历年初三数学中考几何综合复习测试及答案
初三数学几何试题及答案
初三数学几何试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是直角三角形的判定条件？A. 两边相等B. 两边的夹角为90°C. 两边的夹角为60°D. 三边相等答案：B2. 一个圆的半径为5，那么它的直径是多少？A. 10B. 15C. 20D. 25答案：A3. 一个矩形的长是宽的两倍，如果宽是4厘米，那么矩形的面积是多少平方厘米？A. 16B. 32C. 64D. 128答案：B4. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，两腰长为5厘米，那么它的高是多少厘米？A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A5. 一个正方体的体积是27立方厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 54B. 108C. 216D. 486答案：A6. 一个圆的周长是2πr，那么它的面积是多少？A. πrB. πr²C. 2πr²D. 4πr²答案：B7. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么它的斜边长是多少？A. 5B. 7C. 8D. 9答案：A8. 一个平行四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个平行四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形答案：B9. 一个三角形的三个内角分别是40°、50°和90°，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B10. 一个圆的面积是π，那么它的半径是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个圆的直径是8厘米，那么它的半径是______厘米。
答案：42. 一个三角形的三个内角之和是______度。
答案：1803. 一个矩形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的对角线长度是______厘米。
答案：134. 如果一个等腰三角形的顶角是80°，那么它的底角是______度。
答案：505. 一个正五边形的内角和是______度。
中考数学几何复习题含答案
中考数学几何复习题含答案一、选择题1. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，那么这个直角三角形是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形答案：A2. 一个圆的半径是5厘米，那么这个圆的周长是：A. 10π厘米B. 15π厘米C. 20π厘米D. 25π厘米答案：D3. 如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形答案：B二、填空题1. 在一个等边三角形中，每个内角的度数是________度。
答案：602. 如果一个矩形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是________平方厘米。
答案：503. 一个正五边形的外接圆半径是r，那么它的边长是________。
答案：r√5三、计算题1. 已知一个三角形的三边长分别为3厘米、4厘米和5厘米，求证这个三角形是直角三角形。
证明：根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边长满足a²+ b² = c²，则这个三角形是直角三角形。
在这里，3² + 4² = 9+ 16 = 25，等于5²，所以这个三角形是直角三角形。
2. 已知一个圆的半径是7厘米，求这个圆的面积。
解：圆的面积公式是A = πr²。
将半径r = 7厘米代入公式，得到A = π × 7² = 49π平方厘米。
四、解答题1. 在一个正六边形中，每个内角的度数是多少？如果正六边形的边长是a，求正六边形的周长和面积。
解答：正六边形的每个内角的度数是120度。
正六边形的周长是6a，面积可以用公式A = (3√3/2)a²来计算。
2. 已知一个圆柱的高是h，底面半径是r，求圆柱的体积。
解答：圆柱的体积公式是V = πr²h。
将底面半径r和高h代入公式，即可得到圆柱的体积。
五、综合题1. 在一个正方体中，如果每个面的对角线长度是√2a，求正方体的体积。
初三几何测试题及答案
初三几何测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是三角形的内角和？A. 180°B. 360°C. 270°D. 90°2. 如果一个圆的半径是r，那么它的面积是多少？A. πr²B. 2πrC. r²D. 2r²3. 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，另一个锐角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 一个正方形的周长是20厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 25B. 50C. 100D. 2005. 如果一个平行四边形的对角线互相平分，那么这个平行四边形是：A. 任意平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 梯形二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个正五边形的内角和是________度。
7. 圆的周长公式是________。
8. 一个长为5厘米，宽为3厘米的矩形的面积是________平方厘米。
9. 正六边形的对角线数量是________。
10. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且a² + b² = c²，那么这个三角形是________三角形。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 说明如何证明两个三角形全等。
12. 描述矩形和正方形的相似性质。
13. 解释什么是圆周角定理。
14. 给出一个例子，说明如何使用勾股定理解决实际问题。
四、解答题（每题15分，共30分）15. 在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AB是斜边，已知AB=10厘米，AC=6厘米，求BC的长度。
16. 一个圆的半径为7厘米，求这个圆的内接正方形的面积。
答案：一、选择题1. B2. A3. B4. B5. B二、填空题6. 5407. 2πr8. 159. 610. 直角三、简答题11. 证明两个三角形全等的方法有：SSS（三边全等）、SAS（两边夹一角全等）、ASA（两角夹一边全等）、AAS（两角一边全等）和HL（直角三角形的斜边和一条直角边相等）。
九年级数学几何综合专项测试(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：举例说明几何综合中常见的结构以及思考角度有哪些？问题2：中点的思考角度有哪些？几何综合专项测试一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB 中点．在AC上存在一点M使EM+MN的值最小，则EM+MN的最小值为( )A.6B.8C.4D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路线问题2.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕GF，若GF的长为13cm，则线段CE的长为( )cm．A.6B.7C.8D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）3.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，分别记作△ABC与．现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板的斜边上．若∠A=30°，AC=10，则此时两直角顶点之间的距离是( )A.4B.5C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF=52°，则∠B=( )A.52°B.54°C.72°D.76°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类倍长中线5.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标是(0，2)，顶点B在x轴负半轴上，对角线AC，BD相交于点M，，则点D的坐标是( )A.(-2，6)B.(-3，5)C.(-5，2)D.(-6，4)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型6.如图，已知正方形ABCD的周长为24，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE，BF交于点G，连接CG，则CG的长为( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三线合一7.如图1，等边△ABD和等边△BCD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到的位置得到图2，则图中阴影部分的周长为( )A.1B.2C.2.5D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质8.如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一块直角三角板的直角顶点放在点M处，并将此三角板绕点M旋转，三角板的两直角边与边OP，OQ分别交于点A，B，连接AB．则在旋转三角板的过程中，△AOB周长的最小值为( )A. B.C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜直角的处理思路（斜转直）。
中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)
中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。
动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图 在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形 则符合条件的点P 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在平面直角坐标系中 边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动 连接OC 则OC 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上 则当BEC 的一个内角度数为60︒时 符合条件的点E 的个数共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图 在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为 ．5 （2024·江西吉安·二模）如图 在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点 点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形 且P 为直角顶点时 BP 的长为 ．6 （2024·江西九江·二模）如图 在平面直角坐标系中 已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点 点P 为矩形OABC 边上任意一点 将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上 则点E 的坐标为 ．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处 射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形 则α∠的度数为 ．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中 已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上 点N 在边BC 上 且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图 在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中 若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为 ．10 （2024·江西吉安·三模）如图 在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点 当APD △为直角三角形时 BP 的长为 ．11 （2024·江西吉安·一模）如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点 连接BE 点P 在矩形的边上 且在BE 的上方 则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为 ．12 （2024·江西九江·二模）如图 在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点 沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时 则BD 的长为 ．13 （2024·江西·模拟预测）如图 在菱形ABCD 中 对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点 当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为 ．14 （2024·江西上饶·一模）如图 在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠 使点B 的对应点B '落在AC 上 折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为 ．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点 过点E 分别作AC 与BC 的垂线 垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上 且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处 并绕点O 逆时针旋转 探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处 在旋转过程中 当OF 与OB 重合时 重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时 重叠部分的面积为__________ 一般地 若正方形面积为S 在旋转过程中 重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处 在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时 试判断重叠部分OMN 的形状 并说明理由②如图3 当CM CN =时 求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处 该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=） 将GOH ∠绕点O 逆时针旋转 在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图 在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中 点B D E 在同一直线上 且点D 在AC 上 若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为 ．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立 请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点 连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】 思考我们知道 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 反过来 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理 某同学画出了图形 并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部 过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中 过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点 连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠 使点A 落在BC 边上的点F 处 若图中的四个三角形都相似 求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上 某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合） 将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中 四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直 相等且互相平分等性质 证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样 就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征 过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上 点F 在BC 上 则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时 其他条件不变 四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是 请求出四边形OECF 的面积 若不是 请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线 求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点 且AC EC = 则DAE ∠的度数为 ．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠 得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时 连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点 且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。
中考复习题及答案数学几何
中考复习题及答案数学几何中考复习题及答案：数学几何数学几何是中考数学中的一大重点。
几何学是研究空间形状、大小、相对位置以及其性质和变化的数学分支。
在中考中，几何题目涉及到平面几何和立体几何两个方面。
接下来，我们将通过一些典型的中考复习题来帮助大家巩固和加深对数学几何的理解。
1. 已知△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，求AC的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以，AC的长度为√(AB²+BC²) = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5cm。
2. 在平行四边形ABCD中，AB的长度是3cm，AD的长度是4cm，过点A做AE⊥BC交BC于点E，求AE的长度。
解析：由于平行四边形的对角线互相平分，所以BE=EC。
又由于AE⊥BC，所以△AEB与△AEC是相似三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到AE/BE = AE/EC = AB/BC。
即AE/3 = 4/BC。
根据题目中给出的信息，我们可以得到BC=AD=4cm。
带入公式，AE/3 = 4/4，即AE/3 = 1。
解方程可得AE =3cm。
3. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6cm，BC=8cm，CD=10cm，求AD的长度。
解析：由于直角梯形的对角线互相平分，所以AC是BD的中线。
根据题目中给出的信息，我们可以得到AC=BD=8cm。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以，AD的长度为√(AC²+CD²) = √(8²+10²) =√(64+100) = √164 ≈ 12.81cm。
4. 在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，求∠EAB的度数。
解析：正方形的对角线相互垂直且互相平分，所以∠EAB = ∠EAD的一半。
又由于正方形的每个内角都是90°，所以∠EAD = 90°。
中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案
