ＝－3， ∴取等号的条件是当且仅当tan A ＝tan B ＝33，即A ＝B ＝π6时，tan C 取得最大值，此时△ABC 的三个内角分别是π6，π6，2π3.。
基础知识天天练1-6套答案
第1天字音一、多音字1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是( ) A．闭塞．/塞．翁失马押解．/浑身解．数辟．谣/鞭辟．入里B．勒．索/悬崖勒．马湖泊．/宁静淡泊．参差．/差．强人意C．萝卜．/生死未卜．暖和．/风和．日丽化纤．/纤．尘不染D．脊椎．/椎．心泣血厌恶．/彰善瘅恶．轻便．/大腹便．便答案 D解析A项依次读sè/sài，jiè/xiè，pì。
B项依次读lè，pō/bó，cī/chā。
C项依次读bo/bǔ，huo/hé，xiān。
D项依次读zhuī/chuí，wù/è，biàn/pián。
2．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是( ) A．殷．实/可资殷．鉴吐血．/血．本无归和．药/相互唱和．B．提．防/提．纲挈领栖．息/栖．栖遑遑薄．被/喷薄．欲出C．朝．纲/朝．闻夕死手臂．/三头六臂．叨．光/念念叨．叨D．稽．首/有案可稽．重．洋/老成持重．单．衣/单．刀直入答案 B解析A项依次读yīn，xiě/xuè，huò/hè。
B项依次读dī/tí，qī/xī，báo/bó。
C项依次读cháo/zhāo，bì，tāo/dāo。
D项依次读qǐ/jī，chónɡ/zhònɡ，dān。
3．下列词语中，加点字的读音与所给注音完全相同的一组是( ) A．角jiǎo角．落头角．勾心斗角．群雄角．逐B．臭chòu臭．氧乳臭．臭．名昭著遗臭．万年C．横hénɡ横．行横．祸横．生枝节横．眉怒目D．剥bō 剥．夺剥．蚀剥．削阶级岩石剥．离答案 D解析A项“群雄角逐”的“角”读j ué。
B项“乳臭”的“臭”读xiù。
C项“横祸”的“横”读hènɡ。
高三基础知识天天练 数学检测7人教版
单元质量检测(七)一、选择题1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．答案：B2．如下图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()解析：由三视图及空间想象可知选A.答案：A3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D4．已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是()A．(4＋2π)cm2B．(6＋2π)cm2C．(4＋3π)cm2D．(6＋3π)cm2解析：由三视图可知，该几何体是底面直径和高均为2 cm的放倒的半个圆柱，其中轴截面的面积为4 cm2，半个侧面的面积为2πcm2，两底面的面积之和为π cm2，所以这个几何体的表面积是(4＋3π)cm2，故应选C.答案：C5．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12，则小圆锥的高与大圆锥的高的比是() A.12B．1C.22 D. 2解析：设小圆锥的高，底面半径，母线长分别为h，r，l，大圆锥的高，底面半径，母线长分别为H，R，L，则122πrl122πRL＝12，∴rlRL＝(rR)2＝12，∴rR＝22，∴hH＝rR＝22.答案：C6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，则l⊥β，又直线m⊂平面β，∴l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m相交和异面的情况，故②错误；对于③，可知正确．故正确命题的个数为2.答案：C7．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析：对于选项A：垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B：设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C：应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D：由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．答案：D8．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为() A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶2解析：由题意可知三棱锥V B－GAC＝V P－GAC，V B－GAC＝V G－BAC，V D－GAC＝V G－ADC，又因为三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，综上可知V D－GAC∶V P－GAC＝2∶1，故选C.答案：C9．如右图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等解析：选项A 、B 、C 均可推出EF ⊥平面ABCD ，从而可推出BD ⊥EF ；而由选项D 并不能推出BD ⊥EF ，故选D.答案：D10．若二面角M －l －N 的平面角大小为2π3，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是( )A ．[π6，π2]B ．[π4，π2]C ．[π3，π2]D ．[0，π2]解析：直线m 与平面N 内的直线所成角最小为m 与平面N 所成的角π6，显然m 与N 内直线所成角最大为π2，因为N 内一定有直线与m 垂直．答案：A11．如下图所示，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图中的( )A ．四个图形都正确B ．只有(2)(3)正确C ．只有(4)错误D ．只有(1)(2)正确解析：在面ABCD 上的射影为图(2)；在面B 1BCC 1上的射影为图(3)，在任何一个面上的射影都不会是图(1)和图(4)．