高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)-11

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人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (5)(含答案解析)

A．的最大值是
B．的最大值是
C．过点做的切线，则切线方程为
D．过点做的切线，则切线方程为
19．已知直线：与：平行，则的值可能是（）
A．1B．2C．3D．5
三、填空题
20．已知方程为，过点的直线与交于，两点，则弦中点的轨迹方程为___________.
21．圆关于直线对称的圆的方程为___________.
2．C
【解析】
先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解.
圆：的圆心坐标为，圆：的圆心为，
由题得线段的垂直平分线就是两圆的连心线，
所以 ,
所以线段的垂直平分线为 .
所以线段的垂直平分线为 .
故选：C
方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.
8．D
【解析】
由|PA|=2|PB|得动点的轨迹方程为圆，将题意转化为两圆有交点，根据两圆的位置关系列出关于的不等式解出即可.
设的坐标为，
因为|PA|=2|PB|，A(-2，0)，B(1，0)，即，
化简得：，
又因为点在圆上，
所以，，解得，
故选：D.
关键点点睛：（1）根据题意得出动点的轨迹为圆；
（2）当时，为方程表示曲线上的任意一个点，求到直线距离的最大值.
39．（1）求过点且与原点距离为2的直线方程；
（2）求过直线与的交点，并且与垂直的直线方程.
40．已知圆经过，，三点，直线过定点 .
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程；

高中数学直线和圆的方程十年高考题(带详细解析) 知识点+例题

直线和圆的方程一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A.95B.91C.88D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=04.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（）A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（） A.21 B.23 C.1D.37.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（）A.21B.22C.23D.18.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.)3,6[ππB.)2,6(ππC.)2,3(ππD.]2,6[ππ9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 11.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（）A.等于0B.等于4π C.等于2π D.不存在12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |=|PB |，若直线P A 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=013.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（） A.x 2－x ＋y 2＝1 B.x 2y ＋xy 2＝1 C.x －y =1 D.x 2－y 2＝115.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（） A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A.y =3xB.y =－3xC.y =33xD.y =－33x17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是（）A.（0，1）B.（3,33） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（） A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x －2）2+y 2=3的位置关系是（）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（）A.6πB.4π C ．3πD.2π21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（）A.A 1A 2＋B 1B 2＝0B.A 1A 2－B 1B 2＝0C.12121-=B B A A D.2121A A B B =122.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（）A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（）A.－3B.－6C.－23 D.32 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］ D.［0，21） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（）A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（） A.25B.5C.23D.25图7—130.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=3x+3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x －1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y ＋8＝0距离的最小值为．33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为．34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b） C1∩C2的一个充分条件为．37.（2001上海，11）已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋（y－3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程.46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=lo g8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝lo g2x的图象交于C、D 两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为 1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：B 解析一：由y =10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB 内部和边上的整点共有26176+=91（个）评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd∵θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞22∴d ＞r ∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．图7—2解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－16.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案． 7.答案：D解析：如图7—3所示，∠AOB ＝60°，又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>00y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈（33，＋∞）∴倾斜角范围为（2,6ππ）方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.9.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1 因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.图7—3图7—4解析：直线x =1垂直于x 轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B解析一：设P =1+bi ，则Q =P （±i ）， ∴Q =（1+bi ）（±i ）=±b i ，∴y =±1 解析二：设P 、Q 点坐标分别为（1，t ），（x ，y ）， ∵OP ⊥OQ ，∴1t·xy=－1，得x +ty =0 ①∵|OP |=|OQ |，∴2221y x t +=+，得x 2+y 2=t 2+1②由①得t =－y x ，将其代入②，得x 2+y 2=22y x +1，（x 2+y 2）（1－21y）=0.∵x 2+y 2≠0，∴1－21y=0，得y =±1. ∴动点Q 的轨迹为y =±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称． 15.答案：B 解析：直线（23-）x +y =3的斜率k 1＝32-，直线x +（32-）y =2的斜率k 2＝23+，∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．16.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1，解得k =±33，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =33x ．解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =33x . 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美图7—5结合，可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线l 1的倾斜角为4π，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（4π－12π，4π）∪（4π，4π+12π）即:（6π，4π）∪（4π，3π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:（33，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.18.答案：B解析：由方程（x +2）2+（y －2）2=4如图7—6所示，故圆关于y =－x 对称故选B.评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.19.答案：C解析：直线y =33x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C解析：如图7—7所示，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+4032322y x y x消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）∴|AB |=22)30()12(-+-=2又|OB |＝|OA |=2∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =3π，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB 的倾斜角为120°.则等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加体现出平面几何的意义.21.答案：A图7—6图7—7解法一：当两直线的斜率都存在时，－11B A ·（22B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0001221B A B A 或，同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.22.答案：C解析：由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－a A sin ，k 2=Bbsin . 由正弦定理知k 1·k 2=－a A sin ·Bbsin =－1，故两直线垂直. 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.23.答案：C解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B解析一：若两直线平行，则22123-≠-=a ，解得a ＝－6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B 正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0，当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意.评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）图7—8不能用方程bya x +=1表示；D 中过A （0，b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C.评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B解析：直线方程可化为2x －y =0，d =55|5|=-. 评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60°解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.31.答案：a =4±5解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =5|22|+-a =1，解得a =4±5. 评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 33.答案：22解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形P ACB ＝2S △P AC图7—9＝2·21·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形P ACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形P ACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S P ACD =22. 34.答案：34解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0， ∴两切线交角的正切值为34．解法二：设两切线的交角为α∵tan212=α，∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 35.答案：34解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43，图7—10图7—11即tan α＝43 当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 36.答案：F 1（a ，b ）≠0，或F 2（a ，b ）≠0，或F 1（a ，b ）≠0且F 2（a ，b ）≠0或C 1∩C 2=∅或P ∉C 1等解析：点P （a ，b ）∉C 1∩C 2，则可能点P 不在曲线C 1上；可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1上也不在曲线C 2上；可能曲线C 1与曲线C 2不存在交点.37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0 解析：设圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2 ① （x －c ）2＋（y －d ）2＝r 2 ② （a ≠c 或b ≠d ），则由①－②，得两圆的对称轴方程为：（x －a ）2－（x －c ）2+（y －b ）2－（y －d ）2=0，即2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0.评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.38.答案：（x －1）2+（y －1）2=1 解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1. 故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°. 又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案：x +y －4=0解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的中点是P （3，1），所以k CP =2301--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=221426k k k ++-=6，解得k =1.解析三：设所求直线与圆交于A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-9)2(9)2(22222121y x y x②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0 又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴1212x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x +2）2+（y －3）2=4 解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.42.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）由||||PB PA =a （a >0），得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0.整理，得：（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，解得x 1=31，x 2=3. ① ②图7—12所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2，解得y =－9314. 但y =－9314不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即y >392时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2. 圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 令x =－1得y =932. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）. 令x =－1得y =－3310.又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2，所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33，直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0．解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．45.解：设圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 令x =0，得y 2－2by +b 2+a 2－r 2=0. |y 1－y 2|=222122124)(a r y y y y -=-+=2，得r 2=a 2+1①令y =0，得x 2－2ax +a 2+b 2－r 2=0， |x 1－x 2|=r b r x x x x 224)(2221221=-=-+，得r 2=2b 2②由①、②，得2b 2－a 2=1又因为P （a ，b ）到直线x －2y =0的距离为55，得d =555|2|=-b a ，即a －2b =±1. 综上可得⎩⎨⎧=-=-;12,1222b a a b 或⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解得⎩⎨⎧-=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a于是r 2=2b 2=2.所求圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=2或（x －1）2+（y －1）2=2. 46.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1，从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -，所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1 当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.47.（1）证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1），B （x 2，lo g 8x 2）.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =，又点C 、D 的坐标分别为（x 1，lo g 2x 1），（x 2，lo g 2x 2）由于lo g 2x 1＝2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2log log 828x ＝3lo g 8x 2，所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====.由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上.（2）解：由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13 将其代入228118log log x x x x =，得x 13lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0，故x 13＝3x 1，x 1＝3，于是点A 的坐标为（3，lo g 83）.评述：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.48.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2= t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t1（x －1），令x =0得y =t +t 1，点L 的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t t)1(21tt += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞ S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 图7—13图7—14当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ），所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.49.解：如图7—15，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P ={M ||MN |=λ|MQ |}，（λ>0为常数）因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.设点M 的坐标为（x ，y ），则2222)2(1y x y x +-=-+λ整理得（λ2－1）（x 2+y 2）－4λ2x +（1+4λ2）=0当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直，交x 轴于点（45，0）；当λ≠1时，方程化为（x －1222-λλ）2+y 2=)1(3122-+λλ它表示圆心在（1222-λλ，0），半径为|1|3122-+λλ的圆. 评述：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.图7—15。

人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)(含答案解析)