中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，则点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．−14≤b≤1B．−54≤b≤1C．−94≤b≤12D．−94≤b≤13．如图所示，∥ABC为等腰直角三角形，∥ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC 与DE在同一直线上，∥ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）5．如图，等腰Rt∥ABC（∥ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让∥ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，∥BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，∥ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD∥AB于点D，设运动时间为x（s），∥ADP的面积为y （cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=∥C=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），∥BPQ的面积为S （平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（）①当t=4秒时，则S=4 √3②AD=4③当4≤t≤8时，则S=2 √3t ④当t=9秒时，则BP平分四边形ABCD的面积．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l1的直线l2从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE（E、O两点分别在CD两侧），若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2.动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C，同时动点Q也从点A出发，以每秒√3个单位的速度沿AC 运动到点C，当一个点停止运动时，则另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．12．点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，则S最小B．当C是AB的中点时，则S最大C．当C为AB的三等分点时，则S最小D．当C是AB的三等分点时，则S最大二、填空题(共6题；共7分)13．如图，抛物线y = 13x2−23x−83的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，则∥PAB的面积S的取值范围是．15．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y 轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为16．如图，在∥ABC中，∥B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．17．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，则四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，则四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．18．如图，抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为拋物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180∘时，则点D的坐标为.三、综合题(共6题；共73分)19．如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A(−2，0)，B(6，0)两点，与y 轴交于点C 直线l ：y =12x +n 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA ，PD ，求当△PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）y 轴上是否存在点Q ，使∠ADQ =45°，若存在请求点Q 的坐标；若不存在说明理由． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过A （﹣4，0），C （2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，∥AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．21．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF =//OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．（1）求B点坐标；（2）当tan∥EOC= 43时，则显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；（3）当0＜tan∥EOC＜3时，则对于每一个确定的tan∥EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，则求tan∥EOC．22．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，则另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2．（1）BP=cm；（2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP∥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）;（2）试求∥MPA面积的最大值，并求此时t的值;（3）请你探索：当t为何值时，则∥MPA是一个等腰三角形？24．已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，则求点D的坐标．参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】A13．【答案】1.5π14．【答案】3≤S≤1515．【答案】9416．【答案】317．【答案】3；1818．【答案】(−7，−163) 19．【答案】（1）解：将A （-2，0）、B （6，0）代入y=ax 2+bx+3得：{4a −2b +3＝036a +6b +3＝0解得{a ＝−14b ＝1∴抛物线的解析式为y=-14x 2+x+3 （2）解：∵y =12x +n 过点于A(−2，0)，所以n =1 ∴点D 的坐标为(4，3)．如图1中，过点P 作PK ∥y 轴交AD 于点K ．设P(m ，−14m 2+m +3)，则K(m ，12m +1)． ∵S △PAD =12⋅(x D −x A )⋅PK =3PK ∴PK 的值最大值时，则△PAD 的面积最大PK =−14m 2+m +3−12m −1=−14m 2+12m +2=−14(m −1)2+94∵−14<0∴m =1时，则PK 的值最大，最大值为94此时△PAD 的面积的最大值为274，P(1，154)． （3）解：存在如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T(−5，6)设DT 交y 轴于点Q ，则∥∠ADQ =45°∵D(4，3)∴直线DT 的解析式为y =−13x +133∴Q(0，133) 作点T 关于AD 的对称点T ′(1，−6)则直线DT ′的解析式为y =3x −9设DQ ′交y 轴于点Q ′，则∠ADQ ′=45°∴Q ′(0，−9)综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(0，133)或(0，−9)． 20．【答案】（1）解：将A （﹣4，0），C （2，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣4，得：{16a −4b −4=04a +2b −4=0 ，解得：{a =12b =1∴抛物线解析式为：y =12x 2+x −4 （2）解：如图，过点M 作MN∥AC 于点N∵抛物线y =12x 2+x −4与y 轴交于点B 当x =0 时，则y =−4∴B(0，−4) ，即OB=4∵点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m∴M(m ，12m 2+m −4) ∴ON =−m ，MN =−(12m 2+m −4)=−12m 2−m +4 ∴AN =m −(−4)=m +4∴S △ABM =S △ANM +S 梯形MNOB −S △AOB =12(4+m)(−12m 2−m +4)+12(−12m 2−m +4+4)(−m)−12×4 =−m 2−4m =−(m +2)2+4(−4<m <0)∴当m =−2 时，则S 有最大值，最大值为4∴S 关于m 的函数关系式为S =−m 2−4m ， S 的最大值为4．21．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x ﹣3）2+9∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图∵tan∥EOC= 43 ，即tan∥EOH= 43∴EH OH = 43∴EH=4∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4）当y=4时，则﹣（x ﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ √5 （舍去），x 2=3+ √5当y=﹣4时，则﹣（x ﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ √13 （舍去），x 2=3+ √13∴F 点坐标为（3+ √5 ）或（3+ √13 ，﹣4）（3）解：如图，∵平行四边形OEFC 和平行四边形OE′F′C′等高∴这两个四边形的面积之比为1：2时，则OC′=2OC 设OC=t，则OC′=2t∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t而点F和F′的纵坐标互为相反数∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= 3√105，t2=﹣3√105（舍去）∴F点坐标为（3+ 3√105，275）∴E（3，27 5）∴tan∥EOC= 2753= 95．22．【答案】（1）（6-t）（2）解：经过t秒后∴S=12×PB×BQ=12×(6－t)×2t=－t2+6t=−(t−3)2+9∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．23．【答案】（1）解：6－t；43t（2）解：延长NP交x轴于Q，则有PQ∥QA．设∥MPA的面积为SS＝12MA·PQ＝12（6—t）43t＝— 23t2＋4t （0≤t≤6）∴当t ＝3时，则S的最大值为6（3）解：①若MP＝PA ∵PQ∥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2②若MP＝MA 则MQ＝6—2t PQ＝43t PM＝MA＝6—t在Rt∥PMQ 中∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（43t）2∴t ＝10843③若PA＝AM ∵PA＝t AM＝6—t ∴t＝6—t ∴t＝94综上所述， t ＝2或t ＝ 10843 或t ＝ 9424．【答案】（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1，0)、B(3，0)∴{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3（2）解：∵抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3 令x =0，则y =3∴C(0，3)∵B(3，0)设直线BC 的解析式为y =kx +b则{b =33k +b =0解得{k =−1b =3直线BC 的解析式为：y =−x +3过点P 作PQ∥x 轴交BC 于点Q ，设P 点坐标为(x ，−x 2+2x +3)则Q 点坐标为(x ，−x +3)则PQ =(−x 2+2x +3)−(−x +3)=−x 2+3x=−(x −32)2+94∴PQ 的最大值是94． （3）解：∵∆COF 与∆CDF 共高，面积比转化为底边比 OF ：DF=S∥COF ：S∥CDF ＝3：2过点D 作BC 的平行线交x 轴于G ，交y 轴于E根据平行线分线段成比例OF：FD=OC：CE=3：2∵OC=3∴OE=5∴E（0，5）∴直线EG解析式为：y= -x+5联立方程，得：−x2+2x+3=−x+5解得：x1=1则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；。
中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)
中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)类型1 类比探究的几何综合题类型2 与图形变换有关的几何综合题类型3 与动点有关的几何综合题类型4 与实际操作有关的几何综合题类型5 其他类型的几何综合题类型1 类比探究的几何综合题（2018苏州）（2018烟台）（2018东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1:3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°， BO：OD=1:3，求DC的长．（2018长春）(第24题图1) (第24题图2) (第24题图3)（2018陕西）（2018齐齐哈尔）（2018河南）（2018仙桃）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．（2018襄阳）如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；的值为；②推断：AGBE(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC= ．（2018淮安）（2018咸宁）（2018黄石）在△ABC 中，E 、F 分别为线段AB 、AC 上的点（不与A 、B 、C 重合）. （1）如图1，若EF ∥BC ，求证：AEF ABC S AE AFS AB AC∆∆= （2）如图2，若EF 不与BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心，34AE AB =,求AEFABC S S ∆∆的值.BBB（2018山西）（2018盐城）【发现】如图①，已知等边ABC ，将直角三角形的60角顶点D 任意放在BC 边上（点D 不与点B 、C 重合），使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F .（1）若6AB=，4AE=，2BD=，则CF=_______；（2）求证：EBD DCF∆∆.【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分BEF∠且FD平分CFE∠？若存在，求出BDBC的值；若不存在，请说明理由.【探索】如图③，在等腰ABC∆中，AB AC=，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中MON B∠=∠），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与ABC∆的顶点重合），连接EF.设Bα∠=，则AEF∆与ABC∆的周长之比为________（用含α的表达式表示）.（2018绍兴）（2018达州）（2018菏泽）（2018扬州）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN与EC相交于点P，求tan CPN∠的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中CPN∠不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N，可得∠就变换到中Rt DMN∆.∠=∠，连接DM，那么CPNMN EC，则DNM CPN//问题解决（1）直接写出图1中tan CPN ∠的值为_________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P ，求cos CPN ∠的值； 思维拓展（3）如图3，AB BC ⊥，4AB BC =，点M 在AB 上，且AM BC =，延长CB 到N ，使2BN BC =，连接AN 交CM 的延长线于点P ，用上述方法构造网格求CPN ∠的度数.（2018常德）已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE ⊥于H ,设直线DH 交AC 于N .（1）如图14，当M 在线段BO 上时，求证：MO NO =；（2）如图15，当M 在线段OD 上，连接NE ,当//EN BD 时，求证：BM AB =； （3）在图16，当M 在线段OD 上，连接NE ,当NE EC ⊥时，求证：2AN NC AC =⋅.（2018滨州）（2018湖州）（2018自贡）如图，已知AOB 60∠=,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA OB 、相交于点D E 、 .⑴当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE OD +与OC 的数量关系，并说明理由；⑵当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD OE 、与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（2018嘉兴、舟山）O BOO B图3.（2018淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB AC =，在ABC ∆的外侧分别以,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ACE ，，分别取,BD CE ，BC 的中点,,M N G ，连接,GM GN .小明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是 ；位置关系是 . （2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB AC >，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由. （3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向ABC ∆的内侧分别作等腰直角三角形,ABD ACE ，其它条件不变，试判断GMN ∆的形状，并给与证明.类型2 与图形变换有关的几何综合题（2018宜昌）在矩形ABCD 中，12AB =，P 是边AB 上一点，把PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点G ，过点B 作BE CG ⊥，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F . (1)如图1，若点E 是AD 的中点，求证:AEB DEC ∆∆≌； (2) 如图2，①求证: BP BF =；②当AD 25=，且AE DE <时，求cos PCB ∠的值； ③当BP 9=时，求BE EF 的值.图1 图2 图2备用图 23.(1)证明：在矩形ABCD 中，90,A D AB DC ∠=∠==, 如图1，又AE DE =，图1∆≅∆,ABE DCE(2)如图2，图2①在矩形ABCD中，90∠=,ABC∆沿PC折叠得到GPC∆BPC∠=∠∴∠=∠=,BPC GPC PGC PBC90⊥BE CG∴,BE PG//∴∠=∠GPF PFBBPF BFP∴∠=∠∴=BP BFAD=时，②当25∠=BEC90∴∠+∠=,90AEB CED90AEB ABE ∠+∠=,CED ABE ∴∠=∠ 又90A D ∠=∠=,ABE DEC ∴∆∆∽AB DEAE CD∴=∴设AE x =，则25DE x =-，122512xx -∴=， 解得19x =，216x =AE DE <9,16AE DE ∴==, 20,15CE BE ∴==,由折叠得BP PG =，BP BF PG ∴==,//BE PG , ECF GCP ∴∆∆∽EF CEPG CG∴=设BP BF PG y ===，152025y y -∴=253y ∴=则253BP = 在Rt PBC ∆中，PC =,cos 10BC PCB PC ∠=== ③若9BP =,解法一：连接GF ，（如图3）90GEF BAE ∠=∠=, //,BF PG BF PG =∴四边形BPGF 是平行四边形BP BF =,∴平行四边形BPGF 是菱形//BP GF ∴, GFE ABE ∴∠=∠, GEF EAB ∴∆∆∽EF ABGF BE∴=129108BE EF AB GF ∴==⨯= 解法二：如图2，90FEC PBC ∠=∠=,EFC PFB BPF ∠=∠=∠, EFC BPC ∴∆∆∽EF CEBP CB∴=又90BEC A ∠=∠=, 由//AD BC 得AEB EBC ∠=∠,AEB EBC ∴∆∆∽AB CEBE CB∴=AE EFBE BP∴=129108BE EF AE BP ∴==⨯=解法三：（如图4）过点F 作FH BC ⊥，垂足为HBPF PFEGS BF BFS EF PG BE∆==+四边形图41212BFC BEC S BF EF BC EFBE S BC ∆∆⋅===⨯ 912EFBE ∴=129108BE EF ∴=⨯=（2018邵阳）（2018永州）（2018无锡）（2018包头）（2018赤峰）（2018昆明）（2018岳阳）（2018宿迁）（2018绵阳）（2018南充）（2018徐州）类型3 与动点有关的几何综合题（2018吉林）（2018黑龙江龙东）（2018黑龙江龙东）（2018广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o，如图25-1图，连接BC.（1）填空：∠OBC=_______o；（2）如图25-1图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图25-2图，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（结果可保留根号）（2018衡阳）（2018黔东南）如图1，已知矩形AOCB，6cm s的AB cm=，动点P从点A出发，以3/=，16BC cm速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2/cm s的速度向点B运动，与点P同时结束运动.（1）点P 到达终点O 的运动时间是________s ，此时点Q 的运动距离是________cm ； （2）当运动时间为2s 时，P 、Q 两点的距离为________cm ； （3）请你计算出发多久时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ；（4）如图2，以点O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC ，与PQ 相交于点D ，若双曲线ky x=过点D ，问k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k 的值.（2018青岛）已知：如图，四边形ABCD ，//,AB DC CB AB ⊥，16,6,8AB cm BC cm CD cm ===，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2/cm s .点P 和点Q 同时出发，以QA QP 、为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为()t s ，05t <<.根据题意解答下列问题： （1）用含t 的代数式表示AP ；（2）设四边形CPQB 的面积为()2S cm ，求S 与t 的函数关系式； （3）当QP BD ⊥时，求t 的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点E 在ABD ∠的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.（2018广州）如图12，在四边形ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数（2）连接BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系，并说明理由。
初三数学 几何综合-中考必做题(详解版)
中，点 是 边的中点，延长 至点 ，使
，连接
， ．将
绕点 按顺时针方向旋转．当点 恰好落在 上的点 处时，连接 、
、 ，则 的长是
．
答案
解析 如图，过 作
于 ，过 作
于 ，过 作
．
∵
，
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴
，
由勾股定理得：
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
由旋转得
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，交 于 ，交 于
和
，连接 、 ， 与 的延长线交于点 ，下列结论：①
；②
；③
是
的中线；④
，其中，正确结论的个数是 （ ）．
A.