答案：B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为( )①A 1C 1和AD 1所成角为π3；②点B 1到截面A 1C 1D 的距离为233；③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶ 2 A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∴∠A 1C 1B 为异面直线A 1C 1与AD 1所成角，显然∠A 1C 1B ＝π3. 到平面A 1C 1D 的距离为233的点是B 不是B 1.正方形的内切球与外接球半径之比为1232＝1∶ 3.答案：C 二、填空题13．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．解析：由三视图可知，原几何体为底面直径为1，母线长也为1的圆柱，故由圆柱侧面积公式可得S ＝2π×12×1＝π.答案：π14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上移动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．解析：由题意，当P 点移动时，AP 确定的平面与BD 1垂直，∴点P 应在线段B 1C 上． 答案：线段B 1C15．如下图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．解析：取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，由题中条件易得四边形ABEF 为平行四边形，从而进一步可推出BE ∥AF ，根据线面平行的判定定理可得BE ∥平面P AD (或取CD 的中点M ，连接EM ，BM ，由条件可推出平面BEM ∥平面P AD ，进一步也可得出BE ∥平面P AD )．答案：平行16．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中点P 的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________．解析：连接PD ，可得PD ＝1，即点P 的轨迹为以点D 为球心，半径为1的球截直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的部分(如右图所示)．由DD 1⊥平面ABCD 及∠ADC ＝2π3，可得该几何体为球体的13×12＝16，所以其体积为V ＝16×43π×13＝2π9. 答案：2π9三、解答题17．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：设正方体棱长为a . 如右图作出组合体的轴截面． 则OS ＝h ，OP ＝r ，OA ＝2a 2， ∵△SO ′A ′∽△SOP ， ∴O ′A ′OP ＝SO ′SO ，即2a 2r ＝h －ah，∴a ＝2rh 2r ＋2h ，即正方体的棱长为2rh2r ＋2h.18．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3.(1)求证：AC ⊥DE ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB .E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PDB ，所以AC ⊥DE . (2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PDB ， EF ⊂平面PDB ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .此时S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1.由△PDB ∽△FEB ，得PD EF ＝PBFB .由于EF ＝1，FB ＝4，所以PB ＝4PD .又PB ＝PD 2＋64，∴PD 2＋64＝4PD ， 解得PD ＝81515.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD＝13×24×81515＝641515.图甲19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直(右图甲)，图乙为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图乙所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积．图乙(2)图丙中，E 为棱PB 上的点，F 为底面对角线AC 上的点，且BE EP ＝CFF A ，求证：EF ∥平面PDA .图丙解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如下图．其面积为36 cm 2.(2)连接BF 并延长交AD 于G ，连接PG ， 则在正方形ABCD 中，BF FG ＝CF F A .又CF F A ＝BE EP ，∴BF FG ＝BE EP， ∴在△BGP 中，EF ∥PG .又EF ⊄平面PDA ，PG ⊂平面PDA ， ∴EF ∥平面PDA .20．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求证：平面SCD ⊥平面SCE . 证明：(1)连结AC 、AF 、BF 、EF . ∵SA ⊥平面ABCD ，∴AF 为Rt △SAC 斜边SC 上的中线， ∴AF ＝12SC .又∵ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB . 而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA ， 又AB ∩SA ＝A ，∴CB ⊥平面SAB .∴CB ⊥SB ， ∴BF 为Rt △SBC 斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC . ∴△AFB 为等腰三角形，EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝CE ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .21．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中点，点F ，G 分别是棱C 1D 1，AA 1的中点．