选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，P 、Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则EPQ △周长的最小值为（）A ．BC ．D ．2．已知直线l 过定点()0,1，则“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．一束光线，从点A (-2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：()()22331x y -+-=上的最短路径的长度是（）A ．1B ．1C ．1D ．14．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．2y x =-+ D ．2y x =+5．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（）A ．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+6．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．107．已知直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，则41b c+的最小值是（）. A ．9 B ．8 C ．4 D ．28．在[2-，2]上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为（） A ．14B ．12C ．23D ．349．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（）A ．2BC ．D ．4二、多选题10．定义点()00,P x y 到直线l :()2200ax by c a b ++=+≠的有向距离为=d 已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d .以下命题不正确的是（） A ．若121d d ==，则直线12PP 与直线l 平行 B ．若11d =，21d =-，则直线12PP 与直线l 垂直 C ．若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直 D ．若120d d ⋅≤，则直线12PP 与直线l 相交11．已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，若△ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（） A ．12B ．1C ．2D ．412．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（） A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．已知点P 在圆C ：()()22455x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则下列说法中正确的是（）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．cos APB ∠的最大值为45D ．APB ∠的最大值为2π 15．（多选题）下列说法正确的是（）A ．直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是2B ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C ．点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,2)D ．经过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线条数共有6条三、填空题16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是______．17．已知点Q 是直线l ：40x y --=上的动点，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，18．已知直线:l y x b =+，曲线:C y b 的取值范围是______． 19．已知()3,1A -，()5,2B -，点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值，则点P 的坐标是___________.20．已知圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，且与直线20x y -=相交于,A B 两点，若AB 4=，则实数m =___________.21．已知直线l 经过点()4,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程______． 22．已知(),P x y 为圆221x y +=上的动点，则3410x y ++的最大值为________．23．设点P (x ，y )是圆C ：x 2+(y -2)2=1上的动点，定点A (1，0)，B (－1，0)，则PA PB ⋅的最大值为_____24．已知(),0C m ，若以C 为圆心的圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ，则圆C 的标准方程是______．25．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______. 26．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________. 27．已知复数z 满足1i z z -=-（其中i 为虚数单位），则2i z +-的最小值为________． 28．设直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈与圆222(1)(0)x y r r -+=>交于A ，B 两点，C 为圆心，当实数m 变化时，ABC 面积的最大值为4，则2mr =______.29．圆2221: 290C x y ax a +++-=和圆2222: 4140C x y by b +--+=只有一条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2241a b +的最小值为___________. 30．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.四、解答题31．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.32．已知点()1,3M ，圆C ：()()22214x y -++=.（1）若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 33．已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求斜率为1且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP △面积的最大值.34．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：（1）120APBAPC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．35．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -+≤≤时，求折痕长的最大值；（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值36．已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 37．如图，已知圆()22:19M x y -+=，点()2,1A -．（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围．38．已知直线l ：450x ay +-=与直线l ′：20x y -=相互垂直，圆C 的圆心与点(2，1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (-1，-1)．（1）求直线l 与圆C 的方程．（2）过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率满足k MP ＋k MQ =0，求证：直线PQ 的斜率为1．39．已知直线l ：10x y -+=，点()12，A --．（1）求过点A 且与l 垂直的直线方程；（2）求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；40．已知直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12//l l ()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l（1）A 点坐标；（2）直线l 的方程．41．已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =．（1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分∠EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．42．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()30A -,. （1）设动点(),M x y ，满足2=MA MO ，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）已知Q 点的坐标为()3,3-，求过点Q 且与C 相切的直线方程.43．已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．44．如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB 的面积为24.点P 为线段AB 上一动点，且//PQ OB 交OA 于点Q .（1）求直线AB 斜率的大小；（2）若APQ 的面积APQS与四边形OQPB 的面积OQPB S 满足：13APQ OQPB S S =△时，请你确定P 点在AB 上的位置，并求出线段PQ 的长；（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.45．已知ABC 的三个顶点()30A -，，2(3)B -，，(01)C ，. （1）求ABC 外接圆的方程；（2）求ABC 内切圆的方程.46．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .（1）求切点1P 坐标和切点n P 的坐标；（2）已知()f x x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭n n x y <.47．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，（1）求AB 所在圆与CB 所在圆的公共弦方程；（2）求CB 与BA 的公切线方程.48．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45︒的方向做匀速直线航行，速度为/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1tan 2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方向作匀速直线航行，速度为/小时.（1）求出发后3小时两船相距多少海里？（2）求两船出发后多长时间距离最近？49．已知圆()22:11M x y -+=，15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B t ，()()0,404C t t -<<，直线,PB PC 都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.（1）过点A 的直线l 被圆M l 的方程；（2）当1t =时，求点P 的横坐标；（3）求PBC 面积的最小值.五、双空题50．已知直线1:30l x y -+=，2:20l x y +=相交于点A ，则点A 的坐标为_________，圆22:+C x y 2410x y -++=，过点A 作圆C 的切线，则切线方程为__________.【答案与解析】1．B 【解析】先分析出P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，过P 作在平面BCC 1B 1的投影P ',连接,P Q P E '',则,PQ P Q PE P E ''>>,所以只有P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，把△PEQ 的周长转化为PQ PN QM ++，当,,,N P Q M 共线时，周长最短，即可求解.所以△PEQ 的周长可以转化为PQ PN QM ++. 当,,,N P Q M 共线时，周长最短.则=PQ PN QM MN ++.因为E 为中点,所以111,1C N C E CM CE ====，所以△PEQ 的周长为MN即EPQ △. 故选:B距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 2．B 【解析】首先根据题意求直线l ，再判断充分，必要条件. 当直线斜率存在时，直线l 的方程是1y kx =+，圆心()2,0到直线10kx y -+=的距离2d =，解得：34k =，当直线斜率不存在时，直线l 的方程是0x =与圆()2224x y -+=相切，综上可知，“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的必要不充分条件.故选：B 3．A 【解析】求出点A 关于x 轴对称点A '，再求点A '与圆C 上的点距离最小值即可. 依题意，圆C 的圆心(3,3)C ，半径1r =，点A (-2，2)关于x 轴对称点(2,2)A '--，连A C '交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，如图，圆外一点与圆上的点距离最小值是圆外这点到圆心距离减去圆的半径，于是得点A '与圆C 上的点距离最小值为1A B A C r ''=-=1=，在x 轴上任取点P ，连,,AP A P PC '，PC 交圆C 于点B '，而,AO A O AP A P ''==，AO OB A O OB A B A C r A P PC r AP PB '''''+=+==-≤+-=+，当且仅当点P 与O 重合时取“=”，所以最短路径的长度是1. 故选：A 4．D 【解析】本题首先可求出两圆的圆心，然后根据题意得出直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果. 224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，224440x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为2，因为圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，所以直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直，则直线l 过点()1,1-，斜率112020k，故直线方程为11y x -=+，即2y x =+，故选：D. 5．A 【解析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形，其中AB＝2，BC ，则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=；故选：A ．6．C【解析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9 故选：C 7．A 【解析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解：圆22250x y y +--= 即22(1)6x y +-=，表示以(0,1)C 的圆．由于直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，故有1b c +=．∴()()5414152494c b c b b c b cb c +=+=++++= 当且仅当223b c ==时，取等号，故41b c+的最小值为9，故选：A ． 8．B 【解析】先求出直线与圆有公共点的k 值区间，再利用几何概型即可求出概率.显然，圆(224x y -+=的圆心坐标为0)，半径为2，直线y kx =与圆(224x y -+=2≤，解得11k -≤≤，在[2-，2]上随机取一个数k 的试验的全部结果构成的区间长度为4，“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”的事件A 的区间长度为2，于是得21()42P A ==，事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为12.故选：B 9．C 【解析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥，再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值．由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为3d =<（半径）故直线l 和圆相交；当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，APB ∠才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤，得90APB ∠≥， 90MPN ∴∠≥；当90MPN ∠=时，32sin sin 452MPC PC ∠===，PC ∴=设()00,2P x x +，PC ==解得：0x =设())2,2E F，如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥，线段EF 长度的最大值为EF ==故选：C 10．BCD 【解析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可设()111,P x y , ()222,P x y ,选项A, 若121d d ==, 则1122ax by c ax by c ++=++=则点12,P P 在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP 与直线l 平行, 所以正确;选项B, 点12,P P 在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等, 直线12PP 不一定与l 垂直, 所以错误; 选项C, 若120d d ==, 满足120d d +=, 即11220ax by c ax by c ++=++=, 则点12,P P 都在直线l 上, 所以此时直线12PP 与直线l 重合, 所以错误; 选项D, 若120d d ⋅≤, 即()()11220ax by c ax by c ++++≤, 所以点12,P P 分别位于直线l 的两侧或在直线l 上, 所以直线12PP 与直线l 相交或重合, 所以错误. 故选：BCD 11．AC 【解析】根据ABC 的形状先判断出CAB ∠的大小，然后结合圆心到直线的距离d 以及sin CAB ∠的取值范围求解出a 的取值范围.由题意，圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r，由于△ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒，设圆心C 到直线l 的距离为d，则d =则0sin 2d CAB r <∠==<，且直线不经过圆心，即20a a +-≠，整理可得24101a a a ⎧-+<⎨≠⎩，解得22a <<+，且1a ≠.所以()(21,2a ∈⋃. 故选：AC. 12．ABD 【解析】对A ，根据斜率相乘为1-可判断；对B ，可直接求出定点可判断；对C ，取特殊的点代入即可判断；对D ，联立直线求出交点即可表示出MO 即可求出最值.对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO MO，故D 正确. 故选：ABD. 13．ABD 【解析】对于A ，设点(),P x y ，由||1||2PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为44，而34]∈，所以选项B 正确；对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误；对于选项D ，C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|55d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确；故选：ABD ． 14．BCD 【解析】首先求出线段AB 的中点，即可求出线段AB 的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出P 到直线AB 的距离的最值，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，数形结合即可求出cos APB ∠的最大值；解：(4,0)A ，(0,2)B ，所以线段AB 的中点为()2,1M ，201042AB k -==--，所以线段AB 的垂直平分线为()122y x -=-，即23y x =-，因为圆C ：()()22455x y -+-=，圆心()4,5C ，半径r = 又点()4,5C 恰在直线23y x =-上，所以点P 到直线AB 的距离最小值为2CM r -=，最大值为6CM r +=，由正弦定理可知，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，此时cos APB ∠最大，此时P 恰在23y x =-与()()22455x y -+-=的一个交点上，由()()2245523x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩解得57x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以()5,7P ，所以AP =PMcos PM APM AP ∠==24cos cos 22cos 15APB APM APM ∠=∠=∠-=，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，此时2APB π∠=，故C 、D 正确；故选：BCD15．AC 【解析】选项A 先求出直线20x y -+=与两坐标轴的交点坐标，再求面积；选项B 利用直线方程的条件限制判定；选项C 利用求一点关于直线对称的点的步骤求解；选项D 分截距为零和截距不为零讨论，对于截距不为零的利用截距式方程求解.选项A ：因为直线20x y -+=与两坐标轴的交点为()2,0A -，()0,2B ，所以直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是12222⨯-⨯=，故选项A 正确；选项B ：直线方程写成11y y x x y y x x --=--的条件为1212,y y x x ≠≠，故选项B 错误；选项C ：设点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(),m n ，由1110,221111m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得0,2m n =⎧⎨=⎩，故选项C 正确；选项D ：当截距为零时，有一条43y x =；当截距不为零时，设直线方程为1x ya b+=，因为过定点(3,4)P ，所以341a b +=，即1243b a =+-，又a ，b 均为正整数，所以3a -必为12的正因数1，2，3，4，6，12，共6种情况，故综合起来应该有7条，故选项D 错误．故选：AC.16．(3230x y -- 【解析】先求出射线OA ，OB 的方程，(),A m m，(),B n ，可得点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =以及Ap BP k k =列方程组可得m 的值，再求出Ap k ，由点斜式可得直线方程. 由题意可得tan 451OA k ==，()3tan 18030tan1503OB k =-==-，所以直线OA 的方程：y x =，直线OB 的方程：y =，设(),A m m ，(),B n ，所以AB 的中点2m n C ⎫+⎪⎪⎝⎭，由点C 在直线12y x =上，且,,A P B 三点共线得：12201m n m m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：m ，所以A又()1,0P，所以AB AP k k =，所以直线AB 的方程是：)1y x =-，即(3230xy --=，故答案为：(3230x y --=. 17．(1，－1) 【解析】恒过的定点坐标.由题意可设Q 的坐标为(m ，n )，则m －n －4＝0，即m ＝n ＋4，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为mx ＋ny －4＝0，又由m ＝n ＋4，则直线AB 的方程变形可得nx ＋ny ＋4x －4＝0，则有0440x y x +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则直线AB 恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).18．1b ≤<【解析】由直线、曲线方程画出对应的图形，应用数形结合法，确定对应图形有两个交点时参数b 的取值范围.y x b =+表示斜率为1的平行直线系；y x 轴及其上方的半圆，如图所示．当l 通过()1,0A -，()0,1B 时，l 与C 有两交点，此时1b =，记为1l ；当l 与半圆相切时，此时b =2l ；当l 夹在1l 与2l 之间时，l 和C 有两个不同的公共点．综上，1b ≤<故答案为：1b ≤<19．1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】求出点A 关于直线0x y +=的对称点E ，则直线BE 与0x y +=的交点即为所求. 点()3,1A -关于直线0x y +=的对称点为()1,3E -，又()5,2B -，则直线BE 的方程为135123x y -+=--+，即4130x y --=，联立41300x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得135x =，135y =-，所以使PA PB +取最小值的点P 的坐标是1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．-7 【解析】根据题意可知半径r m =-，进而算出圆心到直线的距离，再根据弦长为4，通过勾股定理列出等式即可解出.因为圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，所以半径r m =-，圆心到直线20x y -=的距离d =又因为AB 4=，由()2222212||425m AB r d m -⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭，因为0m <，所以7m =-. 故答案为：-7.21．7y x =-+或34y x = 【解析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为1-，或直线过原点，结合直线过点()4,3P 即可求解，有两种情况因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为1-，或直线过原点，当直线斜率为1-时，因为直线过点()4,3P ，根据点斜式，直线方程为：()34y x -=--，化简得：7y x =-+；当直线过原点时，34k =，所以直线方程为34y x =故答案为：7y x =-+或3y x =22．15 【解析】设3410t x y =++，即34100x y t ++-=，由直线与圆相切可得t 的范围，即可求解. 设3410t x y =++，则34100x y t ++-=，直线与圆相切时圆心()0,0到直线34100x y t ++-=的距离1d =，1=，解得：5t =或15t =，所以515t ≤≤，所以5341015x y ≤++≤，所以3410x y ++的最大值为15，故答案为：15. 23．8 【解析】用点P 的坐标表示出PA ，PB ，再求出PA PB ⋅并借助点P 在圆C 上的条件即可作答. 因点(,)P x y 在圆C 上，即22(2)1x y +-=，则22(1)2x y =--，且13y ≤≤，而(1,),(1,)P PA x y x y B =--=---，于是得22221(2)44PA x y y y y PB ⋅=-+=--+=-，显然44y -在[1,3]y ∈上单调递增，则当3y =时，max (44)8y -=，即max ()8P PA B ⋅=，所以PA PB ⋅的最大值为8. 故答案为：824．()22740x y -+=．【解析】根据题意直接可求出n ，再根据切线的性质可得直线CT 与直线310x y +-=垂直，从而求出m ，进而求得半径，即可得出答案.解：根据题意，圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ，则()1,T n 在直线310x y +-=上，则有310n +-=，解可得2n =-，又由圆心C 的坐标为(),0m ，直线310x y +-=的斜率为3-，则有0113n m -=-，解可得7m =，圆的半径r TC == 故圆C 的标准方程是()22740x y -+=；故答案为：()22740x y -+=． 25．(1,2) 【解析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --= 点()00,x y 到直线l的距离为d===()20150y x =-+>在01x =时，min d ==02y =，故答案为：(1,2) 26【解析】根据题意,设原点到直线的距离为d ,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M (1,2),分析可得d OM ≤，即可得答案.根据题意，设原点到直线的距离为d .直线()()():1130l m x m y m ++-+-=,即()130m x y x y -+++-=则有1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,即直线l 恒过定点(1,2).设M (1,2),则d OM ≤即原点到直线l故答案为:.27【解析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数1和i 对应点(1,0)A ，(0,1)B 距离相等，即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则2i z +-的最小值即可转化为点(2,1)-到垂直平分线的距离求解．如图所示,设复数z ，1，i 对应的点分别为(),P x y ，(1,0)A ，(0,1)B , 由题意1i z z -=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:0x y -=, 由|i 2i ||(2)(1)i |2i z x y x y =++-=+-++-,所以2i z +-的最小值即为点(2,1)C -到直线l 的距离,则由d CP ==,即2i z +-的故答案为:本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题． 28．4-或28-．【解析】求出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出弦长，计算ABC 的面积，从而求出直线的斜率与方程．解：直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈，直线l 的方程可化为：()(23)0x y m x y -++++=，可得230y xx y =⎧⎨++=⎩，直线恒过：(1,1)--．圆222(1)(0)x y r r -+=>的圆心(1,0)，半径为：r ．圆心C 到直线l 的距离为：d ；所以三角形ABC 的面积为211||22ABCS AB d r =⋅⋅≤，2142r =，解得r =2d =．2，解得12m =-或72m =-所以，24mr =-或28-．故答案为：4-或28-． 29．4 【解析】首先将两圆方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相内切，即可得到31-，从而得到2244a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；解：因为圆2221:290C x y ax a +++-=和圆2222:4140C x y by b +--+=，所以圆()221:9C x a y ++=和圆()222:21C x y b +-=，圆心分别为()1,0C a -，()20,2C b ，半径分别为3和1，依题意可知两圆31=-，所以2244a b +=，因为a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，所以()22222222224416411111884444a b a b a a b b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝+⎝⎭，当且仅当222216b a a b =时，等号成立，所以2241a b +的最小值为4；故答案为：430．【解析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为6AC =，所以()30A -,，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =，所以：()()22223434x y x y ++=-+，化简得：()22516x y -+=，且1x ≠，9x ≠，圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大，此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以BC ==故答案为：31．（1）40x -=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）算出OP k ，然后可算出答案；（2）可得()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，然后表示出直线1AQ ，2AQ 的方程，然后可得0m =n =，然后可算出mn 的值.（1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O在点P处的切线方程为)1y x =-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ，因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x=，得0m =由20:1)AQ y x -，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 32．（1）158390x y +-=或1x =；（2）()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由条件求出圆心到直线l 的距离，然后分直线l 的斜率不存在、直线l 的斜率存在两种情况求解即可；（2）设()00,N x y ，(),P x y ，然后由()()2200214x y -++=，中点坐标公式可得答案.（1）因为直线l 被圆C截得的弦长为所以圆心到直线l1=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，满足当直线l 的斜率存在时，则其方程为()13y k x =-+所以1518d k ==⇒=-，此时直线方程为158390x y +-= 综上：直线方程为158390x y +-=或1x = （2）设()00,N x y ，(),P x y 则()()2200214x y -++= 因为P 是MN 中点，则满足000012122332x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入方程得：()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭33．（1）1y x =±；（2）10+【解析】（1）设直线方程为：y x b =+，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解. （2）易得点P 到直线AB 的距离的最大值为圆心到直线的距离d 与圆的半径之和，即max h d r =+，然后()()max12ABP SAB d r =⨯⨯+求解. （1）设直线方程为：y x b =+，圆C ：()2214x y ++=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即21d b ==⇒=±，所以直线l 方程为：1y x =±.（2）AB == 直线AB 的方程为：4y x =-+，圆心到到直线AB 的距离为：d ==所以点P 到直线AB 的距离的最大值为max 2h d r =+，所以()max 12102ABP S⎫=⨯=+⎪⎪⎝⎭.34．2【解析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC 是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合，令ABC 的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC 是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a =a =P ⎫∴⎪⎪⎝⎭到A 、B 、C 的距离分别为PA PB =2PC =，,即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则2PA PB PC ++=35．（1）2122k y kx =++；（2）2；（3）-【解析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A 点落在G 点，则斜率相乘为1-，从而得到G 点的坐标关于k 的表达式，写出折痕所在的直线方程（2）当20k -+≤≤，分析可得折痕交在BC 和y 轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于k 的表达式，结合k 的范围求出最大值（3）当21k -≤≤-时，折痕交在DC 和x 轴上，求出PQ 的表达式，代入求出t 关于k 的表达式，结合k 的范围求出t 的最大值（1）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =； ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有111OG k k k a k a⋅=-⇒⋅=-⇒=-，故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标，即线段OG 的中点为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++，由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++；（2）当0k =时，折痕的长为2，当折痕刚好经过B 点时，将()2,0代入直线方程得：2410k k ，2k =-+2k =-时，A 点不在线段DC 上，舍）当20k -<时，折痕两个端点一定在BC 和y 轴上，直线交BC 于点212,222k P k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y轴于210,2k Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(22222211||224444732222k k PQ k k ⎡⎤⎛⎫+=+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴2= ，而22>，故折痕长度的最大值为2；()3当21k -≤≤-时，折痕的两个端点一定在DC 和x 轴上，直线交DC 于1,122kP k ⎛⎫-⎪⎝⎭，交x 轴于21,02k Q k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2222111||11222k k PQ k k k ⎡⎤+⎛⎫=---+=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，22(2||1)t k PQ k k∴=-=+， 21k -≤≤-，2k k∴+≤-当且仅当()21k =--，时取“=”号)，∴当k =t 取最大值，t 的最大值是-本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．36．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+. 【解析】（1）设圆C 的圆心和半径，根据已知条件用待定系数法列方程求解（2）设设直线方程1y kx =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=，所以需要含参直线与圆联立方程，根据韦达定理进行计算，一个方程求解一个未知数解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-= （2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并。