B.
答案 A
解析 在正方形
和
中，
C.
，
，
D. ，
∴
，
即
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，（故①正确）；
设 、 相交于点 ，
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，（故②正确）；
过点 作
的延长线于 ，过点 作
于，
∵
，
∴
圆 圆的基础知识 圆心角、弧、弦的关系
， 不一定成立，因此④不正确．
10
如图，已知 是⊙ 的直径，点 在 上，过点 的直线与 的延长线交于点 ，
初三数学几何测试题及答案
初三数学几何测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不规则三角形2. 圆的半径为5，那么圆的周长是：A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π3. 已知点A(-3, 4)和点B(6, -2)，线段AB的长度是：A. 5B. 10C. 15D. 204. 正六边形的内角是：A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°5. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其表面积为：A. 2(ab + bc + ac)B. a^2 + b^2 + c^2C. 4(ab + bc + ac)D. 6(ab + bc + ac)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是________。
7. 一个圆的直径是14，那么这个圆的面积是________。
8. 如果一个三角形的底边长为10，高为6，那么这个三角形的面积是________。
9. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，那么它的体积是________。
10. 正五边形的每个内角是________。
三、计算题（每题10分，共20分）11. 已知一个圆的半径为7，求圆的面积。
12. 已知一个长方体的长、宽、高分别为5、4、3，求长方体的表面积和体积。
四、解答题（每题15分，共20分）13. 已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求∠C的大小。
14. 在平面直角坐标系中，点P(-2, 3)关于原点O(0, 0)对称的点Q 的坐标是什么？五、证明题（每题15分，共15分）15. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
答案：1. B2. C3. B4. C5. A6. 5（根据勾股定理）7. 49π（πr^2，其中r=7）8. 30（底×高÷2）9. 24（长×宽×高）10. 108°（(5-2)×180°÷5）11. 圆的面积为49π。
初三几何测试题及答案
初三几何测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是直角三角形的判定条件？A. 两条边相等B. 一条边是另一条边的两倍C. 一个角是90度D. 三角形的周长是固定的答案：C2. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 31.4B. 15.7C. 10D. 25答案：A3. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，腰长为8厘米，那么它的高是多少厘米？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 梯形D. 所有选项答案：D5. 一个三角形的三个内角之和是多少度？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度答案：B6. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 20B. 30C. 50D. 100答案：C7. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 78.5B. 39.25C. 25D. 100答案：B8. 一个等边三角形的边长是6厘米，那么它的高是多少厘米？A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B9. 一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是什么形状？A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 任意四边形答案：B10. 一个三角形的三个顶点分别在圆上，那么这个三角形是什么形状？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 任意三角形答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个三角形的两个内角分别是40度和70度，那么第三个内角是______度。
答案：702. 一个圆的半径是8厘米，那么它的直径是______厘米。
答案：163. 一个正方形的对角线长是10厘米，那么它的边长是______厘米。
答案：5√24. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，那么它的周长是______厘米。
答案：405. 一个等腰直角三角形的直角边长是5厘米，那么它的斜边长是______厘米。
中考数学专题复习《反比例函数与几何综合》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《反比例函数与几何综合》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图 在直角坐标系中 A B C D 四点在反比例函数k y x=线段AC BD ，都过原点O ()4,2A 点B 点纵坐标为4 连接AB CD DA ，，．(1)求该反比例函数的解析式(2)当-2y ≥时 写出x 的取值范围(3)求四边形ABCD 的面积．2．如图 在平面直角坐标系中 直线2y x b =+经过点()2,0A - 与y 轴交于点B 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),6C m 过点B 作BD y ⊥轴 交反比例函数()0k y x x=>的图象于点D 连接AD CD 、．(1)b =______ k =______(2)求ACD 的面积．3．如图 一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图象相交于A B 两点（点A 在点B 的左侧） 与x 轴相交于点C 已知点()1,4A 连接OB ．(1)求反比例函数的解析式(2)若BOC 的面积为3 求AOB 的面积(3)在（2）的条件下 根据图象 直接写出m kx b x>+的解集． 4．小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图 在平面直角坐标系中 以反比例函数ky x =图象上的点()2A 和点B 为顶点 分别作菱形AOCD 和荾形OBEF 点D E 在x 轴上 以点O 为圆心 OA 长为半径作AC 连接BF(1)求k 值(2)计算图形阴影部分面积之和．5．在平面直角坐标系xOy 中 反比例函数()0k y x x=>的图象与等腰直角三角形OAB 相交 90OBA ∠=︒ 6OA =.(1)如图1 若反比例函数的图象恰好经过OAB 的顶点B 时 求反比例函数的表达式(2)在（1）的前提下 过点A 作AQ OB 交反比例函数的图象于点Q 连接BQ 求OBQ △的面积和点Q 的坐标(3)如图2 若反比例函数的图象交OAB 的边OB 于点C 且13BC OB = 点P 是反比例函数图象上的一动点 满足OCP △的面积是3 请直接写出点P 的坐标.6．平面直角坐标系xOy 中 横坐标为a 的点A 在反比例函数()10k y x x=>的图象上 点A '与点A 关于点O 对称 一次函数2y mx n =+的图象经过点A '．(1)设2a = 点()4,2B 在函数1y 2y 的图象上 分别求函数1y 2y 的表达式．(2)如图① 设函数1y 2y 的图象相交于点B 点B 的横坐标为3aAA B '的面积为16 求k 的值(3)设12m = 如图① 过点A 作AD x ⊥轴 与函数2y 的图象相交于点D 以AD 为一边向右侧作正方形ADEF 试说明函数2y 的图象与线段EF 的交点P 一定在函数1y 的图象上． 7．如图 在矩形OABC 中 3OA = 2OC = F 是AB 上的一个动点（F 不与A B 重合） 过点F 的反比例函数()0ky x x=>的图象与BC 边交于点E ．(1)当F 为AB 的中点时 求该反比例函数的解析式和点E 的坐标．(2)当k 为何值时 CEF △的面积最大 最大面积是多少？8．已知直线11y x =+与双曲线22y x=相交于点A 和点B 如图所示 过点B 作BD y ⊥轴于点D 设直线AB 交x 轴于点C 连接CD ．(1)求：BCD △的面积(2)求：当12y y ≥时 x 的取值范围．9．如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 ABO 的边AB 垂直x 轴于点B 反比例函数()0k y x x=>的图象经过AO 的中点C 与边AB 相交于点D 若D 的坐标为()4,m 3AD =．(1)反比例函数k y x=的解析式是 (2)设点E 是线段CD 上的动点 过点E 且平行y 轴的直线与反比例函数的图象交于点F 则OEF 面积的最大值是 ．10．如图 一次函数1y kx b =+的图象与x 轴 y 轴分别交于点A B 与反比例函数()20m y x x=>的图象交于点()1,2C ()2,D n ．(1)分别求出两个函数的解析式(2)连接OC OD 求COD △的面积(3)点P 是反比例函数上一点 PQ x ∥轴交直线AB 于Q 且3PQ = 求点P 的坐标． 11．如图 反比例函数(0)k y x x =<的图像与直线3x =-交于点P AOP 的面积等于3．(1)求反比例函数的表达式(2)利用图像 求当30x -<<时 y 的取值范围．12．如图 ABC 中 60CAB ∠= 45ABC ∠= 点A B 在x 轴上 反比例函数k y x =的图象经过点(123C ， 且与BC 边交于另一点D CE x ⊥轴 垂足为点E ．(1)求反比例函数的解析式(2)求点D 的坐标(3)在x 轴上是否存在点P 使得BDP △与BCE 相似 若存在 请直接写出满足条件点P 的坐标 若不存在 请说明理由.13．如图 Rt OAB 的直角顶点B 在x 轴的正半轴上 点A 在第一象限内 已知反比例函数()0k y x x =>的图象经过线段OA 的中点D 交直线AB 于点C ．若OAB 的面积为6．(1)求k 的值(2)若AC OB = 求点A 的坐标．14．如图 在Rt ABO △中 直角顶点B 在x 轴正半轴上 反比例函数n y x=（0n ＞）的图象分别与边AO 边AB 交于点C D ．(1)如果点C 的坐标为()23，且8AD = 求n 的值及点B 的坐标 (2)连结CB 如果AD DB = 求OAB OCB S S ：的值．15．如图 一次函数y ax b =+与反比例函数k y x =的图象交于D E 两点 CD x ⊥轴 垂足为C 过C 作CB DE ∥交y 轴于B 已知四边形ABCD 的面积为12 E 点纵坐标为2-．(1)求反比例函数的解析式(2)当6AB =时 求一次函数的解析式(3)在（2）的条件下 直接写出k ax b x+<的自变量x 的取值范围． 参考答案：1．(1)8y x= (2)4x ≤-或0x >(3)242．(1)4 6 (2)92．3．(1)4y x= (2)3AOB S =△(3)01x <<或2x >4．(1)43(2)833π5．(1)9y x = (2)9 点Q 的坐标为()332,323+(3)()1,4或()4,16．(1)18y x=22y x =- (2)6k =7．(1)3y x = 3,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)3k =时 CEF S △最大为348．(1)BCD △的面积为1(2)20x -≤<或1x ≥9．(1)4y x= (2)1410．(1)13y x =-+ 22y x= (2)32(3)(3P 或(3P11．(1)()60y x x=-< (2)2y >12．(1)y =(2)()D(3)()P 或()10P ，13．(1)3(2)()3,414．(1)()660n B =，，15．(1)反比例函数的解析式为12y x=- (2)一次函数的解析式为4y x =-+(3)20x -<<或6x >．。
初三数学几何综合题及答案
的外侧作等腰直角三角形，AC为斜边，向△ABCABC中，AB=AC，分别以AB和1.在△的数量MD和ME1）如图1所示，若AB=AC，则M是BC边中点中点，连接MD和ME（≠具有怎样的MD和ABMEAC其他条件不变，则（2）如图2所示，若关系是数量和位置关系？请给出证明过程；作等腰直角三角形，的内侧AB和AC为斜边，向△ABC （3）在任意△ABC中，仍分别以．．的形状．ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MEDM 是BC的中点，连接MD和A AD A DE图2图1EC C C B B B M M M（1 ）MD=ME．是等AEC和△解：∵△ADB 腰直角三角形，ACE=DAB=∠∴∠ABD=∠，∠EAC=45°∠AEC=90°∠ADB= 中，ADB△和△AEC在，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE，AD=AE，∵M是BC的中点，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．在△DBM和△ECM中，，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD=ME．（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．∴，，MF∥AC，MG∥AB．∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，∴，．∴MF=EG，DF=MG．在△DFM与△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS）．∴DM=ME．∠FMD=∠GEM∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME1 / 15GME+∠EGC=180°∴∠DME=90°∵EG⊥AC∴∠EGC=90°∵∠GEM+∠MGC+∠．∴DM⊥EM ）如图所示：（3 MDE△是等腰直角三角形．2BC90△?ABC°?ACB?，分别是线段BC，中，E，．如图1，在F，∠A=30°，点2AF?BEBE AF）2________与．的位置关系是________，AC的中点，连结EF．（1）线段（??CCEF△1800??）中的结论1如图2，当BE，绕点（顺时针旋转）时（，连结AF，.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．是否仍然成立??CFCC△EF1800??DAB，（交，3，当延长于点绕点）顺时针旋转如图时（3）A3?AD?62?如果，求旋转角的度数．A A，，BC=2，∠A=30°（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；∵∠ACB=90°；，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，∴=∴AC=2DEF故答案为：互相垂直；；F的中点，，AC，F分别是线段BCE（2）（1）中结论仍然成立．证明：如图2，∵点αBαE C，∴∴EC= BCE===，∵∠∠ACF=α，∴△BEC∽△AFC，BC，FC=AC BC3图CB E2 图，延长21=∴∠AC于点O=，交==AF于点M ，∴∠BE交F1 图；BCO=∠AMO=90°∴BE⊥AF∴∠∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2 ，∠A=30°∴AB=4，∠B=60°，（3）如图3，∵∠ACB=90°BC=2HD作DH⊥BC于∴DB=4﹣（6﹣2﹣，，，∴BH=﹣1DH=3）=2﹣2过点=135°．α=180°，CH=DH1CH=2又∵﹣（﹣）=3﹣∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，∴﹣45°，∴，连BEAB，=CDCEE∠ABCD13.（）如图1，在四边形中，∠B=C=90°，为BC上一点，且=、，在2的形状是结AE、DEAD，则△ADE_________________________.(2)如图??ABC中，90??A①CDP，两线交于点．、ACABE，D、分别为、上的点，连结BE BPD?的度数并给予证明．②当BD=AC当，时，在图中补全图形，猜想CE=AD CEBD3??BPD? ____________________．时，的度数ADAC C）等腰直角三角形（1 DAABCBE1图图22 / 15-------------------------------------------------------------------------------1分（2）45°. -------------------------------------------------------------------------------------------2分证明：过B点作FB⊥AB,且FB=AD.?FBD??A?90?,∴∵BD=AC，C∴△FBD≌△DAC.ED=DC ，FDB=∠DCA∴F?? 9090，，∴∠FDB +∠CDA=∵∠DCA+∠CDA P??=4590．，∴∠FCD=∠CFD∴∠CDF=BF=CE∵AD=CE，∴ABD?A?90?FBD??. ∵，∴?180??FBD?A?.∥EC∴BF BECF是平行四边形．∴四边形.∥FC∴BE .-----------------------------------------------------------------------6分∴?45?FCD??BPD??--------------------------------------------------------------------------------------7）60分．（3．4 ?0逆时针旋转6，将线段0?BC 绕点B在△ABC 中，AB ?AC ，?A ??