设点E 1，G 1分别是点E ，G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解：(1)由题意知EE 1⊥平面DCC 1D 1，且四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为四边形FG 1DE 1.∵点E 是正方形BCC 1B 1的中心，∴EE 1＝1.∵SFG 1DE 1＝SDCC 1D 1－S △FD 1G 1－S △E 1C 1F －S △DCE 1， 由题设知点E 1、G 1分别是CC 1、DD 1的中点，∴SFG 1DE 1＝22－12×1×1－12×1×1－12×1×2＝2. 故所求的四棱锥体积为VE －FG 1DE 1＝13SFG 1DE 1×EE 1＝13×2×1＝23. (2)由(1)知，△E 1C 1F 与△G 1D 1F 均为等腰直角三角形，∴∠G 1FE 1＝π2⇒G 1F ⊥FE 1. ∵EE 1⊥平面DCC 1D 1，FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.又∵EE 1∩FE 1＝E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)由(1)的解答知E 1G 1∥AB ，∴∠EAB 即为E 1G 1与EA 所成的角． 连接EB ，由题意得EB ＝ 2.∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴△EBA 为直角三角形， ∴EA ＝EB 2＋AB 2＝(2)2＋22＝6，∴sin ∠EAB ＝EB EA ＝26＝33. 22．已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1(如右图)中，底面ABCD 是正方形，且DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD 1A 1中确定一个点F ，使得FB 1⊥平面BCC 1B 1；(3)求二面角F －CC 1－B 的余弦值(F 满足(2))． 解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，D 1(0,0，a )，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，C 1(0，a ，a )．(1)∵AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0,0，a )，∴cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝a 23a 2 a 2＝33，即直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)设F (x,0，z )，∵BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a,0,0)，FB 1→＝(a －x ，a ，a －z )，由FB 1⊥平面BCC 1B 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ FB 1→·BB 1→＝0FB 1→·BC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a (a －x )－a 2＋a (a －z )＝0－2a (a －x )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a z ＝0， ∴F (a,0,0)，即F 为DA 的中点．(3)由(2)知FB 1→＝(0，a ，a )为平面BCC 1B 1的一个法向量．设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的一个法向量， CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a,2a,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0－ax 1＋2ay 1＝0. 令y 1＝1得x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)，cos 〈n ，FB 1→〉＝n ·FB 1→|n ||FB 1→|＝ a ＋a 6·2a2＝33，即二面角F －CC 1－B 的余弦值为33.。
湖南省郴州市2023-2024学年三上数学第六单元人教版基础知识模拟卷
湖南省郴州市2023-2024学年三上数学第六单元人教版基础知识模拟卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。
（除标注外，每空1分）1.好客多超市采购牛奶36箱，采购雪碧的箱数是牛奶的5倍，好客多超市采购雪碧________箱，一共采购牛奶和雪碧________箱。
2.0与 相乘得 ．3.操场一圈450米，李老师跑了两圈，他再跑( )米就是1千米。
4.横线上最大能填几？80×________＜642 60×________＜2805.想一想，填一填。
6.校园里有松树25棵，柏树比松树少7棵，杨树的棵数等于松树和柏树总棵数的2倍。
杨树有________棵。
7.妈妈按“红一红一绿一黄一黄一黄”“红一红一绿一黄一黄一黄”的顺序一组一组穿珠子。
（1）妈妈穿第6个珠子时，这个珠子在第( )组，是( )色。
（2）妈妈穿了15组珠子，妈妈共穿了( )个珠子。
8.估一估，再写下来．21×9≈_____ 48×3≈______710×4≈_____ 599×2≈_____9.一袋盐重500克，( )袋这样的盐重2千克，如果每袋盐售价5元，买2千克这样的盐应付( )元。
评卷人得分二、仔细推敲，选一选。
（将正确答案的序号填入括号内）（每小题2分，10分）1.如图，凳子腿的高度是30厘米，把一根长2米的木料锯成凳子腿，可以做（）个这样的凳子。
A．1B．2C．32.计算□时，如果乘积的末尾是0，那么□里一定不是（）。
A．2B．3C．63.小诚拍球78下，小毅拍球数比小诚拍球数的2倍多一些，3倍少一些，小毅可能拍了（ ）下。
A．100B．150C．180D．2404.一个三位数乘8，积（）。