直线和圆综合练习题集附答案解析

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．B ．C ．，不存在D ．，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限的部分有交点，则k 的取值围是（）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

高中数学直线和圆知识点总结+习题

直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x y a b +=（5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212k k b b ==相交：12k k ≠平行：1212 k k b b =≠垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A AB B +=相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d O O =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线；当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线；当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =例题：例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为____________________．例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．例10(1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上.(1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.。

高中直线和圆数学知识点(详细)

高中直线和圆数学知识点(详细)高中直线和圆数学知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。

而其到角是带有方向的角，范围是4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”(1)过圆上一点圆的切线方程如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程， (为圆心到直线的距离).7.曲线与的交点坐标方程组的解;过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.高考数学答题有什么策略1.调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。

高中有关圆的练习题及讲解

高中有关圆的练习题及讲解### 高中数学：圆的练习题及讲解#### 练习题一：圆的方程题目：已知圆心在(2,3)，半径为5，求这个圆的标准方程。

解答：圆的标准方程为 \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \)，其中 \( (h,k) \) 是圆心的坐标，\( r \) 是半径。

将已知的圆心坐标(2,3)和半径5代入公式，得到：\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2 \]\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \]#### 练习题二：圆与直线的位置关系题目：已知直线 \( y = x + 1 \) 与圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 \)，求直线与圆的位置关系。

解答：首先，确定圆心和半径。

圆心为(1,2)，半径为3。

接着，计算圆心到直线的距离 \( d \)：\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]对于直线 \( y = x + 1 \)，即 \( Ax + By + C = 0 \)，我们有\( A = 1, B = -1, C = -1 \)，圆心坐标 \( (x_0, y_0) = (1, 2) \)。

代入公式计算得：\[ d = \frac{|1\cdot1 - 1\cdot2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]因为 \( d < r \)（\( \sqrt{2} < 3 \)），所以直线与圆相交。

#### 练习题三：圆的切线题目：在圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 上求一点P，使得过P的切线与直线 \( y = x \) 平行。

解答：圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 的圆心在原点(0,0)，半径为5。

过P的切线与直线 \( y = x \) 平行，意味着切线的斜率为1。

高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含答案解析)

高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含(Han)答案解析)【知识要(Yao)点】圆的(De)定义：平面内与一定点距离(Li)等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标(Biao)准方程形如：这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :。

问题：形如022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：（1）当时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以为圆心，以为半径的圆。

（2）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为,所以表示一个点)2,2(ED --.（3）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（i ）的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式(Shi)，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利(Li)用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作(Zuo)判断(Duan): 当(Dang)d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。

高中数学直线和圆专项练习

高中数学直线和圆一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

130y +-=的倾斜角是A ．6πB ．3πC ．65πD ．32π 2.直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃ 3. 若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于A ．1B ．13-C ．23- D ．2- 4. 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππ D.[0,]2π 5. 00(,)M x y 为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交6. 已知直线1l 的方程为y x =，直线2l 的方程为0ax y -=（a 为实数）．当直线1l 与直线2l 的夹角在（0，12π）之间变动时，a 的取值范围是 A.，1）∪（1，） B.） C.（0，1） D.（1）7.若点（5，b ）在两条平行直线6x －8y +1=0与3x －4y +5=0之间，则整数b 的值为A ．5B ．－5C ．4D ．－48．如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么14()2x y 的最大值为 A ．2 B ．1 C ．12 D ．149．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为Ａ．4±Ｂ．± Ｃ．2±Ｄ．10．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支11．已知圆22:1C x y +=，点A （－2，0）及点B （2，a ），从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是A.（－∞，－1）∪（－1，+∞）B.（－∞，－2）∪（2，+∞）C.（－∞，+∞） D.（－∞，－4）∪（4，+∞） 12．在圆x 2+y 2＝5x 内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差]31,61[∈d ，那么n 的取值集合为 A ．{4，5，6，7} B ．{4，5，6} C ．{3，4，5，6} D ． {3，4，5}题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (4)(含答案解析)