，再将D 得到线段B的度数；AC1，直接写出AB（1）如图CFE ABD和在上，点F在?上．?线段BD平移到EF，使点E?的形状并加以证明．；（2）在图1中证明：判断CEF △2，连接CE E ?CF，（3）如图AAFFDDEEBCBC2图1图分2 1）°°．………………………………………45 15 ，?CFE=?ABD=DF2（）证明：连结CD、．，∵?逆时针旋转60线段BC 绕点B D得到线段B∴．?CBD ??0?BD BC ，?A∴△BCD是等边三角形．F∴．CD ?BD∵，线段BD平移到EF∴EF ?BD ．EF∥BD ，DE分3………∴CDEF ，?四边形．BDFE是平行四边形∵??A ?，??0AC AB ?，BC∴?．???ABC ACB????1图∴?CBD．??????ACD??????ABD ABC∴?DFE ?????AEF ，????ABD?????ABD．3 / 15分4∴…………………………………………………??AEF ?? ACD????．∵?，?AEF?????????????CFE ??A+∴?．??DFE?????????????CFD ??CFE分5……………………………………………………∴?．???CFD?????A．（AAS）∴△AEF≌△FCD分6∴……………………………………………………………?．CF?E3）解：是等腰直角三角形．（CEF△于G，证明：过点E作EG⊥CF A∴∵?，．?FEG?????CFE???F∵∴?，?AGE????．，?A ??0?FGEG ?1AE?EG．∴2GDE11CFEG?CFFG?．∴∵∴．?，CF?E 22BC∴CF的中点．G为2图∴CF的垂直平分线．EG为∴．ECEF ?∴???．CEF ???FEG=9?分…………………………………………8∴是等腰直角三角形．CEF△?BCABCFADEADE，连接顺时针旋转相交于点得到△绕点的延长线与，5．将△???BAC60AFBF2BFAFDF?．（1）如图1，若的数量=，请直接写出= 与，关?BFDF?3?BAC?60BFAF的数量关系，并，＜与=，猜想线段系；（2）如图2，若AF?m mBF?BAC?DF，请直接写出，若证明你的猜想；（3）如图3，为常数）＜（BF的值?m的式子表示）、．（用含解：D DD）1解：（A．AF=BF A理由如A DF下：在E上截取E E C，DG=BF F，AG连接C C B B F BF（如图3 图 2 图1 图），由旋1转得B，AD=AB，∠D=∠BAF∠，SAS），∴AG=AF，∠DAG=ABF中，ADG在△和△ABF，∴△ADG≌△（GAF．∴△是等边三角形，DAG=BAF=∠∠GAB+∠∠DAB=60°GAB+GAF=∴∠∠AF=BFBF=BFDG=DFAF=GF=DFDF=2BF又∵，∴﹣﹣，即；4 / 15（2）解：猜想：AF=2BF．证明：在DF上截取DG=BF，连接AG（如图2）．中，，∴△ADG≌△ABF（和△ABFSAS），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°，∴△GAF是等边三角形，又∵DF=3BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=2BF，即AF=2BF；（3）在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图3），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，∴△GAF是等腰三角形，∵DF=mBF，∴GF=DF﹣DG=mBF﹣BF=（m﹣1）BF，GAF=α，BF，∠，则HFAH=FH=∠GF=（m﹣1）过点A作AH⊥DF于=．sin，∴=∵sin∠FAH=，∴6．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．（1）如图l，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长12∠BAF，AF＝＝AD，请你判断线段FM和FN之间线交ED于点N，∠MBF23的数量关系，并证明你的判断是正确的．AAM FC，连接FE证明：（1、）如图1 FC的垂直平分线上∴FE=∵点F在线段EC DBDBGF∠∴∠FEC=FCE FGN）的对称点是点关于直线BD对称（点CA∵△ABD和△CBD EE CBD=∠=CB，∠ABD∴AB C A C中∵在△ABF与△CBF图12图AB＝CB ABDCBD＝∠∠BF BF＝DBGF FCE，FA=FC∠ABF∴△≌△CBF（SAS）∴∠BAF=来源:Z+xx+]AEF FA，∠FEC=∠BAF ∴∠EAF=∠FE∴=E§来源学§科§网§§K]BEF∵∠FEC +∠=180°∴∠BAF+180°∠BEF=C =360°ABE+∠BEF+∵∠BAF∠+AFE∠AFE∴∠++∠+AFE=ABE∠∠ABDCBD∠=180°5 / 15又∵∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°∴∠EAF+∠AEF=∠ABD+∠CBD∵∠ABD＝∠CBD,∠EAF=∠AEF∴∠EAF=∠ABD7FN（2）FM=2证明：由(1)可知∠EAF=∠ABD又∵∠AFB=∠GFA∴△AFG∽△BFA∴∠AGF=∠BAF11∠BAF．∴∠MBF=又∵∠MBF=∠AGF22A BMG∴∠MBG=∠又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG=MG∴BG M EAF=∠ABD=∠=∵ABAD∴∠ADB△AGF∽△DGA∠又∵∠FGA=AGD ∴DBGAFGFAG2F???AD AF∵=N3ADAGGD E2AGGF???3AGGDC9aa．∴GD=设GF=2a AG=325∠ADBABD∵∠CBD=∠ABD∠=∴FD=a2EGBG?∴∴BE//AD ∴∠CBD=∠ADB AGGD2EGAG???k2设EG=k ∴BG=MG=33BGGDQ 交AE于ED过点F作FQ//GQGF2a44GQ?QE???∴∴555FDQEa 288435kkk =MQ=3k+∴GQ=EG=，9999MFMQ77???EDFQ//FN∵∴FM= 2QEFN27．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．6 / 15A PC=4x，∴，AC=BC=4，设AP为解：（1）∵∠ACB=90°E CQ=4+x．﹣x，）．解x4+x=（4PCBQD=30°∵∠，∴．∴CQ=﹣P 4得x=8﹣．D的长度不会改变．理运动时，线段DE）当点2P，Q（由如下：CBQ ABPE⊥AB作QF⊥AB，交直线的延长线于点F，∵AEP=90°，于E，∴∠DFQ=∠．P∵点，Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ ABC∵△是等腰直角三角形，∴可证PE=QF=AE=BF．在△中，和△QDFPDE AB．AAS），∴DE=DF．∴DE=PDE，∴△≌△QDF（，∴AB=4，∴，DE=2又∵AC=BC=4的长度不会改变．，Q运动时，线段DE∴当点P，∴，AE=x（3）∵AP=x，BD=y4=，∵，x+2+y∵AB=AE+DE+BD即y=），﹣xx+2＜4（0＜，BDQ为等腰三角形时，x=y当△﹣4，∴x=44BD的值为﹣4．即，并⊥AB1）如图，过点A作AF°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1．已知∠8ABC=90BCE是直线2）如图2，、，连接DC、DFCF，判断△CDF的形状并证明；（截取AF=BD．°，求证BD=CECDAE、相交于点P，且∠APD=45上的一点，直线AFAAB，，AF证明：∵∠ABC⊥=90°P DBC．∴∠FAD=∠AFBC，AF=BD∵AD=BC，EBC DBC∴△FAD≌△．DD 分．…………………………………………2 ∴FD=DC2B图1图21．2∠1=∠C3D 3=90°1+∵∠∠，．3=90°2+∴∠∠即∠．=90°CDF 3……………………………………分7 / 15是等腰直角三角形．∴△CDF分…………………………4，连接DF、CF．AF（2）过点A作AF ⊥AB，并截取=BD AB，AF∵∠ABC=90°，⊥AF =∠DBC．∴∠FADBD=，∵AD=BC，A B∴△FAD≌△DBC3．1=∴FD=DC，∠∠2D∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．=90°．即∠CDF分是等腰直角三角形．∴△CDF………………………………………………………5 ∠=APD=45°．∴∠FCD FC∥AE．∴AB，⊥∵∠ABC =90°，AF CE．∴AF∥6∴四边形AFCE是平行四边形．…………………………………………………分∴AF=CE．7．……………………………………………………………………………分∴BD=CE，连接CF=AE 边上一点，F是BC边延长线上一点，且是．已知△9ABC是等边三角形，EAC . 的数量关系为与EF，若．（EF1）如图1E是AC边的中点，猜想BEBE、的数量关系E2，若是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF2（）如图延长线上的任意一AC，若）如图3E是线段是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3 BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．点，其它条件不变，上述线段AA AE答：猜（1）E EFBE与想CFB量关系的数FCB E为：BCF 2图3图 1图BE=EF；，ABC=30°∠，AE=CEACABC证明：（1）∵△是等边三角形，E是线段的中点，∴∠CBE=∠CEF，∵∠F+∠CEF=F=CE=CFAE=CF∵，∴，∴∠∠ACB=60°，∴∠F=30°，8 / 15；∠F，∴BE=EF∴∠CBE= ，，交AB于点G．证明如下：如图2，过点E作EG∥BC（2）答：猜想BE=EF ，，∴∠AGE=∠ABC=60°AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC∵△ABC是等边三角形，∴，是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE又∵∠BAC=60°，∴△AGE ECF，中，，∴GE=CF，在△BGE与△又∵CF=AE ；BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF∴△BE=EF．（3）G，EG∥BC交AB延长线于点证明如下：如图3，过点E作ACB=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠是等边三角形，，又∵∠AGE=∠ABC=60°BAC=60°，∴△AGE又∵EG∥BC，∴∠，，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF∴AG=AE BGE与△ECF，中，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴在△．SAS），∴BE=EF（∴△BGE≌△ECF BC?90??ABC?BAC D的中点．作正方是是等腰直角三角形，,点10．如图1，已知BGDGBGCDEFG AEADE和）试猜想线段、．分别在和上，连接（，形1，使点DEFG DAE 逆时针方向旋转（2）将正方形绕点；的数量关系是 ??)360????(0证明你的结论；，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图24?BC?DE AFAE取最大值时，求，当②若的值．F2图图1 FG）BG=AE．（1G BAC=90°的中D是BC1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠，点理由：如图点，A A ADC=90°．，BD=CD，∴∠ADB=∠∴AD⊥BC E．∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG，∴△ADE≌△BDG（SAS在△ADE和△BDG中，），EBCD CBD∴BG=AE．故答案为：BG=AE；（2）①成立BG=AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴DG=AE；9 / 15②∵BG=AE，∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．AF=2．中，由勾股定理，得，∴AF= =在Rt△AEF、、AB上，（1E分别在CAAED中，DA＝DE，点D）如ABC11．在△中，CA＝CB，在△图①，若∠ACB＝∠ADE＝90°，则CD与BE的数量关系是；（2）若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是；，（3）若∠ACB＝∠ADE＝2α（0°< α< 90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)．CC图①解：（1）如图①，作DM∥AB，交BC于点M，∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，BAD EBMD 是平行四边形，DE∥BC，∴四边形∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，∴E CD，∴BE=CD；AB，∴∠CDM=45°，∴DM= ，∵∴DM=BEDM∥故答案为：BE=CD；图②2）如图②，（∵CA=CB，∠ACB=120°∴∠CAB=∠CBA=30°，∴AB=AC，，∠CAD=∠BAE=30°+AD，∴==∠BAD，同理AE=∴BE===CD；∴△CAD∽△BAE，；BE=故答案为：CD （3，）BE=2CD?sinαM于点⊥CM作、C证明：如图③，分别过点DABAE⊥DN，N于点，10 / 15，ABACM=∠ADN=α，AM=∠，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，∴∠CAB=DAE，∠∵CA=CBADN=，，Rt△ADN中，sin∠ACM=sin∠，AN=AE．∴∠CAD=∠BAERt△ACM和，又∵CADBA，，∴BA∽CA，．∴BE=2DC?sinα∴运动到点出发，沿ABAAD的中点．点E从点12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是、EG于点G，连接EFB停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作的垂线交射线BC的函数关系式，．求y关于x=FG．（1）设AEx时，△EGF的面积为y运动路线MG的中点，求点P（并写出自变量x的取值范围；2）P是F的长．MDA×2×2=2y=重合时，x=0，（1）当点E与点A解：x≤2不重合时，0＜当点E与点A EP ADC=90°∠在正方形ABCD中，∠A= MDF ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠GCB中和在△AME△DMFME=MF，∴△AME≌△DMF（ASA）∴∴EF=2ME=2，AM=1，ME=在Rt△AME中，AE=xN（如图）过M作MN⊥BC，垂足为MN=AB=AD=2AM ，MNG=90°，∠AMN=90°则∠EMN=90°∴∠AME+∠GMN ∠∴∠AME=EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠△AME∽Rt△NMG ∴∴Rt=，即=∴MG=2ME=222=2x+2 ∴2y=∴EF×MG=××2y=2x+2，其中0≤x≤2；（2）如图，PP′即为P点运动的距离；在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG；∴tan∠MBG==2，11 / 15；∠=2MBG=∴tan∠GMG′=tan GG′=2MG=4；∴的中点，MG、MG′MGG′中，P、P′分别是△．P 运动路线的长为MGG′的中位线；∴2PP′=GG′=2；即：点∴PP′是△AB 边与AB边重合，∠A=90°，AD将等腰．Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，13的延长线BD°），0°≤α≤180（2AD ＝4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α＝；, 位置关系是1交直线CE 于点P.（）如图2，BD与CE的数量关系是运动P3）在此旋转过程中，求点CP的长；（（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出B BB. 的路线长A图2 图1备用图E（1）BD=EC，BD⊥CE；理由：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4，∴D，E分别是AB和AC的中点，故BD=EC=AD=AE，BD⊥CE；故答案为：BD=EC，BD⊥CE；（2）如图3所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，，，∴BP⊥CE），∴∠SASABD=∠ACE，∵∠1=∠2∴△ABD≌△ACE（，ADB=90°为正方形，∴AD=PE=2，∵∠BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四边形ADPE⊥∵AD﹣2；，∴BD=CE=2，∴CP=CE﹣PE=2，∴∠AD=2，AB=4ABD=30°BAC=90°，、OA，∵∠BPC=∠，取（3）如图4BC的中点O，连接OP 时，），由（2）知，当α=60°BC=2∴OP=OA=，在此旋转过程中（0°≤α≤180°∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的+，∴点P运动的路线长为：L =+=2=×2 =π．ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE114．如图，正方形）在一条直线上，正方形?. 在旋转过程中，两个正方形只有点AAEFG以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为A12 / 15所示的位置时，2.（1）当正方形AEFG旋转至如图重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG BE）如图FC，直接写出∠FCD 的度数；（C求证：BE=DG；（2）当点在直线3上时，连接?24.