A．一定是三位数B．一定是四位数C．可能是三位数，也可能是四位数5.班级图书角放了一些图书。
高中全程训练计划数学文天天练4函数单调性与奇偶性Word版含解析
高中全程训练计划-数学文天天练4函数单调性与奇偶性Word版含解析函数的单调性与奇偶性天天练4—、选择题)?下列函数为奇函数的是(1 |sin?yy== BA. -—e D.y=eC.y=cos 2?0>+l)(f=,则下列结论正确的是2.己知函数WOcos)上是增函数)在(一8, +oog?f是偶函数?f(A)一1, +8的值域为[.f是周期函数 D?fC)3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(12 +=BA.y.=l+yl +e.y=.Cy=2+ D— 2h) 一4)的单调递增区间为(f=log(4.函数20)(—8, ) B.A.(0, +°°2) (—8, —) D.C.(2, +8,则不等式=0上为增函数，且f(l) 在(0, +8)f5.设奇函数？一—f?f?) V0的解集为((0,l) U(—8, -1)(1, +8)B.A.(一 1,0)U(0,1)U(—1,O), +8)D.C.(一8, -1)U(1上是增函数，则下列关系式中成1 ](一8, —f在6.若偶函数)(立的是 33?——(2) l,a的取值范围是［)［〕23 —, —30, — B.A.(］。
一 8, —2 — 8, C.D.已知定义在R上的奇函数f和偶函数g满足f+g=—+ 2(a>0,且 aHl)?若 g(2)=a,则 f(2)等于a-al5E..2 A4172 aDC,.—4 二、填空题+l+a?为奇函数，则a= .f=9.设函数lO.已知函数y=f是偶函数，且在［0, +8)上单调递减.若f(a)=cos,fHf(—),「.A 错误；B：当 WO 时，f=cos 在(一= >0时,f8, 0)上不是一直单调递增的,B错误；C：当2+ie(l) =, +(不是周期函数，C错误；D：当>0时，f+18),当W 0时，f=cosG[-l,l],函数的值域为[一1, +8), .d正确.3.D选项A中的函数是偶函数；选项E中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数.2-4>02得函数的定义域为(一4.D首先由hoo, —2)U(2, +°°)；再令 u=—4,则 y=logu 在(0, +8)是减2?—4 在(一8, —2)函数，又因为u=上是减函数；由复合函数的单h调性可知：函数f=log(—4)的单调递增区间为(一8, —2)；故一 2 选D.f? —f?—2f?=, =0)上为增函数，且 f(l)奇函数 f在(0, + 8 f>,即 f(一l)f(2)>ff(l)>f(2)- 22?,再有二次函数aaW6a2, B|J a>2 或 a2或a—m 即 m> —.② 一 21 由①?可知：一VmWl.一22为偶函数,l + ||+=)(f时，0=a当⑴解：.12.2+|—a|=+l 为非奇非偶函数；当 aHO 时，f1322— a + + l =, +a 时，f=—a(2)当时，R) = f = a+, mm242l 当 aW时，f不存在；一 mm21322H—a+l = , + 时，fQ=+—aa 当 $ 2412+1, a=f(a)=)dft寸乌11 —EIE亦 w ?^J?+Ha03l—M2Ieunul)J—<;e^n?生。
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第6模块 第4节[知能演练]一、选择题1．“a ＝1”是“对任意正数x,2x ＋ax≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：当a ＝1时，2x ＋a x ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)所以a ＝1⇒2x ＋ax ≥1(x >0)．a ＝1为2x ＋a x ≥1(x >0)的充分条件．反过来，对任意正数x ，当a ＝2时，2x ＋ax ≥1恒成立，所以2x ＋ax≥1a ＝1.故为非必要条件．故选A.答案：A2．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值解析：x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立． 答案：B3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( )A ．(－∞，－1]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝1＋(log 2x ＋log x 2)，如果x >1，则log 2x ＋log x 2≥2， 如果0<x <1，则log 2x ＋log x 2≤－2，∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D4．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 22<bB ．b <a 2＋b 22<aC ．a <b <a 2＋b 22D ．b <a <a 2＋b 22解析：a ＝2sin60°＝62>1，b ＝2sin62°，于是b >a ，淘汰B 、D ，又a 2＋b 22>ab >b ，从而a 2＋b 22>b >a .故选C.答案：D 二、填空题5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值为____________，此时x 的值为________．解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2≤129＝16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时取等号．答案：16±36．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d 千米处， 由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d5＝8， 当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．答案：5 三、解答题7．