选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (4)一、单选题1．已知A 、B 是圆O ：224x y +=上两个动点，点P 的坐标为(2,1)，若PA PB ⊥，则线段AB 长度的最大值为（）A ．3B ．2C ．D 2．在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过△ABC 的重心，则三角形PQR 周长等于（）A B C ．D3．直线:20+=l x ，若1l l ⊥，则1l 的倾斜角是（） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．若直线y kx =与曲线2y =k 的取值范围是（） A ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论： ①直线l 的倾斜角为a ；②无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；③若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1； ④若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．设点(,1)M m ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则m 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]22-,D ．⎡⎢⎣⎦7．直线:cos 0l x θ=被圆22650x y x +-+=截得最大弦长为（）A B C D ．38．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆 22:(3)9,Q x y ++= 圆224:(4)L x y ++=，圆 22:(4)4,S x y -+=若过原点的直线 l 与圆L 、S 均相切，则l 截圆Q 所得的弦长为（）A ．3B ．2C ．32D ．19．直线330kx y k -+-=与曲线2y =k 的取值范围是（） A ．1[,)4+∞B ．3(,)4-+∞C ．(]31,44-D ．31(,)0,44⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦10．已知直线10x y ++=与圆C 相切，且直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，则圆C 的方程为（）A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y -++= C ．()()22212x y -+-=D ．()()22212x y -++=11．已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是直线30x y --=的动点，()0,1C ，则BA BC +的最小值为（）A ．B ．C ．7D ．512．已知直线20x ay +-=与圆C ：()()2214x a y -++=相交于A ，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数a =（）A ．BC ．D 13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（） A ．1或3B ．2C ．5D ．1或514．已知点P 0y =上的动点，则点P 到直线34100x y --=距离的取值范围是（） A ．71,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,3C ．713,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．如图，棱长为2正方体1111ABCD A B C D -，O 为底面AC 的中心，点P 在侧面1BC 内运动且1D O OP ⊥，则点P 到底面AC 的距离与它到点B 的距离之和最小是（）A ．85B ．125C D ．16．直线()():2311l a y a x -=--不过第二象限，则a 的取值范围为（） A ．2a <B ．23a -≤≤C ．2a ≥D ．4a ≥17．已知直线2y kx =-上存在点P ，满足过P 点作圆224240x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数k 的最小值为（） A ．512-B ．1-C ．1D ．512二、填空题18．设m R ∈，过定点A 的动直线20mx y m --=和过定点B 的动直线10x my +-=相交于P 点（点P 与点A B ，不重合），则PAB △的面积的最大值为_________．19．若直线y kx =与曲线2y =k 的取值范围是________．20．圆224230x y x y +-+-=上恰好有两点到直线0x y a +-=a 的取值范围是___________.21．若直线1y kx =+与函数()2,0224x x f x x -≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的图象恰有3个不同的交点，则k 的取值范围为__________.22．过点P 的直线l 与曲线y A ，B 两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为____________. 23．已知直线11:42k l y kx =-+，直线()22224:40l y x k k k=-++≠，若直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，则当4k >时，这个四边形面积的取值范围是___________.24．平面内，动点P 到点()0,2A 的距离与点Р到点()0,6B -的距离之比为13，且点P 又在直线(y k x =-上，则k 的最小值是__________．25．已知点()3,0A 、()0,4B ，点P 在圆221x y +=上运动，则点P 到直线AB 的距离的最小值为________．26．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(6,8)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是_______.27．若圆22:1C x y +=被直线:l y x m =+m =________三、解答题28．求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程．29．已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:4320C x y x y ++++=，证明圆1C 与圆2C 相交，并求圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程．30．赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m ．求这座圆拱桥的拱圆的方程．31．求与圆22:20C x y x y +-+=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程．32．某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m ，现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？33．如图，某台机器的三个齿轮，A 与B 啮合，C 与B 也啮合．若A 轮的直径为200 cm ，B 轮的直径为120 cm ，C 轮的直径为250 cm ，且45A ∠=︒．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A ，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm ）．34．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：（1）圆心为()3,5M -，且与直线720x y -+=相切；（2）圆心在直线y x =上，半径为2，且与直线6y =相切；（32360x y -+=相切于点()3,4．35．己知圆22:2410++-+=C x y x y ，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）若点()1,3P ，求此时的切线l 的方程；（2）当PM PO =时，求P 点的轨迹方程． 36．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ： 340x y n +-=.（1）求直线1l 过的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85；（2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线 l 的方程.37．已知直线:270l ax y +-=与圆()()22:129C x y -+-=交于A ，B 两点．（1）若直线l 与直线320x y -+=平行，求直线l 的方程；（2）若AB =，求直线l 的方程．38．分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式. （1）经过点(2,0)和(4,)1-；（3）经过点(1,2)且与直线10x y -+=垂直.39．已知点(1,0)M ，(1,3)N ，圆22:1C x y +=，直线l 过点N . （1）若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值.40．已知圆1O 经过点()4,1A ､()2,1B -两点，且圆心在直线2380x y --=上，圆2O ：224210x y x y ++++=（1）求圆1O 的标准方程；（2）求圆1O 与圆2O 的公共弦长41．已知圆C 过点()0,1A ，()2,1B --，且圆心C 在直线3y x 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(4,2)P -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．42．已知直线():1l y kx k =+∈R 与圆()()22:231C x y -+-=相交于A ，B 不同两点.（1）若*k ∈N ，求k 的值；（2）设M 是圆C 上的一动点(异于A ，B )，O 为坐标原点，若12AO BO ⋅=，求MAB △面积的最大值.43．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4),(2,2),(5,5)D E F ---都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）直线0x y m -+=与圆C 交于A B ，两点，OA OB ⊥时，求m 值．44．已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点()6,0Q 所连线段的中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）过定点()0,3-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足1221212x x x x +=，求直线l 的方程. 45．已知圆经过(11)A ，和(2,2)B -两点，且圆心C 在直线10x y -+=上. （1）求圆C 的方程.（2）若过点(6,4)M -的直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，且8PQ =，求直线l 的方程. 46．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -,(3,2)B -，且圆心C 在:20l x y --=上，（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(3,1)P -作直线m 交圆C 于MN 且||8MN =，求直线m 的方程.47．如图，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点.（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程.48．如图，ABC 中，顶点()1,2A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点D 在y 轴上.（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程.49．已知圆()22:210C x y x ay a +-++=∈R ，圆心C 在直线30x y -=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）求直线:0l x y -=被圆C 截得的弦AB 的长．50．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足|||PO PA =．（2）若直线l 过点()4,6Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程．【答案与解析】1．D 【解析】先根据题意设出Q 的坐标，根据勾股定理得到Q 的轨迹方程，求出PQ 的最大值，根据||2||AB PQ =即可求解. 解：如图所示：取AB 的中点Q ，连OQ 、PQ ，由圆的性质可知OQ AB ⊥，由PA PB ⊥可知：2AB PQ =，设点Q 的坐标为(,)x y ，在Rt OBQ 中，222OB OQ PQ =+，即，整理为22224210x y x y +--+=，可化为2213(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故Q 的轨迹为以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭PQ =故||2||AB PQ =≤．故选：D.2．A 【解析】建立如图所求的直角坐标系，得(4,0),(0,4)B C ，设(,0)P a ，求出P 关于直线BC 的对称点1P 坐标，P 关于y 轴对称性2P 坐标，由反射性质12,,,P Q R P 四点共线，求得直线QR 方程，由G 在直线QR 上可求得a ，然后计算12PP 即得．建立如图所求的直角坐标系，得(4,0),(0,4)B C ，直线BC 方程为4x y +=，ABC 的重心为44(,)33G ，设(,0)P a ，P 关于直线AB 的对称为1(,)P x y ，则04220(1)1x a y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩，解得44x y a =⎧⎨=-⎩，则1(4,4)P a -，易知P 关于y 轴的对称点为2(,0)P a -，根据光线反射原理知12,,,P P Q R 四点共线， ∴直线QR 的方程为[]40()4()a y x a a --=----，即4()4a y x a a -=++，又直线QR 过44(,)33G ，∴444343a a a -⎛⎫=⨯+ ⎪+⎝⎭，解得43a =或0a =（舍去），4,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴184,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，24(,0)3P -，12PP == 故选：A ．关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把PQR 的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得P 点位置，然后得路程的最小值． 3．B 【解析】根据两直线垂直得出1l 的斜率，即可得倾斜角.因为直线:20+=l x ，所以k = 又1l l ⊥，所以1l 的斜率为1k = 因为倾斜角的范围[0,)π，所以1l 的倾斜角为3π，故选：B 4．A 【解析】对曲线2y =()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，然后求出当直线与该半圆相切、当直线过点()2,2时对应的k 的值，然后可得答案.曲线2y =()()()224242x y y -+-=≥，它表示以()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，且左侧端点坐标为()2,2，直线()0y kx k =>过原点()0,0，当直线与该半圆相切时(即图中虚线)，由2=43k =；当直线过点()2,2时(即图中实线)，1k =，故要使直线与曲线有两个不同交点，则413k ≤<. 故选：A.5．C 【解析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于②，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故②正确；对于③，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a-，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故③正确；对于④，由②知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故④正确；综上所述，②③④共3个正确；故选：C 6．A 【解析】当M 确定时，易知直线MN 与圆O 相切时，OMN ∠最大，若在圆上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，即令相切时，45OMN ∠≥即可，sin ON OM OMN =≤=∠M 点坐标，求得m 的范围. 当M 确定时，易知直线MN 与圆O 相切时，OMN ∠最大，若在圆上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，即令相切时，45OMN ∠≥即可，则sin ON OM OMN =≤=∠2，解得[]1,1m ∈- 故选：A 7．C 【解析】计算出圆心到直线l 的距离的最小值，利用勾股定理可求得结果.圆22650x y x +-+=的标准方程为()2234x y -+=，圆心为()3,0C ，半径为2，圆心C 到直线l的距离为3,32d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，直线l 被圆C截得最大弦长为故选：C.8．A 【解析】设直线:l y kx =，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长设过点O 的直线:l y kx =.由直线l 与圆L 、圆 S2, 解得 213k =(1).设点Q 到直线l 的距离为1,d 则1d (2).又圆Q 的半径3r =直线l 截圆Q 所得弦长 1l = 结合(1)(2)两式，解得1 3.l = 9．C 【解析】将曲线方程化为半圆方程，求得直线的定点为()3,3，作草图确定有两个交点的临界位置，即可求解参数范围. 如图所示：由直线330kx y k -+-=得()330k x y --+=得直线过定点为()3,3C ，由2y =()()()22214,2y x y -+-=≥当直线与半圆相切时，则2d r ===解得34k =-当直线过点()1,2A -时，则2330k k --+-=得14k = 由于直线与曲线有两个不同交点，故3144k -<≤故选：C本题的解题关键在于求出直线的定点及将曲线化为半圆方程，通过草图确定临界位置. 10．D 【解析】根据直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，可得圆C 的圆心，再根据直线10x y ++=与圆C 相切，可得圆C 的半径，进而可得圆C 的方程. ∵直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，∴直线()210mx y m m R ---=∈始终过圆C 的圆心()21-，，又圆C 与直线10x y ++=相切，则圆的半径r == ∴圆C 的方程为()()22212x y -++=．故选：D. 11．D 【解析】由题意可知点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，由于,A C 两点在直线30x y --=的同侧，所以求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则BA BC BA BD =++，然后利用两点间线段最短可得答案解：由1:0()l kx y k R +=∈，得yk x=-，由2:220l x ky k -+-=，得22x k y -=-，所以22x yy x-=--，化简得22(1)(1)2x y -+-=，所以点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，设点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则1113022n mm n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得43m n =⎧⎨=-⎩，即(4,3)D -因为CB DB =，所以当点,,A B D 共线，且过点(1,1)时，BA BC +取最小值，所以BA BC +5=故选：D关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，将BA BC +的最小值转化为BA BD +的最小值，属于中档题 12．A 【解析】a 的值.由题意知，等边ABC 边长为2，所以圆心(),1C a -到直线20x ay +-==，解得213a =，即a =故选：A. 13．D 【解析】设出动点P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程，由点P 是圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r 的值．解：设(,)P x y ，由||2||PA PO =，得2222(3)44x y x y -+=+，整理得22(1)4x y ++=，又点P 是圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆22(1)4x y ++=的圆心坐标为(1,0)-，半径为2，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>的圆心坐标为(2,0)，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，23r +=，得1r =，当两圆内切时，|2|3r -=，得=5r ．故选：D ． 14．D 【解析】0y =与直线34100x y --=的图象，利用点到直线的距离公式可求得结果.0y =可得y 0y ≥，在等式y 221x y +=，0y =为圆221x y +=的上半圆，该圆的半径为1r =，0y =与直线34100x y --=的图象如下图所示：原点O 到直线34100x y --=2=，设点P 到直线34100x y --=的距离为d ，当点P 的坐标为()1,0，d 取最小值，即min 75d ==，由图象可知，max 2213d r =+=+=，因此，点P 到直线34100x y --=的距离的取值范围是7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（10y =化简变形为221x y +=，确定曲线为圆的一半，数形结合求解；（2）当直线l 与圆相离时，圆心到直线l 的距离为d ，则圆上一点到直线l 的距离的最大值为d r +，最小值为d r -（其中r 为圆的半径）. 15．A 【解析】先确定动点在平面内所在的线段，再根据对称性原理找最小值.