，求点G3，如果到=45°，AB =2，AEBE=的距离GGFAAAGDDDFBBCCCBEEEF1图23图图. =90°，∠BAE+∠EAD2（1）证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD. =90°，∠EAD+∠DAG∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG G ABE(SAS)ADG. .∴∴∠BAE=∠DAG. ∴△≌△BE=DG.°）解：45°或135（2Fα=45°，）解：如图3，连接GB、GE. 由已知（3ADH又∵GE为正方形AEFG的对角线，可知∠BAE=45°.CB∥24AE?,∴∴∠AEG=45°. AB∴GE. GE∵=8，E13图16?=SS=S. AEGBEGAEFG正方形2.AE于点H过点B作BH⊥2HE?32?AH?BH ..AB∵=2∴，∴5?2BE∴.11S?5?h16??BE?h??2∴.G到. BE的距离为h设点BEG22516516?h的距离为G即点到∴BE..55AC?ΔABCAB的为∠中，B BD，∠A=10015．问题：在°，A请你完成下列探究.、BD、BC之间的数量关系平分线，探究AD D之间的数量关系BCBD、）观察图形，猜想过程：（1AD、）中的猜想进行证）在对（12 .（为∠°后，可进一步推出∠∠明时，当推出∠ABC=C=40ABD=DBC= CB13 / 15度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.（1）AD+BD=BC；（2）∵AB=AC，∠A=100°∴∠ABC=∠C=40°∵BD为∠B的平分线，∴∠ABD=∠DBC=20°；（3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE，∵BD为∠B的平分线，中，，和△FBDABD=∠DBC．∴在△ABD∴∠∠A=100°，．∵∠ABD≌△FBDA=100°，∴∠DFB=∴△∴∠DFC=80°，∠FED．BED=∠BDE=80°，∠DFE=，∴∠∵BE=BD，∠DBC=20°∴DF=DE．EDC=40°．，∠∵∠FED=80°C=40°，∴∠AD+BD=BC．．∴DE=EC．∴AD=EC．∴∴∠EDC=∠C之间BCAD）如图1，请你直接写出线段与ABC中，AD⊥BC于点D．（116．在等边三角形重C不与点B、2，若P是线段BC上一个动点（点P2 的数量关系: AD= BC；（）如图、CE，猜想线段ADA逆时针旋转60°，得到线段AE，联结，将线段合），联结APAP绕点、PC之间的数量关系，并证明你的结论；CE）中的）中的其他条件不变，按照（2P是线段BC延长线上一个动点，（2（3）如图3，若点之间的数量关系．、CE、PC3作法，请在图中补全图形，并直接写出线段AD）如1解：（，1图是∵△ABC中，ADBRT，∴BCBD=，在△DBCADB=60°等边三角形，∴∠，∵⊥于点BDAD=，∴AD=．BC，故答案为：2（）如图2，14 / 15 ，60°，得到线段AE理由如下：∵线段AP绕点A逆时针旋转AD=（CE+PC）．PAE∠﹣∠PAC=BAC=60°，AB=AC∴∠BAC∴∠PAE=60°，AP=AE，∵等边三角形ABC，∴∠，∠CAE﹣∠PAC，∴∠BAP= ACE中，△在△ABP和BP=CE，ACE（SAS），∴，∴△ABP≌△）．AD=CE+PC=BC，∵（AD=BC，∴CE+PCBP+PC=BC∵，∴（CE﹣PC）．）如图（33，AD= 理由如下：AE，绕点A逆时针旋转60°，得到线段∵线段APAB=AC ，ABCAP=AE，∵等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAE=60°，CAEBAP=∠，PAC=BAC+∠∠PAE+∠PAC，∴∠∴∠），SAS，∴△ABP≌△ACEACE△在ABP和△（中，，PC=BC，∴CE﹣，∵BCAD=PC=BCBPBP=CE∴，∵﹣）﹣（∴AD=CEPC．15 / 15。
中考数学总复习《几何图形初步》专项测试题-带参考答案
中考数学总复习《几何图形初步》专项测试题-带参考答案（考试时间：60分钟总分：100分）一、选择题（共8题，共40分）1.已知A，B两地的位置如图所示，且∠BAC=150∘，那么下列语句正确的是( )A．A地在B地的北偏东60∘方向B．A地在B地的北偏东30∘方向C．B地在A地的北偏东60∘方向D．B地在A地的北偏东30∘方向2.如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是( )A．∠1=∠3B．∠1=180∘−∠3C．∠1=90∘+∠3D．以上都不对3.如果A，B，C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( )A．5cm B．1cm C．5或1cm D．无法确定4.如图，已知线段AB=10cm，M是AB中点，点N在AB上NB=2cm，那么线段MN的长为( )A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5.若将一个无盖的正方体的表面沿某些棱剪开，展开成为一个平面图形，则共剪开了( )条棱．A．4B．5C．6D．76.小刚家在学校的北偏东30∘方向，距离学校2000米，则学校在小刚家的位置是( )A．北偏东30∘，距离小刚家2000米B．南偏西60∘，距离小刚家2000米C．南偏西30∘，距离小刚家2000米D．北偏东60∘，距离小刚家2000米7.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC:∠EOD=2:3，则∠BOD= ( )A．30∘B．36∘C．45∘D．72∘8.如图，观察图形，下列结论中不正确的是( )A．直线BA和直线AB是同一条直线B．图中有5条线段C．AB+BD>ADD．射线AC和射线AD是同一条射线二、填空题（共5题，共15分）9.已知射线OC在∠AOB的内部，则∠COB∠AOB．（填“<”或“>”）10.某长方体中，有一个公共顶点的三条棱的长度之比是5:8:10，最小的一个面的面积是240平方厘米，则最大的一个面的面积是平方厘米．11.上午8:30钟表的时针和分针构成角的度数是．12.甲看乙的方向是北偏东40∘，那么乙看甲的方向是．13.一个圆柱形水池的底面半径为4m，池深1.2m．在池的内壁与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是m2．三、解答题（共3题，共45分）14．如图所示，A、B、C三棵树在同一直线上,量得树A与树B的距离为4m，树B与树C的距离为3m，小亮正好在A、C两树的正中间O处，请你计算一下小亮距离树B多远?15．如图，延长线段AB到点C，使AB＝5BC，D为AC的中点DB＝6，求线段AC的长．16．如图∠AOB=33°，∠BOC=48°，∠COD=23°，OE平分∠AOD，求∠AOE 的度数．参考答案1. 【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】C4. 【答案】C5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】<10. 【答案】48011. 【答案】75∘12. 【答案】南偏西40∘13. 【答案】25.6π14．【答案】解：AC=AB+BC=7.设A，C两点的中点为O，即AO= 12AC=3.5，则OB=AB﹣AO=4﹣3.5=0.5.答：小亮与树B的距离为0.5m.15．【答案】解：设BC=x，则AB=5x，AC=6x∵D为AC的中点∴DC=6x÷2=3x 则DB=DC－BC=3x－x=2x=6解得：x=3则AC=6x=6×3=1816．【答案】解：∵∠AOB=33°，∠BOC=48°，∠COD=23°∴∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=33°+48°+23°=104°∵OE平分∠AOD∴∠AOE=12∠AOD=12×104°=52°。
初三数学几何综合题及答案
1（一）. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME （1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．（1）MD=ME ． 解：∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° 在△ADB 和△AEC 中，，∴△ADB ≌△AEC （AAS ），∴BD=CE ，AD=AE ，∵M 是BC 的中点，∴BM=CM ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE ，即∠DBM=∠ECM ． 在△DBM 和△ECM 中，，∴△DBM ≌△ECM （SAS ），∴MD=ME ．（2）如图，作DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ． 因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，所以F 、G 分别是AB 、AC 的中点． 又∵M 是BC 的中点，所以MF 、MG 是△ABC 的中位线． ∴，，MF ∥AC ，MG ∥AB ．∴∠BFM=∠BAC ，∠MGC=∠BAC ．∴∠BFM=∠MGC ．所以∠DFM=∠MGE ． ∵DF 、EG 分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线， ∴，．∴MF=EG ，DF=MG ．在△DFM 与△MGE 中，，∴△DFM ≌△MGE （SAS ）．∴DM=ME ． ∠FMD=∠GEM∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GMEMBCAEDMBC AEDMBCA图1图2∵EG ⊥AC ∴∠EGC=90°∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°∴∠DME=90° ∴DM ⊥EM ． （3）如图所示：△MDE 是等腰直角三角形．2．如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE=________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． （3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<），延长FC 交AB 于点D ，如果623AD =-，求旋转角α的度数．（1）如图1，线段BE 与AF 的位置关系是互相垂直；∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ∴AC=2，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴=；故答案为：互相垂直；； （2）（1）中结论仍然成立．证明：如图2，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC=BC ，FC=AC ，∴==，∵∠BCE=∠ACF=α，∴△BEC ∽△AFC ，∴===，∴∠1=∠2，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ∵∠BOC=∠AOM ，∠1=∠2∴∠BCO=∠AMO=90°∴BE ⊥AF ； （3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60° 过点D 作DH ⊥BC 于H ∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，∴BH=﹣1，DH=3﹣，又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，∴CH=DH ，∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，∴α=180°﹣45°=135°．3.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明．②当3BD CEAC AD ==时，BPD ∠的度数____________________．（1）等腰直角三角形 -----------------------------------------------------------------------DACDαFE CBA图3图2 αFEC BAF E CBA图1--------1分（2） 45°. -------------------------------------------------------------------------------------------2分 证明：过B 点作FB ⊥AB ,且FB=AD . ∴90FBD A ∠=∠=︒,∵BD=AC ，∴△FBD ≌△DAC.∴∠FDB=∠DCA ，ED=DC∵∠DCA+∠CDA=90︒，∴∠FDB +∠CDA=90︒， ∴∠CDF=90︒，∴∠FCD=∠CFD =45︒． ∵AD =CE ，∴BF =CE∵90FBD A ∠=∠=︒，∴180FBD A ∠+∠=︒.∴BF ∥EC .∴四边形BECF 是平行四边形． ∴BE ∥FC .∴45BPD FCD ∠=∠=︒.-----------------------------------------------------------------------6分 （3）60︒．--------------------------------------------------------------------------------------7分4．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上．（1）如图1，直接写出∠ABD 和∠CFE 的度数；（2）在图1中证明：A E =CF ；（3）如图2，连接CE ，判断△CEF 的形状并加以证明．1）∠ABD= 15 °，∠CFE= 45 °．……………………………………… 2分（2）证明：连结CD 、DF ．∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，∴BD =BC ，∠CBD =60︒．∴△BCD 是等边三角形． ∴CD =BD ．∵线段BD 平移到EF ， ∴EF ∥BD ，EF =BD ． ∴四边形BDFE 是平行四边形，EF = CD ．……… 3分∵AB =AC ，∠A =30︒， ∴∠ABC =∠ACB =75︒．∴∠ABD =∠ABC -∠CBD =15︒=∠ACD ． ∴∠DFE =∠ABD =15︒，∠AEF =∠ABD =15︒．∴∠AEF =∠ ACD =15︒．………………………………………………… 4分 ∵∠CFE =∠A+∠AEF =30︒+15︒=45︒， ∴∠CFD =∠CFE -∠DFE =45︒-15︒=30︒．PFAC图2图1A BCDEF F E DBAG 图2A BCDE F ∴∠A =∠CFD =30︒． …………………………………………………… 5分 ∴△AEF ≌△FCD （AAS ）．∴A E =CF ． …………………………………………………………… 6分（3）解：△CEF 是等腰直角三角形．证明：过点E 作EG ⊥CF 于G ，∵∠CFE =45︒，∴∠FEG =45︒．∴EG =FG ．∵∠A =30︒，∠AGE =90︒，∴12EG AE =．∵A E =CF ，∴12EG CF =．∴12FG CF=．∴G 为CF 的中点．∴EG 为CF 的垂直平分线． ∴EF =EC ．∴∠CEF =2∠FEG=90︒．∴△CEF 是等腰直角三角形．………………………………………… 8分5．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BF AF的值（用含α、m 的式子表示）．解：解：（1）AF=BF ．理由如下：在DF 上截取DG=BF ，连接AG ，（如图1），由旋转得AD=AB ，∠D=∠B ，图1 图2 图3ABCDE F FEDCBAFEDC BA在△ADG 和△ABF 中，，∴△ADG ≌△ABF （SAS ），∴AG=AF ，∠DAG=∠BAF ，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．∴△GAF 是等边三角形， 又∵DF=2BF ，∴AF=GF=DF ﹣DG=DF ﹣BF=BF ，即AF=BF ；（2）解：猜想：AF=2BF ．证明：在DF 上截取DG=BF ，连接AG （如图2）． 由旋转得AD=AB ，∠D=∠B ，在△ADG 和△ABF 中，，∴△ADG ≌△ABF（SAS ），∴AG=AF ，∠DAG=∠BAF ，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°， ∴△GAF 是等边三角形，又∵DF=3BF ，∴AF=GF=DF ﹣DG=DF ﹣BF=2BF ， 即AF=2BF ；（3）在DF 上截取DG=BF ，连接AG ，（如图3）， 由旋转得AD=AB ，∠D=∠B ， 在△ADG 和△ABF 中，，∴△ADG ≌△ABF （SAS ），∴AG=AF ，∠DAG=∠BAF ，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，∴△GAF 是等腰三角形， ∵DF=mBF ，∴GF=DF ﹣DG=mBF ﹣BF=（m ﹣1）BF ，过点A 作AH ⊥DF 于H ，则FH=GF=（m ﹣1）BF ，∠FAH=∠GAF=α，∵sin ∠FAH=，∴sin =，∴=．6．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．证明：（1）如图1，连接FE 、FC ∵点F 在线段EC 的垂直平分线上∴FE =FC∴∠FEC =∠FCE ∵△和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ）∴AB =CB ，∠ABD =∠CBD ∵在△ABF 与△CBF 中 AB ＝CBG F B DE NG F DB EM图1 图2A∠ABD ＝∠CBD BF ＝BF∴△ABF ≌△CBF （SAS ）∴∠BAF =∠FCE ，FA =FC ∴FE =FA ，∠FEC =∠BAF ∴∠EAF =∠AEF ∵∠FEC +∠BEF =180°∴∠BAF +∠BEF =180° ∵∠BAF +∠BEF +∠AFE +∠ABE =360°∴∠AFE +∠ABE =∠AFE +∠ABD +∠CBD =180° 又∵∠AFE +∠EAF +∠AEF =180° ∴∠EAF +∠AEF =∠ABD +∠CBD ∵∠ABD ＝∠CBD,∠EAF =∠AEF∴∠EAF =∠ABD（2）FM =72FN证明： 由(1)可知∠EAF =∠ABD 又∵∠AFB =∠GFA ∴△AFG ∽△BFA ∴∠AGF =∠BAF又∵∠MBF =12∠BAF ．