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值；(2)设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值；解：(1)∵x >0，a >2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝z >0，则x ＝z －1∴y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5≥2z ·4z＋5＝9 当且仅当z ＝2即x ＝1时上式取等号 ∴x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值．8．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)不等式f (x )>ax －5当0<x <2时恒成立，求a 的取值范围．解：(1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f (0)＝f (1)－2＝－2. (2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5， ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x ∈(0,2)时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时取等号，由3∈(0,2)，得(1＋x ＋3x )min ＝1＋23，∴a <1＋2 3.[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74B ．f (x )有最小值－1C ．f (x )有最大值1D ．f (x )有最小值1解析：∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)， ∴(x －1)2∈[0,4)， ∴f (x )＝(x －1)2＋1(x －1)2－1≥2(x －1)2·1(x －1)2－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1(x －1)2，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1. 答案：D2．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：由题意有3a ·3b ＝3a ＋b ＝(3)2＝3，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，等号当且仅当a ＝b ＝12时成立，故选B.答案：B3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥4.等号当且仅当a ＝b 且1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时成立．故选C.答案：C4．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下图四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为( )A ．τ1>τ4>τ3B ．τ3>τ1>τ2C ．τ4>τ2>τ3D ．τ3>τ4>τ1解析：第1个区域：先补成一个长方形，设长为a ，宽为b ，则周率为2a ＋2b a 2＋b2＝2(a ＋b )a 2＋b 2≤2 2.第2个区域：设大圆半径为2，则 周率为2π＋2π4＝π.第3个区域：将原图补成一个正三角形，设边长为a ，则周率为3aa＝3.第4个区域：设此区域的外接圆半径为R ，则其中大的正△ABC 的边长为3R ， ∴周率为33R ＋3R2R＝23，故选C.答案：C5．某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S ， 则半圆的周长为πy2，因为操场周长为400， 所以2x ＋2×πy2＝400，即2x ＋πy ＝400(0<x <200,0<y <400π)，∴S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·(2x ＋πy 2)2＝20000π， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝πy2x ＋πy ＝400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝200.∴当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝200π时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大．[备选精题]6．已知：x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0， (1)求xy 的最小值． (2)求x ＋y 的最小值．解：(1)由x ＋y －3xy ＋5＝0得x ＋y ＋5＝3xy . ∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy . ∴3xy －2xy －5≥0， ∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0，∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y .此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259.(2)解法一：由x ＋y ＋5＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2＝34(x ＋y )2， ∴34(x ＋y )2－(x ＋y )－5≥0， 即3(x ＋y )2－4(x ＋y )－20≥0， 即[(x ＋y )＋2][3(x ＋y )－10]≥0， ∴x ＋y ≥103，等号成立的条件是x ＝y ，即x ＝y ＝53时取得．故x ＋y 的最小值为103.解法二：由(1)知x ＋y ＋5＝3xy ，且(xy )min ＝259， ∴3(xy )min ＝253，∴(x ＋y )min ＝253－5＝103，5 3.此时x＝y＝。