取1BB 中点F ，连接,,,AC FA FC BD ,则1D DO OBF ，1D O OF ⊥，又AC ⊥平面11BDD B ，1D O ⊂平面11BDD B ，所以1AC D O ⊥，AC OF O ⋂=，1D O ⊥平面ACF ，因为1D O OP ⊥，所以OP ⊂平面ACF ，P ∈平面ACF因为点P 在侧面1BC 内，所以P ∈平面ACF ⋂平面11BCC B CF =；在平面11BCC B 内作B 关于直线FC 对称的点B '，连接,B F B C ''，,PB PB ' 则BCF B CF '≅，PB PB '=所以1B F '=，2B C '=，作PH BC ⊥，则PB PH PB PH '+=+当B '、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，此时因为1BB CF ⊥，B BHCFB '，所以2B H BH '=，2HC BH =-，Rt B HC '中，222HC B H B C ''+=，即()()222222BH BH -+=，得45BH =，故85B H '=，即点P 到底面AC 的距离与它到点B 的距离之和最小是85.故选:A. 关键点睛:（1）找出动点在平面内的所在的线段;（2）作出对称点，把问题转化为求动点到定直线的最短距离. 16．C 【解析】分20a -=、20a -≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式（组），由此可解得实数a 的取值范围.若20a -=，可得2a =，直线l 的方程为15x =，该直线不过第二象限，合乎题意；若20a -≠，可得0a ≠，直线l 的斜截式方程为31122a y x a a -=---，若直线l 不过第二象限，则3102102a a a -⎧≥⎪⎪-⎨⎪-<⎪-⎩，解得2a >.综上所述，2a ≥. 故选：C.关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解. 17．D 【解析】由圆224240x y x y +--+=，先找圆心C 和半径，根据题意，分析出P 的轨迹为圆，利用≤d R ，解出k 的范围.将圆224240x y x y +--+=化为标准方程：22(2)(1)1x y -+-=，故圆心C (2，1)，半径r =1，在△PCA 中，30,90APC ACP ∠=︒∠=︒，∴PC =2P A =2∴P 的轨迹为以C 为圆心，半径R =2的圆，其方程为22(2)(1)4x y -+-=. 而圆心C 到直线2y kx =-的距离d =只需要2≤d2≤，解得：512k ≥所以实数k 的最小值为512.故选：D与圆的切线方程有关问题的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 18．1 【解析】由题知，A ，(1,0)B ，且两动直线互相垂直，P 点的轨迹是以AB 为直径的圆，P 点到AB 的距离的最大值为圆的半径，从而求得PAB △面积的最大值.由题知，A ，(1,0)B，2AB =，且两动直线互相垂直，则AP BP ⊥，P 点的轨迹是以AB 为直径的圆，则P 点到AB 的距离的最大值为112AB =故PAB △面积的最大值为12112⨯⨯=故答案为：1 19．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】先对曲线2y = 进行化简，画出图形，数形结合即可求解.解：曲线2y =()()()224242x y y -+-=≥，如图所示：它表示以()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，直线y kx =过原点()0,0，当直线与该半圆相切时（即图中虚线），43k =；当直线过点()2,2时（即图中实线），1k =，故要使直线与曲线有两个不同交点，则413k ≤<．故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.20．()()5,13,7--【解析】把圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由与直线0x y a +-=圆相交，一条与圆相离可得，由已知得到关于a 的不等式，解不等式即可得解. 把圆的方程化为标准式为()()22218x y -++=，所以圆心坐标为()2,1-，半径r =则圆心到直线0x y a +-=的距离d ==由题意得<，即12124a a ⎧->⎪⎨--<⎪⎩，即216a <-<解得：51a -<<-或37a <<，即实数a 的取值范围为()()5,13,7-- ，故答案为：()()5,13,7--.21．31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】结合()f x 的图象和直线1y kx =+过定点，当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切和经过点()2,0时，可得答案.()f x 的图象如图所示，直线1y kx =+过定点()0,1，当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切时，1d ==解得34k =-或0k =（舍去），当直线1y kx =+经过点()2,0时，12k =-.数形结合可得31,42k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是作出图象找出临界值，考查了数形结合思想、计算的能力. 22．2 【解析】由题意画出图形，由切割线定理求得PA ，进一步得到AB，数形结合求得直线的倾斜角，则斜率可求．解：设PQ与曲线y Q，曲线y 2213x y +=的上半部分，圆的半径r ，圆心坐标为()0,0，因为25PA AB =，P ，所以PO =则22227||||||||(||||)||||||355PQ PA PB PA PA AB PA PO OQ =⋅=⋅+==-=．||5PA ∴=，||2AB =，O到弦AB的距离d=，所以1sin 2APO ∠== 30APO ∴∠=︒，由45POx ∠=︒所以直线l 的倾斜角为453015︒-︒=︒，斜率为1tan15tan(4530)2︒=︒-︒==故答案为：2．23．17,84⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由直线1l ，2l 过定点()2,4B ，再分别求出直线1l 、2l 与x 轴、y 轴的交点，将四边形AOCB 分成一个梯形和一个直角三角形，根据面积公式结合二次函数的性质得出四边形面积的取值范围.直线14(2):422l k k y x k x =-+=-+，过定点()2,4B ，与x 轴的交点为28,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭直线()222:24l y x k =--+，过定点()2,4B ，与y 轴的交点为240,4C k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭过点B 作y 轴的垂线交于点D ，如下图所示将四边形AOCB 分成一个梯形和一个直角三角形则122114424422S DB DC k k⎛⎫=⨯=⨯⨯+-= ⎪⎝⎭2112816()24822k S OA DB OD k k -⎛⎫=+⨯=+⨯=- ⎪⎝⎭则四边形AOCB 的面积为212241618428S S S k k k ⎛⎫=+=-+=-- ⎪⎝⎭因为4k >，所以110,4k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则17,84S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：17,84⎛⎫⎪⎝⎭关键点睛：解决本题的关键是得出直线1l ，2l 过定点()2,4B ，以此画出图象得出四边形面积的取值范围. 24．【解析】先求点P 的轨迹方程，再利用直线与圆的位置关系，求k 的最小值.设点(),P x y ，13PA PB =，13=，化简得()2239x y +-=，点P 又在直线(y k x=-上，∴直线与圆相交，圆心()0,3到直线(y kx =-的距离3d ≤，得20k +≤解得：0k ≤，所以k 的最小值是故答案为：方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种： 1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 25．75【解析】求出直线AB 的方程，求出圆心到直线AB 的距离，进而可得出点P 到直线AB 的距离的最小值. 圆221x y +=的圆心为原点O ，半径为1r =，直线AB 的方程为134x y+=，即43120x y +-=，原点到直线AB 的距离为125d ==，所以，直线AB 与圆221x y +=相离，因此，点P 到直线AB 的距离的最小值为127155d r -=-=. 故答案为：75.结论点睛：若直线AB 与半径为r 的圆C 相离，且圆心C 到直线AB 的距离为d ，则圆C 上一点到直线AB 的距离的最小值为d r -，最大值为d r +. 26．(8,12) 【解析】由以A 为圆心2为半径的圆与圆O 相交可得．由题意以A 为圆心2为半径的圆与圆O 相交，．∴22r r -<+，解得812r <<．故答案为：(8,12)．本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系：两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，外切d R r ⇔=+，相交R r d R r ⇔-<<+，内切d R r ⇔=-，内含d R r ⇔<-． 27．±1 【解析】求出圆心到直线的距离，由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.圆心()0,0C ，半径为1，圆心到直线的距离为1OC =<，解得m 2CB =，因为222OB OC CB =+，所以221=+⎝⎭，解得1m =±，符合题意. 故答案为：±1.本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是利用由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形解题，判断直线和圆的位置关系有①几何法，就是利用圆心到直线的距离和半径大小；②代数法，就是利用圆的方程和直线方程联立后的判别式求解. 28．227320x y x y +-+-= 【解析】设两圆交点系方程为2222+64+(+628)0x y x x y y λ+-+-=，求得圆心坐标代入直线40x y --=求得圆的方程.设经过两圆交点的圆的方程为2222+64+(+628)0x y x x y y λ+-+-=，即22(1)(1)+662840x y x y λλλλ++++--=，圆心坐标为33(,)11λλλ--++ ，将其代入直线40x y --=解得7λ=- ．所以圆的方程为227320x y x y +-+-=．故所求圆方程为：227320x y x y +-+-=29．证明见解析，公共弦所在直线的方程为210x +=. 【解析】依题意求得圆1C 和圆2C 的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.圆1C 的标准方程为()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以圆心为131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径132r =；圆2C 的标准方程为()22317224x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以圆心为232,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径2r =两圆圆心距121d C C ==，1232r r +=1232r r -=，所以1212r r d r r -<<+，圆1C 和圆2C 相交.将圆2C 和圆1C 的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为210x +=. 30．()22220.6827.88x y ++= 【解析】根据题意以拱高所在直线为y ，如图建立平面直角坐标系，再求圆的方程. 解：根据题意，以拱高所在直线为y ，如图建立平面直角坐标系，根据题意得：7.2OC =，18.7OB OA ==，此时圆心在y 轴上，圆心为D ，半径为r ，则7.2OD r OC r =-=-，所以在Rt OBD △中，222BD OD OB =+，即()2227.218.7r r =-+，解得：27.88r =，所以7.220.68OD r =-= 设所求圆的方程为()22220.6827.88x y ++=，即拱圆的方程为：()22220.6827.88x y ++= 31．()2235224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭【解析】先求出圆22:20C x y x y +-+=的圆心和半径，利用对称求出对称圆的圆心，即可写出对称圆的方程.圆22:20C x y x y +-+=可化为：()2215124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以其圆心112⎛⎫- ⎪⎝⎭，，半径254r =. 设对称的圆的圆心(),a b ，则有：1·1112112122b a a b +⎧=-⎪-⎪⎪⎨⎪+-⎪=+⎪⎩，解得：232a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以对称的圆的方程为：()2235224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.32．该船可以从桥下通过【解析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出A B P D E ，，，，各点的坐标，设出圆的标准方程，将A B P ，，坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D 横坐标代入求出纵坐标，与3比较即可作出判断.建立如图所示的坐标系.依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0).设所求圆的方程是222()(0)=()x a y b r r -->+，于是有()()()22222222210,10,4,a b r a b r a b r ⎧++=⎪⎪-+=⎨⎪+-=⎪⎩解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4). 把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1.由于船在水面以上高3 m ，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过. 33．260cm【解析】根据题意，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 建立平面直角坐标，进而得直线AC 的方程为y x =，故设(),,0C t t t >，再结合圆与圆的位置关系求解即可得答案.解：根据题意，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 建立平面直角坐标系，如图，则160AB =，()0,0A ，()160,0B ，由于45CAB ∠=，所以直线AC 的方程为y x =，故设(),,0C t t t >，则()12501201852BC =+=，由于圆B 与圆C 相外切，故BC =，解方程得183.5t ≈所以259.5260AC cm ==≈cm.故A ，C 两齿轮的中心距离约为260cm .34．（1）()()223532x y -++=；（2）()()22444x y -+-= 或()()22884x y -+-=；（3）22(5)(1)13x y -+-= 或 22(1)(7)13x y -+-=.【解析】（1）根据点到直线的距离求得半径,进而得答案;（2）设圆心坐标为(),a a ，再根据题意得62r a =-=，解得4a =或8a =，进而求得答案；（3）设圆心坐标为(),a b ,则4332b a -⎧=-⎪-⎪⎨=51a b ⎧=⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，进而求得答案.解：（1）因为圆M 与直线720x y -+=相切，所以点()3,5M -到直线720x y -+=的距离即为圆M 的半径，所以r == 所以圆M 的方程为：()()223532x y -++=，图像如图：（2）因为圆心在直线y x =上，半径为2，所以设圆心坐标为(),a a ，又因为所求圆与直线6y =相切，所以62r a =-=，解得4a =或8a =，所以所求圆的方程为 ()()22444x y -+-= 或()()22884x y -+-=，图像如图：（32360x y -+= 相切于点()3,4，所以设圆心坐标为(),a b ,则4332b a -⎧=-⎪-⎪⎨=51a b ⎧=⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，所以所求圆的方程为：22(5)(1)13x y -+-= 或 22(1)(7)13x y -+-=，图像如下：35．（1）34150x y +-=或1x =；（2）()()22126x y -++=. 【解析】（1）利用几何法分别判断切线斜率存在即斜率不存在是切线情况；（2）(),P x y，根据PM ，及222PM PC CM =-进行化简即可.（1）圆的标准方程为()()22124x y ++-=,当切线斜率不存在时，直线为1x =，此时该直线是圆的切线，满足条件．当切线斜率存在时，切线方程可以设为,():31l y k x -=-，即30kx y k -+-=，圆心()1,2C -到切线l 的距离2==d ，解得：34k =-，:34150∴+-=l x y ，∴切线方程为：34150x y +-=或1x =；（2）设(),P x y ，PM =, 又222222=+PO x y222PM PC CM ∴=-()()22124=++--x y 222=PM PO 知222410+-+-=x y x yP ∴的轨迹方程为：()()22126x y -++=36．（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【解析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=，所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===，解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-，因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+△，当且仅当2k =-时等号成立，故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示. 37．（1）6270x y -+=；（2）512420x y +-= 【解析】（1）因为直线l 与直线320x y -+=平行得直线l 的斜率，可得答案；（2）圆的半径、圆心到直线的距离和弦长的一半构成的直角三角形，利用勾股定理可得答案. （1）因为直线l 与直线320x y -+=平行，所以直线l 的斜率3k =，则32a-=，解得6a =-，故直线l 的方程为6270x y -+-=，即6270x y -+=．（2）由题意可知圆C 的圆心坐标为()1,2，半径为3，因为AB =C 到直线l 的距离1d =，解得56a =，故直线l 的方程为52706x y +-=即512420x y +-=．38．（1）220x y +-=；（2）3260x y --=；（3）30x y +-=. 【解析】（1）用两点式写出直线方程并化简为一般式；（2）用截距式写出直线方程交化简为一般式；（3）由垂直求出直线斜率，设出直线方程的斜截式，代入点的坐标可得结论．然后方程化为一般式．解：（1）所求的直线方程为021042--=---y x ，整理得220x y +-=. （2）所求的直线方程为123x y +=-，整理得3260x y --=.（3）因为直线10x y -+=的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-，设所求直线方程为y x b =-+，将(1,2)代入可得123=+=b ，所以所求的直线方程为3y x =-+，即30x y +-=.思路点睛：本题考查求直线方程，直线方程有形式多种多样：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，可以根据不同的条件写出直线方程，然后转化为一般式． 39．（1）1x =或4350x y -+=；（2）证明见解析. 【解析】（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =，此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为(1)3y k x =-+，由直线l 与圆C1=，解得43k =，进而可得直线方程；（2）由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程，根据判别式求得斜率的取值范围，又由韦达定理可知12x x +，12x x ，所以121221213(2)22()13k k x x k x x x x +-==--++++.（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =，此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件.若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为(1)3y k x =-+，即30kx y k --+=.由直线l 与圆C 相切，圆心(0,0)到l 的距离为1，1=，解得43k =.所以直线l 的方程为4(1)33=-+y x ，即4350x y -+=，综上，直线l 的方程为1x =或4350x y -+=.（2）由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，消去y 可得()()2222126680kx kk x k k +--+-+=，则()()()2222264168∆=--+-+k k k k k 24320=->k .解得43k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k -+=+，(*)所以()1121212113111-++=+=---k x y y k k x x x ()221213332111-++=++---k x k x x x()()1212123221+-=+-++x x k x x x x ，将(*)代入上式整理得121862293--+=+=-k k k k ，故12k k +为定值23-.过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况. 40．（1）22(1)(2)18x y -++=；（2. 【解析】（1）设圆1O 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意可得三个关于,,a b c 的方程，解出三个未知数即可；（2）首先判断两圆的位置关系是相交，联立方程组解出交点坐标16251135x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或，利用两点间距离公式求出公共弦长即可.（1）设圆1O 的标准方程为222()()x a y b r -+-= ，过点()4,1A ､()2,1B -两点，且圆心在直线2380x y --=上，所以2222222380(4)(1)(2)(1)a b a b r a b r --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+-=⎩，解得12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩ ，所以圆1O 的标准方程为22(1)(2)18x y -++=.（2）圆2O ：224210x y x y ++++=，即22(2)(1)4+++=x y ，因为两圆圆心距离为2d =<2 ，所以两圆相交，联立22(1)(2)18x y -++=与22(2)(1)4+++=x y ，解得16251135x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或，=. 41．（1）22(2)(1)4x y ++-=；（2）4x =-或34200x y -+=.。