∴∠MBF =12∠AGF又∵∠AGF =∠MBG +∠BMG ∴∠MBG =∠BMG∴BG =MG∵AB =AD ∴∠ADB =∠ABD =∠EAF 又∵∠FGA =∠AGD ∴△AGF ∽△DGAGF AG AF AG GD AD ∴==∵AF =23AD 23GF AG AG GD ∴==设GF =2a AG =3a ．∴GD =92a∴FD =52a ∵∠CBD =∠ABD ∠ABD =∠ADB∴∠CBD =∠ADB ∴BE //AD ∴BG EGGD AG =23EG AG BG GD ∴==设EG =2k ∴BG =MG =3k过点F 作FQ //ED 交AE 于QNG FCDBA EM∴54252===aaFDGFQEGQ∴QEGQ54=∴GQ=49EG=89k，MQ=3k+89k=359k∵FQ//ED72 MF MQ FN QE∴==∴FM=72FN7．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，设AP为x，∴PC=4﹣x，CQ=4+x．∵∠BQD=30°，∴CQ=PC．∴4+x=（4﹣x）．解得x=8﹣4．（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P，Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ．∵△ABC是等腰直角三角形，∴可证 PE=QF=AE=BF．在△PDE和△QDF中，，∴△PDE≌△QDF（AAS），∴DE=DF．∴DE=AB．又∵AC=BC=4，∴AB=4，∴DE=2，∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．（3）∵AP=x，BD=y，∴AE=x，∵AB=AE+DE+BD，∵4=x+2+y，即y=﹣x+2（0＜x＜4），当△BDQ为等腰三角形时，x=y，∴x=4﹣4，EQP DC BA即BD 的值为4﹣4．8．已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．证明：∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠=∠DBC ． ∵AD =，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ．∴FD =DC ．…………………………………………2分∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°．即∠CDF =90°． ……………………………………3分 ∴△CDF 是等腰直角三角形．（2）过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DF 、CF ．…………………………4分 ∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ． ∵AD =BC ，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ． ∴FD =DC ，∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°． 即∠CDF =90°．∴△CDF 是等腰直角三角形．………………………………………………………5分 ∴∠FCD =∠APD =45°． ∴FC ∥AE ．∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴AF ∥CE ．∴四边形AFCE 是平行四边形．…………………………………………………6分P ECD图2CAB 图1312F CAB 132FPECB∴AF =CE ．∴BD =CE ．……………………………………………………………………………7分9．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为.（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（1）答：猜想BE 与EF 的数量关系为：BE=EF ；证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，E 是线段AC 的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE ， ∵AE=CF ，∴CE=CF ，∴∠F=∠CEF ，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°， ∴∠CBE=∠F ，∴BE=EF ；（2）答：猜想BE=EF ．证明如下：如图2，过点E 作EG ∥BC ，交AB 于点G ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ACB=60°，又∵EG ∥BC ，∴∠AGE=∠ABC=60°， 又∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形，∴AG=AE ，∴BG=CE ， 又∵CF=AE ，∴GE=CF ，在△BGE 与△ECF 中，，∴△BGE ≌△ECF （SAS ），∴BE=EF ； （3）BE=EF ．证明如下：如图3，过点E 作EG ∥BC 交AB 延长线于点G ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ACB=60°，又∵EG ∥BC ，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形， ∴AG=AE ，∴BG=CE ，又∵CF=AE ，∴GE=CF ， 又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴在△BGE 与△ECF 中，， ∴△BGE ≌△ECF （SAS ），∴BE=EF ．10．如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ． （1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，A B C EF图1A B CEF图2ABC EF图3①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2（1）BG=AE ． 理由：如图1，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵四边形DEFG 是正方形，∴DE=DG ． 在△ADE 和△BDG 中，，∴△ADE ≌△BDG （SAS ），∴BG=AE ．故答案为：BG=AE ；（2）①成立BG=AE ．理由：如图2，连接AD ，∵在Rt △BAC 中，D 为斜边BC 中点，∴AD=BD ，AD ⊥BC ， ∴∠ADG+∠GDB=90°． ∵四边形EFGD 为正方形， ∴DE=DG ，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°， ∴∠BDG=∠ADE ． 在△BDG 和△ADE 中，，∴△BDG ≌△ADE（SAS ），∴DG=AE ；②∵BG=AE ，∴当BG 取得最大值时，AE 取得最大值． 如图3，当旋转角为270°时，BG=AE ． ∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6． 在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2．11．在△ABC 中，CA ＝CB ，在△AED 中， DA ＝DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上，（1）如图①，若∠ACB ＝∠ADE ＝90°，则CD 与BE 的数量关系是；（2）若∠ACB ＝∠ADE ＝120°，将△AED 绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是；，（3）若∠ACB ＝∠ADE ＝2α（0°< α< 90°），将△AED 绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)． FGEDCAB BACDEG FED BAC图①EDBAC 图③解：（1）如图①，作DM∥AB，交BC于点M，∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，∴DE∥BC，∴四边形EBMD是平行四边形，∴DM=BE，∵DM∥AB，∴∠CDM=45°，∴DM=CD，∴BE=CD；故答案为：BE=CD；（2）如图②，∵CA=CB，∠ACB=120°∴∠CAB=∠CBA=30°，∴AB=AC，同理AE=AD ，∴==，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，∴△CAD∽△BAE ，==∴BE=CD；故答案为：BE=CD；（3）BE=2CD•sinα，证明：如图③，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM=AB，AN=AE．∴∠CAD=∠BAE，Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=，sin∠ADN=，∴，∴，又∵∠CAD=∠BAE，∴△BAE∽△CAD，∴∴BE=2DC•sinα．12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，求点P运动路线的长．MF DA解：（1）当点E 与点A 重合时，x=0，y=×2×2=2当点E 与点A 不重合时，0＜x≤2 在正方形ABCD 中，∠A=∠ADC=90° ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF在△AME 和△DMF 中，∴△AME ≌△DMF （ASA ）∴ME=MF在Rt △AME 中，AE=x ，AM=1，ME=∴EF=2ME=2过M 作MN ⊥BC ，垂足为N （如图）则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN ∴Rt △AME ∽Rt △NMG ∴=，即=∴MG=2ME=2∴y=EF×MG=×2×2=2x 2+2∴y=2x 2+2，其中0≤x≤2；（2）如图，PP′即为P 点运动的距离； 在Rt △BMG′中，MG ⊥BG′； ∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG ； ∴tan ∠MBG==2，∴tan ∠GMG′=tan ∠MBG==2；∴GG′=2MG=4；△MGG′中，P 、P′分别是MG 、MG′的中点，∴PP′是△MGG′的中位线；∴PP′=GG′=2；即：点P 运动路线的长为2．13．将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P .（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是, 位置关系是 ；（2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.解：DBACEDB CABAC（1）BD=EC ，BD ⊥CE ；理由：∵等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置， ∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB=2AD=4，∴D ，E 分别是AB 和AC 的中点，故BD=EC=AD=AE ，BD ⊥CE ；故答案为：BD=EC ，BD ⊥CE ；（2）如图3所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∴AB=AC ，AD=AE ， ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD=∠ACE ，∵∠1=∠2，∴BP ⊥CE ， ∵AD ⊥BP ，∠DAE=90°，AD=AE ，∴四边形ADPE 为正方形，∴AD=PE=2，∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°，∴BD=CE=2，∴CP=CE ﹣PE=2﹣2； （3）如图4，取BC 的中点O ，连接OP 、OA ，∵∠BPC=∠BAC=90°， ∴OP=OA=BC=2，在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α=60°时，∠PBA 最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，∴点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的+，∴点P 运动的路线长为：L =+=2=×2=π．14．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG .（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE =DG ；（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果α=45°，AB =2，AE =42，求点G 到BE 的距离.A BCD EFG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图1（1）证明：如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAE +∠EAD =90°.∵四边形AEFG 是正方形，∴AE=AG ，∠EAD +∠DAG =90°. ∴∠BAE =∠DAG . ∴△ABE ≌△(SAS)ADG .∴BE=DG .（2）解：45°或135°.（3）解：如图3，连接GB 、GE . 由已知α=45°， 可知∠BAE =45°.又∵GE 为正方形AEFG 的对角线， ∴∠AEG =45°.∴AB ∥GE . ∵42AE =,∴GE =8，1==162BEG AEGAEFG SSS =正方形.过点B 作BH ⊥AE 于点H .∵AB =2，∴2BH AH ==.∴32HE =. ∴25BE =.设点G 到BE 的距离为h .∴11251622BEGSBE h h =⋅⋅=⨯⨯=.∴1655h =.即点G 到BE 的距离为1655.15．问题：在ABC Δ中，，∠A=100°，BD 为∠B 的平分线，探究AD 、BD 、BC 之间的数量关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD 、BD 、BC 之间的数量关系为.（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC=度. （3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC 上截取BE=BD ，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.（1）AD+BD=BC ；（2）∵AB=AC ，∠A=100°∴∠ABC=∠C=40° ∵BD 为∠B 的平分线，∴∠ABD=∠DBC=20°；（3）在BC 上截取BF=BA ，连接DF ，在BC 上截取BE=BD ，连接DE ，D CB A 图3GFE D CBA H∵BD为∠B的平分线，∴∠ABD=∠DBC．∴在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD．∵∠A=100°，∴∠DFB=∠A=100°，∴∠DFC=80°，∵BE=BD，∠DBC=20°，∴∠BED=∠BDE=80°，∠DFE=∠FED．∴DF=DE．∵∠FED=80°，∠C=40°，∴∠EDC=40°．∴∠EDC=∠C．∴DE=EC．∴AD=EC．∴AD+BD=BC．16．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D．（1）如图1，请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系: AD=BC；（2）如图2，若P是线段BC上一个动点（点P不与点B、C重合），联结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，联结CE，猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点P是线段BC延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵AD⊥BC于点D，∴BD=BC，在RT△ADB中，AD=BD，∴AD=BC，故答案为：．（2）如图2，AD=（CE+PC）．理由如下：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE，∵等边三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP=CE，∵BP+PC=BC，∴CE+PC=BC，∵AD=BC，∴AD=（CE+PC）．（3）如图3，AD=（CE﹣PC）．理由如下：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE，∵等边三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC ∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP=CE，∵BP﹣PC=BC，∴CE﹣PC=BC，∵AD=BC，∴AD=（CE﹣PC）．。
中考数学复习-几何综合练习(答案及解析)