高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提高)汇编

高二数学第3讲直线与圆综合1.已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2111x x 为定值；（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大．2.已知点G （5，4），圆C 1：（x -1）2+（x -4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ．（1）求点C 的轨迹C 2的方程；（2）若过点A （1，0）的直线l 1与C 2相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ；又l 1与l 2：x +2y +2=0的交点为N ，求证|AM|•|AN|为定值．3.已知点C （1，0），点A ，B 是⊙O ：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足0=⋅BC AC ，设M 为弦AB 的中点．求点M 的轨迹T 的方程；4.已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B 的距离的2倍。

（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22||||QA QC +的最大值和最小值；（3）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。

5.已知圆22:4O x y +=和点(1,)M a ．（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a 的值，并求出切线方程；（2）若a =M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直．①求四边形ABCD 面积的最大值；②求||||AC BD +的最大值．6.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L ：y =k （x -4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．7.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（I）求圆A的方程；2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当MN＝19（Ⅲ）BPBQ 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．8.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9.平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．10.已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．11.已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．。

高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目(附答案)一、两直线的位置关系1求直线斜率的基本方法(1) 定义法：已知直线的倾斜角为a,且a工90°,贝U斜率k = ta n a .y2 — y i⑵公式法：已知直线过两点P i(x i,y i) ,P2(X2,y2)，且X i M X2,则斜率k = .X2 一X i2. 判断两直线平行的方法(1) 若不重合的直线11与12的斜率都存在，且分别为k i, k2,贝U k i= k2? 11//I 2.(2) 若不重合的直线I i与I 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°,则I i//l2.3. 判断两直线垂直的方法(1) 若直线I i与丨2的斜率都存在，且分别为k i, k2，贝U k i • k2=—i? I i±12.(2) 已知直线I i与12,若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则I i 丄I 2.i. 已知两条直线I i：ax —by+ 4= 0和12：(a—i)x + y + b = 0,求满足下列条件的a, b的值.(1) I i 丄12 且I i 过点(—3,—i)；(2) I i / I 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.［解］⑴••• Ii丄I2,a(a—i) —b = 0,①又丨i过点(一3, —i),—3a + b+4 = 0.②a= 2,解①②组成的方程组得.cb = 2.(2) I 2的斜率存在，I i / I 2 ,.直线I i的斜率存在.a--k i = k2,即二=i —a.③b又•••坐标原点到这两条直线的距离相等，I i // I 2, .11, 12在y轴上的截距互为相反数，即b = — （一 b ）.④经检验此时的l 1与丨2不重合，故所求值为2a=- 或 3b = 2.注：已知两直线 11: A i X + By + C = 0 和 12: Ax + By + C 2= 0(1) 对于I 1//I 2的问题，先由AB — AB i = 0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的I l 和I 2是否重合，若重合，舍去.⑵ 对于丨1丄12的问题，由AiA +0解出字母的值即可.2. 直线ax + 2y — 1 = 0与直线2x — 3y — 1= 0垂直，则a 的值为()4A•- 3 B .- 3 C. 2D . 3解析：选D 由2a — 6= 0得a = 3.故选D.3. 已知直线 x + 2ay — 1 = 0与直线(a — 1)x + ay + 1 = 0平行，则a 的值为 ( )或0C. 0D . — 2解析：选A 当a = 0时，两直线的方程化为x = 1和x = 1，显然重合，不符 a 1 a 3合题意；当a ^O 时，^厂= ，解得a =-.故选A.1 2a 2、直线方程1 .直线方程的五种形式由③④联立，解得：=2,b = — 2a = _b = 2.a= 2，b = — 22.常见的直线系方程(1) 经过两条直线I仁A i X + By + C i= 0, 12 ：Ax+ By + G= 0父点的直线系方程为A i x + B i y + C i+入(A2X + By + Q) = 0,其中入是待定系数.在这个方程中，无论入取什么实数，都不能得到Ax + By + C2= 0,因此它不能表示直线丨2.⑵平行直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)平行的直线系方程是Ax+ By+入=0(入工C).(3) 垂直直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+入=0.4. 过点A(3 , - 1)作直线I交x轴于点B,交直线I仁y二2x于点C,若| Bq 二2| AB，求直线I的方程.［解］当直线I的斜率不存在时，直线I : x = 3,••• B(3,0) , C(3,6).此时| Bq = 6, I AB = 1, |Bq 工2|AB ,•••直线I的斜率存在.设直线I的方程为y +1 = k(x-3),显然k M0且k工2.••• B3 +1 0 ,k ，-| Bq = 2| AB|，…| X B — X c | = 2| X A — X B | , 3k + 1 1 1•- 口 — k — 3= 2 k ，3k +1 1 2 3k +1 1 2 ■k^ — k — 3= k 或 T —2 — k — 3= — k ， 3 1解得k =—㊁或k = 4.•••所求直线I 的方程为3X + 2y — 7 = 0或X — 4y — 7= 0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解： (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；⑵ 待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程.5. 已知直线I 仁3X — 2y — 1 = 0和丨2： 3X — 2y — 13= 0,直线I 与I 1，12的距离分别是d 1， d 2，若d 1 : d 2=2 ： 1，求直线I 的方程.解：由直线丨1，I 2的方程知I 1//I 2,又由题意知，直线I 与丨1,丨2均平行(否则d 1 = 0或d 2= 0，不符合题意).设直线I : 3x — 2y + m = 0( mr^ — 1且m^ — 13)，由两平行直线间的距离公式，=—25 或 m = — 9.故所求直线I 的方程为3x — 2y — 25 = 0或3x — 2y — 9 = 0. 6. 已知直线I : 3x — y + 3= 0，求： (1)点P(4,5)关于I 的对称点；y = 2x , y + 1 = k x — 3得点C 的横坐标X c =3k + 1k — 2 .得d 1d 2=| n + 13|13又 d 1 : d 2=2 ： 1，所以 | 1| = 2| m + 13|，解得 m| m + 1|⑵直线x—y — 2 = 0关于直线I对称的直线方程.解：设P(x，y)关于直线I : 3x—y+ 3= 0的对称点为P'(x'，y').y — y••• k pp • ki 二―1 即x ^—x x 3二—1.① 又PP'的中点在直线3x — y + 3= 0上,—4x + 3y — 9 — ,—4x + 3y — 9 3x + 4y + 3—2= 0,化简得 7x + y + 22 = 0.三、圆的方程(1) 圆的标准方程：(x — a)2+ (y — b)2 = r 2 (2) 圆的一般方程：x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0(3) 若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：① 过两圆 C i : x 2+y 2+ Dx + E i y + F i = 0, G : x 2+y 2+ D 2x + &y + F ?= 0 交点的圆系方程为 x 2+ y 2+ Dx + E i y + F i + 入(x 2+y 2+ Dx + Ey + F 2) = 0( X 为参数，入工 —1)，该方程不包括圆G ;② 过圆C : x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0与直线I : Ax + By + C = 0交点的圆系方程2 2 __________________为 x + y + Dx + Ey + F + X (Ax + By + C) = 0( X 为参数，X € R).7.在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A — 3,0),B(2,0) , C(0，— 4)，经过这三个点的圆记为 M(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；⑵求圆M 的方程.••• 3X 22 +3 = 0.②由①②得=3x + 4y + 3(1)把x = 4, y =5代入③④得 =—2, y ' = 7,••• P(4,5)关于直线I 的对称点 P' 的坐标为(一2,7).⑵用③④分别代换x — y — 2= 0 中的x , y ，得关于I 的对称直线方程为［解］⑴法一：由B(2,0) , C(0，—4)，知BC的中点D的坐标为(1 , —2).即中线AD 所在直线的一般式方程为x + 2y + 3= 0. 法二：由题意，得| AB = | Aq = 5, 则厶ABC 是等腰三角形，所以ADL BC因为直线BC 的斜率k Bc = 2, 1所以直线AD 的斜率k AD = — 2 ,1由直线的点斜式方程，得y — 0= — 2(x + 3), 所以直线AD 的一般式方程为x + 2y + 3= 0.⑵ 设圆M 的方程为x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0.将 A — 3,0) , B(2,0) , C(0 , — 4)三点的坐标分别代入方程，得5所以圆M 的方程是x + y + x + qy — 6= 0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a , b , r 的方程组，从而求出a , b , r 的值.(2) 若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E , F 的方程组，从而求出D, E , F 的值.8.以线段AB x+ y — 2 = 0(0< x < 2)为直径的圆的方程为()A. (x + 1)2+ (y + 1)2= 2B. (x — 1)2+ (y — 1)2= 2C. (x + 1)2+ (y + 1)2= 8D. (x — 1)2+ (y — 1)2= 8又A — 3,0),所以直线AD 的方程为y —0 x +3—2—0=~1+3，9 — 3D+ F = 0,4+ 2D+ F = 0,16— 4E + F =—1,5解得E = 2，F = —解析：选B直径的两端点分别为(0,2) ,(2,0)，二圆心为(1,1)，半径为2 故圆的方程为(x—1)2+ (y —1)2= 2.9. 已知圆C经过点A(2 , —3), B( —2,—5)，且圆心在直线I : x—2y —3 =0上，求圆C的方程.解：设圆C的方程为(x —a)2+ (y—b)2= r2.2 一a + —3一b = r ， a = —1，由题意，得一2— a 2+ —5— b 2= r2，解得b= —2，a —2b—3= 0，r2= 10.所以圆C的方程为(x+ 1)2+ (y + 2)2= 10.10. 求以圆C: x2+ y2—12x —2y —13 = 0 和圆Q: x2+ y2+ 12x + 16y—25= 0 的公共弦为直径的圆C的方程.解：联立两圆的方程得方程组2 2x + y —12x —2y—13= 0，2 2x + y + 12x + 16y —25 = 0，相减得公共弦所在直线的方程为4x + 3y —2= 0.4x+ 3y —2 = 0，再由2解得两圆交点坐标为(一1,2)，(5，—6).2x + y —12x—2y —13 =1 •••所求圆以公共弦为直径，•••圆心C是公共弦的中点(2，—2)，半径长为2厂5+ 厂2+ 一- 6—2一2= 5.2 2•••圆C的方程为(x —2) + (y + 2) = 25.四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆位置关系的判断方法(1) 几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dvr，则直线和圆相交；若d= r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离.(2) 代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为△ . △= 0?直线与圆相切；△ >0?直线与圆相交；△ <0?直线与圆相离.2. 过圆外一点(X o，y o)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y —y o= k(x—X。

人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)(含答案解析)