几何综合-填空选择练习1、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AGGF的值是（）A．43 B．54C．65D．76【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a ，∵AE ∥FM ，∴AG GF =AE FM =3a 52a=65，故选：C ．2、在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y=√3x +2√3上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．√3D ．√2【解答】解：如图，直线y=√3x+2√3与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，当x=0时，y=√3x+2√3=2√3，则D （0，2√3），当y=0时，√3x+2√3=0，解得x=﹣2，则C （﹣2，0），∴CD=√22+(2√3)2=4，∵12OH •CD=12OC •OD ，∴OH=2×2√34=√3， 连接OA ，如图，∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，∴PA=√OP 2−OA 2=√OP 2−1，当OP 的值最小时，PA 的值最小，而OP 的最小值为OH 的长，∴PA的最小值为√(√3)2−1=√2．故选：D．3、如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1•BC•AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．4、如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC =2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE =S△CFG，∴S四边形DEBC =S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．5、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= ．【解答】解：如图，连接BE ，∵四边形BCEK 是正方形，∴KF=CF=12CK ，BF=12BE ，CK=BE ，BE ⊥CK ，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BK ，∴△ACO ∽△BKO ，∴KO ：CO=BK ：AC=1：3，∴KO ：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BOF=BF OF =2，∵∠AOD=∠BOF ，∴tan ∠AOD=2．故答案为：26、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB ，CE=CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE=√2，AD=√6，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）A．√2 B．3−√2 C．√3−1 D．3−√3【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=√2，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB=2+DB2=2√2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=12×2×2=2，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵S△AODS△DOB =OAOB=12⋅AD⋅OM12⋅DB⋅ON=√6√2=√3，∴S△AOC =2×√3√3+1=3﹣√3，故选：D ．7、如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于O 点，则AB= ．【解答】解：∵AD 、BE 为AC ，BC 边上的中线，∴BD=12BC=2，AE=12AC=32，点O 为△ABC 的重心，∴AO=2OD ，OB=2OE ，∵BE ⊥AD ，∴BO 2+OD 2=BD 2=4，OE 2+AO 2=AE 2=94，∴BO 2+14AO 2=4，14BO 2+AO 2=94，∴54BO 2+54AO 2=254，∴BO 2+AO 2=5，∴AB=2+AO 2√5．故答案为√5．8、如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH ⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连接HF ．下列结论正确的是（ ）A．CE=√5 B．EF=√22 C．cos∠CEP=√55D．HF2=EF•CF【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH ，CB=CE ，HB=HE ，∴△ABC ≌△CEH ，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF ，HE=HA ，∴Rt △HFE ≌Rt △HFA ，∴AF=EF ，设EF=AF=x ，在Rt △CDF 中，有22+（2﹣x ）2=（2+x ）2，∴x=12，∴EF=12，故B 错误，∵PA ∥CH ，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH ，∴cos ∠CEP=cos ∠BCH=BC CH =2√55，故C 错误．∵HF=√52，EF=12，FC=52∴HF 2=EF •FC ，故D 正确，故选：D ．9、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F ．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF= ．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴∠F=∠FBC ，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+DB =DEBC，即11+2=DE4，解得：DE=43，∵DF=DB=2，∴EF=DF﹣DE=2﹣43=23，故答案为：2310、已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4√a−1+10b，则△ABC 的外接圆半径= ．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4√a−1+10b，∴（a﹣1﹣4√a−1+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（√a−1﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴√a−1−2=0，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得r=258，故答案为：258．11、如图，直线y=﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T 1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．【解答】解：如图，作T1M⊥OB于M，T2N⊥P1T1．由题意可知：△BT 1M ≌△T 1T 2N ≌△T n ﹣1A ，四边形OMT 1P 1是矩形，四边形P 1NT 2P 2是矩形，∴S △BT 1M =12×1n ×1n =12n 2，S 1=12S 矩形OMT 1P 1，S 2=12S 矩形P 1NT 2P 2， ∴S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=12（S △AOB ﹣n ⋅S △NBT 1）=12×（12﹣n ×12n 2）=14﹣14n ． 故答案为14﹣14n ．12、已知如图，在正方形ABCD 中，AD=4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，过点B 作BM ∥AG ，交AF 于点M ，则以下结论：①DE+BF=EF ，②BF=47，③AF=307，④S △MBF =32175中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④【解答】解：∵AG=AE ，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF ， ∴△AFE ≌△AFG ， ∴EF=FG ， ∵DE=BG ，∴EF=FG=BG+FB=DE+BF ，故①正确， ∵BC=CD=AD=4，EC=1，∴DE=3，设BF=x ，则EF=x+3，CF=4﹣x ， 在Rt △ECF 中，（x+3）2=（4﹣x ）2+12，解得x=47， ∴BF=47，AF=√42+(47)2=10√27，故②正确，③错误， ∵BM ∥AG ， ∴△FBM ∽△FGA ， ∴S △FBM S △FGA=（FBFG ）2，∴S △FBM =32175，故④正确， 故选：D ．13、在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（ ）A ．√10B ．192 C ．34 D ．10【解答】解：设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN 交半圆于点P ，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．14、如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若EFAE =34，则CGGB= ．【解答】解：连接AD，BC．∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，∵D是AĈ的中点，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ADE=∠DAC，∴FA=FD；∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，∴∠EDB=∠DGF，∴FA=FG，∵EFAE =34，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，在Rt△ADE中，AD=2+AE2√5k，∵AB是直径，∴∠ADG=∠GCB=90°，∵∠AGD=∠CGB，∴cos∠CGB=cos∠AGD，∴CGBG =DG AG，在Rt△ADG中，DG=2−AD2=2√5k，∴CGBG =2√5k10k=√55，故答案为：√55．15、如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E 为线段AB 中点时，AF=95； ③当A 、F 、C 三点共线时，AE=13−2√133； ④当A 、F 、C 三点共线时，△CEF ≌△AEF ．【解答】解：如图1中，当AE=EB 时，∵AE=EB=EF ， ∴∠EAF=∠EFA ，∵∠CEF=∠CEB ，∠BEF=∠EAF+∠EFA ， ∴∠BEC=∠EAF ， ∴AF ∥EC ，故①正确， 作EM ⊥AF ，则AM=FM ，在Rt △ECB 中，EC=√22+(32)2=52， ∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB ， ∴△CEB ∽△EAM ， ∴EB AM =ECAE ，∴32AM=5232，∴AM=910，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=√13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（√13﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=13−2√133，∴AE=13−2√133，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．16、如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A ．√3−12a 2B ．√2−12a 2C ．√3−14a 2D ．√2−14a 2【解答】解：作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于H ， 则BG=GC ，AB ∥MG ∥CD ， ∴AM=MN ，∵MH ⊥CD ，∠D=90°， ∴MH ∥AD ， ∴NH=HD ，由旋转变换的性质可知，△MBC 是等边三角形， ∴MC=BC=a ，由题意得，∠MCD=30°， ∴MH=12MC=12a ，CH=√32a ， ∴DH=a ﹣√32a ，∴CN=CH ﹣NH=√32a ﹣（a ﹣√32a ）=（√3﹣1）a ， ∴△MNC 的面积=12×a2×（√3﹣1）a=√3−14a 2， 故选：C ．17、如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB 翻折得到△ABD ，则四边形ADBC 的形状是 形，点P 、E 、F 分别为线段AB 、AD 、DB 的任意点，则PE+PF 的最小值是 ．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME=AN，作CH⊥AB，∵AC=BC，∴AH=12，由勾股定理可得，CH=√152，∵12×AB×CH=12×BC×AN，可得，AN=√154，∴ME=AN=√154，∴PE+PF最小为√154，故答案为√154．18、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF【解答】解：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长，故选：D．19、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．【解答】解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，EC=1，故EF=√22−12=√3，∴FC=12∵G为EF的中点，，∴EG=√32．∴DG=2+EG2=√192．故答案为：√19220、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（I）∠ACB的大小为（度）；（Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（1）由网格图可知AC=2+32=3√2BC=√42+42=4√2AB=√72+12=5√2∵AC2+BC2=AB2∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形．∴∠ACB=90°故答案为：90°（Ⅱ）作图过程如下：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求证明：连CF∵AC，CF为正方形网格对角线∴A、C、F共线∴AF=5√2=AB√2，CF=2√2，由图形可知：GC=32∵AC=√32+32=3√2，BC=√42+42=4√2∴△ACB∽△GCF∴∠GFC=∠B∵AF=5√2=AB∴当BC边绕点C逆时针选择∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上．由作图可知T为AB中点∴∠TCA=∠TAC∴∠F+∠P′CF=∠B+∠TCA=∠B+∠TAC=90°∴CP′⊥GF此时，CP′最短故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求21、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）B．1 C．√2 D．2A．12【解答】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选：B．22、在△ABC中，AB=√34，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为．【解答】解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：BD=2−AD2√(√34)2−32=5，CD=√AC2−AD2=√52−32=4，∴BC=BD+CD=5+4=9；②如图2，同理得：CD=4，BD=5，∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为：9或1．23、如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG 与△DEF 中，{∠CDG =∠EDF∠EFD =∠CGD =90°DE =CD ，∴△DCG ≌△DEF （AAS ）， ∴EF=CG ， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC ﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1，∴△ADE 的面积是：12×AD ×EF=12×2×1=1． 故选：A ．24、如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（ ）A ．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B ．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C ．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D ．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°【解答】解：∵AD ∥BC ，∠APB=80°， ∴∠CBP=∠APB ﹣∠DAP=80°﹣θ1，∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1，又∵△CDP中，∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4，∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4，又∵矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°，即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°，故选：A．25、如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S1S1+S2+S△BDE =（ADAB）2，∴若2AD＞AB，即ADAB ＞12时，S1S1+S2+S△BDE＞14，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即ADAB ＜12时，S1S1+S2+S△BDE＜14，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．26、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD= ．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE﹣HE=x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2√3，x2=3﹣2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．27、如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A．AE=EF B．AB=2DEC．△ADF和△ADE的面积相等 D．△ADE和△FDE的面积相等【解答】解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE =S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE =S△FDE，∴S△ADE =S△FDE，故D正确，当AD=12AC时，△ADF和△ADE的面积相等∴C选项不一定正确，故选：C．28、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．【解答】解：∵△EFP 是直角三角形，且点P 在矩形ABCD 的边上， ∴P 是以EF 为直径的圆O 与矩形ABCD 的交点，①当AF=0时，如图1，此时点P 有两个，一个与D 重合，一个交在边AB 上； ②当⊙O 与AD 相切时，设与AD 边的切点为P ，如图2， 此时△EFP 是直角三角形，点P 只有一个，当⊙O 与BC 相切时，如图4，连接OP ，此时构成三个直角三角形， 则OP ⊥BC ，设AF=x ，则BF=P 1C=4﹣x ，EP 1=x ﹣1， ∵OP ∥EC ，OE=OF ， ∴OG=12EP 1=x−12，∴⊙O 的半径为：OF=OP=x−12+(4−x)，在Rt △OGF 中，由勾股定理得：OF 2=OG 2+GF 2， ∴(x−12+4−x)2=(x−12)2+12，解得：x=113，∴当1＜AF ＜113时，这样的直角三角形恰好有两个，③当AF=4，即F 与B 重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF 的值是：0或1＜AF ＜113或4． 故答案为：0或1＜AF ＜113或4．29、等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为．【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案为30°或110°．30、如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B 1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30∴D1是B1AC1̂的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60°=15√3，∴B1C1=30√3∴弓臂两端B1，C1的距离为30√3（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=120⋅π⋅30180，∴r=20，∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，在Rt△GB2D2中，GD2=2−202√5∴D1D2=10√5﹣10．故答案为30√3，10√5﹣10，31、如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C 处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB∴HB=CHtan∠B =1200 tan30°=√33=1200√3（米）．∴AB=HB﹣HA=1200√3﹣1200=1200（√3﹣1）米故答案为：1200（√3﹣1）32、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP 的长为．【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB=2−42√3．综上所述，BP的长为3或4√3．。
九年级数学几何综合专项测试(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：几何综合的思考流程是什么？问题2：几何综合中常见结构、常用模型有哪些？问题3：轴对称思考层次有哪些？问题4：旋转思考层次有哪些？问题5：圆的思考角度有哪些？几何综合专项测试一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2，3，且点B，C，G在同一直线上，M 是线段AE的中点，连接FM，则FM的长为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类倍长中线2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，沿△ABC的中线OC将△AOC折叠，使点A落在点D处．若CD⊥AB于点M，则tanA的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余3.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，，那么AC的长为( )A.12B.16C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型4.如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，点G在直角边BC上，BG=5，CG=1，将△DEF的顶点D放在直角边AC上，直角边DF经过点G，斜边DE经过点B，则CD 的长是( )A.3B.2或4C.4D.2或3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转变换5.如图，在四边形ABCD中，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为( )A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三等角模型6.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，，如果将△ABC沿直线翻折后，点B落在AC边的中点处，直线与边BC交于点D，那么BD的长为( )A.3B.C.4D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换(折叠问题)7.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB边上一点，且BD=CD，过BC边上一点P，作PE⊥AB 于点E，PF⊥CD于点F．若AD:BD=1:3，，则PE+PF=( )A. B.6C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法8.如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧的中点，连接AB并延长至点D，使BD=AB，连接AC，BC，CD．若AB=2，则CD的长为( )A.2B.1C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系9.如图，直线与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥于点B，连接PA，设，则的最大值是( )A.1B. 2C. 4D. 6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数最值10.如图，CB，CD分别是钝角三角形AEC和锐角三角形ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE．其中一定正确的结论序号是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的中线。
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初中几何综合复习学校姓名一、典型例题例1如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD。
例2如图2-4-1，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程01)1(2=++--mxmx的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.AB CDEEBACBA MCDM图3 图4图1 图2二、强化训练练习一：填空题1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为 .2.已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠AOC = ___ ．3.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为4.等腰Rt△ABC, 斜边AB与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米．5.已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF的度数为________．6.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面积为8cm，则△AOB的面积为 .7.如果圆的半径R增加10% , 则圆的面积增加_________ .8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为 .9. △ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是10，则△A′B′C′的面积是 .10.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于 . 练习二：选择题1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ]A.30°B.45°C.60°D.75°2.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是 [ ]A．矩形 B．三角形C．梯形 D．菱形3.下列图形中，不是中心对称图形的是[ ]A. B. C. D.4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ]A.等腰三角形B.等腰梯形C.平行四边形D.线段5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ]A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形6.如果两个圆的半径分别为4cm和5cm,圆心距为1cm，那么这两个圆的位置关系是[ ]A.相交B.内切C.外切D.外离7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm,那么扇形的面积为[ ]8.A.B.C三点在⊙O上的位置如图所示，若∠AOB＝80°，则∠ACB等于 [ ]A．160° B．80°C．40° D．20°9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,则∠BCF的度数是[ ]A.160°B.150°C.70°D.50°（第9题图）（第10题图）10.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ]A.2对B.3对C.4对D.5对练习三：几何作图1．下图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同。
2. 正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。
3.将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化.（1）沿y轴正向平移2个单位；（2）关于y轴对称；ODCBA4. 如图, 要在河边修建一个水泵站, 分别向张村, 李村送水．修在河边什么地方, 可使所用的水管最短?(写出已知, 求作, 并画图)练习四：计算题1.求值：cos45°+ tan30°sin60°.2．如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm ,AD=34cm.(1)判定△AOB的形状. （2）计算△BOC的面积.3. 如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD和上弦AC 的长(答案可带根号)4.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求AE 的长.ABDFEC练习五：证明题1．阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB∴△AEB ≌△AEC(第一步)∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；2. 已知：点C.D 在线段AB 上，PC ＝PD 。
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。
证明：3.已知：如图 , AB=AC , ∠B=∠C ．BE 、DC 交于O 点．求证：BD=CE练习六：实践与探索1．用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成如图的菱形ABCD 。
现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合。
将三角板绕点A 逆时针方向旋转。
（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（图a ） PA①猜想BE 与CF 的数量关系是__________________；②证明你猜想的结论。
（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时（图b ）,连结EF ，判断△AEF 的形状，并证明你的结论。
2．如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……，如此进行下去得到四边形A n B n C n D n 。
（1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；·仔细探索·解决以下问题：（填空）（2）四边形A 1B 1C 1D 1的面积为____________ A 2B 2C 2D 2的面积为___________；（3）四边形A n B n C n D n 的面积为____________（用含n 的代数式表示）；（4）四边形A 5B 5C 5D 5的周长为____________。
3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点C 的坐标是（4，0）。
（1）直接写出A 、B 两点的坐标。
A ______________ B____________（2）若E 是BC 上一点且∠AEB=60°，沿AE 折叠正方形ABCO ，折叠后点B 落在平面内点F 处，请画出点F 并求出它的坐标。
图a图b A B D A 1 CB 1C 1D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 A 3 B 3C 3D 3 …（3）若E是直线．．BC上任意一点，问是否存在这样的点E，使正方形ABCO沿AE折叠后，点B恰好落在x轴上的某一点P处？若存在，请写出此时点P与点E的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案例1证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE。
而∠BDE＝∠ABD＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 。
所以∠BAD＝∠CAD，而∠ADB ＝180°－∠BDE，∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 。
在△ADB和△ADC中，∠BAD＝∠CADAD＝AD∠ADB ＝∠ADC所以△ADB≌△ADC 所以 BD＝CD。
例2（1）证明：连接OD，AD． AC是直径，∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，∴∠C＝∠BED．故∠B＝∠BED，即DE＝DB．∴点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，即∠DAC ＝∠BAD＝∠ODA．∴OD⊥DF ，DF是⊙O的切线．（2）解：设BF＝x，BE＝2BF＝2x．又BD＝CD＝21BC＝6，根据BE AB BD BC⋅=⋅，2(214)612x x⋅+=⨯．化简，得27180x x+-=，解得122,9x x==-（不合题意，舍去）．则BF的长为2．例3答案：（1）如图（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE。
∴BC＝2AB，即ab2=由题意知aa2,是方程01)1(2=++--mxmx的两根∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212maamaa消去a，得071322=--mm解得7=m或21-=m经检验：由于当21-=m，0232<-=+aa，知21-=m不符合题意，舍去.7=m符合题意.∴81=+==mabS矩形答：原矩形纸片的面积为8c m2.练习一. 填空1.92. 90°3. 6.54.85. 70°6.27.21%8.89.24 10.43练习二. 选择题1.B2.D3.B4.D5.C6.B7.A8.C9.D 10.C练习三：1.3略2. 下面给出三种参考BACBA MCEM图3 图4E。