选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)一、单选题1．已知Rt PAB 的直角顶点P 在圆(()22:11C x y +-=上，若点(),0A t -，()(),00B t t >，则t的取值范围为（） A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,32．设直线l 与圆()()221:2536C x y ++-=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为()1,1M ，则圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为（）A ．15B ．35C ．65D ．953．已知点P 为圆()()22121x y -+-=上动点，O 为坐标原点，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为（）A B 1 C 1 D 4．若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦5．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是（）A ．bB ．11b -<≤或b =C ．11b -≤≤D ．1b <≤-6．设a ，b 分别表示直线l 在x 轴和y 轴上的截距，k 为l 的斜率，p 为原点到l 的距离，且0abpk ≠，则有（）A ．()22221a k p k =+ B ．b k a =C ．11p a b+=D ．a kp =-二、多选题7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，则（）． A ．轨迹C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的角平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =8．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=9．已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（） A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离10．（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-三、双空题11．函数21y x x =-+________，其中x =________．四、填空题12．已知圆()()22:124C x y ++-=，则过点()1,3P 作圆C 的切线l 的方程为___________.13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.14．直线y x b =+与曲线||1x -=b 的取值范围是_______；15．直线(5)1y k x =-+与曲线3y =k 的取值范围是________；16．已知在ABC 中，()1,1A ，(()14B m m <<，()4,2C ，则当ABC 的面积S 最大时，m =______． 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则实数t 的取值范围为______．18．已知圆()22:116C x y ++=，过点()0,1P 的直线l 交圆C 于不同的两点，当圆上的点到直线l 的距离的最大值为6时，直线l 的方程为______．19．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．20．光线从点(3,5)B -出发射到x 轴上，经反射后过点(2,10)A ，则光线从点B 到点A 经过的路程为___________.五、解答题21．已知直线1:210l x y -+=和22:0x y l --=的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）．22．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所得的弦（1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.23．已知直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程． 24．已知圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ，（1）求圆C 的方程；（2）判断()3,2P 和圆C 的位置关系．25．如图所示，已知O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为4x =，圆O 与x 轴的交点分别为A 、B ，P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于M 、N 两点.求证：当点P 变化时，以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.26．实数x ，y 滿足222410x y x y ++-+=，求（1）4yx -的最大值和最小值；（2）2x y +的最大值和最小值.27．四条直线1:3150l x y +-=，2:60l kx y --=，3:50l x y +=，4:0l y =围成一个四边形，问k 取何值时，该四边形有一个外接圆，并求出外接圆的方程.28．（蝴蝶定理）过圆AB 弦的中点M ，任意作两弦CD 和EF ，CF 与ED 交弦AB 于P 、Q ，求证：PM QM =.29．判别方程222(410)10200x y kx k y k ++++++=（k 为参数，1k ≠-）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.30．求过两圆22640x y x ++-=与226280x y y ++-=的交点的直线方程和圆心在直线40x y --=上的圆的方程.31．已知ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠的角平分线所在的直线方程为0y =，点C 的坐标为()12，．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点C 作函数(0)k y x x=>的图像，在图像上是否存在一点P 使得PAB △面积最小，如果存在求此时点P 的坐标及PAB △面积最小值，若不存在说明理由.32．一圆经过点()2,4--，且与直线3260x y +-=相切于点()8,6，试求该圆的方程．33)x ∈R ．34．求以相交两圆221:410C x y x y ++++=及222:2210C x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程；35．求函数y =.36．过圆222x y r +=内部一点(,)M a b 作动弦AB ，过A 、B 分别作圆的切线，设两条切线的交点为P .求证：点P 恒在一条定直线上的运动. 37．已知224x y +≤，且0x ≥，求41y x ++的最大值与最小值.38．关于x 2kx =+只有一个实根，求k 的取值范围.39．ABC 的边,AC AB 上的高所在直线的方程分别为2310,0x y x y -+=+=，顶点(1,2)A ，求BC 边所在直线的方程．40．已知C 经过点(2,0)A -，(0,2)B ，且圆心在直线y x =上.又直线l ：1y kx =+与C 相交于P ，Q 两点.（1）求C 的方程；（2）过点(0,1)作直线1l 与l 垂直，且直线1l 与C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值. 41．（1）已知实数z 、y 满足方程22(2)1x y ++=，求12y x --的最小值；（2）若实数x 、y 满足方程222410x y x y +--+=，求代数式2yx +的取值范围. 42．已知10条直线，11:0l x y c -+=，1c 22:0l x y c -+=， 33:0l x y c -+=，……1010:0l x y c -+=，其中1210c c c <<<．这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，10．（1）求实数10c 的值；（2）求100x y c -+=与x 轴、y 轴围成的图形的面积． 43．已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.44．已知过坐标原点O 的一条直线与函数9log y x =的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数3log y x =的图象交于C ，D 两点．（1）证明：点C ，D ，O 在同一条直线上；（2）当直线BC 的斜率为0时，求点A 的坐标．45．已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求OMN 的面积．46．已知方程()()()222321620m m x m m y m m --++-+-=∈R ．（1）若方程表示一条直线，求实数m 的取值范围；（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m 的值，并求出此时的直线方程；（3）若方程表示的直线在x 轴上的截距为3-，求实数m 的值；（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m 的值．47．求函数()f x .48．已知两直线2212:224,:224(02)l ax y a l x a y a a -=-+=+<<与两坐标轴的正半轴围成四边形.当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求此最小值. 49．已知ABC 的三个顶点(4,0),(8,10),(0,6)A B C . （1）求过点A 且垂直于BC 的直线方程；（2）求过点B 且与点A ，C 距离相等的直线方程.50．求两平行直线1:30l kx y k --=与2:40l kx y -+=之间距离的最大值.【答案与解析】1．D 【解析】首先根据题意得到点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）.又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，且2CM =，所以得到121t t -≤≤+，再解不等式即可.因为点P 为Rt PAB 的直角顶点，且点(),0A t -，()(),00B t t >，所以点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）. 又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，所以圆C 与圆M 有交点，因为2CM =，所以121t t -≤≤+，解得13t ≤≤. 故选：D 2．A 【解析】求出直线l 的方程，并求出圆2C 的圆心到直线l 的距离，结合圆的几何性质可得出结果. 圆1C 的圆心为()12,5C -，由垂径定理可知1C M l ⊥，直线1C M 的斜率为1514213C M k -==---，所以，直线l 的斜率为34k =，故直线l 的方程为()3114y x -=-，即3410x y -+=，圆2C 的圆心为()23,4C ，半径为1r =，圆心2C 到直线l 的距离为65d =，因此，圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为61155d r -=-=. 故选：A. 3．B 【解析】设向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），当点P 位于与直线OA 垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.如图所示，向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），则12OA k =，则设与直线OA 垂直且与圆相切的直线为:2l y x t =-+，所以圆心到直线的距离14d t =⇒=根据图形可知，当t =:2l y x =-+OA 交于B ，易得，直线OA ：12y x =，联立：212y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得：((21,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(||1OB ==，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为1+. 故选：B. 4．B 【解析】求出直线4cos 670x y α+-=的斜率的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系可出结果. 因为,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则cos α⎛∈ ⎝⎦，所以，直线4cos 670x y α+-=的斜率为2cos 3k α⎡⎫=-∈⎪⎢⎪⎣⎭，因此，直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B. 5．B 【解析】首先根据题意得到曲线x y x b =+与曲线x =有且仅有一个公共点时b 的取值范围.将方程x ()2210x y x +=≥．当直线y x b =+与曲线221x y +=1=，即b ，解得b =由图可知，当b =11b -<≤时，直线y xb =+与曲线x = 故选：B. 6．A 【解析】根据题意，设出直线的截距式方程，进而求出斜率以及原点到直线的距离，最后得到答案. 由题意可得，直线的截距式方程为1x ya b+=，斜截式方程为y kxb =+，由点到直线的距离公式，得p =又1x y a b +=与y kx b =+表示同一条直线，所以b ak =-.将bak =-代入p =()222()1ak p k ⋅-=+，即()22221a k p k =+.故选：A. 7．BC 【解析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.A ：在平面直角坐标系xOy 中，()20A -，，()40B ，，点P 满足12PA PB =，设()P x y ，12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，所以A 错误；B ：假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=，设()0D m ，，()0E n ，化简得()2222338240x y m n x m n +--+-=，由轨迹C 的方程为2280x y x ++=，可得8224m n -=-，2240m n -=，解得6m =-，12n =-或2m =-，4n =（舍去），所以B 正确； C ：当A ，B ，P 三点不共线时，12OA PAOBPB==，可得射线PO 是APB ∠的角平分线，所以C 正确；D ：若在C 上存在点M ，使得2MO MA =，可设()M x y ，，，化简得221616033x y x +++=，与2280x y x ++=联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误．故选：BC ． 8．BC 【解析】求出圆心距12C C ，结合半径由圆的性质可得圆上两点的距离的最大值和最小值，判断AB ，得直线斜率，判断C ，根据两圆位置关系可判断D ．解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||5C C ==，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确，对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误．故选：BC ． 9．BC 【解析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r ，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3=，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ==+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.10．BD【解析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∵直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∵1tan 60m =︒=1tan120m =︒=∵m =或m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m -=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．11．9 2x =-或1x =【解析】将所求函数整理为2y =，设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M，所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 计算点()3,5-M 到直线10y x -+=的距离即可求最小值，求出过点()3,5-M 与10y x -+=垂直的直线方程与2y x 联立可得x 的值.因为21y x x =-+所以2y ．设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M ，如图所示，设PQ ⊥直线1y x =-于Q PQ =PM ．所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 于是，当M 、P 、Q 三点共线时，PQ PM +取得最小值．此直线是过点M 且垂直于直线1y x =-的直线为()53y x -=-+即2y x =-．则PQ PM +的最小值就是点M 到直线1y x =-的距离．因为)21y x x PQ PM MQ =-++9==．由22y x y x =-⎧⎨=⎩可得1x =或2x =-，故最小值为9，且对应的2x =-或1x =．故答案为：9；2x =-或1x =.12．1x =或34150x y +-=【解析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得. 圆()()22:124C x y ++-=的圆心坐标()1,2C -，半径2r ,当切线l 的斜率不存在时，:1l x =，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；当切线l 的斜率存在时，设斜率为k ，():31l y k x -=-，即：30kx y k --+=,2=，解得34k =-，故切线的方程为34150x y +-=，故答案为：1x =或34150x y +-=易错点睛：本题考查求过点作圆的切线，关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，考查学生的分类讨论思想，属于易错题.13．403k ≤≤【解析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解. 由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.14．1b =或1b -或32b <+【解析】化简曲线||1x -=.曲线||1x -=22(||1)(1)1x y -+-=表示两个半圆，当1x 时，22(1)(1)1x y -+-=；当1x -时，22(1)(1)1x y ++-=，如图所示，当直线在1l 时，b =2l 时，1b =；当直线在3l 时，2b =4l 时，1b =-；当直线在5l 时，3b =.由图象可知，当1b =或1b -或32b <+.∵b 的取值范围是1b =或1b -或32b <+故答案为：1b =或1b <-或32b <+15．205k -< 【解析】化简曲线3y =.由3y =222)(3)4(3)x y y -+-=≤（，其图象是以(2,3)为圆心，2为半径的半圆，(5)1y k x =-+是过定点(5,1)A 的直线，作出图象，如图所示，其中0AC k =，25AD k =-，有两个不同的公共点时，k 的取值范围是205k -<. 故答案为：205k -< 16．94 【解析】表示三角形面积12S AC d =⋅，其中d 为点(B m 到直线AC 的距离，可得2131224S ⎫=-⎪⎭，利用二次函数的最值即得解因为()1,1A ，()4,2C ，所以AC ==且直线AC 的方程为()211141y x --=⨯--，即320x y -+=．又点(B m 到直线AC 的距离d =，所以211131222224S AC d m ⎫=⋅=-=-⎪⎭．因为14m <<，所以12<<，所以131222-<<，所以231024⎫≤<⎪⎭，所以2113242S ⎡⎤⎫=⨯-⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，当94m =时，S 最大．故答案为：9417．(],0-∞【解析】首先由题意求出圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离范围，再通过点到直线的距离公式即可求解. 由于圆C 的标准方程为()2221x y +-=，则圆C 的圆心坐标为()0,2，半径为1．要使直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则只需满足圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离2d ≥，即2d =≥，解得0t ≤．故答案为：(],0-∞．18．1y =【解析】由题知圆C 的圆心到直线l 的距离为2d =，进而分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可.由题意知，圆C 的圆心为()0,1C -，半径4r =，易知点()0,1P 在圆C 的内部．设圆C 的圆心到直线l 的距离为d ，则圆上的点到直线的距离的最大值为4d +，所以46d +=，可得2d =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，所以2d ==，解得0k =，所以直线l 的方程为1y =；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，不满足题意．综上，直线l 的方程为1y =．故答案为：1y =19．22310x y x y +-+-=【解析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l 的方程，从而求出圆的方程.设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=.20．【解析】利用入射光线上的一点关于x 轴的对称点一定在反射光线的反向延长线上的性质，即可求解. 易知点(3,5)B -关于x 轴的对称点为(3,5)B '--，设直线AB '交x 轴于P 点，则'||||PB PB =，又∵A 点坐标(2,10)，∵'||||||||PA PB PA PB AB '+=+===故光线从点B 到点A 经过的路程为故答案为：21．（1）4330x y --=；（2）30【解析】（1）先求出交点P 的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；（2）先求出A 、B 两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得OAB 的面积．解：（1）由21020x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得：35x y =-⎧⎨=-⎩，可得直线1:210l x y -+= 和22:0x y l --=的交点为()3,5P =--，由于直线l 3的斜率为43，故过点P 且与直线343:50x y l --=平行的直线l 的方程为()4533y x +=⨯+，即4330x y --=；（2）由题意知：直线m 的斜率存在且不为零，设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为()53y k x +=+，由于直线m 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且()3,5P =--为线段AB 的中点，故：()53,0,0,35A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 53323552k k ⎧-⎪=-⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，解得53k =-，故()()6,0,0,10A B -- ，故OAB 的面积为116103022OA OB ⨯⋅=⨯⨯=. 22．（1）22(1)1y x +-=；（2）2±（3）163. 【解析】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d =，又因为直线截圆M所以221+=⎝⎭，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得2k = （3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111AC t t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BC t t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221t y x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC 面积的最小值.18164233ABC S=⨯⨯=. 23．40x y -+=或4y =．【解析】方法一：分点A 和点B 在直线l 的同侧和异侧两种情况求解；方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠，再根据点到线的距离公式求解即可方法一：当点A 和点B 在直线l 的同侧时，易得//AB l ． ∵53131AB k -==-，∵1l k =．又知直线l 过点()0,4P ，∵直线l 的方程为()410y x -=⨯-，即40x y -+=．当点A 和点B 在直线l 的异侧，这时直线l 过AB 的中点()2,4．又因为直线l 过点()0,4P ，则直线l 的斜率为0，直线l 的方程为4y =．综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠．由题设知，直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l的距离相等，则40b c +=⎧=，于是可得3a b a b -=+．从而可得3a b a b -=+或3a b a b -=--，解得a b =-或0a =．当a b =-时，4c b =-，0a ≠且0b ≠，此时直线方程为40x y -+=．当0a =时，0b ≠，此时直线方程为4y =．综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．24．（1）()()224325x y -++=；（2）点()3,2P 在圆C 外．【解析】（1）利用待定系数法求得圆C 的方程.（2）由()()2234232625-++=>判断出点P 与圆C 的位置关系.（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，因为圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ，则()()()()()()222222222001142a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得24325a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以所求圆C 的方程为()()224325x y -++=；（2）因为()()2234232625-++=>，所以点()3,2P 在圆C 外．25．证明见解析.【解析】设出直线PA 与PB 的方程，结合题意可求得,M N 的坐标，进而可求得以MN 为直径的圆C 的方程，再令0y =，可求出圆与x 轴的交点，即可求解由题意可知()2,0A -，()2,0B ，设直线l 与x 轴的交点为K ，设直线PA 的方程为()2y k x =+，则直线PB 的方程为()12y x k=--. 由题意可知()4,6M k 、24,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MN 的中点坐标为14,3k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，123MN k k=+，所以以MN 为直径的圆的方程为：()22211433x y k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22182340x y x k y k ⎛⎫+---+= ⎪⎝⎭，令0y =，则2840x x -+=，解得4x =±点()4+在圆O 外部，点()4-在圆O 内部，所以以MN 为直径的圆C 必过O 内一定点()4-.26．（1）最大值为0，最小值为2021-；（2）最大值为- 【解析】先求出所给的圆的圆心和半径，（1）4yx - 表示圆上的点（x y ）与点A （4，0）连线的斜率 k ．设出过点A 的圆的切线方程，根据圆心C 到切线的距离等于半径，求得k 的值，可得k 的最大值和最小值．（2）将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可. （1）4y x -表示圆上的点(),x y 与点()4,0A 连线的斜率，设圆的切线斜率为k ，圆的切线方程为()04y k x -=-，即40kx y k --=，由2=0k =或2021-，结合图形知，4yx -的最大值为0，最小值为2021-. （2）令2x y t +=，t 表示过圆上的点且斜率等于2-的直线在y 轴上的截距，当直线2x y t +=和圆相切时，有2=∵t =±故2x y +的最大值为-27．当47k =-时，该四边形有一个外接圆，外接圆方程为22151590x y x y +--=.【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，再根据二元二次方程表示圆的条件求得k 的值，进而再求出圆的方程.设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，即22(8)(15)15(756)0x k xy y x y λλλ+++--+--=，由151,80,k λλ-=⎧⎨+=⎩解得14,4.7k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴所求圆的方程为22151590x y x y +--=.28．证明见解析【解析】建立平面直角坐标系，设出圆、直线CD 、直线EF 的方程.结合曲线系与AB 的交点,P Q 的横坐标所满足的方程的根与系数关系，证得M 是PD 的中点，由此证得PM QM =. 如图所示，以M 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设圆方程为 222()(||)x y b r b r +-=<设直线CD 、EF 的方程分别为1y k x =，2y k x =.将它们合并为()()120y k x y k x --=，于是过点C 、D 、E 、F 的曲线系方程为()()22212()0x y b r y k x y k x λ+--+--=.令0y =，得()2221210k k x b r λ++-=，即过点C 、D 、E 、F 的曲线系与AB 交于点P 、Q 的横坐标是方程()2221210k k x b r λ++-=的两根.由韦达定理得0P Q x x +=，即M 是PQ 的中点，故PM QM =.29．圆心在(,25)k k ---1|k +的圆；定点的坐标为(1,3)- 【解析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k 的方程可得定点. 将原方程整理得222()[(25)]5(1)0x k y k k ++++-+=，即222()[(25)]1)]x k y k k ++++=+，∴方程表示圆心在(,25)k k ---1|k +的圆，将原方程整理为关于k 的方程：221020(2410)0x y y k x y ++++++=，由2210200,24100x y y x y ⎧+++=⎨++=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=-⎩ 即圆过定点(1,3)M -.30．直线方程为：40x y --=；圆的方程为：227320x y x y +-+-=. 【解析】首先写出过两圆交点的圆系方程，当1λ=-时，求出直线方程；通过对圆系方程化简整理，求出圆心，再结合已知条件即可求得圆的方程.由题意，过两圆交点的圆系方程为：()2222646280x y x x y y λ++-+++-=，令1λ=-，得40x y -+=，故所求直线方程为：40x y -+=；对圆系方程化简整理得：22(1)(1)664280x y x y λλλλ+++++--=， ∵圆心的坐标为33,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭，而圆心在直线40x y --=上，从而334011λλλ-+-=++，解得，7λ=- 代入圆系方程得，227320x y x y +-+-=. 故所求圆的方程为：227320x y x y +-+-=.31．（1）()10A -，，()56B -，；（2）存在,3，P .【解析】（1）由条件解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得出点A 坐标，得出BC 边上得高所在得直线方程，求出AB 得方程，由联立BC ，AB 的直线方程得出点B 的坐标.（2）由点C 作函数(0)ky x x =>的图像上求出k ，设2(,),P a aP 到AB l距离为d =1||2ABDA d SB =⨯⨯得出面积的表达式，从而求出答案. ()1因为点A 在BC 边上的高210x y -+=上，又在角A 的角平分线0y =上,所以解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得(1,0).A -BC 边上得高所在得直线方程为210,x y -+= 所以2BC k =- 1,1,AC AB AC k k k =∴=-=-所以AB 得方程为x+y+1=010240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得(5,6),B - 所以：()10A -，，()56B -，． (2)因为C 在曲线k y x =上. 22,2,1k k y x∴=∴=∴=2(,),(0),:10AB P a a l x y a>∴++=则P 到AB l距离为d2111122||||1|3|1|2222ABDa AB d a a Sa a ++=⨯⨯==⨯++=++202a a >∴+≥当且仅当22,a =即a =2211|1|1,a a a a++≥∴++≥3PABS∴≥，此时P．32．22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，由CB l ⊥，得到直线CB 的方程，再求导线段AB 的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，则CB l ⊥，所以直线CB 的方程为：()638y x -=-，即3180x y --=，又AB 的中点为()3,1，且64182AB k +==+，所以线段AB 的垂直平分线方程为()13y x -=--，即40x y +-=，由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得11232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以圆的圆心为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =所以圆的方程是22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．证明见解析【解析】=可知代数式的几何意义是抛物线2yx 上的点()2,M x x 到点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，数形结合以及三点共线可求得MA MB -的最大值，即可证得结论成立.=2yx 上动点()2,M x x 与两定点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，如下所示：左边MA MB AB -≤==当且仅当B 在线段AM 上时取等号． 34．226121055x y x y ++++=.【解析】先由两个圆的方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=，再由其圆心在公共弦上求解.两个圆的方程相减，得20x y -=，即为公共弦所在的直线方程.显然圆2C 的圆心(1,1)-不在此直线上.设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=.即22(1)(1)2(2)(12)(1)0x y x y λλλλλ+++++++++=.其圆心M 的坐标为212,12(1)λλλλ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭，点M 在直线20x y -=上，2(2)12012(1)λλλλ++∴-+=++，解得72λ=-. 故所求圆的方程为22555360222x y x y -----=，即226121055x y x y ++++=.35 【解析】解法一：运用判别式法的前提是必须有一元二次方程，且该方程有实根，而此函数的定义域为R ，用判别式法求解是可以的.关键是把函数转化为一元二次方程，因此先将其中一个根式移项，然后两边平方，再将含有根式的项整理到方程的一边，再平方，进而整理成关于自变量x 的一元二次方程，方程有实根的充要条件是“0∆≥”，解关于y 的不等式即可求得其最小值. 解法二：根据解析式中蕴涵的几何意义，转化为求两点间的距离即可求解.解法一：函数y ==.y ∴又0y ，即2y >，对∵式两边平方，得222225413y x x x x --+=-+.整理，得2822y x -+=对∵式两边平方，得()()()2222228484425y x y x y x x -+-+=-+，再整理，得()()2224244123236640y x y x y y ----+-=.∵2440y ->，x 为实数，()()()22242123244436640y y y y ∴∆=----+-≥，化简并整理，得64228520y y y -+≥，即()()()242222285202260yyy y y y -+≥⇔--≥，又2y >，226y ∴≥，y ≥当y =∵为21002801960x x -+=，即22570490x x -+=，解得75x =解法二：y =令(,0)P x ，(1,2)A ，()2,3B ，则||||y AP BP =+点A 关于x 轴的对称点为(1,2)A '-.则min ||||||||y AP BP AP BP A B '=+=+≥=（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当A '、P 、B 三点共线时取“等号”）. 36．证明见解析【解析】先求出切线PA 、PB 的方程，得到直线AB 的方程，再证明点P 恒在定直线上.证明：设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，不妨将A 、B 、P 都视为定点（视动为静），先求直线AB的方程.切线PA 的方程为211x x y y r +=，切线PB 的方程为222x x y y r +=.∵P 点在切线上，∵21010x x y y r +=，22020x x y y r +=，这表明点A 、B 都在直线200x x y y r +=上，故直线AB 的方程为200x x y y r +=.又∵点M 在直线AB 上，∵200x a y b r +=.任意()00,P x y 都满足上式，故动点P 必在直线2ax by r +=上（换静为动）.37．最大值为6 【解析】不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆,41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，通过画出图象，结合图形来看，问题就迎刃而解.如图所示，不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆域. 设41y k x +=+，41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，当直线过点(0,2)时，有max461y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，当直线在切线位置时，k 值最小，由点(0,0)2=，解得k =. 又因为0k >，所以k =所以min41y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 38．0k =或1k >或1k <-. 【解析】先将问题转化为两函数y 2y kx =+的图像只有一个交点，再画出图像，利用函数2y kx =+是过定点(0,2)且绕定点(0,2)转动的直线，数形结合即得参数范围.依题意，函数y 2y kx =+的图像只有一个交点.函数y 2为半径的上半圆，而2y kx =+是过定点(0,2)斜率k 在变化的直线，也就是说直线绕(0,2)点转动，因为(0,2)点在半圆上，所以动直线不可能与半圆再有其他交点（如图所示）.∵当0k =或1k >或1k <-时，两图像只有一个交点. 所以k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-. 39．2370x y ++=．【解析】已知直线AC 、AB 的高线方程可以得到对应的AC 、AB 的直线方程，联立方程AC 与AB 边上的高线方程可得到C 点坐标，联立方程AB 与AC 边上的高线方程可得到B 点坐标，求出BC 的斜率，然后利用点斜式带入求出方程.因为AC 边上的高所在直线的方程为2310x y -+=，所以AC 边所在直线的斜率为32-．所以AC 边所在直线的方程为32(1)2y x -=--，即3270x y +-=．同理，AB 边所在直线的方程为10x y -+=．由32700x y x y +-=⎧⎨+=⎩得顶点C 的坐标为(7,7)-．由10,2310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得顶点B 的坐标为(2,1)--．所以BC 边所在直线的斜率为1(7)2273---=---．所以BC 边所在直线的方程为21(2)3y x +=-+，即2370x y ++=．40．（1）224x y +=；（2）7. 【解析】（1）由AB 的中垂线及圆心所在直线得圆心坐标，得半径，从而得圆方程；（2）用斜率k 的式子表示弦PQ 的长度，同理可得弦MN 的长度，也可用含k 的式子表示，结合图形特征得到函数()S f k =，运用不等式知识求其最大值.解：（1）由题设知QC 的圆心既在AB 的中垂线上，又在直线y x =上，易得圆心为原点，半径为2.∵C ：224x y +=.（2）设四边形PMQN 的面积为S ，当直线l 的斜率0k =时，则1l的斜率不存在，此时142S =⋅=当直线l 的斜率0k ≠时，设1l ：11y x k=-+. 联立2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()221230k x kx ++-=.所以有()22122122441(3)02131k k k x x k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩.同理可得21MN k=+.211221S PQ MN k =⋅=+== 因为22212224k k k +++=，所以172122742S +=⨯=. 当且仅当1k =±时等号成立，所以S 的最大值为7. 41．（1）0；（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可；（2）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可. 解：（1）设12y k x -=-，则y -1=kx -2k ，y =kx -2k +1. 设(2,21)a x kx k =+-+，(,1)b k =-，则222222222()(221)1(2)(2)(21)||1||a b kx k kx k x y x kx k a k b ⋅+-+-=++=++-+==+ 22(41)1k k -=+，故22(41)1k k -+，(158)0k k -，解得8015k . 则12y k x -=-的最小值是0. （2）设2yk x =+，则2y kx k =+，∵ ∵方程222410x y x y +--+=可化为22(1)(2)4x y -+-=，故可将∵式写成32(1)1(2)k k x y -=-⋅-+⋅-，构造向量(1,2)m x y =--，(,1)n k =-，则||(1)2m x =-=，2||1n k =+32m n k ⋅=-. 由222()||||m n m n ⋅⋅，得()22(32)41k k -+，解得1205k，故所求2y x +的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 42．（1）10c =；（2） 3025．【解析】（1）先计算出O 到直线1l 的距离1d ，然后根据规律可计算出O 到直线10l 的距离10d ，结合点到直线。

人教课标版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》提升训练

《直线与圆的位置关系》提升训练一、选择题1.[2018贵州遵义四中高一月考]已知圆C 与直线0x y -=及直线40x y --=都相切，且圆心在直线0x y +=上，则圆C 的标准方程为( ) A.()()22112x y ++-= B.()()22112x y -++= C.()()22112x y -+-= D.()()22112x y +++=2.[2018重庆十八中高一月考]圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.[2017湖北鄂南高中摸底考试]P 是直线:34110l x y -+=上的动点,,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线,,A B 为切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( )B.D.4.[2018江西师大附中高一期末考试]已知直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于,P Q 两点.若||PQ ≥k 的取值范围是( )A.3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.33⎡-⎢⎣⎦C.[]1,1-D.⎡⎣5.[2017福建泉州南安一中高一（上）段考]已知点()(),0M a b ab ≠是圆()2220x y r r +=>内一点，直线g 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为20ax by r ++=,则( ) A. //l g ，且l 与圆相离 B. l g ⊥，且l 与圆相切 C. //l g ，且l 与圆相交 D. l g ⊥，且l 与圆相离6.[2017四川成都外国语学校高一（上）月考]过点()11,2A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有( )A.16条B.17条C.32条D.34条二、解答题7.[2017湖南浏阳一中模考]已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=. (1)求证：对任意的m R ∈，直线l 与圆C 恒有两个交点； (2)设l 与圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.8.[2018福建龙岩一中高一月考]如图，已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点()2,0B -的动直线l 与圆A 交于,M N 两点.(1)求圆A 的方程；(2)当||19MN =l 的方程.9.[2018江苏太仓高二（上）期中考试]已知圆M 的圆心在x 轴上，半径为1，直线41:32l y x =-被圆M 3，且圆心M 在直线l 的下方. (1)求圆M 的方程；(2)设()()()0,,0,652A t B t t +-≤≤-，若圆M 是ABC ∆的内切圆，求ABC ∆的面积S 的最大值和最小值.参考答案一、选择题 1. 答案：B解析：由于圆心在直线0x y +=上，所以设圆心为(),a a -，则半径r ==解得1,a =所以r =.于是圆C 的标准方程为()()22112x y -++=.故选B.2. 答案：C解析：圆的标准方程为()()22128x y +++=，圆心为()1,2--,半径为，∴圆心到直线10x y ++==<满足条件的点有3个. 3. 答案：C解析：圆的标准方程为()()22111x y -+-=，圆心()1,1C ，半径1r =.根据对称性可知四边形PACB的面积122||||2∆==⨯⨯⨯===APC S S PA r PA.要使四边形PACB 的面积最小,则只需||PC 最小，||PC 的最小值为圆心C 到直线:34110l x y -+=的距离，即为1005==，所以四边形PACB=4. 答案：C解析：若||PQ ≥()2,1到直线1y kx =+的距离d ≤=≤[]1,1k ∈-，故选C. 5. 答案：A解析：点M 在圆内222,.a b r ∴+<圆心()0,0到直线l 的距离2,d r =>∴直线l 与圆相离.又直线g 的方程为(),ay b x a b-=--即220,//.ax by a b l g +--=∴6. 答案：C解析：圆的标准方程是()()2221213x y ++-=，圆心坐标为()1,2-，半径13r =.易知点A 在圆内,且过点()11,2A 的最短的弦长为10(只有1条)，最长的弦长为26(只有1条)，还有长度为11,12,⋅⋅⋅,25的弦各2条，所以弦长为整数的弦共有()221532.+⨯=条二、解答题 7.答案：见解析解析：(1)方法一、由已知可得直线():110l x m y --+=，∴直线l 恒过定点()1,1P . 又()2211115+-=<,∴点P 在圆内，∴对任意的m R ∈,直线l 与圆C 恒有两个交点.方法二、圆心()0,1C 到直线l 的距离||1||m d m ==<=< ∴直线l 与圆C 相交，∴对任意的m R ∈，直线l 与圆C 恒有两个交点.(2)直线l 恒过定点()1,1P ，且直线l 的斜率存在.又M 是AB 的中点，当直线l 的斜率不为0时，CM MP ⊥，∴点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P ∴以CP 为直径的圆的方程为()2211124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，当直线l 的斜率为0时，点M 与点C 重合，也满足上式.又直线l 的斜率存在,1x ∴≠，∴点M 的轨迹方程为()()22111124x y x ⎛⎫-+-=≠ ⎪⎝⎭.8.答案：见解析解析：⑴设圆A 的半径为r.圆A 与直线1:270l x y ++=相切，r ∴==∴圆A 的方程为()()221220x y ++-=. ⑵①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2x =-，易得||MN =符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()2y k x =+,即20kx y k -+=. 取MN 的中点Q ,连接AQ ,则AQ MN ⊥.||MN =,||1AQ ∴==，1,=得3,4k =∴直线:3460l x y -+=.综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=. 9.答案：见解析解析：⑴设圆心(),0M a ，由已知得圆心M 到直线l1,2= 又直线l 的方程可化为8630x y --=1.2= 又圆心M 在直线l 的下方，830,835,1a a a ∴->∴-=∴=，故圆M 的方程为()2211x y -+=.⑵设直线AC 的方程为()110,y k x t k =+>直线BC 的方程为()2260y k x t k =++<，由方程组126y k x t y k x t =+⎧⎨=++⎩，得点C 的横坐标为0126x k k =-.12121618||66,||62AB t t S k k k k =+-=∴=⨯⨯=--.圆M 与AC相切，2111,2t k t -∴=∴=同理，()()2216,26t k t -+=+ ()2122361,6t t k k t t++∴-=+()22266161.6161t t S t t t t +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭252,8614,t t t -≤≤-∴-≤++≤-max min 11512761,614284S S ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,ABC ∴∆的面积S 的最大值为152，最小值为274.。

高中关于圆的试题及答案

高中关于圆的试题及答案题目一：求圆的面积和周长某圆的半径为5厘米，求该圆的面积和周长。

解答：圆的面积公式为：\[ A = \pi r^2 \]圆的周长公式为：\[ C = 2\pi r \]将半径 \( r = 5 \) 厘米代入公式计算：面积 \( A = \pi \times 5^2 = 25\pi \) 平方厘米周长 \( C = 2\pi \times 5 = 10\pi \) 厘米题目二：圆的切线问题已知点P(4,3)在圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 上，求过点P的圆的切线方程。

解答：首先，我们知道圆心O的坐标为(0,0)，半径为5。

点P在圆上，所以OP是半径，OP的长度为5。

切线与半径垂直，因此切线的斜率与OP的斜率互为相反数的倒数。

OP 的斜率为 \( \frac{3-0}{4-0} = \frac{3}{4} \)，所以切线的斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。

切线方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，代入点P(4,3)和斜率\( m = -\frac{4}{3} \)，得到：\[ y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 4) \]化简得切线方程为：\[ 4x + 3y - 25 = 0 \]题目三：圆与直线的位置关系已知直线 \( l: 2x - 3y + 6 = 0 \) 与圆 \( C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0 \)，求直线l与圆C的位置关系。

解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \]圆心C的坐标为(2,3)，半径r为3。

接下来，计算圆心C到直线l的距离d：\[ d = \frac{|2\cdot2 - 3\cdot3 + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 - 9 + 6|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \]由于 \( d < r \)，即 \( \frac{1}{\sqrt{13}} < 3 \)，所以直线l 与圆C相交。